REPASO DE MATEMÁTICAS 3º ESO CURSO

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1 REPASO DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO TEMA 1: NÚMEROS REALES CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 1 C1.- Identificar, relacionar y representar gráficamente los números racionales y utilizarlos en actividades cotidianas. C2.- Estimar y calcular expresiones de números racionales con las operaciones básicas y aplicar correctamente las reglas de prioridad. C.- Distinguir las expresiones decimales de los números racionales e irracionales. C4.- Utilizar convenientemente las aproximaciones decimales de los números reales para realizar los cálculos básicos, estimando el error cometido. C5.- Reconocer y construir subconjuntos de la recta real (intervalos y semirrectas). 1. Valor absoluto de un número real. Defnición y ejemplos. (C1, C5) 2. Haz un diagrama que muestre el conjunto de los números reales. En ese diagrama deben aparecer todos los tipos de números que conoces hasta el momento, con su símbolo, nombre, ejemplos de cada tipo y característica principales que los distinguen del resto. (C1). El sábado salieron de excursión los 4 9 de mis amigos, el domingo 1 del resto y no quisieron ir 10. Cuántos amigos tengo? (C2) 4. Sabiendo que 7=2, y que la aproximación tomada es de 2,64, calcula: (C4) a) El error absoluto aproximando el resultado a la milésima por redondeo. b)el error relativo en tanto por ciento aproximando el resultado a la diezmilésima por exceso. 5. Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: (C) a), b), Representa en la recta real tomando como unidad seis cuadrados de tu libreta. (C2, C5) 10. Representa gráfcamente los siguientes intervalos en las recta real: (C5) a)[-1, 2 [ b)] -2, [ 4. Clasifca los siguientes números en racionales o irracionales explicando el porqué: (C) a)2, b)2, Representa gráfcamente y en forma de intervalo el conjunto de números que satisface la desigualdad x 4 (C5) 6. Por qué al dividir dos números, en algún momento, se debe repetir alguno de los restos? (C2, C) 7. Di (explicando el porqué) qué tipo de expresión decimal tendrán estas fracciones: (C) a) 4 15 b) Representa en la recta siguiente la fracción 1 5. (C5)

2 9. Resuelve: : = (C2) 10.Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: (C) a) 0, b)0, Calcula el valor de la expresión: : = (C2) 12.De una garrafa de agua, Juan saca 1/ del contenido y Pedro 1/ de lo que queda. Al fnal restan en la garrafa 4 litros de agua. Cuál es la capacidad de la garrafa? (C2) 1.Clasifca los siguientes números en racionales o irracionales explicando el porqué: (C) a)1,... b)2, Representa gráfcamente y en forma de intervalo el conjunto de números que satisface la desigualdad x 4 (C5) 15.Calcula los errores absoluto y relativo (en tanto por ciento) cometidos al aproximar por el número racional (C4) 16.Aproxima 15 a: a) la milésima por defecto. b) la décima por exceso. c) la centésima por redondeo. (C4) 17.Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: (C) a) 2, b)4, Representa en la recta real tomando como unidad 6 cuadrados de tu libreta. (C2, C5) 1 19.Representa gráfcamente los siguientes intervalos en las rectas proporcionadas: (C5) a)[-, 0 [ b)] 0, [ 20.Clasifca los siguientes números en racionales o irracionales explicando el porqué: (C) a)2, b)2, Qué partes tiene la expresión decimal de un número racional? Pon un ejemplo y señálalas. (C) 22.Representa en la recta siguiente la fracción 7 4. (C5) 2.Seis personas se han comido dos tercios de una sandía que pesaba 2,7 kilogramos. Mañana se comerán el resto. Sabiendo que todos comen la misma cantidad, cuántos gramos de sandía comió cada uno el primer día? Cuántos gramos comerá mañana? (C2) 24.Dí si son racionales o irracionales los siguientes números explicando el porqué: (C) a) 2, b)1, c) d) π 25. Cuál es la cifra que ocupa el lugar 1006 en la expresión decimal de la fracción 9/26? (C) 26.Representa gráfcamente y da en forma de intervalo todos los números que satisfacen las siguientes relaciones: (C5) a) x 2 b) x 5 27.Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: (C) a) 1, b)0, c) 2, d),21... e) 0,25 f) -12,5 g)2,2 h)4,2

