Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Sistemas de Ecuaciones Lineales"

Transcripción

1 Tema 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales 4.1 Definiciones Básicas Comenzaremos con una serie de definiciones y conceptos generales acerca de los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.): Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m relaciones lineales entre n incógnitas x 1, x 2,, x n, es decir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m donde los elementos a ij, con i = 1, m y j = 1,, n, reciben el nombre de coeficientes del S.E.L. y b i el de términos independientes del S.E.L.. Tanto los coeficientes como los términos independientes son en principio escalares pertenecientes a un cuerpo determinado. En esta asignatura nos restringiremos al caso en el que tanto unos como otros son números reales (y por tanto, las incógnitas serán también números reales, en este caso desconocidos en principio). Definición: Una solución del S.E.L. es toda colección de números reales: α 1, α 2,..., α n tal que al ser sustituidos en el sistema: x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n, lo reducen a m identidades. Diferentes formas de presentar un S.E.L. Matricialmente: El S.E.L. antes escrito puede expresarse como una única ecuación 41

2 42 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES matricial: A X = B. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n } a m1 a m2 {{ a mn } A x 1 x 2 x n } {{ } X = b 1 b 2 b m } {{ } B A X = B La matriz A recibe el nombre de matriz de coeficientes del sistema. Es habitual también definir la matriz ampliada del sistema como la matriz Ā o A, de m filas y n + 1 columnas, siguiente: a 11 a 12 a 1n b 1 A a 21 a 22 a 2n b 2 = (A B) = a m1 a m2 a mn b m Vectorialmente: El sistema puede también expresarse en forma de combinación lineal de vectores de R m (los vectores columna de A), de la forma: a 11 a 21 x 1 + a 12 a 22 x a 1n a 2n x n = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn b m es decir: x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b donde lógicamente c i es el vector columna de posición i de la matriz A y b es el vector de R m cuyas componentes son los términos independientes del sistema. De esta manera, las soluciones del sistema son simplemente las colecciones de parámetros que lleven a que el vector b sea igual a una combinación lineal de los vectores columna: c 1,..., c m. Finalmente un sistema de ecuaciones lineales puede ser visto también como una aplicación lineal f : R n R m cuya matriz asociada sea la matriz de coeficientes A en las bases canónicas de R n y R m respectivamente, más un vector b R m. Una solución del sistema será entonces un vector (x 1, x 2,, x n ) R n tal que f(x 1, x 2,, x n ) = b = (b 1, b 2,, b m ). Podríamos decir entonces que las soluciones del sistema son los vectores x tales que: x = f 1 ( b). Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si posee alguna solución. Dentro de los sistemas compatibles, podemos distinguir: 1. Sistema de ecuaciones lineales compatible determinado: Se trata del caso en el que existe una única solución (x 1,..., x n ) del sistema.

3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado: Se trata de los sistemas que poseen más de una solución. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible si no tiene soluciones. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos, es decir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0.. = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 En caso contrario se dice que el sistema es no-homogéneo. 4.2 Propiedades básicas de los S.E.L. Proposición: Un S.E.L. homogéneo siempre admite la solución: x 1 = x 2 = = x n = 0, que recibe habitualmente el nombre de solución trivial. Por lo tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Proposición: El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo forma un subespacio vectorial del especio R n. Por esta razón, si un sistema homogéneo es compatible indeterminado, admitirá necesariamente infinitas soluciones. Si es compatible determinado, obviamente admitirá sólo la solución trivial. Esta proposición se convierte en obvia si interpretamos el sistema como una aplicación lineal f : R n R m, con f( x) = 0. Las soluciones son entonces el núcleo de f, Ker f, es decir un subespacio vectorial de R n. Proposición: Si α = (α 1,, α n ) es una solución de un S.E.L. no homogéneo, A X = B, entonces cualquier vector de la forma α+ β, siendo β una solución del sistema homogéneo asociado: A X = 0, también será solución del sistema A X = B. Además, es fácil demostrar que si α y γ son dos soluciones del S.E.L.: A X = B, entonces α γ es una solución del sistema homogéneo asociado. Ambos resultados nos llevan a concluir que si se conoce una solución concreta de un sistema A X = B, entonces todas y cada una de las soluciones del sistema se obtienen sumando a dicha solución las soluciones del sistema homogéneo asociado. En particular, queda demostrado que un sistema compatible indeterminado posee necesariamente infinitas soluciones. Proposición: Si α = (α 1,, α n ) es una solución de un S.E.L. no homogéneo A X = B 1 y β = (β 1,, β n ) es una solución del S.E.L. no homogéneo A X = B 2 entonces α + β es solución del S.E.L.: A X = B 1 + B 2.

