Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B =

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1 S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 8 - IV 4 CURSO 03-4 a) Duración: HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica). Opción A.- Sean las matrices 0 - A = 0 m 3, B = , C = 4 - m a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [ puntos] Resuelve la ecuación matricial XA B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta de B)..- Sea el siguiente sistema de ecuaciones λx + y + z = λ + x - λy + z = x - y + λ z = λ a) [,75 puntos] Discútelo según los valores de λ. Tiene siempre solución? b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para λ =. 3.- Considera las rectas r y s de ecuaciones x y = r x = y = z y s y + z = a) [0,75 puntos] Determina su punto de corte. b) [ punto] Halla el ángulo que forman r y s. c) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. 4.- Los puntos P(, 0, 0) y Q(,, 4) son dos vértices de un triangulo. El tercer vértice R pertenece a la recta r de ecuación r 4x + 3z = 33 y = 0 a) [,5 puntos] Calcula las coordenadas de R sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y R. b) [ punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo. Opción B.- Sea la matriz 5-4 A = a) [,5 puntos] Comprueba que se verifica A - A = I. b) [,5 puntos] Calcula A. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a))..- Considera el siguiente sistema de ecuaciones (m + )x - y - z = - x - y + z = - x +my - z =m a) [,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m =. 3.- Sean los puntos A(,, ), B(,, 0), C(,, ) y D(t,, ) a) [,5 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano. b) [,5 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C. 4.- [,5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6x+3y+z=6 con los ejes de coordenadas.

2 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A.- Sean las matrices 0 - A = 0 m 3, B = , C = 4 - m a) [0,5 puntos] Indica los valores de m para los que A es invertible. b) [ puntos] Resuelve la ecuación matricial XA B t = C para m = 0. (B t es la matriz traspuesta de B). a) A es invertible si su determinante es no nulo 0 - A = 0 m 3 = (-m +0+0)-(-4m+3+0) = -m +4m m Que igualando a cero nos da la ecuación: -m +4m-3 = 0 m 4 ± 6-4m+3 = 0 m = = Con soluciones m = y m = 3. Luego para m R-{,3} la matriz A es invertible. 4 ±. b) Para resolver la ecuación matricial XA-B t = C multiplicamos por la derecha por A - para despejar X: XAA - = (B t + C)A - X = (B t + C)A -. Para m = 0 la matriz A se convierte en: 0 - A = t El valor de la inversa es: A - = Adj(A ) A En el apartado anterior habíamos calculado A obteniendo, para m = 0: A = -m +4m-3 = - 3 Obtenemos la matriz traspuesta: 0 4 A t = La matriz de los adjuntos de la traspuesta será: Adj(A t ) = Luego la inversa de A es: A - - = Calculamos (B t C) = = X = (B t + C)A = = Sea el siguiente sistema de ecuaciones

3 λx + y + z = λ + x - λz + z = x - y + λ z = λ a) [,75 puntos] Discútelo según los valores de λ. Tiene siempre solución? b) [0,75 puntos] Resuelve el sistema para λ =. a) Para discutir las soluciones del sistema utilizamos el Teorema de Rouché-Frobenius. Siendo la matriz de coeficientes y ampliada: λ λ λ + A = - λ y A* = - λ - λ - λ λ Hallemos el valor del determinante de A: λ A = - λ = (-λ 3 +-)-(-λ+λ-λ) = -λ λ Que será nulo si λ 3 = - λ = - Si λ - rg(a) = rg(a * ) = 3 = nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible y determinado y tiene solución única. Si λ = - la matriz de coeficientes y ampliada son: - - A = y A* = Como existe un menor de orden = -- = -3 0, rg(a) =. Como en la matriz ampliada la ª y 3ª filas son proporcionales rg(a * ) =. Como rg(a)= rg(a * )= < nº de incógnitas, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado, y tiene infinitas soluciones. Por lo tanto el sistema siempre tiene solución b) Si λ = - en el apartado anterior hemos discutido que es un sistema compatible indeterminado con rg(a) rg(a * )=, luego una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Despreciamos la tercera y tomamos parametrizamos la incógnita z = λ: - x + y + z = - x + y = - λ x + y + z = x + y = - λ Si restamos a la ª ecuación la ª obtenemos: 3x = x = 3 Sustituyendo el valor de x en la ª ecuación: y = - λ y = + - λ y = - λ La solución del sistema es: 4 (x, y, z)=, - λ, λ con λ R Considera las rectas r y s de ecuaciones x y = r x = y = z y s y + z = a) [0,75 puntos] Determina su punto de corte. b) [ punto] Halla el ángulo que forman r y s. c) [0,75 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. 3