3 a)1, b)0, i) 2, j) 12, k) 1, l) 0, Calcula las siguientes operaciones hallando previamente la fracción generatriz de cada número decimal: (C2, C) a) ,04 b) 7 2,625 c) 0,001+0,2 0,00 2 d)+ 2,8 (1-0,5) e) 7 4, f) (4-2,2...) 0, Di si son racionales o irracionales los siguientes números dados en forma decimal: (C) a), b)1, c) d)0,25 0.Completa el cuadro mostrando abajo con las aproximaciones entera, decimal y centesimal de. Explica a continuación cómo las obtienes. (C4) 21 Aproximación Por defecto Valor exacto Por exceso Error Entera Decimal Centesimal 1. Cuál es la cifra que ocupa el lugar 101 en la expresión decimal de la fracción 7/26? (C) 2.Representa gráfcamente y da en forma de intervalo todos los números que satisfacen las siguientes relaciones: (C5) a) x 1 b) x 6.Calcula la fracción generatriz de las siguientes expresiones decimales: (C) a) 1, b)0, c) 2, d), Representa en la recta real los siguientes intervalos: (C5) a)[ -, 5 ] b)] -4, + [ c) ] -, -2] d)] -1, 4 [ 1. Completa el cuadro mostrado abajo con las aproximaciones entera, decimal y centesimal de. Explica a continuación cómo las obtienes.(c4) 12 Aproximación Por defecto Valor exacto Por exceso Error Entera Decimal Centesimal 2. Completa el cuadro mostrado abajo con las aproximaciones que se piden: (C4) Número Aproximación Por defecto Por exceso Redondeo, decimales 17, decimales 2,6584 entera

4 TEMA 2: POTENCIAS Y RAÍCES CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 2 C1.- Calcular y simplificar expresiones en las que intervengan potencias de exponente entero o racional, aplicando las propiedades de las potencias y respetando las normas de jerarquía de las operaciones. C2.- Expresar cantidades muy grandes o muy pequeñas en notación científica y realizar cálculos y resolver problemas con dichas expresiones. C.- Conocer la equivalencia entre potencias de exponente racional y las raíces, utilizándola para realizar operaciones y simplificaciones. C4.- Calcular y simplificar expresiones en las que aparezcan radicales, aplicando las propiedades de las operaciones con ellos. 1. Teorema fundamental de los radicales. Radicales equivalentes. (C1) 2. Defnición de raíz n-sima. Ejemplos. (C1). Defnición generalizada de potencia. Ejemplos. (C1) 4. Propiedades de las operaciones con potencias. (C1) 5. Propiedades de las operaciones con radicales. (C1) 6. Número de raíces. Casos y explicación. (C1) 7. Expresa en notación científca los siguientes números: (C2) a) b)0, c) , d)0, e) 0,025 f) 1245 g) h)14, i) 0, j) 0, Ordena los siguientes radicales reduciéndolos previamente a índice común: 6 2,, 2 (C) 9. Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y base entera y primo: (C) a) 4 27= b) 5= 10.Escribe en forma de radical de radicando entero y primo: (C1) a) 2 5 = b) = 11.Simplifca los radicales siguientes: (C) a) 6 8 = b) 4 2= 12.Efectúa las siguientes operaciones aplicando propiedades de los radicales dando el resultado completamente simplifcado. (Recuerda que completamente simplifcado es con todos los factores posibles fuera del radical y con el menor índice posible ): (C1, C) a) = b) = c) 9= d) 9 = e) 2 8 =

5 1.Opera pasando previamente a potencias y dando el resultado como potencia de exponente positivo: (C) a) = 1 2 b) 4 2 = 8 14.Expresa los siguientes números en notación científca: (C2) a) Seis mil millones b)0, Opera y da el resultado en notación científca: (C2) a)4, , = b)0,00005 : ( )= c) Quinientas millonésimas d) c) 4, , = d)4, , = 16.Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario y base entera y primo: (C) a) 5 16= b) = 17.Escribe en forma de radical de radicando entero y primo: (C) a) = b) 5 2 = 18.Simplifca los radicales siguientes: (C) a) 8 10 = b) 81= 19.Efectúa las siguientes operaciones aplicando propiedades de los radicales dando el resultado completamente simplifcado. (Recuerda que completamente simplifcado es con todos los factores posibles fuera del radical y con el menor índice posible) :(C, C4) a) = b) = c) 4 9= d) = e) = 20.Opera pasando previamente a potencias y dando el resultado como potencia de exponente positivo: (C) a) 2 2 = b) 2 = 4 21.Reducir a índice común: (C4) a) a 4, 8 a, 4 2a 2 b b) 12 x y, 6 x 2 y, x y c) x, 10 x d) 2 a, a 2, 4 2 a 2 e) 6 12, 6, Introduce factores dentro del radical: (C4) f) 10 x 5, 5 x 2 a) 12 a b 2a 2 b 5 b) 6 x 4 2 x 2 y c) x 2 y 2 x y d) 24 a c a b 2 e) 12 a x 2 y 4 x z 2.Extrae factores del radical: (C4) f) 5 y y 2