4 44 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.3 Sistemas Equivalentes Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales S 1 y S 2 son equivalentes si admiten exactamente las mismas soluciones. Se trata obviamente de una relación de equivalencia, escribiremos así: S 1 S Transformaciones Elementales Se llaman transformaciones elementales en un sistema de ecuaciones lineales a cualquiera de las siguientes: 1. F ij : Intercambiar el orden de dos ecuaciones en el sistema. 2. F i (λ): Multiplicar la ecuación i-ésima por el escalar λ. 3. F ij (λ): Sumar a la ecuación i-ésima la fila j-ésima multiplicada por λ. Evidentemente, si escribimos la matriz ampliada de un S.E.L.: A = (A B), tendremos que realizar transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales se corresponde con realizar las mismas transformaciones por filas en la matriz A. Proposición: Si un sistema de ecuaciones lineales S A X = B se obtiene a partir de otro S AX = B, por medio de un número finito de transformaciones elementales (o alternativamente sus matrices ampliadas son equivalentes por filas), entonces S y S son equivalentes: S S. La recíproca de la proposición anterior también es cierta si matizamos que dos sistemas pueden ser equivalentes y sus matrices tener diferente tamaño (siempre pueden añadirse un número adecuado de ecuaciones nulas a uno de ellos, para que sus matrices ampliadas respectivas sean realmente equivalentes por filas). 4.4 Teorema de Rouché-Frobenius Teorema de Rouché Frobenius. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales, S A X = B, sea compatible es que el rango de la matriz de coeficientes A sea igual al rango de la matriz ampliada A = (A B). Además el sistema es compatible determinado si y sólo si rang A = rang A = número de incógnitas n del sistema, mientras que el sistema es compatible indeterminado si y sólo si rang A = rang A < n. Demostración: Es posible demostrar de una manera bastante simple el Teorema si utilizamos la presentación vectorial del mismo: x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b

5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 donde c i representa al vector columna i-ésimo de A, y b es el vector columna de términos independientes. Llamaremos: S c = { c 1,..., c n } y S c = { c 1,..., c n, b}, a los sistemas de vectores columna de A y A respectivamente. Tendremos entonces: Si el sistema es compatible, entonces, y sólo entonces, existe solución, es decir, existen: x 1,..., x n, tales que se verifica: x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b y por tanto: b es combinación lineal de los vectores de S c, b L(S c ), pero entonces, y sólo entonces, el sistema de vectores S c y el S c son equivalentes, es decir: L(S c ) = L(S c ). Pero L(S c ) = L(S c ) rango(s c )=rango (S c ), es decir el rango por columnas de A y el de A coinciden. Teniendo en cuenta el Teorema del Rango, la primera de las afirmaciones del Teorema queda demostrada (y además en ambos sentidos). Para demostrar la segunda de las afirmaciones, basta con matizar ligeramente la demostración anterior: Si el sistema es compatible determinado, entonces la solución es única, pero tal y como se demostró en el tema 1 de la asignatura: si un vector b L(S c ) se escribe como combinación lineal de los vectores de S c de forma única, entonces, y sólo entonces, el sistema S c es libre. Una vez añadido este comentario, el resto de la demostración es idéntica y conduce a que los rangos no sólo coinciden, además valen exactamente n. La negación de todos los pasos demuestra que un sistema es compatible indeterminado si los rangos toman un valor menor que n. Q.E.D. Alternativamente se podría haber demostrado el Teorema utilizando la presentación de un sistema de ecuaciones como una aplicación lineal más un vector b del espacio final. Desde este punto de vista un sistema es compatible si b Im(f). El sistema es además compatible determinado si Ker (f) = { 0} (o equivalentemente, si f es inyectiva). 4.5 Métodos de resolución De manera general existen dos tipos de métodos para resolver los S.E.L., los métodos directos y los métodos iterativos. Nos restrigiremos en esta asignatura a los primeros, de los cuales el más representativo es el método de Gauss. Antes de comenzar a exponer los diferentes métodos que trataremos, conviene, no obstante, realizar algunas consideraciones previas: Supongamos que partimos de un sistema compatible determinado de m ecuaciones y n incógnitas. Dado que el rango de A y de A es n, necesariamente m n, y considerando el rango por filas de A, es obvio que m n ecuaciones del sistema son combinación lineal de las restantes, por lo que en definitiva resulta que S es equivalente a un sistema cuadrado, es decir de n ecuaciones con n incógnitas. Tomemos así A cuadrada y de rango n, es evidentemente invertible, por lo que es posible expresar la solución de manera directa: AX = B X = A 1 B

6 46 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para el caso de sistemas compatibles indeterminados: rango (A)= rango (A ) = r < n. Se llama entonces grado de indeterminación a la diferencia: n r. La primera consideración que hacemos ahora, de manera análoga a lo expuesto anteriormente, es que el sistema posee únicamente r ecuaciones que no son combinación lineal de las demás. Nos quedamos por tanto con r ecuaciones independientes (llamamos Ā y Ā a las matrices de este nuevo sistema S) y nos centramos, además, en un menor de orden r de Ā que sea no nulo. Supongamos por simplicidad que dicho menor es el determinado por las r primeras columnas de Ā, tendremos así que el sistema puede re-escribirse de la forma: à X = B siendo à la submatriz de Ā dada por las r primeras columnas, evidentemente: det à 0. X son las r primeras incógnitas en forma matricial: x 1,..., x r, y finalmente: B es la matriz columna que se obtiene restando a B los términos del sistema S que afectan a las incógnitas: x r+1,..., x n. Los razonamientos anteriores pueden sintetizarse en la siguiente afirmación: Si S es un sistema compatible indeterminado con grado de indeterminación n r, entonces S puede re-escribirse como un sistema S compatible determinado de r ecuaciones con r incógnitas y tal que los términos independientes de S son función de n r de las incógnitas originales, que actúan ahora como parámetros. Desde este punto de vista, los sistemas compatibles pueden ser tratados de forma única, sin distinguir entre los compatibles determinados y los indeterminados. La solución en cualquier caso es: X = à 1 B Método de Gauss El Método de Gauss es el más simple de los métodos directos de resolución de S.E.L., fue inventado por Carl Friedrich Gauss en la primera década del siglo XIX, aunque ya aparece descrito en Los nueve capítulos del Arte Matemático, un tratado chino escrito por diversos autores desde el siglo X A.E.C. hasta el siglo II A.E.C. El método consiste en utilizar transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales (o equivalentemente sobre su matriz ampliada) hasta transformarlo en uno que sea escalonado (y por tanto su matriz escalonada por filas). Este proceso convierte en casi-trivial la última ecuación, con lo que se resuelve y se sustituye en las anteriores, que se van resolviendo progresivamente hasta terminar con la primera de ellas. Para el caso de sistemas compatibles determinados, tras realizar la eliminación gaus-

