Ley de crecimiento de una mancha de aceite.

Transcripción

1 Ley de crecimiento de una mancha de aceite. María Florencia Filadoro Alikhanoff Resumen Se realizaron mediciones del diámetro de una mancha de petróleo para determinar la tasa de crecimiento de la misma. Los datos obtenidos fueron representados gráficamente utilizando diferentes escalas para lograr obtener una función matemática que los represente. Luego se intentó reproducir lo que sucede en la realidad con el petróleo mediante un experimento: se arrojaron gotas de aceite sobre un recipiente con agua y se procedió de igual forma midiendo el diámetro de la mancha obtenida y obteniendo asimismo, una ley de crecimiento. De los resultados obtenidos, se intentó derivar conclusiones acerca de la correlación entre ambos hechos y del modelo de crecimiento de la mancha de petróleo y aceite. Introducción Muchas veces hemos visto que se producen derrames de petróleo en el mar. Ya sea por la ruptura de algún oleoducto o algún barco que se rompe o pierde petróleo en el mar, este hecho constituye un verdadero problema ecológico. Además, cuanto más tiempo se tarde en solucionarlo más daño causará. Al ser liberado, el petróleo flota en forma de una mancha generalmente únicadebido a que la densidad de este elemento es inferior a la del agua. Contar con información a cerca de la velocidad de crecimiento de la mancha, de su evolución, resulta de suma importancia ya que permite saber cuanto tiempo se tiene para solucionar y terminar de conocer el problema. Una forma viable de obtención de una ley de crecimiento de la mancha de petróleo parte de la obtención de una muestra del tamaño de la mancha a medida que se derrama el petróleo. Como primer proyecto del presente experimento, intentamos obtener una ley de crecimiento de una mancha de petróleo; tomamos una muestra del diámetro de la mancha durante seis días. Para ello supusimos que la cantidad de petróleo que derrama el oleoducto es constante y así poder representar la evolución de la mancha a través de los días. A partir de la gráfica de nuestros datos intentamos obtener una ley de Ley de crecimiento de una mancha de aceite M.F. Filadoro

2 crecimiento. Debido a la irregularidad de los bordes de la mancha de petróleo, hemos establecido un margen de error al diámetro medido de la mancha. El segundo proyecto, tiene como objetivo reproducir lo que ocurre en la realidad. En un plato hondo con agua, fuimos vertiendo gotas de aceite y midiendo el diámetro de la mancha que se formaba. A partir de estos datos, intentamos también obtener una ley de crecimiento de la mancha de aceite. En ambos casos hemos supuesto que la totalidad del aceite se sitúa por encima del agua. Pero esto no es cierto: la mancha también ocupa un lugar por debajo del agua; tiene volumen (existe una especie de capita que prevalece bajo el agua). Teniendo en cuenta esto y a partir de las leyes encontradas en los experimentos anteriores, modelamos un crecimiento no solo del área de la mancha sino en toda su extensión: incluimos su volumen. Proyecto I: Crecimiento de una mancha de petróleo en el mar usando fotografías aereas Método Experimental Para la elaboración del experimento, lo primero que hicimos fue medir el diámetro de la mancha de petróleo en la fotografía. Debido a los límites irregulares de la mancha, consideramos importante establecer un margen de error para cada uno de los datos de nuestra muestra. El diámetro establecido para cada uno de los días es el resultado del promedio de dos mediciones del diámetro, a las que luego agregamos un error al que llamamos d que representa: di = (diámetro mayor- diámetro menor ) /2 para todo i: 1-6 días (1) Como la mancha de aceite no siempre es un circulo perfecto, sino más bien irregular, graficamos los datos juntos con su margen de error y representamos en escalas lineales y logarítmicas el diámetro de la mancha en función del tiempo para intentar aproximar una ley de crecimiento de la mancha de petróleo. Resultados Fig. 1.1: Representación del diámetro de la mancha de petróleo junto el margen preestablecido de error a lo largo de cada día, determinados según se indica por la ec.(1). La escala es lineal. La línea de tendencia responde a una función potencial. Ley de crecimiento de una mancha de aceite M.F. Filadoro

3 x 0,5561. Las incertidumbres que surgen del experimento producto, especialmente de los Universidad de San Andrés Al graficar distintas funciones sobre los datos obtenidos, vimos que la función potencial es la que mejor se aproxima a la muestra. El valor de R² nos sirvió como parámetro para tasar la bondad del ajuste para representar los datos conseguidos. Para reafirmar nuestra suposición de que la función potencial anterior ajusta bien a los datos, es útil cambiar de paradigma. Para ello, linealizamos la función obteniendo el siguiente gráfico: Fig. 1.2: Representación del diámetro de la mancha de petróleo junto con el margen de error preestablecido a lo largo de los días. Escala bilogaritmica o log-log. Como podemos observar la representación del gráfico anterior en escala bilogaritmica (log-log) efectivamente resulta en una recta que ajusta los datos. La aplicación de este tipo de escala implica que hemos linealizado la función anterior y obtenido los resultados esperados. Discusión A partir de los gráficos anteriores, pudimos establecer una ley de crecimiento para la mancha de petróleo que responde a una función potencial de la forma: y= contornos irregulares de la figura fueron consideradas al establecer los márgenes de error también graficados. Podemos ver que la línea de tendencia se mueve dentro de estos márgenes. Proyecto II: Ley de crecimiento de una mancha de aceite-ensayo experimental Método experimental En un recipiente hondo (plato hondo) con agua fuimos añadiendo gotas de aceite y midiendo el diámetro de la mancha que se formaba mediante una regla. Comenzamos midiendo el diámetro de la mancha cada una gota vertida, pero debido a que cada gota no aumentaba considerablemente (para el ojo humano) el tamaño de la misma, decidimos medir el diámetro cada 3 gotas, luego cada 5 y por último cada siete. Ley de crecimiento de una mancha de aceite M.F. Filadoro