6 a) 4 64a 1 b 4 c 5 b) 81 x y 1 c) 54 x 6 y 5 z 8 d) 48a b 4 c 7 e) 4 81 x 12 y 4 z f) 5 64 z Calcula las siguientes operaciones dando el resultado totalmente simplifcado: (C4) a) c) 5 7 e) 2 x 2 y 2 x 1 b) 5 5 d) 2 a 4 8 a 6 2 y 5 f) Calcula las siguientes operaciones dando el resultado totalmente simplifcado: (C4) a) 16 4 c) 4 6 e) 4 g) b) d) f) h) 6a 5 : 12 a Calcula las siguientes operaciones dando el resultado totalmente simplifcado: (C4) a) c) 4 9 e) g) b) d) f) a 2 a h) Opera y simplifca al máximo: (C4) a) 2 2= c) 2 24 x x = 15a 2 2 a b) 6 7 = d) 6= e) = f) 2 2 = 28.Opera y simplifca al máximo: (C4)

7 a) = b) = c) = d) = e) = f) = g) 2 8 2= h) = i) a 250b ab 5 2a b b a= j) = 29.Extrae factores fuera del siguiente radical: x 11 y z 5 = (C4) 0.Introduce factores dentro del signo radical: x y 2 z 4 x 2 z= (C4) 1.Opera utilizando las propiedades de los radicales: (C4) a) x 12 x 2 = b) 2 4= x 2 c) 2 x = d) x 4 x 2 = TEMA : PROPORCIONALIDAD CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA C1.- Identificar magnitudes directa o inversamente proporcionales mediante enunciados y tablas. C2.- Resolver problemas de proporcionalidad simple y compuesta, empleando el método de reducción a la unidad y la regla de tres simple y compuesta. C.- Resolver problemas de repartos proporcionales directos e inversos. C4.- Resolver problemas de porcentajes en los que haya que averiguar las cantidades finales, las iniciales y los porcentajes a partir de datos conocidos. 1. Qué es una razón? Y una proporción? (C1) 2. Magnitudes directamente proporcionales. Constante de proporcionalidad. Ejemplo. (C1). Magnitudes inversamente proporcionales. Constante de proporcionalidad inversa. Ejemplo. (C1) 4. Completa la tabla sabiendo que representa magnitudes proporcionales y halla la constante de proporcionalidad.(c1) X Y 40 8

8 5. Completa la tabla sabiendo que X e Y son magnitudes directamente proporcionales con constante de proporcionalidad ¾. (C1) X 9 Y Una escuela de ballet cobra por sus clases 255 al trimestre. Cuánto hay que pagar por los 10 meses que dura el curso? (C2) 7. En el colegio de Celia están pintando de colores las paredes de 8 aulas iguales. Para pintar 2 aulas han usado 29 litros de pintura. Cuántos litros habrán usado al fnal?(c2) 8. Calcula las siguientes cantidades. (C4) a) 12 % de 425. b) Un número cuyo 80 % sea Calcula.(C4) a) 60 % de b) Qué porcentaje de 210 es 48,? 10.Si dos de las cinco partes del tiempo de una clase de Matemáticas se dedican a corregir ejercicios, cuál es el porcentaje de tiempo que se dedica a la corrección? (C4) 11.El aforo de un estadio de espectadores se ha aumentado un 0 %. Cuántas localidades tiene el estadio ahora? (C4) 12.El precio de una bicicleta de montaña es 145 euros, más el 16 % de IVA. Cuál es el precio fnal? (C4) 1.En el año 2000, el gasto público en España destinado a educación fue de millones de euros, y en 2005 se destinaron millones de euros. Cuál fue el porcentaje de incremento en estos 5 años? (C4) 14.En unos grandes almacenes, el precio de los artículos informáticos se ha incrementado en un 10 % en el primer cuatrimestre, mientras que en el segundo y en el tercero ha disminuido un 2 % y un 5 % respectivamente. Qué variación ha experimentado el precio de estos artículos al fnal del año? (C4) 15.La resistencia de un corredor de fondo ha seguido la siguiente evolución en los últimos tres años. El primer año de entrenamiento aumenta un 15 %; el año siguiente, el atleta no puede entrenar tanto y su resistencia disminuye un 10 %, y el tercer año consigue aumentarla un 5 %. Calcula el porcentaje de variación de la resistencia del atleta en el conjunto de los tres años. (C4) 16.Calcula la constante de proporcionalidad inversa y el término que falta en esta tabla de magnitudes inversamente proporcionales. (C1) Magnitud 1 x 14 Magnitud 2 1,5 17.Completa la tabla sabiendo que representan magnitudes inversamente proporcionales.(c1) Magnitud Magnitud 2 2,5 1,25 18.Se ha realizado una medición de la temperatura en la ascensión al monte Anapurna a distintas alturas. Son la temperatura y la altura magnitudes inversamente proporcionales? Por qué? (C1) Altura (m) Temperatura ( o C) La constante de proporcionalidad de dos magnitudes proporcionales es 12. Escribe varias parejas de cantidades que puedan corresponder a esas magnitudes. (C1) 20.En la granja de Pepe tienen pienso para alimentar a 5 vacas durante una semana. El vecino de Pepe se queda sin pienso y le pide que por favor alimente a sus 2 vacas. Si Pepe tiene que repartir el pienso que tenía, durante cuántos días podrá alimentar a las vacas? (C) 21.Un abuelo reparte 60 chocolatinas entre sus tres hijas proporcionalmente al número de hijos que tiene cada una. La primera tiene 2; la segunda, ; y la tercera, 5; cuántas chocolatinas recibirá cada una? (C) 22.Los tres regantes de una fnca disponen de un tiempo total de riego de 120 horas. Calcula el tiempo que le corresponde a cada uno si las extensiones de sus parcelas son de 8, 12 y 20 hectáreas. (C) 2. Míriam y Antonio dedican 4 horas semanales a limpiar su casa. El tiempo que dedicará cada uno será inversamente proporcional al tiempo que trabaje fuera de casa. Cuánto tiempo dedicará cada uno si Antonio trabaja 5 horas semanales, y Míriam, 45? (C)