7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47 siana, el sistema quedará reducido a: x 1 + m 12 x m 1 n 1 x n 1 + m 1n x n = c 1 x m 2 n 1 x n 1 + m 2n x n = c 2 x n 1 + m n 1 n x n = c n 1 x n = c n Una vez conseguida esta forma para el S.E.L. se concluye el proceso comenzando a resolver esas ecuaciones desde la m-ésima, sustituyendo la solución en la m 1-ésima, y así sucesivamente: x n = c n, x n 1 = c n 1 m n 1 n c n,... De manera general: n x i = c i m ij c j j=i+1 Finalmente comentaremos que es posible realizar una estimación del número aproximado de operaciones que es necesario realizar para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Considerando las sumas y productos a realizar en el proceso, se obtiene un valor aproximado, para un S.E.L. de n ecuaciones y n incógnitas de: Número de Operaciones en el método de Gauss Sumas Productos Total 1 6 n(n 1)(2n + 5) 1 3 n(n 1)(n + 1) 1 6n(n 1)(4n + 7) Así, para un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, tendremos aproximadamente 90 operaciones (sumas y productos) a realizar. Para n = 10 el número aumenta hasta alrededor de 700, con n = 20 unas 5500 operaciones, etc. Para n = 100 la cantidad de operaciones es realmente grande, Problemas de Redondeo. Pivotación Parcial y Pivotación Total En la sección anterior se ha planteado el Método de Gauss sin tener en consideración los posibles problemas de redondeo que la resolución efectiva de un sistema puede acarrear. De manera general, los errores de redondeo y su propagación pueden resultar catastróficos en la resolución de un sistema, existen varias técnicas para minimizar dicho efecto, si bien estudiaremos en esta asignatura simplemente las conocidas como métodos de Pivotación Parcial y Total. Comenzaremos con un ejemplo representativo de la situación comentada.

8 48 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo: Resolveremos el sistema de dos ecuaciones lineales siguiente: } y = 1 x + y = 2 La resolución es trivial, y se obtiene que el sistema es compatible determinado, siendo su solución: x = 1, y = 1 Consideremos una pequeña modificación del sistema: x + y = 1 x + y = 2 } y resolveremos por el Método de Gauss: ( ) A = ( ) ( ) y = y = Evidentemente en la expresión anterior se ha redondeado la solución, de manera exacta el resultado sería: y = = Tomando como correcta la aproximación y 1., tendremos finalmente, para la x: x + 1. = 1 x = 0. De esta forma, tras una modificación muy leve en los coeficientes del sistema, hemos encontrado (aparentemente) un cambio muy sustancial en las soluciones del sistema. Es muy fácil darse cuenta de que algo no va bien, puesto que si sustituimos las soluciones obtenidas en las ecuaciones originales (antes de comenzar la eliminación gaussiana) es obvio que la segunda ecuación se convierte en 1. = 2!! Probaremos ahora a resolver el mismo sistema simplemente intercambiando el orden de las dos ecuaciones: A ( ) ( ( ) y = y = (el resultado exacto es el mismo que en la resolución anterior). Sin embargo: x + 1. = 2 x = 1. La solución obtenida: x = 1., y = 1., verifica las ecuaciones y además se corresponde con lo esperado, dado que el sistema no era más que una pequeña modificación del inicial, las soluciones simplemente modifican ligeramente las originales. )

9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 49 El ejemplo anterior da una idea aproximada de los problemas que pueden encontrarse con los redondeos en la resolución de un sistema de ecuaciones. En este caso la división por un número muy pequeño, 10 10, ha provocado un gran error en el resultado. Dicho problema ha sido resuelto simplemente eligiendo como pivote para la eliminación gaussiana el coeficiente de la incógnita x con mayor valor absoluto. El Método que hemos aplicado se conoce como Método de Pivotación Parcial, y consiste, como hemos dicho, en elegir, en cada paso de la elimiación gaussiana, el mayor de los pivotes posibles (mayor en valor absoluto, el signo no es relevante en este aspecto), permutando para ello las filas de la matriz ampliada del sistema. A veces se utiliza el Método de Pivotación Total, en el que simplemente se busca el mayor pivote posible en la matriz de coeficientes, intercambiando para ello filas o columnas, según sea necesario. Es necesario precisar que obviamente no es posible tomar como pivotes a los elementos de la columna de términos independientes de la matriz ampliada Método de Gauss-Jordan Se denomina Método de Gauss-Jordan a una variante del Método de Gauss, en la que simplemente, tras completar la eliminación gaussiana, se continúa con el proceso de remonte eliminando de abajo a arriba en la matriz de coeficientes, hasta convertir ésta en la identidad. El método por tanto no es más que el planteado en un tema anterior para obtener la matriz inversa, aplicado ahora a sistemas compatibles determinados. AX = B... IX = B X = B El número de operaciones a realizar mediante el Método de Gauss-Jordan es similar al requerido en el método de Gauss Regla de Cramer Suelen llamarse sistemas de Cramer a aquellos sistemas de n ecuaciones con n incognitas A X = B que sean compatibles determinados, es decir que la matriz A sea invertible (y así det A = A 0), y en consecuencia la solución viene dada por X = A 1 B. Para este tipo de sistemas, el Método o Regla de Cramer, establece que la solución viene dada por la expresión: x j = A j A donde A j es el determinante de la matriz que se obtiene al substituir la columna j-ésima de A por la columna de términos independientes B. La expresión anterior está basada en el cálculo de la matriz inversa utilizando la

