Sistemas de Ecuaciones Lineales
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- José Luis Jiménez Zúñiga
- hace 5 años
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1 Tema 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales 4.1 Definiciones Básicas Comenzaremos con una serie de definiciones y conceptos generales acerca de los sistemas de ecuaciones lineales (S.E.L.): Definición: Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas es un conjunto de m relaciones lineales entre n incógnitas x 1, x 2,, x n, es decir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m donde los elementos a ij, con i = 1, m y j = 1,, n, reciben el nombre de coeficientes del S.E.L. y b i el de términos independientes del S.E.L.. Tanto los coeficientes como los términos independientes son en principio escalares pertenecientes a un cuerpo determinado. En esta asignatura nos restringiremos al caso en el que tanto unos como otros son números reales (y por tanto, las incógnitas serán también números reales, en este caso desconocidos en principio). Definición: Una solución del S.E.L. es toda colección de números reales: α 1, α 2,..., α n tal que al ser sustituidos en el sistema: x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n, lo reducen a m identidades. Diferentes formas de presentar un S.E.L. Matricialmente: El S.E.L. antes escrito puede expresarse como una única ecuación 41
2 42 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES matricial: A X = B. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n } a m1 a m2 {{ a mn } A x 1 x 2 x n } {{ } X = b 1 b 2 b m } {{ } B A X = B La matriz A recibe el nombre de matriz de coeficientes del sistema. Es habitual también definir la matriz ampliada del sistema como la matriz Ā o A, de m filas y n + 1 columnas, siguiente: a 11 a 12 a 1n b 1 A a 21 a 22 a 2n b 2 = (A B) = a m1 a m2 a mn b m Vectorialmente: El sistema puede también expresarse en forma de combinación lineal de vectores de R m (los vectores columna de A), de la forma: a 11 a 21 x 1 + a 12 a 22 x a 1n a 2n x n = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn b m es decir: x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b donde lógicamente c i es el vector columna de posición i de la matriz A y b es el vector de R m cuyas componentes son los términos independientes del sistema. De esta manera, las soluciones del sistema son simplemente las colecciones de parámetros que lleven a que el vector b sea igual a una combinación lineal de los vectores columna: c 1,..., c m. Finalmente un sistema de ecuaciones lineales puede ser visto también como una aplicación lineal f : R n R m cuya matriz asociada sea la matriz de coeficientes A en las bases canónicas de R n y R m respectivamente, más un vector b R m. Una solución del sistema será entonces un vector (x 1, x 2,, x n ) R n tal que f(x 1, x 2,, x n ) = b = (b 1, b 2,, b m ). Podríamos decir entonces que las soluciones del sistema son los vectores x tales que: x = f 1 ( b). Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si posee alguna solución. Dentro de los sistemas compatibles, podemos distinguir: 1. Sistema de ecuaciones lineales compatible determinado: Se trata del caso en el que existe una única solución (x 1,..., x n ) del sistema.
3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado: Se trata de los sistemas que poseen más de una solución. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es incompatible si no tiene soluciones. Definición. Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si todos sus términos independientes son nulos, es decir: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = 0.. = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = 0 En caso contrario se dice que el sistema es no-homogéneo. 4.2 Propiedades básicas de los S.E.L. Proposición: Un S.E.L. homogéneo siempre admite la solución: x 1 = x 2 = = x n = 0, que recibe habitualmente el nombre de solución trivial. Por lo tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles. Proposición: El conjunto de soluciones de un sistema homogéneo forma un subespacio vectorial del especio R n. Por esta razón, si un sistema homogéneo es compatible indeterminado, admitirá necesariamente infinitas soluciones. Si es compatible determinado, obviamente admitirá sólo la solución trivial. Esta proposición se convierte en obvia si interpretamos el sistema como una aplicación lineal f : R n R m, con f( x) = 0. Las soluciones son entonces el núcleo de f, Ker f, es decir un subespacio vectorial de R n. Proposición: Si α = (α 1,, α n ) es una solución de un S.E.L. no homogéneo, A X = B, entonces cualquier vector de la forma α+ β, siendo β una solución del sistema homogéneo asociado: A X = 0, también será solución del sistema A X = B. Además, es fácil demostrar que si α y γ son dos soluciones del S.E.L.: A X = B, entonces α γ es una solución del sistema homogéneo asociado. Ambos resultados nos llevan a concluir que si se conoce una solución concreta de un sistema A X = B, entonces todas y cada una de las soluciones del sistema se obtienen sumando a dicha solución las soluciones del sistema homogéneo asociado. En particular, queda demostrado que un sistema compatible indeterminado posee necesariamente infinitas soluciones. Proposición: Si α = (α 1,, α n ) es una solución de un S.E.L. no homogéneo A X = B 1 y β = (β 1,, β n ) es una solución del S.E.L. no homogéneo A X = B 2 entonces α + β es solución del S.E.L.: A X = B 1 + B 2.