9 24.Reparte en dos partes inversamente proporcionales a 1,5 y 2. (C) 25.Tras una catástrofe natural, un país recibe kilogramos de arroz que se reparten entre tres ciudades de modo inversamente proporcional a la cantidad de kilogramos de arroz de los que ya disponen. La primera ciudad dispone de kilogramos de arroz; la segunda, de 6 000, y la tercera, de Qué cantidad de arroz le corresponde a cada una? (C) 26.En una prueba de cálculo mental, además de los aciertos se valora la rapidez de respuesta. Se repartirán 15 puntos entre los participantes que hagan bien todos los cálculos de manera inversamente proporcional al tiempo que hayan tardado. Solo 4 participantes no se equivocan en ninguna cuenta. El que menos tarda fnaliza la prueba en 12 minutos; el siguiente, en 18; el tercero, en 24, y el último, en 6. Cuántos puntos corresponden a cada uno? (C) 27.Para ayudar a mejorar los medios de transporte, se quiere repartir la cantidad de 740 millones de euros entre tres regiones de la Unión Europea de forma inversamente proporcional a sus rentas per cápita, que son 8 000, y euros, respectivamente. Indica la cantidad que corresponde a cada región. (C) 28.Un profesor quiere obtener la nota fnal de sus alumnos de forma directamente proporcional al número de días que duró cada evaluación. Qué nota le correspondería al alumno siguiente? (C1) Días Nota TEMA 4: SUCESIONES CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 4 C1.- Obtener términos de una sucesión y deducir su regla de formación. C2.- Identificar una progresión aritmética y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos. C.- Identificar una progresión geométrica y calcular correctamente la suma de n términos consecutivos. C4.- Aplicar las progresiones aritméticas a la resolución de problemas. C5.- Aplicar las progresiones geométricas a la resolución de problemas. 1. Halla el término general de las siguientes sucesiones: (C1) a)5, 7, 9, 11, 1, 15,... b) 1, 1 4, 1 5, 1 6, 1 7, 1, Escribe los ocho primeros términos de la sucesión (a n) dada por: a 1=2, a 2=, a n=a n 1+a n 2 (C1). Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones: (C1) a)a n=n 2 n b) bn = n 1 2 n 2n 5 4. Dadas las sucesiones de término general a n=n 1 y b n = 2n + 2, realiza las siguientes operaciones: (C1) a)(a n) (b n) b)(a n) + 2 (b n) 5. Dadas las sucesiones de término general a n = n 2 y b n n = n, calcula el término general n 1 de la sucesión c n dada por: (C1)