10 50 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES matriz adjunta, se tiene así: de modo que X = A 1 B = 1 A (Adj A)t B = 1 A x 1 x 2 x n = 1 A n i=1 b ia i1 n i=1 b ia i2 n i=1 b ia in A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn = 1 A A 1 A 2 A n donde en la última igualdad se ha utilizado el desarrollo por adjuntos de un determinante respecto de una columna. De manera análoga a lo estimado para el Método de Gauss, es posible determinar aproximadamente el número de cálculos a realizar en la resolución de un sistema de n ecuaciones y n incógnitas por el método de Cramer, obteniéndose: Número de Operaciones en el método de Cramer Sumas Productos Total (n + 1)(n! 1) (n + 1) n n! + n (n + 1) 2 n! 1 De esta manera, para un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, el número aproximado de operaciones es de 4319, para n = 10 alrededor de 439 millones, con n = 20 se obtienen unas operaciones. Es evidente, a partir de los datos anteriores, que este método sólo tiene sentido si se pretenden resolver sistemas de 2 o 3 ecuaciones como mucho, no sólo por el número de operaciones involucradas, también por el enorme aumento de los errores de redondeo que se produce Factorización LU El Método de Factorización o Descomposición LU está basado en transformar la matriz A de un sistema compatible determinado: A X = B, de n ecuaciones con n incógnitas, en el producto de dos matrices: A = L U donde L es una matriz triangular inferior y U es triangular superior. La utilidad de este método, frente a por ejemplo el de Gauss, se pone de manifiesto cuando uno debe resolver varios sistemas de ecuaciones que poseen una misma matriz de coeficientes A: A X = B, A X = B, A X = B, etc., pues en dicha situación el cálculo de las matrices L y U es obviamente común para todos los sistemas. b 1 b 2 b n

11 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 51 Una vez obtenidas (si existen) las matrices L y U, la resolución del sistema se reduce a la de dos sistemas triangulares: L Z = B ; U X = Z Antes de analizar la existencia o no existencia de dicha descomposición, analicemos la situación para una matriz genérica (en principio), con n = 3, y busquemos una L y una U, de tal forma que los elementos diagonales de L sean unos: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = l l 31 l 32 1 u 11 u 12 u 13 0 u 22 u u 33 Desarrollando el producto anterior tendremos, para la primera fila: a 11 = u 11 ; a 12 = u 12 ; a 13 = u 13 es decir, la primera fila de U coincide con la primera de A. Si observamos ahora la primera columna del producto: a 21 = l 21 u 11 l 21 = a 21 a 11 ; a 31 = l 31 u 11 l 31 = a 31 a 11 y así l 21 y l 31 son calculables en términos de los coeficientes a ij siempre y cuando a Pasemos a la segunda fila: a 22 = l 21 u 12 + u 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 ; a 23 = l 21 u 13 + u 23 u 23 = a 23 l 31 u 13 y conocemos entonces la segunda fila de U como función de cantidades conocidas. Continuando con el razonamiento, para la segunda columna de L y posteriormente para la tercera de U, obtendremos todos los coeficientes de L y U con el único requisito de que a 11 y a 22 sean no nulos. La cuestión importante de cuándo una matriz admite una descomposición LU, y en caso de admitirla, cuándo ésta es única, queda aclarada en los siguientes resultados: Proposición 1: Si A es una matriz invertible y factorizable como producto LU (con L ii = 1, i), entonces esa factorización es única. Proposición 2: Una condición necesaria y suficiente para que una matriz invertible sea factorizable LU es que todos los menores principales de la matriz sean no nulos. Proposición 3: Si A es invertible, siempre es posible encontrar una matriz de permutación de filas P tal que P A sea factorizable LU. De esta última proposición se deduce que a la hora de aplicar el método LU es posible utilizar pivotación parcial. En lo que respecta a la eficiencia y rapidez de este método, el número de operaciones implicadas es de: 1 6 n(4n2 + 9n 7), lo que representa unas 115 para n = 5, 805 para n = 10 y alrededor de 5900 para n = 20.

12 52 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.6 Sistemas mal condicionados Algunos sistemas de ecuaciones lineales son extremadamente sensibles a los errores de redondeo que puedan producirse en el proceso de resolución. Ya hemos visto en las secciones anteriores algunos ejemplos, en particular los que podían arreglarse mediante el uso de técnicas de pivotación parcial o total. Sin embargo, en determinados casos ni siquiera el uso de esas técnicas consiguen llevar a una resolución precisa, se trata de los sistemas mal condicionados, cuyo estudio detallado requiere técnicas que no veremos en esta asignatura. Presentaremos por tanto simplemente las características generales, a nivel cualitativo. Algunos síntomas que caracterizan de manera general a los sistemas mal condicionados son los siguientes: Un pequeño cambio en los coeficientes del sistema produce cambios significativos en las soluciones. Los elementos diagonales de la matriz de coeficientes suelen ser menores (en valor absoluto) que los no diagonales (Recalcamos que no es una regla general, simplemente suele ocurrir). El cálculo del producto del deta por el deta 1 se desvía de manera significativa de la unidad. La inversa de la inversa de A es bastante diferente a la propia A. El cálculo de A A 1 difiere significativamente de la identidad. A 1 (A 1 ) 1 difiere de la identidad más de lo que lo hace A A 1. Como ya hemos dicho, en algunos casos el uso de técnicas como la pivotación parcial, o total, conduce a una resolución aceptable del sistema. En otros casos, cuando el mal condicionamiento es muy severo, la única opción que tenemos es aumentar la precisión de la computación (si esto es posible). Ejemplo 1: Matrices de Hilbert. Las matrices de Hilbert se definen de la forma: H n = (h ij ), h ij = 1 i + j 1 i, j = 1,..., n y constituyen un ejemplo de matrices mal condicionadas. Ver problema 10. Ejemplo 2: Consideremos la matriz siguiente: A =