4 44 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.3 Sistemas Equivalentes Definición: Dos sistemas de ecuaciones lineales S 1 y S 2 son equivalentes si admiten exactamente las mismas soluciones. Se trata obviamente de una relación de equivalencia, escribiremos así: S 1 S Transformaciones Elementales Se llaman transformaciones elementales en un sistema de ecuaciones lineales a cualquiera de las siguientes: 1. F ij : Intercambiar el orden de dos ecuaciones en el sistema. 2. F i (λ): Multiplicar la ecuación i-ésima por el escalar λ. 3. F ij (λ): Sumar a la ecuación i-ésima la fila j-ésima multiplicada por λ. Evidentemente, si escribimos la matriz ampliada de un S.E.L.: A = (A B), tendremos que realizar transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales se corresponde con realizar las mismas transformaciones por filas en la matriz A. Proposición: Si un sistema de ecuaciones lineales S A X = B se obtiene a partir de otro S AX = B, por medio de un número finito de transformaciones elementales (o alternativamente sus matrices ampliadas son equivalentes por filas), entonces S y S son equivalentes: S S. La recíproca de la proposición anterior también es cierta si matizamos que dos sistemas pueden ser equivalentes y sus matrices tener diferente tamaño (siempre pueden añadirse un número adecuado de ecuaciones nulas a uno de ellos, para que sus matrices ampliadas respectivas sean realmente equivalentes por filas). 4.4 Teorema de Rouché-Frobenius Teorema de Rouché Frobenius. La condición necesaria y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales, S A X = B, sea compatible es que el rango de la matriz de coeficientes A sea igual al rango de la matriz ampliada A = (A B). Además el sistema es compatible determinado si y sólo si rang A = rang A = número de incógnitas n del sistema, mientras que el sistema es compatible indeterminado si y sólo si rang A = rang A < n. Demostración: Es posible demostrar de una manera bastante simple el Teorema si utilizamos la presentación vectorial del mismo: x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b
5 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 45 donde c i representa al vector columna i-ésimo de A, y b es el vector columna de términos independientes. Llamaremos: S c = { c 1,..., c n } y S c = { c 1,..., c n, b}, a los sistemas de vectores columna de A y A respectivamente. Tendremos entonces: Si el sistema es compatible, entonces, y sólo entonces, existe solución, es decir, existen: x 1,..., x n, tales que se verifica: x 1 c 1 + x 2 c x n c n = b y por tanto: b es combinación lineal de los vectores de S c, b L(S c ), pero entonces, y sólo entonces, el sistema de vectores S c y el S c son equivalentes, es decir: L(S c ) = L(S c ). Pero L(S c ) = L(S c ) rango(s c )=rango (S c ), es decir el rango por columnas de A y el de A coinciden. Teniendo en cuenta el Teorema del Rango, la primera de las afirmaciones del Teorema queda demostrada (y además en ambos sentidos). Para demostrar la segunda de las afirmaciones, basta con matizar ligeramente la demostración anterior: Si el sistema es compatible determinado, entonces la solución es única, pero tal y como se demostró en el tema 1 de la asignatura: si un vector b L(S c ) se escribe como combinación lineal de los vectores de S c de forma única, entonces, y sólo entonces, el sistema S c es libre. Una vez añadido este comentario, el resto de la demostración es idéntica y conduce a que los rangos no sólo coinciden, además valen exactamente n. La negación de todos los pasos demuestra que un sistema es compatible indeterminado si los rangos toman un valor menor que n. Q.E.D. Alternativamente se podría haber demostrado el Teorema utilizando la presentación de un sistema de ecuaciones como una aplicación lineal más un vector b del espacio final. Desde este punto de vista un sistema es compatible si b Im(f). El sistema es además compatible determinado si Ker (f) = { 0} (o equivalentemente, si f es inyectiva). 4.5 Métodos de resolución De manera general existen dos tipos de métodos para resolver los S.E.L., los métodos directos y los métodos iterativos. Nos restrigiremos en esta asignatura a los primeros, de los cuales el más representativo es el método de Gauss. Antes de comenzar a exponer los diferentes métodos que trataremos, conviene, no obstante, realizar algunas consideraciones previas: Supongamos que partimos de un sistema compatible determinado de m ecuaciones y n incógnitas. Dado que el rango de A y de A es n, necesariamente m n, y considerando el rango por filas de A, es obvio que m n ecuaciones del sistema son combinación lineal de las restantes, por lo que en definitiva resulta que S es equivalente a un sistema cuadrado, es decir de n ecuaciones con n incógnitas. Tomemos así A cuadrada y de rango n, es evidentemente invertible, por lo que es posible expresar la solución de manera directa: AX = B X = A 1 B