10 a) c n = a n + b n b) c n = a n b n 6. Halla el término general de las siguientes sucesiones: (C1) a)1, 4, 9, 16,... b), 6, 9, 12, Dadas las sucesiones a n=4n 5 y b n=n 2 + 2n, calcula el tercer término de: (C1) a) a n b n b) a n + b n 8. Averigua si 1 y son términos de la sucesión de término general a n = n 1 n 1. (C1) 9. Estudia si 129 es un término de la sucesión cuyo término general es a n = n 2 +n 1 y en caso afrmativo, indica cuál. (C1) 10.Estudia si las sucesiones de términos generales a n = n 2 y b n=4+n tienen algún término n en común. (C1) 11.Halla el término general de la progresión aritmética: 6, 4, 2, 0, (C2) 12.Halla la diferencia y el término general de la progresión aritmética: -8, -4, 0, 4,...(C2) 1.Halla el término general de una progresión aritmética cuya diferencia es 4 y segundo es 16. (C2) 14.Halla la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética: 2, 5, 8,...(C2) 15.Dado el término general de la progresión aritmética a n = 4n + 5. Halla la suma de los cincuenta primeros términos.(c2) 16.Halla la diferencia de una progresión aritmética sabiendo que el segundo término es 8 y el quinto 17.(C2) 17.Halla la suma de los 12 primeros términos de la progresión aritmética: 8, 15 2, 7,...(C2) 18.Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que el tercer término es y el undécimo 97.(C2) 19.En una progresión aritmética conocemos el tercer término que vale 20 y el término trigésimo que vale 101. Halla la diferencia y el término 60.(C2) 20.Los lados de un cuadrilátero están en progresión aritmética de diferencia 6. Si el perímetro es 52 cm, calcula la longitud de sus lados.(c) 21. Cuántos términos hay que sumar de la progresión aritmética:, 9, 15,..., para obtener como resultado 192?(C) 22.En una progresión aritmética la suma de los diez primeros términos vale 50 y el primer término 8. Cuánto vale el término décimo?(c) 2. Cuántos términos hay en la sucesión, 7, 11, 15,..., 49?(C) 24.Hallar la razón y el término general de la progresión geométrica: 2,, 9 2,...(C) 25.Halla el término general de la progresión geométrica: 5, 10, 20, 40,...(C) 26.Halla término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 1/ y la razón es 1/9.(C) 27.Halla término general de una progresión geométrica cuyo primer término es 1/2 y la razón es 1/4.(C) 28.Halla la suma de los ocho primeros términos de la progresión geométrica: ¼, ½, 1...(C) 29.En una progresión geométrica el primer término es 2 y la razón 1/2. Halla la suma de los 6 primeros términos.(c) 0.En una progresión geométrica el quinto término es 2 y el segundo 4. Halla la suma de los diez primeros términos.(c) 1.Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el sexto término es 486 y el tercero 18.(C) 2.Halla la suma de los n primeros términos de la progresión geométrica ilimitada: 9,, 1, Cuánto vale para n =100? Y para n=1 000?(C).Halla término general de una progresión geométrica sabiendo que el quinto término es 16 y el segundo -2.(C) 4.En un cultivo de bacterias, que se reproducen por bipartición cada 0 minutos, había inicialmente 10 bacterias. Averigua cuántas bacterias habrá al cabo de 12 horas.(c4) 5. Cuántos términos se han tomado en una progresión geométrica, sabiendo que el primer término es 5, el último 640 y su suma 1 275?(C4)

11 TEMA 5: POLINOMIOS CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 5 C1.- Reconocer la estructura de expresiones algebraicas sencillas, así como construirlas a partir de expresiones escritas referidas a magnitudes o problemas concretos C2.- Calcular el valor numérico de una expresión algebraica y verificar si dos expresiones dadas son o no equivalentes entre sí. C.- Reconocer monomios y polinomios, y utilizar las técnicas y procedimientos básicos del cálculo algebraico para sumarlos, restarlos, multiplicarlos y elevarlos a potencias naturales. C4.- Identificar y desarrollar las fórmulas e identidades notables. 1. Escribe un binomio que cumpla las siguientes condiciones: su término independiente es una fracción; es de grado 8; se le puede llamar P(x,y,z); es de grado 2 en x; es de grado en y. (C1) 2. Cómo tienen que ser dos monomios para que se puedan sumar? Por qué? (C1). Valor numérico de una expresión algebraica. (C2) 4. Escribe un polinomio P(x) de grado 5, incompleto, cuyo término independiente sea un número negativo y ordenado crecientemente. (C1) 5. Escribe un polinomio de grado 2 en el que el coefciente del término de mayor grado sea 6; el coefciente del término de grado 1, la mitad que el de grado 2, y el término independiente sea igual a la tercera parte del coefciente del término de mayor grado. (C1) 6. Escribe un polinomio que cumpla todas las siguientes condiciones: a) Se llama P(a, b) b) Tiene cuatro términos. c) Es de cuarto grado. d) No tiene término independiente. (C1) 7. Dado el polinomio: x 4 x y 5 escribe: a) Un nombre para él: b) El grado del primer término: c) El grado del segundo término: d) El grado del tercer término: e) El coefciente del término de mayor grado: f) El coefciente del término independiente: 8. El valor numérico del polinomio P(x, y) del problema anterior para: a) x = 0 y para y = 1: b) x =1 y para y=1: (C2) 9. Dados los polinomios; P x =4 x 2 x 1 y Q x =2 x 2 1. Calcula: a) P(x) Q(x) = b) P(x) + Q(x) = c) P(x) [Q(x)] 2 = (C) 10.Desarrolla los siguientes productos notables: (C4) a) x ² y = b) x ² 2 y 2 = c) a 2 y a 2 y = d) y 2= 11.Desarrolla los siguientes productos notables:(c4) a) a 2 y 2 = b) 2 x ² 1 = c) 7 x 1 7 x 1 =