13 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53 y construyamos con ella un sistema de ecuaciones de matriz asociada: Si utilizamos el Método de Gauss sin pivotación (y realizando las cálculos con una calculadora normal) obtendremos: de donde se deduce que Det A = Sin embargo, en una calculadora diferente (que calcula directamente los determinantes, el resultado obtenido fue: Det A = ). El sistema parece a todas luces compatible y determinado, utilizando la expresión escalonada que se ha obtenido, se deduce: z = ; y = ; x = Si se resuelve el sistema, también con calculadora, pero utilizando pivotación total, el determinante resulta ser: DetA = Tras completar la eliminación gaussiana con pivotación total, la matriz resulta (en variables y, x, z): que conduce a: z = ; x = ; y = Finalmente, utilizando la calculadora citada (que calcula determinantes y resuelve sistemas por el método de Cramer), la solución parece ser: x = ; y = ; z = Si se le pide a Mathematica (un potente programa de cálculo numérico y simbólico en ordenador) que resuelva el sistema, no proporciona ninguna solución, al solicitarle el cálculo del determinante se obtiene Det A = , y por tanto, algo extraño ocurre, puesto que identifica la matriz A como no singular (por lo que debería resolver el sistema). Si se le pide que calcule la inversa de A, entonces el programa detecta problemas y avisa del posible mal condicionamiento de A. A 1 =

14 54 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES De hecho, el determinante de A 1 es Det A 1 = y así: Det A Det A 1 = que es uno de los síntomas antes descrito. Si finalmente solicitamos a Mathematica que trabaje con precisión infinita, es decir, con aritmética exacta, definiendo para ello A de la siguiente manera: A = entonces Mathematica calcula el determinante de A como exactamente 0, y el sistema es incompatible. De hecho la tercera fila de A es exactamente veces la primera más veces la segunda. Es decir, el sistema es incompatible. Se trata de un caso de mal condicionamiento grave.

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 1: Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes Lección 1. Matrices. Sistemas de ecuaciones. Determinantes

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.

Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales

Fundamentos matemáticos. Tema 2 Matrices y ecuaciones lineales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 2 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

1.1. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS. son matrices escalonadas reducidas mientras que

1.1. CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS. son matrices escalonadas reducidas mientras que 1 1 PRELIMINARES 11 CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS Denición 1 Una matriz es escalonada si: 1 Todas las las nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz 2 El número de ceros al comienzo

Más detalles

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales

Conjuntos y matrices. Sistemas de ecuaciones lineales 1 Conjuntos y matrices Sistemas de ecuaciones lineales 11 Matrices Nuestro objetivo consiste en estudiar sistemas de ecuaciones del tipo: a 11 x 1 ++ a 1m x m = b 1 a n1 x 1 ++ a nm x m = b n Una solución

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales David Ariza-Ruiz 10 de octubre de 2012 1 Matrices Una matriz es una tabla numérica rectangular de m filas y n columnas dispuesta de la siguiente

Más detalles

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ignacio López Torres. Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio electrónico

Más detalles

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales.

Matrices, Determinantes y Sistemas Lineales. 12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión

Más detalles

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).

de la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ). INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Más detalles

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES

Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...

Más detalles

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN

11.SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN ÍNDICE 11SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 219 111 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LINEAL 219 112 DEFINICIÓN DE SISTEMA LINEAL Y CONJUNTO SOLUCIÓN 220 113 EQUIVALENCIA Y COMPATIBILIDAD 220 11 REPRESENTACIÓN MATRICIAL

Más detalles

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales. Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma: Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones

Más detalles

Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales. Tema 4: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Rango de una matriz Definición Sea A Mat n m (K) Se llama rango de filas de A, y se denota por rg f (A) la dimensión del subespacio vectorial generado por las

Más detalles

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11

1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11 Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices y determinantes.

Sistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices y determinantes. Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Matrices y determinantes 31 Sistemas de Ecuaciones Lineales El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación

Más detalles

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.

Definición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales CAPíTULO 6 Sistemas de ecuaciones lineales 1 Rango de una matriz a 11 a 1n Sea A = M m n (K) El rango por filas de la matriz A es la dimensión del a m1 a mn subespacio vectorial de K n generado por sus

Más detalles

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones Resumen 3: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales 1 Matrices Una matriz con coeficientes sobre un cuerpo K (normalmente K R) consiste en una colección de números (o escalares) del cuerpo

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........

Más detalles

Capítulo 2. Determinantes Introducción. Definiciones

Capítulo 2. Determinantes Introducción. Definiciones Capítulo 2 Determinantes 2.1. Introducción. Definiciones Si nos centramos en la resolución de un sistema A x = b con A una matriz n n, podemos calcular A 1 y la resolución es inmendiata. El problema es

Más detalles

Sea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares).

