Sistema de ecuaciones lineales. Expresión matricial. Matriz de los coeficientes 3 filas 3 columnas matriz 3 3. x y z

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Ricardo Rojas Sandoval
hace 6 años
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1 MTRICES

2 Sistema de ecuaciones lineales Matriz de los coeficientes 3 filas 3 columnas matriz 3 3 2x+ 3y z= 5 5x 2y+ 2z= 10 x y+ 3z= 8 x y z Matriz de las incógnitas 3 filas 1 columna matriz 3 1 Expresión matricial Matriz de los términos independientes 3 filas 1 columna matriz x y = z Matriz ampliada 3 filas 4 columnas matriz 3 4 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 1

3 Tabla Matriz Música Información general Emisora 15 4 Emisora B 12 5 Emisora C 14 6 Número de horas de emisión de música y de información general en tres emisoras de radio filas 2 columnas Matriz 3 2 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 2

4 MTRIZ Una matriz de números reales de orden o dimensión m n es una disposición rectangular de m n números reales que son los elementos de la matriz dispuestos en m filas y n columnas = ( a ij ) Elemento a ij Filas (Horizontales) i fila j columna a a a a a a a a a a a a n n = m1 m2 m3 mn m filas n columnas Dim = m n ( ) Columnas (Verticales) Fila i Columna j ( ) = ( ) C ( ) F a a a a i i1 i2 i3 in j a1 j a 2 j = amj I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 3

5 Conjunto de las matrices de números reales de dimensión m n. M m n IGULDD DE MTRICES Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y, además, los elementos que ocupan la misma posición son iguales. ( ij ) ( bij ) = a Dim = B = B B= aij = bij i, j ( ) Dim( ) I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 4

6 EJEMPLO 1 Dada la matriz = , se pide: a) Dimensión. b) Fila 2. c) Columna 3. d) Elemento a 34. I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 5

7 EJEMPLO 1 Dada la matriz = , se pide: a) Dimensión. b) Fila 2. c) Columna 3. d) Elemento a 34. a) La matriz tiene 5 filas y 4 columnas, por lo tanto, b) La fila 2 es Dim( ) = 5 4 F 2 = ( ) c) La columna 3 es C d) El elemento a 34 es = a 34 = 1 I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 6

8 Matriz fila Tiene una única fila Dimensión 1 n TIPOS DE MTRICES Matriz columna Tiene una única columna Dimensión m 1 ( 425 ) Matriz cuadrada Tiene el mismo número de filas que de columnas Dimensión n n Orden n 4 3 Matriz rectangular Tiene distinto número de filas que de columnas Dimensión m n (m n) I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 7

9 MTRICES ESCLONDS Se dice que una matriz es escalonada si se cumplen las siguientes condiciones: 1) Todas las filas nulas, si las hay, están en la parte inferior de la matriz. 2) El primer elemento no nulo (de izquierda a derecha) de cada fila está situado más a la derecha que el primer elemento no nulo de la fila inmediata superior. Esquema de matriz escalonada : Elemento no nulo : Elemento arbitrario (nulo o no nulo) Las siguientes matrices son escalonadas: Sin embargo, ninguna de las siguientes matrices es escalonada: MTRIZ NUL Todos sus elementos son ceros I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 8

10 Diagonal principal En una matriz cuadrada, la diagonal principal es la formada por los elementos con subíndices iguales, a ii Diagonal secundaria Es la otra diagonal MTRICES CUDRDS MTRICES TRINGULRES Diagonal principal Diagonal secundaria Una matriz triangular es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son ceros Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz triangular inferior Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 9

11 MTRICES CUDRDS Matriz diagonal Matriz escalar Matriz identidad Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. a = 0, i j ij Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal principal iguales. a = 0, i j y a = k i ij ii Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son unos. a = 0, i j y a = 1 i ij ii Matriz opuesta Matriz opuesta de es aquella que obtenemos cambiando el signo de todos los elementos de, y la representamos por. Matriz traspuesta Matriz traspuesta de es aquella que obtenemos cambiando en las filas por las columnas, y la representamos por t. 2 3 = t 2 3 = = I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 10

12 MTRICES CUDRDS Matriz simétrica Se dice que una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta. t En una matriz simétrica son iguales los elementos que ocupan posiciones simétricas respecto de la diagonal principal. a ij = = a ji Matriz antisimétrica Se dice que una matriz cuadrada es antisimétrica si la traspuesta y la opuesta de son iguales. t = En una matriz antisimétrica cada elemento es igual al opuesto de su simétrico. a ij = a De esto se deduce que los elementos de la diagonal principal son nulos. a ii = 0 ji 402 = t 402 = = t 03 6 = = I.E.S. Miguel de Cervantes (Granada) Departamento de Matemáticas GBG 11

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