6 46 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Para el caso de sistemas compatibles indeterminados: rango (A)= rango (A ) = r < n. Se llama entonces grado de indeterminación a la diferencia: n r. La primera consideración que hacemos ahora, de manera análoga a lo expuesto anteriormente, es que el sistema posee únicamente r ecuaciones que no son combinación lineal de las demás. Nos quedamos por tanto con r ecuaciones independientes (llamamos Ā y Ā a las matrices de este nuevo sistema S) y nos centramos, además, en un menor de orden r de Ā que sea no nulo. Supongamos por simplicidad que dicho menor es el determinado por las r primeras columnas de Ā, tendremos así que el sistema puede re-escribirse de la forma: à X = B siendo à la submatriz de Ā dada por las r primeras columnas, evidentemente: det à 0. X son las r primeras incógnitas en forma matricial: x 1,..., x r, y finalmente: B es la matriz columna que se obtiene restando a B los términos del sistema S que afectan a las incógnitas: x r+1,..., x n. Los razonamientos anteriores pueden sintetizarse en la siguiente afirmación: Si S es un sistema compatible indeterminado con grado de indeterminación n r, entonces S puede re-escribirse como un sistema S compatible determinado de r ecuaciones con r incógnitas y tal que los términos independientes de S son función de n r de las incógnitas originales, que actúan ahora como parámetros. Desde este punto de vista, los sistemas compatibles pueden ser tratados de forma única, sin distinguir entre los compatibles determinados y los indeterminados. La solución en cualquier caso es: X = à 1 B Método de Gauss El Método de Gauss es el más simple de los métodos directos de resolución de S.E.L., fue inventado por Carl Friedrich Gauss en la primera década del siglo XIX, aunque ya aparece descrito en Los nueve capítulos del Arte Matemático, un tratado chino escrito por diversos autores desde el siglo X A.E.C. hasta el siglo II A.E.C. El método consiste en utilizar transformaciones elementales en el sistema de ecuaciones lineales (o equivalentemente sobre su matriz ampliada) hasta transformarlo en uno que sea escalonado (y por tanto su matriz escalonada por filas). Este proceso convierte en casi-trivial la última ecuación, con lo que se resuelve y se sustituye en las anteriores, que se van resolviendo progresivamente hasta terminar con la primera de ellas. Para el caso de sistemas compatibles determinados, tras realizar la eliminación gaus-
7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 47 siana, el sistema quedará reducido a: x 1 + m 12 x m 1 n 1 x n 1 + m 1n x n = c 1 x m 2 n 1 x n 1 + m 2n x n = c 2 x n 1 + m n 1 n x n = c n 1 x n = c n Una vez conseguida esta forma para el S.E.L. se concluye el proceso comenzando a resolver esas ecuaciones desde la m-ésima, sustituyendo la solución en la m 1-ésima, y así sucesivamente: x n = c n, x n 1 = c n 1 m n 1 n c n,... De manera general: n x i = c i m ij c j j=i+1 Finalmente comentaremos que es posible realizar una estimación del número aproximado de operaciones que es necesario realizar para resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Considerando las sumas y productos a realizar en el proceso, se obtiene un valor aproximado, para un S.E.L. de n ecuaciones y n incógnitas de: Número de Operaciones en el método de Gauss Sumas Productos Total 1 6 n(n 1)(2n + 5) 1 3 n(n 1)(n + 1) 1 6n(n 1)(4n + 7) Así, para un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, tendremos aproximadamente 90 operaciones (sumas y productos) a realizar. Para n = 10 el número aumenta hasta alrededor de 700, con n = 20 unas 5500 operaciones, etc. Para n = 100 la cantidad de operaciones es realmente grande, Problemas de Redondeo. Pivotación Parcial y Pivotación Total En la sección anterior se ha planteado el Método de Gauss sin tener en consideración los posibles problemas de redondeo que la resolución efectiva de un sistema puede acarrear. De manera general, los errores de redondeo y su propagación pueden resultar catastróficos en la resolución de un sistema, existen varias técnicas para minimizar dicho efecto, si bien estudiaremos en esta asignatura simplemente las conocidas como métodos de Pivotación Parcial y Total. Comenzaremos con un ejemplo representativo de la situación comentada.