4 a) Hallamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. x y z Como la recta r está en forma continua = = su ecuación paramétrica es: - x = + λ y = 0 + λ, λ R. z = λ Luego un punto de la recta es P=(,0,) y su vector director es u = (,,-). Como la recta s está en forma implícita su vector director será el producto vectorial de los vectores normales de las ecuaciones de los planos: n x i j k = - 0 = (-, -, ) v = (,, -) n 0 Tomando y = 0 queda el sistema x=- y z=. Su ecuación paramétrica es: x = - + μ y = 0 + μ, µ R. z = μ Luego un punto de la recta es Q=(-,0,) y su vector director es v = (,, -) Para obtener el punto de corte igualamos ambas rectas en paramétricas, y resolvemos el sistema de 3 ecuaciones con dos incógnitas λ, µ R: + λ = - + µ λ = µ -λ = - µ Sustituimos el valor de ª ecuación en la ª obteniendo: + λ = - + λ + = -λ + λ = λ = µ Luego el punto de corte ambas rectas es: M= (+,,-) = M(3,,-) b) El ángulo que forman dos rectas es el menor de los ángulos que forman sus vectores directores, para calcularlo hallamos el coseno del ángulo y tomamos el ángulo agudo correspondiente. cos(r, s) = cos( u, v u.v ) = = = u. v. +.+ (-).(-) (-). 4 El ángulo buscado es (r,s) = ar cos ( ) = 4 8. c) Para determinar un plano π necesitamos un punto y dos vectores directores del mismo, por ello tomamos el punto de corte M=(3,,-) y los vectores directores de cada una de las rectas r y s u = (,,-) y v = (,, -). Obtenemos la ecuación general: La ecuación general del plano será: = (x - 3) (y - ) (z + ) - = 0.(x-3) -.(y-)+ (-)(z+) = -y-z+ = 0 y+z- = Los puntos P(, 0, 0) y Q(,, 4) son dos vértices de un triangulo. El tercer vértice R pertenece a la recta r de ecuación r 4x + 3z = 33 y = 0 a) [,5 puntos] Calcula las coordenadas de R sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por P y R. 4

5 b) [ punto] Comprueba si el triángulo es rectángulo. a) Como la recta r está en forma implícita su vector director será el producto vectorial de los vectores normales de las ecuaciones de los planos: i j k n xn = = (-3, 0, 4) u = (3, 0, -4) 0 0 Tomando x = 0 queda el sistema 3z=33 z=. Su ecuación vectorial es: (x, y, z) = (3λ, 0, -4λ), λ R. Por lo tanto un punto genérico de dicha recta es: R(x, y, z) = (3λ, 0, -4λ), λ R. Como la recta que pasa por los puntos P y R es perpendicular a r, sus vectores directores han de ser perpendiculares, es decir que el producto escalar PR. u ha de ser nulo. Como: PR = (3λ-, 0-0, -4λ-0) = (3λ-, 0, -4λ) PR. u = 9λ λ = 5λ-50 = 0 λ = Por lo tanto el punto pedido es R=(6,0,-8) R = (6, 0, 3). b) Para comprobar que el triángulo es rectángulo en P basta demostrar que el producto escalar de los vectores que determinan los lados es nulo. PQ = (--,-0,4-0) = (-3,, 4) PR = (6-,0-0,3-0) = (4, 0, 3) Su producto escalar será: PQ. PR = (-3,, 4). (4, 0, 3) = -+0+ = 0 Como es nulo, el triángulo es rectángulo en P. Opción B.- Sea la matriz 5-4 A = a) [,5 puntos] Comprueba que se verifica A A = I. b) [,5 puntos] Calcula A. (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). a) Calculemos: A = -. - = ;.A = Veamos que A - A = I, siendo I la matriz identidad de orden A- A = = como queríamos ver. 4 - b) Sabemos que una matriz cuadrada A tiene matriz inversa B si A.B = B.A = I. 5