12 d) a 2 y = 12.Saca factor común: (C) a) 9 x y x 2 y 12 x= b) 9a 2 y 2 6 a 2 x y a 2 x 2 = c) x 6 x 4 = d) 6 x 4 12 x 2 y 2 6 x 4 = 1.Resuelve: x ² 2 x 2 1 x 1 = (C) 14.Si P x = x 2 x 1, Q x =x x 4 x 1 2 y R x =5 x2 x 1 elige entre estos polinomios los que cumplen las siguientes características. a) Dos polinomios que tengan el mismo término independiente. b) Un polinomio que no tenga término de grado. c) El polinomio que tiene mayor grado. (C1, C2) 15.Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones:(c1) a) Se llama P(x) b) Es un binomio. c) Es de cuarto grado. d) No tiene término independiente. 16.Dado el polinomio: x y 4 x y 5 x escribe: (C1) a) Un nombre para él: b) El grado del primer término: c) El grado del segundo término: d) El grado del tercer término: e) El coefciente del término de mayor grado: f) El coefciente del término independiente: 17.El valor numérico del polinomio P(x, y) del problema anterior para: a) x = 0 y para y = 1: b) x =1 y para y=1: (C2) 18.Dados los polinomios; P x = x 2 2 x 1 y Q x = x 2 1. Calcula: a) P(x) Q(x) = b) P(x) + 2x Q(x) = c) P(x) [Q(x)] 2 = (C) 19.Desarrolla los siguientes productos notables:(c4) a) x ² y 2 = b) x y 2 = c) a 2 2 y a 2 2 y = d) y 2= 20.Desarrolla los siguientes productos notables:(c4) a) x = b) x y 1 = c) 2 x 1 2 x 1 = d) 2 y 2 = 21.Saca factor común en los polinomios siguientes: (C) a) 9 x y x 2 y 12 x= b) 9a 2 y 2 6 a 2 x y a 2 x 2 = c) x 6 x 4 = d) 6 x 4 12 x 2 y 2 6 x 4 = 22.Opera y simplifca (1 pto): 2 x 1 2 x 1 x 1 = 2.Calcula las siguientes operaciones con monomios: (C) a) 2 x2 y z x z = b) 21 x 8 y z 5 7 x z 2 =

13 2 4 a 2 b c) 2 x2 y z = d) 24 a b 4 24.Dados los polinomios siguientes: P x =x 8 x 2 xq x =4 x H x = 7 x 2 x 2 4 x 4 Calcula: a) P(x) - Q(x) - H(x) b) P(x) Q(x) (C) 25.Desarrolla los siguientes productos notables:(c4) a) 1 x y 2 2= = b) 1 y 1 y = c) 1 y = d) x 1 x 1 = e) 1 x 1 y 2= f) y = g) x 2= h) a b 1 = i) 2 x = j) 4 y 2 2 = k) 2 y 2 = l) 4 x x 2 1 = m) y x 2 = n) 1 y 4 = o) 7 x 4 2 = p) 1 x x 1 = q) 1 x y = r) 1 x x y s) (x 2 2) = t) (x+1) (x -1) = 2 = u) 1 x y 2= v) 1 x y 1 x y = 26.Reduce términos semejantes: x²y x 4 x 2 y 6 x 2 x y 4 x ² y x y 5 x= (C) 27.Opera y simplifca reduciendo términos semejantes: a ² 2 a b 2 4a b a a b = 28.Escribe un binomio que cumpla las siguientes condiciones: su término independiente es un número entero; es de grado 10; se le puede llamar P(a,b,c); es de grado en a; es de grado 4 en b. 29. Es posible que dos polinomios de grado sumados den un polinomio de grado 1? Qué deben cumplir? Pon un ejemplo. 0.Dados los polinomios R x = 1 x2 4 x2, Q x = 5 4 x 2 x y P x = 2 x 5 a) R(x) Q(x) b) P(x) R(x) Q(x) c) P(x) [R(x) Q(x)] (C) 1.Calcula:(C4) a) x 2 2 = b) 4 x 2 2 x 2 = c) 8 x 5 2 = d) 5 x 2 = g) x y 2 x y 2 = e) 4 x 1 2 = f) x 2 2 y = h) 2 x2 1 = i) x2 y = j) (z-y) 2 = k) (1+x) = l) (2+y 2 ) (2-y 2 ) = 2. Dados los polinomios P x =x 2 x 2 x, Q x = x 2 5 y R x = x 2 7 x 1 a) Indica sin efectuar el producto el grado de los productos P Q, P R y Q R