8 48 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ejemplo: Resolveremos el sistema de dos ecuaciones lineales siguiente: } y = 1 x + y = 2 La resolución es trivial, y se obtiene que el sistema es compatible determinado, siendo su solución: x = 1, y = 1 Consideremos una pequeña modificación del sistema: x + y = 1 x + y = 2 } y resolveremos por el Método de Gauss: ( ) A = ( ) ( ) y = y = Evidentemente en la expresión anterior se ha redondeado la solución, de manera exacta el resultado sería: y = = Tomando como correcta la aproximación y 1., tendremos finalmente, para la x: x + 1. = 1 x = 0. De esta forma, tras una modificación muy leve en los coeficientes del sistema, hemos encontrado (aparentemente) un cambio muy sustancial en las soluciones del sistema. Es muy fácil darse cuenta de que algo no va bien, puesto que si sustituimos las soluciones obtenidas en las ecuaciones originales (antes de comenzar la eliminación gaussiana) es obvio que la segunda ecuación se convierte en 1. = 2!! Probaremos ahora a resolver el mismo sistema simplemente intercambiando el orden de las dos ecuaciones: A ( ) ( ( ) y = y = (el resultado exacto es el mismo que en la resolución anterior). Sin embargo: x + 1. = 2 x = 1. La solución obtenida: x = 1., y = 1., verifica las ecuaciones y además se corresponde con lo esperado, dado que el sistema no era más que una pequeña modificación del inicial, las soluciones simplemente modifican ligeramente las originales. )
9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 49 El ejemplo anterior da una idea aproximada de los problemas que pueden encontrarse con los redondeos en la resolución de un sistema de ecuaciones. En este caso la división por un número muy pequeño, 10 10, ha provocado un gran error en el resultado. Dicho problema ha sido resuelto simplemente eligiendo como pivote para la eliminación gaussiana el coeficiente de la incógnita x con mayor valor absoluto. El Método que hemos aplicado se conoce como Método de Pivotación Parcial, y consiste, como hemos dicho, en elegir, en cada paso de la elimiación gaussiana, el mayor de los pivotes posibles (mayor en valor absoluto, el signo no es relevante en este aspecto), permutando para ello las filas de la matriz ampliada del sistema. A veces se utiliza el Método de Pivotación Total, en el que simplemente se busca el mayor pivote posible en la matriz de coeficientes, intercambiando para ello filas o columnas, según sea necesario. Es necesario precisar que obviamente no es posible tomar como pivotes a los elementos de la columna de términos independientes de la matriz ampliada Método de Gauss-Jordan Se denomina Método de Gauss-Jordan a una variante del Método de Gauss, en la que simplemente, tras completar la eliminación gaussiana, se continúa con el proceso de remonte eliminando de abajo a arriba en la matriz de coeficientes, hasta convertir ésta en la identidad. El método por tanto no es más que el planteado en un tema anterior para obtener la matriz inversa, aplicado ahora a sistemas compatibles determinados. AX = B... IX = B X = B El número de operaciones a realizar mediante el Método de Gauss-Jordan es similar al requerido en el método de Gauss Regla de Cramer Suelen llamarse sistemas de Cramer a aquellos sistemas de n ecuaciones con n incognitas A X = B que sean compatibles determinados, es decir que la matriz A sea invertible (y así det A = A 0), y en consecuencia la solución viene dada por X = A 1 B. Para este tipo de sistemas, el Método o Regla de Cramer, establece que la solución viene dada por la expresión: x j = A j A donde A j es el determinante de la matriz que se obtiene al substituir la columna j-ésima de A por la columna de términos independientes B. La expresión anterior está basada en el cálculo de la matriz inversa utilizando la