6 Utilizando la igualdad A - A = I del apartado anterior, y sacando factor común la matriz A por la derecha tenemos (I A).A = I, y por la definición de inversa tenemos que A - = I-A, es decir: A - = I-A = = Se puede comprobar que: A.A - = = = I..- Considera el siguiente sistema de ecuaciones (m + )x - y - z = - x - y + z = - x +my - z =m a) [,75 puntos] Discútelo según los valores de m. b) [0,75 puntos] Resuélvelo para el caso m =. m + a) Sea A = - respectivamente. - - m - - m + y A * = m - - m la matriz de coeficientes y la matriz ampliada Para que el sistema tenga solución única, por el Teorema de Rouché-Frobenius, rg(a) = rg(a * ) = 3 = nº de incógnitas, por tanto el determinante de A tiene que ser distinto de cero. m A = - - = [(m+)-+m]-[-+m.(m+)] = m+-m -m = -m = -(m-)(m+). m - Si A = 0, tenemos -(m-)(m+) = 0, de donde m = y m = -. Para m y m - el sistema es compatible y determinado, y tiene solución única. Si m = Sea A = - - la matriz de los coeficientes y A * = - - la ampliada. - - Vemos que rango(a) =, pues las tres filas son iguales. 3 - En A como = - 4 0, tenemos rg(a) = En A * como = 0, por tener la fila ª y 3ª proporcionales tenemos rg(a * ) =. Como rango(a) = rango(a * ) = < nº de incógnitas, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones. Si m = Sea A = - - la matriz de coeficientes y A * = la matriz ampliada En A como - - = - 0, tenemos rg(a) =. 6

7 En A * como = (-)(-) = 4 0, rg(a * ) = 3. Como rango(a) = rango(a * ) = 3, por el Teorema de Rouché-Frobenius el sistema es incompatible y no tiene solución. b) Si m = hemos visto en el apartado anterior que rg(a) = rg(a * ) = < nº de incógnitas, y el sistema era compatible e indeterminado, es decir con infinitas soluciones. Para resolverlo tomamos dos ecuaciones y dos incógnitas principales. Tomamos las dos primeras ecuaciones, que sabemos que son independientes, por lo calculado en el apartado anterior. Tomamos z = λ como parámetro y obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: 3x - y - z = 3x - y = + λ - x - y + z = - - x - y = - - λ Restamos la ª ecuación de la ª obteniendo: λ 4x = + λ x = + Sustituyendo el valor de x en la ª ecuación: λ λ y = -x++λ = λ = + Por lo tanto la solución del sistema es: + λ + λ (x, y, z) =,, λ 3.- Sean los puntos A(,, ), B(,, 0), C(,, ) y D(t,, ) a) [,5 puntos] Determina el valor de t para que A, B, C y D estén en el mismo plano. b) [,5 puntos] Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contenga al punto C. a) Para comprobar que los cuatro puntos están en el mismo plano obligamos a que el rango de los vectores AB = (-,,-), AC (,0,), y AD = (t-,-3,) sea, LA forma más sencilla de comprobarlos es verificar que el determinante de la matriz formada por dichos vectores sea nulo: - - AB, AC, AD = 0 =-()(-)+0-()(7-t) = -5 + t = 0 t = 5 y el punto D pedido es D=(5, -, ) t b) El plano perpendicular al segmento determinado por A y B que contenga al punto C tendrá como ecuación normal CX. n siendo n el vector normal AB y CX el vector perteneciente al plano determinado por el punto C y un punto genérico X del plano: AB = (-,, 0) -(,, ) = (-,,-) CX = (x, y, z) -(,, ) = (x-,y-,z-) π CX. n = (x-,y-,z-). (-,,-) π x-y+z-5 = [,5 puntos] Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano π 6x + 3y + z = 6 con los ejes de coordenadas. a) En primer lugar determinamos los puntos de corte del plano con los ejes coordenados. El punto A se obtiene resolviendo el sistema formado por el plano 6x + 3y + z = 6 = 0 con y = 0, z = 0: 6x = 6 x = y el punto obtenido es A = (,0,0) 7

