PRUEBA ESCRITA. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. 2º BACHILLERATO A. 24 de noviembre de 2008.

Transcripción

1 PRUEBA ESCRITA. MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. 2º BACHILLERATO A. 24 de noviembre de Ejercicio Sean A= t 1 0 y B = a) Halle el rango de A en función del valor de t. b) Indique el valor de t para el que el sistema A X = B es compatible indeterminado, indicando en tal caso su grado de indeterminación. Justifique la respuesta. c) Resuelva el sistema por el método de Cramer, si es posible, para t = 0. d) Existe, en el caso del apartado anterior, la matriz inversa de A? Si su respuesta es afirmativa, hállela usando determinantes. 1 0 a) Como = 1 0 (filas 2ª y 3ª con columnas 2ª y 3ª), existe un menor de orden 2 no 0 1 nulo, por lo que el rango de A es al menos 2. El rango será exactamente 2 si el determinante de A es nulo, y, en caso contrario, su rango será 3. Calculemos, por tanto, el determinante de A : A = t 1 0 = 5 t Por tanto: t = 5 A = 0 rango A < 3 rango A = 2 t 5 A 0 rango A = 3 b) De acuerdo a lo expuesto en el apartado anterior, si t 5 el rango de A es 3, por lo que el sistema sería compatible determinado, ya que el rango de la matriz ampliada sería también 3, al igual que el número de incógnitas. Por tanto, la única posibilidad sería t = 5. En tal caso el rango de A es 2. Para que el sistema sea compatible debe cumplirse que el rango de la matriz ampliada sea también 2 (en cuyo caso sería indeterminado con grado de indeterminación igual a uno). Para comprobarlo calculemos sus menores de orden 3 distintos del determinante de la propia matriz A (pues ese ya sabemos que, con t = 5, es nulo): CC B= = = CC B= = = C C B = = =

2 Por tanto, con 5 t = todos los menores de orden 3 de la matriz ( A ) B son nulos, por lo que su rango no es 3. Como tiene 3 filas, su rango no puede ser mayor que 3. Entonces es menor que 3, y como el rango de A es 2, podemos decir que el de ( A B ) también es 2. Luego, con t = 5 tenemos un sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación (debido a que el sistema tiene 3 incógnitas con rango 2). c) Si t = 0 5, por el resultado del apartado (a), el rango de A es 3, por lo que coincide con el rango de la matriz ampliada (no puede ser su rango mayor que 3) y con el número de incógnitas. Luego, efectivamente, en tal caso, el sistema es compatible determinado, es decir, es un sistema de Cramer. Vamos a resolverlo por dicho método: x = = = t t 15 y = = = t t 25 z = = = 5 d) En el caso anterior, como A = 5 t = 5 0, la matriz es regular y posee inversa. Sabemos que 1 1 Adj t A = A. Calculemos entonces, en primer lugar la matriz adjunta de A : A Adj( A) = t 1 Por tanto A = Adj ( A) = A Ejercicio 2. Discuta y resuelva el siguiente sistema, según los distintos valores del parámetro k : 2x y+ 5z = 1 y + z = 1 x + kz = 4 y 3z = 3

3 La matriz ampliada del sistema es ( A B) =. En este caso, el rango de 1 0 k 4 ( A B ) puede ser 4. Para obtener los valores de k para los que su rango es exactamente 4 (y por tanto incompatible el sistema, pues el rango de A no puede llegar a un valor tan alto) tendremos que calcular su determinante: k k A B = = = = 1 0 k 4 F1 F1+ 2 F3 1 0 k k 5+ 2k = = 1 4 = 4 ( 5 2k+ 7) = 4 ( 2k+ 2) = 8 ( k F3 F3+ 3F2 Por tanto, si k 1, el determinante de la matriz ampliada es no nulo, por lo que su rango es 4. Como entonces es mayor que el rango de la matriz sin ampliar (pues ésta tiene tres columnas), el sistema es incompatible. Veamos qué ocurre en el caso k =1. Entonces el rango de la ampliada no puede ser 4. Veamos si el rango es 3. Tomemos el menor correspondiente a las tres primeras filas y las tres primeras columnas: = = Esto nos dice que el rango de la matriz sin ampliar es 3, al igual que el de la ampliada (pues para k = 1 no puede ser 4) y el número de incógnitas. Entonces para k = 1, el sistema es compatible determinado. Resumiendo: k 1 Sistema incompatible. k = 1 Sistema compatible determinado. Resolvamos el sistema, por tanto, para k = 1. Lo hacemos tomando las tres primeras ecuaciones (que, según hemos visto tienen el rango 3): x= = = 3; y = = = 0; z = = = Ejercicio 3. a) Discuta el siguiente sistema según los valores de los parámetros α y : 3x y = 4 5y + 3z = 1 α x+ 6y 4z = )

4 b) Resuélvalo, usando el método de Cramer, con los valores de α y, si existen, para los que el sistema sea indeterminado a) Como = 60 3α 54= 6 3α = 3( 2 α ), el determinante de la matriz sin α 6 4 ampliar es no nulo si α 2. En tal caso, su rango es 3, de lo que se deduce que el sistema es compatible determinado (coincide con el rango de la ampliada y con el número de incógnitas) Supongamos ahora α = 2. En ese caso el rango debe ser menor que 3, puesto que el determinante de la matriz sin ampliar es nulo. Como el menor 3 1 = 15 0, su rango es Veamos los menores de orden 3 de la matriz ampliada incluyendo en ellos la columna B de coeficientes independientes: CC B= = = = ( ) CC B= = = C C B = = = = De ello se deduce que si 4, el rango de la matriz ampliada es 3, por lo que sería mayor que el rango de la matriz sin ampliar y, por tanto, el sistema sería incompatible; y si = 4, la matriz ampliada tendría todos sus menores de orden 3 serían nulos, por lo que su rango sería también 2, y por tanto, el sistema sería compatible indeterminado. Como posee tres incógnitas, el grado de indeterminación, en este caso, es igual a uno. La conclusión de la discusión realizada es entonces la siguiente: α 2 Sistema compatible determinado (con cualquier valor de ). α = 2 y 4 Sistema incompatible. { } { α 2 y 4} = = Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. b) De acuerdo a lo expuesto en el apartado anterior, lo resolveremos con los valores α = 2 y = 4. Como en dicho caso el rango es dos, y con los coeficientes de x e y de las dos primeras 3 1 ecuaciones tenemos = 15 0, podemos tomar dichas ecuaciones y dar un valor 0 5 arbitrario λ a la incógnita z. En este caso, el sistema queda: 3x y = 4 5y = 1 3λ

5 3 1 4 cuya matriz ampliada es ( A B) = λ Para cada valor de λ, este sistema sería de Cramer, y sus infinitas soluciones, por tanto, serían: λ λ λ λ 3 9λ 3λ+ 1 x= = = ; y = = = ; z = λ donde λ. Ejercicio 4. Teorema de Rouché-Frobënius (clasificación de los sistemas mediante rangos y número de incógnitas). El teorema solicitado indica, en función del rango de las matrices asociadas al sistema y su cantidad de incógnitas, el tipo del mismo, según la cantidad de soluciones que posea. El teorema se puede formular del siguiente modo: Sea A X = B un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas. Sea m= rango A. El sistema es compatible si y sólo si el rango n m de A es igual al rango de la matriz ampliada Además, en tal caso, si m= n, el sistema es compatible determinado, y si m< n, el sistema es compatible indeterminado con grado de indeterminación n m. A B.