10 50 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES matriz adjunta, se tiene así: de modo que X = A 1 B = 1 A (Adj A)t B = 1 A x 1 x 2 x n = 1 A n i=1 b ia i1 n i=1 b ia i2 n i=1 b ia in A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2 A 1n A 2n A nn = 1 A A 1 A 2 A n donde en la última igualdad se ha utilizado el desarrollo por adjuntos de un determinante respecto de una columna. De manera análoga a lo estimado para el Método de Gauss, es posible determinar aproximadamente el número de cálculos a realizar en la resolución de un sistema de n ecuaciones y n incógnitas por el método de Cramer, obteniéndose: Número de Operaciones en el método de Cramer Sumas Productos Total (n + 1)(n! 1) (n + 1) n n! + n (n + 1) 2 n! 1 De esta manera, para un sistema de 5 ecuaciones y 5 incógnitas, el número aproximado de operaciones es de 4319, para n = 10 alrededor de 439 millones, con n = 20 se obtienen unas operaciones. Es evidente, a partir de los datos anteriores, que este método sólo tiene sentido si se pretenden resolver sistemas de 2 o 3 ecuaciones como mucho, no sólo por el número de operaciones involucradas, también por el enorme aumento de los errores de redondeo que se produce Factorización LU El Método de Factorización o Descomposición LU está basado en transformar la matriz A de un sistema compatible determinado: A X = B, de n ecuaciones con n incógnitas, en el producto de dos matrices: A = L U donde L es una matriz triangular inferior y U es triangular superior. La utilidad de este método, frente a por ejemplo el de Gauss, se pone de manifiesto cuando uno debe resolver varios sistemas de ecuaciones que poseen una misma matriz de coeficientes A: A X = B, A X = B, A X = B, etc., pues en dicha situación el cálculo de las matrices L y U es obviamente común para todos los sistemas. b 1 b 2 b n
11 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 51 Una vez obtenidas (si existen) las matrices L y U, la resolución del sistema se reduce a la de dos sistemas triangulares: L Z = B ; U X = Z Antes de analizar la existencia o no existencia de dicha descomposición, analicemos la situación para una matriz genérica (en principio), con n = 3, y busquemos una L y una U, de tal forma que los elementos diagonales de L sean unos: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = l l 31 l 32 1 u 11 u 12 u 13 0 u 22 u u 33 Desarrollando el producto anterior tendremos, para la primera fila: a 11 = u 11 ; a 12 = u 12 ; a 13 = u 13 es decir, la primera fila de U coincide con la primera de A. Si observamos ahora la primera columna del producto: a 21 = l 21 u 11 l 21 = a 21 a 11 ; a 31 = l 31 u 11 l 31 = a 31 a 11 y así l 21 y l 31 son calculables en términos de los coeficientes a ij siempre y cuando a Pasemos a la segunda fila: a 22 = l 21 u 12 + u 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 ; a 23 = l 21 u 13 + u 23 u 23 = a 23 l 31 u 13 y conocemos entonces la segunda fila de U como función de cantidades conocidas. Continuando con el razonamiento, para la segunda columna de L y posteriormente para la tercera de U, obtendremos todos los coeficientes de L y U con el único requisito de que a 11 y a 22 sean no nulos. La cuestión importante de cuándo una matriz admite una descomposición LU, y en caso de admitirla, cuándo ésta es única, queda aclarada en los siguientes resultados: Proposición 1: Si A es una matriz invertible y factorizable como producto LU (con L ii = 1, i), entonces esa factorización es única. Proposición 2: Una condición necesaria y suficiente para que una matriz invertible sea factorizable LU es que todos los menores principales de la matriz sean no nulos. Proposición 3: Si A es invertible, siempre es posible encontrar una matriz de permutación de filas P tal que P A sea factorizable LU. De esta última proposición se deduce que a la hora de aplicar el método LU es posible utilizar pivotación parcial. En lo que respecta a la eficiencia y rapidez de este método, el número de operaciones implicadas es de: 1 6 n(4n2 + 9n 7), lo que representa unas 115 para n = 5, 805 para n = 10 y alrededor de 5900 para n = 20.