Sea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares). Capítulo 6 Espacios Vectoriales 6.1 Definiciones Sea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares). Definición 6.1.1 Se dice que

Más detalles

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. CONCEPTOS GENERALES Sistemas de ecuaciones lineales MTEMÁTICS II 1 1 SISTEMS DE ECUCIONES LINELES. CONCEPTOS GENERLES Definición: Se llama ecuación lineal con n incógnitas x 1, x 2, x 3,., x n a toda ecuación que puede escribirse

Más detalles

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales

Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,

Más detalles

Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales

Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingenieria Métodos Numérico Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 37 CONTENIDO

Más detalles

Prácticas de Matemáticas II: Álgebra lineal

Prácticas de Matemáticas II: Álgebra lineal Prácticas de Matemáticas II: Álgebra lineal Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Prácticas de Matemáticas II: Álgebra lineal

Más detalles

Sistema de Ecuaciones Lineales

Sistema de Ecuaciones Lineales Pantoja Carhuavilca Métodos Computacionales Agenda Ejemplos Ejemplos Aplicaciones de los Sistemas La solución de sistemas lineales de ecuaciones lineales es un tema clásico de las matemáticas, rico en

Más detalles

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012

Matrices 3. Matrices. Verónica Briceño V. agosto 2012 3 agosto 2012 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Matriz Inversa Determinante En esta Presentación... En esta Presentación

Más detalles

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Capítulo 4 Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN DE MATRIZ DE NÚMEROS REALES Una matriz de números reales de tamaño m n es un conjunto ordenado por filas y columnas de números

Más detalles

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan).

Procedimiento para encontrar la inversa de una matriz cuadrada (Método de Gauss-Jordan). Ejemplo 19: Demuestre que la matriz A es invertible y escríbala como un producto de matrices elementales. Solución: Para resolver el problema, se reduce A a I y se registran las operaciones elementales

Más detalles

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Método de igualación. Método de reducción. Método de sustitución Método de eliminación Gaussiana.

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONCEPTO Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un sistema de la forma: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n b 2.........................

Más detalles

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes.

Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Primero vamos a estudiar algunas propiedades de los determinantes. Una forma fácil de recordar esta suma (regla de Sarrus): Ejemplos: Tarea: realizar al menos tres ejercicios de cálculo de determinantes de matrices de 2x2 y otros tres de 3x3. PARA DETERMINANTES DE MATRICES

Más detalles

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE

3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE 3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método

Más detalles

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES Definición Una matriz real de orden m n es una tabla ordenada de m n números reales a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn en la cual las líneas horizontales

Más detalles

Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, U.P.M. Álgebra Lineal. 1 TEMA 1.1: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, U.P.M. Álgebra Lineal. 1 TEMA 1.1: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal TEMA : MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición de cuerpo conmutativo Definición Un Cuerpo Conmutativo es un

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Tema 1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Definiciones Sea K un cuerpo Una ECUACIÓN LINEAL CON COEFICIENTES EN K es una expresión del tipo a 1 x 1 + + a n x n = b, en la que n es un número natural y a

Más detalles

TEMA 8. Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Gauss. 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades

TEMA 8. Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Gauss. 1. Sistemas de ecuaciones lineales. Generalidades TEMA 8 F MATEMÁTICOS TEMA 8 Sistemas de Ecuaciones Lineales: Método de Gauss 1 Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Uno de los problemas centrales del álgebra lineal es la resolución de ecuaciones

Más detalles

Tema 3: Espacios vectoriales

Tema 3: Espacios vectoriales Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Índice: 1.Introducción--------------------------------------------------------------------------------------- 2 2. Ecuaciones lineales------------------------------------------------------------------------------

Más detalles

1 Sistemas de ecuaciones lineales.

1 Sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sea S el siguiente sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas: 9 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 >=

Más detalles

Matrices y Determinantes

Matrices y Determinantes Tema 2 Matrices y Determinantes 21 Introducción Presentaremos en este tema las matrices y los determinantes, centrándonos en particualar en el caso de matrices constituidas por números reales 22 Matrices

Más detalles

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ).

MATRICES. Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden x (que se lee por ). 1 MATRICES 1 Una matriz es una disposición rectangular de números (Reales); la forma general de una matriz con filas y columnas es Se simboliza tal matriz por y se le llamará una matriz x o matriz de orden

Más detalles

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES

MATEMÁTICAS II: MATRICES Y DETERMINANTES MATRICES Llamaremos matriz de números reales de orden (o dimensión) m n a un conjunto ordenado de m n números reales, dispuestos en m filas y n columnas: A a 11 a 12 a 13 a 1j a 1n a 21 a 22 a 23 a 2j

Más detalles

Rango de una matriz. Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden m n: A M m n.

Rango de una matriz. Antes de nada daremos algunas definiciones. Para ello supongamos que tenemos una matriz de orden m n: A M m n. En un artículo anterior dijimos que el rango de una matriz A, ra), es el número de filas que son linealmente independientes. También se hizo uso del método de Gauss para calcular el rango de una matriz:

Más detalles

Sistemas lineales de ecuaciones

Sistemas lineales de ecuaciones Sistemas lineales de ecuaciones Conceptos previos a) Sistemas de ecuaciones lineales. b) Solución de un sistema. c) Sistemas triangulares. Resolución de sistemas Métodos directos a) Método de eliminación

Más detalles

1 ÁLGEBRA DE MATRICES

1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible

Más detalles

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

MATRICES. Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente. 1 MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos horizontales

Más detalles

Capítulo V. Valores y vectores propios. Diagonalización de operadores lineales.