8 El punto B se obtiene resolviendo el sistema formado por el plano 6x + 3y + z = 6 = 0 con x = 0, z = 0: 3y = 6 y = y el punto es B=(0,,0) El punto C se obtiene resolviendo el sistema formado por el plano 6x + 3y + z = 6 = 0 con x=0 e y = 0: z = 6 z = 3 y el punto es C= (0,0,3). El área de un triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan dos vectores con origen común. En nuestro caso tomamos el punto Ay los vectores serán AB y AC : AB = (0,,0)- (,0,0) = (-,, 0) AC = (0,0,3)- (,0,0) = (-, 0, 3) Aplicado a nuestro caso debemos determinar: i j k A = [ ABxAC] = - 0 = (6,3,) = = 49 = 7 u 8

9 EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª RECUPERACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 5 - V 4 CURSO 03-4 Instrucciones: a) Duración: HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B c) Contesta de forma razonada, escribe ordenadamente y con letra clara. d) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica). Opción A α.- Sean las matrices A = 3 y B = - α 3-4 a) [,5 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es A. b) [,5 puntos] Para α = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación A t X = B, siendo A t la traspuesta de A. α -.- Dadas las matrices A = 0 α - y B = - - α a) [,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. b) [0,75 puntos] Para α =, resuelve la ecuación matricial AX = B. 3.- Considera los puntos A(-, k, 3), B(k +, 0, ), C(,, 0) y D(, 0, ). a) [,5 puntos] Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes? b) [,5 puntos] Calcula los valores de k para los que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen. 3x y = Dados el plano π de ecuación x+y-z = 0 y la recta r de ecuaciones x + y 4z = - 3 a) [0,75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. b) [,75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(,-, 3) respecto del plano π. Opción B.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A = y B = -. Halla: a) [0,5 puntos] A 3. b) [0,5 puntos] A -. c) [0,5 puntos] -A. d) [0,5 puntos] A.B t, siendo B t la matriz traspuesta de B. e) [0,5 puntos] El rango de B Dada la matriz A = a) [0,5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A 3 = -I, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) [,5 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) [0,75 puntos] Calcula razonadamente A Considera los puntos A(, 0, ) y B(,,- ). x - y a) [,5 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación = = z que verifica que el triangulo de vértices 3 A, B y C tiene un ángulo recto en B. b) [,5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación x -y + 3z = 6 con el eje OX. 9

10 4.- [,5 puntos] Considera los planos π, π y π 3 dados respectivamente por las ecuaciones 3x-y+z-4 = 0; x-y+z- = 0 y x+z-4 = 0. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,, -), es paralela al plano π y corta a la recta intersección de los planos π y π 3. 0