14 b) Calcula los productos P Q, P R y Q R(C).Realiza las siguientes operaciones y reduce términos semejantes:(c) a) (x 2 x+x 2 ) + 2x (x 2) 2 = b) (x+2) (2x -1) 2 = c) [2x (x+2) 2 ] x + x = d) (x-) 2 2x + x = e) (2x 1) [x +1 ( x+1) 2 ]+2x x= 4.Calcula las siguientes operaciones con monomios dando el resultado con potencias de exponente positivo:(c) a) 2 x 6 y 5 x y 2 = b) x 2 y 4 2 x y 2 = c) x 2 x = d) x y 2 :2 x = e) y 2 x 4 4 y ³ y 4 x = 5 f) x 4 x y x = 5. Dado el polinomio P(x)=4x 4 5x + 2x 2 x + 7, escribe un polinomio que, sumado con él, dé como resultado cada una de las opciones siguientes: a) El polinomio 4x 4 5x + 2x 2 b) El polinomio 2x 4 5x 2 + 5x c) El polinomio nulo. 6.Realiza las siguientes multiplicaciones: (C) a) (x 2) (2x 2 +5x )= b) (x + 2x) (2x 2 5x )= c) (x 2 + 1) (5x 2 x + 2)= d) (x 2 + x) ( x + x 2 )= e) (4x + 2x 2 + 4) (x x )= f) ( x + 2x + ) (x 4 x + 1 )= TEMA 6: DIVISIÓN DE POLINOMIOS. RAÍCES. CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 6 C1.- Aprender y utilizar los algoritmos de división entera de polinomios y de Ruffini. C2.- Comprender los teoremas del resto y del factor, y utilizarlos para resolver problemas de divisibilidad de polinomios. C.- Conocer el concepto de raíz de un polinomio y saber calcular las raíces enteras de un polinomio por prueba de los divisores del término independiente. C4.- Saber factorizar un polinomio en función de sus raíces reales enteras. 1. Teorema del resto. Enunciado y demostración razonada. (C2) 2. Teorema del factor. Enunciado y demostración razonada.(c2). Demuestra razonadamente que las raíces enteras de un polinomio de coefcientes enteros se encuentran entre los divisores de su término independiente.(c) 4. Da el cociente y el resto de la siguiente división utilizando el método de Rufni: 2 x 5 9 x 20 x 2 1 : x (C1) 5. Divide los siguientes polinomios: x 6 4 x 4 2 x 4 x : x 2 x 1.(C1) 6. Calcula el valor de a aplicando el teorema del resto para que el resto de la siguiente división sea 5: x 4 2 x x 2 a x 5 : x (C2) 7. Factoriza y halla los ceros del polinomio x 4 x 7 x 2 x 6 8. Enuncia el teorema del factor y comprueba aplicándolo cuáles de los siguientes factores son