Capítulo V. Valores y vectores propios. Diagonalización de operadores lineales. Capítulo V Valores y vectores propios. Diagonalización de operadores lineales. Hemos visto que la aplicaciones lineales de en están definidas a través de una expresión de la forma ; pero esta fórmula puede

Más detalles

TEMA 1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES TEMA 1 MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Índice 1.1. Matrices............................ 1 1.1.1. Operaciones con matrices............. 3 1.1.2. Determinantes.................... 4 1.1.3. El

Más detalles

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

MATRICES. TIPOS DE MATRICES Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en: Repaso de Matrices MATRICES Una matriz es una tabla ordenada de escalares a ij de la forma La matriz anterior se denota también por (a ij ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a ij ). Los términos

Más detalles

BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*)

BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) BLOQUE 2. ÁLGEBRA LINEAL. MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (*) Matrices. Determinantes. Rango. Sistemas de ecuaciones lineales. El Álgebra Lineal es una parte de la Matemática de frecuente aplicación

Más detalles

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales.

Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales. TEORÍA DE ÁLGEBRA: Tema 5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 5: Sistemas de ecuaciones lineales 1 Definiciones generales Definición 11 Una ecuación lineal con n incognitas es una expresión del tipo a 1

Más detalles

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales

Matrices y determinantes. Sistemas de ecuaciones lineales Tema 0 Matrices y determinantes Sistemas de ecuaciones lineales 01 Introducción Definición 011 Se llama matriz a un conjunto ordenado de números, dispuestos en filas y columnas, formando un rectángulo

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Autovalores y autovectores.

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Autovalores y autovectores. Tema 5 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales Autovalores y autovectores 5 Introducción Una matriz es una disposición ordenada de elementos de la forma: a a a m a a a m a n a n a nm Sus filas son las

Más detalles

2. Sistemas de ecuaciones lineales.

2. Sistemas de ecuaciones lineales. 2. Sistemas de ecuaciones lineales. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Otoño 2002 Contents 1 Introducción 2 2 Operaciones elementales

Más detalles

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.

TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma:

SISTEMAS DE ECUACIONES. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x 1, x 2,, x n es un conjunto de m igualdades de la forma: TEMA Sistemas de ecuaciones SISTEMAS DE ECUACIONES. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades de la forma: a a an n b a

Más detalles

Francisco José Vera López

Francisco José Vera López Álgebra y Matemática Discreta Matrices. Sistemas de ecuaciones. Francisco José Vera López Dpto. de Matemática Aplicada Facultad de Informática 2015 1 Matrices 2 Sistemas de Ecuaciones Matrices Una matriz

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x

Más detalles

Matrices y sistemas lineales

Matrices y sistemas lineales 15 Matemáticas I : Preliminares Tema 2 Matrices y sistemas lineales 2.1 Definiciones básicas Una matriz es una tabla rectangular de números, es decir, una distribución ordenada de números. Los números

Más detalles

Elementos de Cálculo Numérico

Elementos de Cálculo Numérico Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - Depto. de Matemática Elementos de Cálculo Numérico Primer cuatrimestre 2006 Práctica N 2: Condicionamiento de una matriz. Descomposición

Más detalles

3- Sistemas de Ecuaciones Lineales

3- Sistemas de Ecuaciones Lineales Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales

Más detalles

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales

Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos

Más detalles

Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =..

Instituto Tecnológico Autónomo de México. 1. At =.. Instituto Tecnológico Autónomo de México TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ DEFINICION : Transpuesta Sea A = (a ij ) una matriz de mxn Entonces la transpuesta de A, que se escribe A t, es la matriz de nxm obtenida

Más detalles

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Tema 2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 21 Métodos directos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales 211 Resolución de sistemas triangulares Definición 211 Una matriz A se dice triangular

Más detalles

Matemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales

Matemáticas Empresariales II. Sistemas de Ecuaciones lineales Matemáticas Empresariales II Lección 4 Sistemas de Ecuaciones lineales Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 34 Sistema de ecuaciones lineales

Más detalles

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados.

Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS GRADO EN MATEMÁTICAS. CURSO 215/216 Tema 2: Teorema de estructura de los grupos abelianos finitamente generados. 1.1. Grupo abeliano libre. Bases. Definición 1.1. El grupo Z n con

Más detalles

Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius

Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius c Jana Rodriguez Hertz p. 1/2 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método

Más detalles

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL 520142 ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Primer Semestre, Universidad de Concepción CAPITULO 7. MATRICES DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Matriz Sean

Más detalles

TEMA 1. Álgebra matricial y programación lineal

TEMA 1. Álgebra matricial y programación lineal TEMA 1 Álgebra matricial y programación lineal Muchos problemas en las matemáticas y sus aplicaciones conducen a sistemas de ecuaciones lineales, del tipo: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1

Más detalles

Curso cero Matemáticas en informática : Sistemas de ecuaciones lineales

Curso cero Matemáticas en informática : Sistemas de ecuaciones lineales lineales -Jordan Curso cero Matemáticas en informática : de ecuaciones lineales Septiembre 2005 lineales -Jordan lineales -Jordan Se llama ecuación lineal con n incógnitas a a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + +

Más detalles

Profesor Francisco R. Villatoro 13 de Diciembre de 1999 SOLUCIONES. 1. Una matriz A de n n es diagonalmente dominante (estrictamente) por filas si