11 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA Opción A.- Sean las matrices α A = 3 y B = - α 3-4 a) [,5 puntos] Calcula los valores de α para los que la matriz inversa de A es A. b) [,5 puntos] Para α = -3, determina la matriz X que verifica la ecuación A t X = B, siendo A t la traspuesta de A. a) Por el enunciado del problema sabemos que existe la matriz inversa de A: t A - = Adj(A ) A Con determinante A = 3α+α = 4α Obtenemos la matriz traspuesta: A t α - α = 3 La matriz de los adjuntos de la traspuesta será: Adj(A t 3 - ) = α α Luego la inversa de A es: 3 - A = = 4α 4α 4α α α 4 4 Como del enunciado del problema tenemos que: α A - α = A = - α 3 = - α 3 Igualando valores de términos equivalentes obtenemos el sistema: 3 α = 36 = 4α α = 9 α = ± 3. 4α - = - = 4α α = -3. 4α -α = = -4α α = = = 4 Luego α = - 3. b) Para resolver la ecuación matricial A t X = B, multiplicamos por la izquierda por (A t ) - y aplicando la propiedad de que (A t ) - = (A - ) t : (A t ) -.A t X = (A t ) -.B X = (A t ) -.B = (A - ) t.b En el apartado anterior hemos averiguado que para α = -3: A - = A = - 3 (A - ) t = Luego: X = (A - ) t.b = =

12 .- Dadas las matrices α - 0 A = α - y B = - - α a) [,75 puntos] Calcula el rango de A dependiendo de los valores de α. b) [0,75 puntos] Para α =, resuelve la ecuación matricial AX = B. Para estudiar el rango de A estudiamos su determinante: α - A = α - = (α 3 ++)-(α+ α+α) = α 3-3α+ - - α Que será nulo cuando α 3-3α+ = 0, ecuación que resolvemos mediante la regla de Ruffini: Es decir que A = (α-) (α+) Si α y α -, tenemos A 0, por tanto rango(a) = 3. Si α = queda la matriz: Como la segunda y la tercera filas son proporcionales a la primera rg(a) =. Si α = - queda la matriz: Como el menor = (4-) = 3 0 rg(a) = b) Para α =, las matrices son A = - y B = - - En el apartado anterior hemos averiguado que A es invertible ya que su determinante es: A = = 4 El valor de la inversa es: t A - = Adj(A ) A Obtenemos la matriz traspuesta: - A t = Que coincide con la matriz, es por lo tanto una matriz simétrica. La matriz de los adjuntos de la traspuesta será:

13 3 - Adj(A t ) = Luego la inversa de A es: 3 - A - = Por lo tanto multiplicando a la izquierda por la inversa de la ecuación matricial: A -.AX = A -.B X = A -.B 3-0 X = A -.B X = - 3. = = Considera los puntos A(-, k, 3), B(k +, 0, ), C(,, 0) y D(, 0, ). a) [,5 puntos] Existe algún valor de k para el que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes? b) [,5 puntos] Calcula los valores de k para que los puntos A, B, C y D forman un tetraedro de volumen. a) Para que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes el determinante de dichos vectores ha de ser nulo. Hallemos las coordenadas de dichos vectores: AB = (k+-(-), 0-k, -3) = (k+, -k, -) BC = (-(k+),-0,0-) = (-k,, -) CD = (-,0-,-0) = (, -, ) El determinante de los tres vectores es: k + - k - AB, BC, CD = - k - = [(k+)+k-k]-[-+4(k+)+k ] = k+4-6-4k-k = -k -k- - Anulando dichos determinantes obtenemos la ecuación: -k -k- = 0 k - ± 4-8 +k+ = 0 k =, es decir sin solución real. Por lo tanto no hay ningún valor de k, para el que los vectores AB, BC y CD sean linealmente dependientes. b) El volumen de un tetraedro es 6 del valor absoluto del producto mixto de los vectores que forman sus aristas ( AB, AC y AD ). Los vectores son: AB = (k+-(-), 0-k, -3) = (k+, -k, -) AC = (-(-),-k,0-3) = (, -k, -3) AD = (-(-),0-k,-3) = (3, -k, -) k + k V = [ AB, AC, AD] = k 3 = [(k+)(-k)+9k+k]-[-3(-k)+3k(k+)+4k] = -k -k k Obteniendo que 6 -k -k- = con dos posibles ecuaciones: -k -k- = 6 k - ± 4-3 +k+8 = 0 k =, es decir sin solución real. -k -k- = -6 k - ± k-4 = 0 k = = - ± 5 Por lo tanto los puntos A, B, C y D formen un tetraedro de volumen si k = - 5 ó k =