12 52 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.6 Sistemas mal condicionados Algunos sistemas de ecuaciones lineales son extremadamente sensibles a los errores de redondeo que puedan producirse en el proceso de resolución. Ya hemos visto en las secciones anteriores algunos ejemplos, en particular los que podían arreglarse mediante el uso de técnicas de pivotación parcial o total. Sin embargo, en determinados casos ni siquiera el uso de esas técnicas consiguen llevar a una resolución precisa, se trata de los sistemas mal condicionados, cuyo estudio detallado requiere técnicas que no veremos en esta asignatura. Presentaremos por tanto simplemente las características generales, a nivel cualitativo. Algunos síntomas que caracterizan de manera general a los sistemas mal condicionados son los siguientes: Un pequeño cambio en los coeficientes del sistema produce cambios significativos en las soluciones. Los elementos diagonales de la matriz de coeficientes suelen ser menores (en valor absoluto) que los no diagonales (Recalcamos que no es una regla general, simplemente suele ocurrir). El cálculo del producto del deta por el deta 1 se desvía de manera significativa de la unidad. La inversa de la inversa de A es bastante diferente a la propia A. El cálculo de A A 1 difiere significativamente de la identidad. A 1 (A 1 ) 1 difiere de la identidad más de lo que lo hace A A 1. Como ya hemos dicho, en algunos casos el uso de técnicas como la pivotación parcial, o total, conduce a una resolución aceptable del sistema. En otros casos, cuando el mal condicionamiento es muy severo, la única opción que tenemos es aumentar la precisión de la computación (si esto es posible). Ejemplo 1: Matrices de Hilbert. Las matrices de Hilbert se definen de la forma: H n = (h ij ), h ij = 1 i + j 1 i, j = 1,..., n y constituyen un ejemplo de matrices mal condicionadas. Ver problema 10. Ejemplo 2: Consideremos la matriz siguiente: A =
13 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 53 y construyamos con ella un sistema de ecuaciones de matriz asociada: Si utilizamos el Método de Gauss sin pivotación (y realizando las cálculos con una calculadora normal) obtendremos: de donde se deduce que Det A = Sin embargo, en una calculadora diferente (que calcula directamente los determinantes, el resultado obtenido fue: Det A = ). El sistema parece a todas luces compatible y determinado, utilizando la expresión escalonada que se ha obtenido, se deduce: z = ; y = ; x = Si se resuelve el sistema, también con calculadora, pero utilizando pivotación total, el determinante resulta ser: DetA = Tras completar la eliminación gaussiana con pivotación total, la matriz resulta (en variables y, x, z): que conduce a: z = ; x = ; y = Finalmente, utilizando la calculadora citada (que calcula determinantes y resuelve sistemas por el método de Cramer), la solución parece ser: x = ; y = ; z = Si se le pide a Mathematica (un potente programa de cálculo numérico y simbólico en ordenador) que resuelva el sistema, no proporciona ninguna solución, al solicitarle el cálculo del determinante se obtiene Det A = , y por tanto, algo extraño ocurre, puesto que identifica la matriz A como no singular (por lo que debería resolver el sistema). Si se le pide que calcule la inversa de A, entonces el programa detecta problemas y avisa del posible mal condicionamiento de A. A 1 =
14 54 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES De hecho, el determinante de A 1 es Det A 1 = y así: Det A Det A 1 = que es uno de los síntomas antes descrito. Si finalmente solicitamos a Mathematica que trabaje con precisión infinita, es decir, con aritmética exacta, definiendo para ello A de la siguiente manera: A = entonces Mathematica calcula el determinante de A como exactamente 0, y el sistema es incompatible. De hecho la tercera fila de A es exactamente veces la primera más veces la segunda. Es decir, el sistema es incompatible. Se trata de un caso de mal condicionamiento grave.
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