4 A diferencia de una mancha real de petróleo, en el actual experimento se simplifica la medición del diámetro de la mancha ya que esta resulta circular, sin limites irregulares. Sin embargo, este experimento posee algunas incertidumbres también. Una de las incertidumbres está asociada al instrumento de medición: el uso de la regla y nuestra visión podía conducir a distintas mediciones a pesar de usar talco para develar mejor el área de la mancha. A esto se le suma la distancia de por lo menos de 3 cm entre la mancha y la regla. Por otra parte, las gotas no cayeron todas en el mismo lugar ni desde exactamente la misma altura; esto podría influenciar en el tamaño de la mancha. Otro factor a considerar es la densidad del aceite ya que esto puede producir que la mancha no sólo crezca a lo largo sino también en ancho por debajo de la superficie del agua. Por ello, es conveniente establecer un margen de error para las mediciones que, en nuestro caso, hemos estimado este valor en aproximadamente 0,2 cm. Por ultimo, representamos en un gráfico los datos obtenidos en escalas lineales y logarítmicas para intentar determinar una ley de crecimiento de la mancha de aceite en función del tiempo. Resultados Crecimiento de una mancha de aceite diámetro [cm] 4,5 4 y = 0,715x 0,3872 3,5 R 2 = 0, ,5 2 1,5 1 0, número de gotas Fig. 2.1 Crecimiento de la mancha de aceite en escala lineal. La línea de tendencia corresponde a una función potencial. Ley de crecimiento de una mancha de aceite M.F. Filadoro

5 El gráfico representa como fue creciendo el diámetro de la mancha de aceite a medida que incorporábamos gotas. Los datos graficados corresponden a los obtenidos en el experimento más un margen de error de 0,2 cm establecidos arbitrariamente para justificar las incertidumbres del experimento. 10 Crecimiento de una mancha de aceite diámetro [cm] 1 y = 0,715x 0,3872 R 2 = 0,9945 0, número de gotas Fig. 2.2 Crecimiento de la mancha de aceite en escala bilogaritmica. Este segundo gráfico de los mismos datos que las fig2.1 reafirma nuestra suposición de que la función que mejor se aproxima a los datos es la función potencial y=0,715x 0,3972 ya que luego de aplicar una escala bilogaritmica el gráfico de la función resulto en una recta. Discusión A partir de las figuras (2.1) y (2.2) pudimos obtener una ley de crecimiento para la mancha de aceite, que resulto una función exponencial de la forma D=0,715x 0,3972 =a N b. Si el total del volumen derramado de aceite se esparcía sobre la superficie del agua formando un cilindro, podríamos obtener una relación entre el área de la mancha y su espesor y el volumen vertido. Para simplificar lo reemplazaremos por el número de gotas, suponiendo que en cada gota el volumen de aceite es el mismo, o sea: por lo tanto: esto es: V = N v = A d = an 0. d (2) V N v0 d = = b 2 A π 4( an ) (3) Ley de crecimiento de una mancha de aceite M.F. Filadoro

6 Entonces, D= d N ½ d = V A v = π a 4 0 (1 2b ) N 2 V d = = K N (5) A Aquí: A: área de la mancha, N: numero de gotas En nuestro experimento observamos que el superindice al que esta elevado N no es ½, sino b= 0, Si el espesor siempre fuese constante, b=0.5. En realidad, la densidad del aceite provoca que parte de las gotas de aceite vertidas hagan que la mancha crezca en espesor y no solo en diámetro. (4) Conclusión Del análisis de los resultados del experimento obtuvimos una ley de crecimiento para la mancha de petróleo de la forma D=a.N b, que es de la forma de una función potencial. Podemos concluir que la mancha de aceite crecerá a medida que pasen los días. Mediante el segundo experimento pudimos observar que ocurre con el crecimiento de una mancha de aceite, intentando replicar lo que ocurre en la realidad. La ley de crecimiento también responde a una función potencial D=aN b pero con parámetros a=0,715 y b=0,3872. La mancha también crece. También pudimos concluir que las respectivas manchas no solo crecen en diámetro, sino que también modifican su espesor a medida que aumenta la cantidad de petróleo y/o aceite. Sin embargo, no resulto que ambas respondieran de igual forma. En el caso de la mancha de aceite, el superindice b al ser menor a ½ muestra que el espesor de la mancha crece a medida que aumenta el volumen de aceite; en el caso del petróleo, el superindice determino que su espesor se redujera conforme aumenta el volumen de petrolero. Si bien esto podría resultar algo absurdo, su justificación podría hallarse en el hecho de que el petróleo es mucho mas liviano que al agua y el aceite y queda casi toda la sustancia por encima de la superficie del agua. Referencias Gil S. y Rodríguez E. Física re-creativa. (Prentice Hall,2001) Ley de crecimiento de una mancha de aceite M.F. Filadoro