14 3x y = Dados el plano π de ecuación x+y-z = 0 y la recta r de ecuaciones x + y 4z = - 3 a) [0,75 puntos] Halla el punto de intersección del plano π y la recta r. b) [,75 puntos] Halla el punto simétrico del punto Q(,-, 3) respecto del plano π. a) Para hallar el punto de intersección del plano π x+y-z = 0 y la recta r ponemos ésta en forma vectorial tomando x como parámetro λ: 3λ y = 5 - y = 5-3λ λ + y 4z = - 3 y 4z = λ y = λ 4z = λ - y z= 4λ + 8 = λ+ 4 Luego obtenemos: (x, y, z) = (λ,-5+3λ,λ+) Que sustituimos en el plano π: λ+.(-5+3λ)-(λ+) = 0 6λ = λ = Que sustituyendo en la ecuación vectorial de la recta da el punto de intersección P: P = (x, y, z) = (,-5+3.,+) = (,, 4) b) Para hallar el punto simétrico del punto Q(,-,3) respecto del plano π calculamos la recta s perpendicular al plano π (siendo el vector director de la recta u el vector normal del plano n ), que pasa por el punto Q. La recta s viene determinada por el punto Q(,-,3) y tiene como vector director u = n = (,,-), siendo su ecuación vectorial: s (x, y, z) = (+λ, -+λ, 3-λ) A continuación calculamos el punto M intersección de la recta s con el plano π. Para ello sustituimos el punto genérico de la recta en el plano: (+λ) + (-+λ) 4(3-λ) = 0 6λ = 6 λ = El punto intermedio M es: M=(+(), -+(), 3-()) M= (, 0, ) Dicho punto intermedio M es el punto medio del segmento QQ, siendo Q el punto simétrico buscado. Que cumple que: + x - + y 3 + z (, 0, ) =,, Obtenemos: + x = 4 = +x x = y 0 = 0 = -+y y =. 3 + z = 4 = 3+z z = El punto simétrico es Q =(3,, ). 4

15 Opción B.- Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A = y B = -. Halla: a) [0,5 puntos] A 3. b) [0,5 puntos] A -. c) [0,5 puntos] -A. d) [0,5 puntos] A.B t, siendo B t la matriz traspuesta de B. e) [0,5 puntos] El rango de B. a) Utilizando reiteradamente la propiedad de que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, AB = A B : A 3 = A.A.A = A. A. A = = 8 b) Utilizando que el determinante de la matriz inversa es igual al inverso de la matriz A - = / A : A - = = = A / c) Utilizando que el determinante del producto de una matriz por un número es igual al producto de la potencia del número de orden n por el determinante de la matriz dada k.a = k n. A : -A = (-) 3. A = -8. = -4. d) Utilizando las propiedades de que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, AB = A B y que el determinante de una matriz es igual que el determinante de su traspuesta: A.B t = A. B t = A B = (-) = -. e) Como el rango es el número de filas linealmente independientes y B = - 0, tenemos que rg(b) = 3..- Dada la matriz A = a) [0,5 puntos] Demuestra que se verifica la igualdad A 3 = -I, siendo I la matriz identidad de orden 3. b) [,5 puntos] Justifica que A es invertible y halla su inversa. c) [0,75 puntos] Calcula razonadamente A 00. a) Demuestra que se verifica la igualdad A 3 = -I, siendo I la matriz identidad de orden 3: A = A.A = = A 3 = A.A = = 0 0 = -I Como queríamos demostrar. b) Para justifica que A es invertible, al ser una matriz cuadrada, basta demostrar que su determinante es no nulo: A = 4 5 = (0+5+)-(6+0+) = 7-9 = - 0, luego A es invertible