Profesor Francisco R. Villatoro 13 de Diciembre de 1999 SOLUCIONES. 1. Una matriz A de n n es diagonalmente dominante (estrictamente) por filas si Cuarta relación de problemas Técnicas Numéricas Profesor Francisco R. Villatoro 13 de Diciembre de 1999 SOLUCIONES 1. Una matriz A de n n es diagonalmente dominante estrictamente por filas si a ii > a

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2

ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 ÁLGEBRA LINEAL I NOTAS DE CLASE UNIDAD 2 Abstract Estas notas conciernen al álgebra de matrices y serán actualizadas conforme el material se cubre Las notas no son substituto de la clase pues solo contienen

Más detalles

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS I MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS I MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS I MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Dadas las siguientes matrices Efectúe si es posible : a) A + B b) B A c) B 2.- Dadas las siguientes matrices Efectúe

Más detalles

TEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II

TEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II TEM 4: Sistemas de ecuaciones lineales II ) Teorema de Rouché-Frobenius. ) Sistemas de Cramer: regla de Cramer. 3) Sistemas homogeneos. 4) Eliminación de parámetros. 5) Métodos de factorización. 5) Métodos

Más detalles

Matrices y determinantes

Matrices y determinantes Matrices y determinantes Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra de gran utilidad en muchas disciplinas. Los campos de aplicación de la teoría de las matrices y de los determinantes

Más detalles

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices.

Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. Tema 2 Aplicaciones Lineales. Diagonalización de matrices. 2.1. Definiciones y propiedades Nota 2.1.1. En este tema trabajaremos con los Espacios Vectoriales R n y R m definidos sobre el cuerpo R. Definición

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss

Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss Sistemas de ecuaciones lineales. El método de Gauss En los artículos anteriores se ha hablado de ecuaciones lineales de primer grado con dos incógnitas y de ecuaciones lineales de primer grado con tres

Más detalles

MATRICES DETERMINANTES

MATRICES DETERMINANTES MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de

Más detalles

Independencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin

Independencia Lineal y Generación. (c) 2012 Leandro Marin 09.00 Independencia Lineal y Generación 3 48700 9000 (c) 0 Leandro Marin . Independencia Lineal Dada una familia de vectores v, v,, v k de un espacio vectorial V, llamaremos combinación lineal de estos

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 Sistemas de ecuaciones y matrices Definición 1 Una ecuación lineal en las variables x 1, x 2,..., x n es una ecuación de la forma con a 1, a 2... y b números reales. a

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES Universidad de Granada Máster de Profesorado U. D. SISTEMAS DE ECUACIONES Director del trabajo : D. Antonio López Megías SISTEMAS DE ECUACIONES Pilar FERNÁNDEZ CARDENETE Granada,

Más detalles

Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008.

Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 5y λz = λ +1 [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1

Más detalles

Sistemas lineales de ecuaciones

Sistemas lineales de ecuaciones Tema 1 Sistemas lineales de ecuaciones 11 Matrices Una matriz es un conjunto de números colocados en una determinada disposición, ordenados en filas y columnas Las líneas horizontales de una matriz se

Más detalles

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES 3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:

Más detalles

Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión

Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión 1/26 Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión Ramón Esteban y Antonio Pastor Índice 1 Álgebra 3 Sistemas de ecuaciones lineales................ 3 Métodos conocidos...................

Más detalles

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades

Más detalles

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010.

Algebra Lineal * Working draft: México, D.F., a 17 de noviembre de 2010. Algebra Lineal * José de Jesús Ángel Ángel jjaa@mathcommx Working draft: México, DF, a 17 de noviembre de 2010 Un resumen de los principales temas tratados en un curso de Álgebra Lineal Contenido 1 Sistemas

Más detalles

Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales Matemática II Tema 3: resolución de sistemas de ecuaciones lineales 2012 2013 Índice Sistemas de ecuaciones lineales 1 Interpretación geométrica y definición 1 Método de eliminación 4 Resolución de sistemas

Más detalles

a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x i x j + a ij + a ji x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2

a ij x i x j = [x] t B A+At ) t = At +(A t ) t = At +A x i x j + a ij + a ji x j x i = s ij x i x j + s ji x j x i 2 68 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 7 Formas cuadráticas Aunque, pueda parecernos que vamos a estudiar un nuevo concepto, un caso particular de las formas cudráticas ya ha sido estudiado, pues el cuadrado

Más detalles

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico.

Tema 1: Matrices. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. Tema 1: Matrices El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico. 1. Terminología Comenzamos con la definición de matriz

Más detalles

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA Índice Presentación... 3 Método de la matriz inversa... 4 Observaciones... 5 Ejemplo I.I... 6 Ejemplo I.II... 7 Ejemplo II... 8 Sistemas compatibles indeterminados... 9 Método

Más detalles

Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss

Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss página 1/6 Teoría Tema 4 Notación matricial en la resolución de sistemas de ecuaciones por Gauss Índice de contenido Matriz del sistema y matriz ampliada...2 Método de Gauss...3 Solución única, ausencia

Más detalles

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices

Contenido. 2 Operatoria con matrices. 3 Determinantes. 4 Matrices elementales. 1 Definición y tipos de matrices elementales Diciembre 2010 Contenido Definición y tipos de matrices elementales 1 Definición y tipos de matrices 2 3 4 elementales 5 elementales Definición 1.1 (Matriz) Una matriz de m filas y n columnas

Más detalles