16 El valor de la inversa es: t A - = Adj(A ) A Obtenemos la matriz traspuesta: 0 A t = La matriz de los adjuntos de la traspuesta será: 0 Adj(A t ) = Luego la inversa de A es: 0 0 A - = 4 4 = c) Para calcular razonadamente A 00 utilizamos la igualdad del apartado (a): A 00 = A 99.A = (A 3 ) 33.A = (-I) 33.A = -I.A = (-).I.A = -A = 4 5 = Considera los puntos A(, 0, ) y B(,,- ). x - y a) [,5 puntos] Halla un punto C de la recta de ecuación = = z que verifica que el triangulo de 3 vértices A, B y C tiene un ángulo recto en B. b) [,5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y D, donde D es el punto de corte del plano de ecuación x -y + 3z = 6 con el eje OX. a) Como el punto C pertenece a la recta r, expresamos dicha recta en ecuaciones vectoriales (x,y,z) =( + 3λ, λ, λ), por lo tanto el punto genérico de r es C= ( + 3λ, λ, λ). Como según el enunciado el triángulo es rectángulo en B, los vectores BA y BC son perpendiculares y su producto escalar es nulo: BA. BC = 0 (0, -, 3).(3λ, λ-, λ+) = 0-4λ+4+3λ+3 = - λ+7 = 0 λ = 7 El punto pedido es C=( + 3(7), (7), (7)) C=(, 4, 7) b) En el punto D se cortan los planos x-y+3z = 6 y y = 0 z = 0 (que determinan OX), de donde obtenemos: x - y + 3z = 6 y = 0 x = 6 x = 3 z = 0 El punto pedido es D = (3,0,0). Para calcular el triángulo determinado por los vértices A(,0,), B(,,-) y D(3,0,0) debemos determinar: i j k i j k A = [ ABxAD] = = 0-3 = ( 4, 6, 4) = = 68 u

17 4.- [,5 puntos] Considera los planos π, π y π 3 dados respectivamente por las ecuaciones 3x-y+z-4 = 0; x- y+z- = 0 y x+z-4 = 0. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,, -), es paralela al plano π y corta a la recta intersección de los planos π y π 3. Para hallar la recta vamos a determinar la formada por el punto P y el punto Q intersección de los planos recta π y π 3 con el plano π paralelo a π que contiene a la recta. A continuación de terminamos el punto Q intersección de los tres planos dados. Finalmente la recta pedida pasa por el punto P y tiene como vector director u PQ tal como se muestra en la figura adjunta. Cualquier plano paralelo a π tiene como ecuación 3x-y+z+K=0 (su vector normal ha de ser n =(3,-,)). Si lo obligamos a que pase pasa por P(3,,-) obtenemos: (-)+K=0 7+k = 0 k = -7 Por lo tanto el plano π es 3x-y+z-7=0. Para obtener el punto Q, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de los planos π, π y π 3 : 3x - y + z - 7 = 0 x - y + z -= 0 x + z - 4 = 0 En la 3ª ecuación despejamos z = 4-x y las sustituimos en las dos anteriores: 3x - y x - 7 = 0 x - y x - = 0 Obtenemos un sistema de ecuaciones e incógnitas x e y. Despejando en la obtenemos y. x - y = 3 x - y = y = - 3 y = Sustituyendo el valor de ésta en la primera obtenemos x: x - = 3 x = x = Y sustituido dicho valor en z obtenemos: z = 4 = Luego el punto es Q =,, La recta pedida pasa por el punto P(3,,-) y su vector director es paralelo a PQ = 3,, =,, luego tomamos como vector director u = ( -3,,) La recta buscada en forma paramétrica es: x = 3-3λ y = + λ, λ R. z = - + λ 7