15 factores del polinomio P x =x x 2 x 1.(C2) a) Enunciado: b) x + 1 c) x 1 9. Divide los siguientes polinomios:(c1) a) 6 x x 2 9 x : x = b) 4 x 6 4 x 4 6 x 5 : 2 x = 10.Escribe un polinomio (factorizado) de grado 6 y que tenga 4 raíces: y 0 son simples y -2 es doble. (C2) 11.Da el cociente y el resto de la siguiente división utilizando el método de Rufni: 2 x 5 9 x 20 x 2 1 : x (C1) 12.Halla el valor de m en el polinomio P(x) = x 2mx + 5 para que al dividirlo por x 2 dé de resto 5.(C2) 1.Efectúa la siguiente división: (6x 4 x + 5x 2 + x 14) : (2x 2 x + 7 )(C1) 14.Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Rufni y señalando su cociente y su resto:(c1) a) (4x 2x+1) : (x+1)= b) (x + 4x 2 2x+12) : (x 2)= c) ( x 2 + 8x 4) : (x 1)= d) (x 4 2x 2 + 2x + 5) : (x + 2)= e) 1 2 x 1 x2 1 x 4 : x = f) x 1 2 x 4 : x 2 = 15.Halla el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas:(c2) a) (2x + 6x 2 x m) : (x 4)= b) (x mx + 2 m) : (x + )= 16.Obtén el valor de m para que el resto de las siguientes divisiones sea el indicado:(c2) a) (x 4 + mx 2x 2 + 5x + 6) : (x + 1)=; Resto = 4 b) (2x mx 2 + x 7) : (x 2)=; Resto = 5 17.Factoriza y calcula los ceros de los polinomios siguientes:(c4) a) P(x) = x 5 1x + 12x 2 b) Q(x) = x 4 + 2x x 2 2x 18.Factoriza y calcula los ceros de los polinomios siguientes:(c4) a) x + 2x 2 5x 6 b) x 4 x x 2 +11x 6 c) x x 2 x + 1 d) x 4 + 2x 7x 2 8x + 12 e) x 4 x 6x 2 + 8x f) 4x 4 x 2 g) 5x 20x x 19.Calcula aplicando el teorema del resto el resto de las siguientes divisiones:(c2) a) x + 2x 2 5x 6 entre x + 2 b) x x 2 +11x 6 entre x 1 c) x x 2 x + 1 entre x +4 d) x 4 + 2x 7x 2 8x + 12 entre x 2 20.Calcula un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 2, 1 y 0 que tenga como coefciente del término de mayor grado.(c1) 21.Calcula un polinomio de cuarto grado cuyas raíces sean 1, 2 y 1 que tenga 2 como coefciente del término de mayor grado.(c1) 22. Es x + 1 un factor del polinomio R(x)= x 2x 2?(C2) 2. Aplicando el teorema del resto calcula el valor de m para que el polinomio P(x) sea divisible entre x siendo P(x) = x 5x 2 + mx + 9 (C2) 24. Cuánto debe valer m para que x + x 2 + mx + 9 tenga como factor a x + 1?(C2) 25.Factoriza completamente los siguientes polinomios:(c4) a) x 2 2 x 1= b) x y x 2 y 2 = c) 1 49a 2 14 a= d) 1 2a a 6 = e) x 4 y 8 = f) a 2 4 a b b2 = g) 4a 1 a 2 4 a= h) x 2 25 x 4 =

16 a) x 2 2 x 1= b) x y x 2 y 2 = i) x 9 x 2 x = j) x 6 y 6 = k) x 6 x 2 x= l) 4 x 2 24 x 6= m) x 25 x= n) x 2 12= o) a x 2 2a x a= p) 4a x 4 y a y z 2 = q) 2 x 5 8 x 8 x= r) 100 y x 2 y= s) 2 x 6 4 x 4 2 x 2 = t) x y 2 a 2 x = u) x x 2 = v) x 4 x x 2 = 1. Factoriza completamente los siguientes polinomios:(c4) a) a a 2 b 5a b 2 = b) 1 4b 4 b 2 = c) 1 m 2 = d) 1 m 6 = e) a x 1 b x 1 c x 1 = f) 1 a 2 b 4 = g) 1 m = h) 8 a 12 = i) x 5 x 4 x 1= j) 2 x x= 1. Factoriza completamente los siguientes polinomios:(c4) a) x 5 25 x x 2 25= b) c 4 4d 4 = c) a 10 a 8 a 6 a 4 = d) 2 x a 1 a 1= e) 8 a x 2 2a= f) a 8 28a 4 6= g) x 6 y 6 = h) a m bm a n bn= TEMA 7: FRACCIONES ALGEBRAICAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 7 C1.- Calcular valores numéricos y simplificar fracciones algebraicas por descomposición de factores, tanto del numerador como del denominador, aplicando los métodos aprendidos de factorización de polinomios. Reducir a común denominador un conjunto de fracciones algebraicas. C2.- Sumar, restar, multiplicar, dividir y elevar a potencias enteras fracciones algebraicas. 1. Simplifca las siguientes fracciones algebraicas:(c1) a) 6 x2 12 x 6 x 2 b) x 2 4 a 2 x 2 4a x 4a 2 c) b x 2a b x 2 4a 2 d) 15 x2 15 x 5 x 2 15 x

17 a) 6 x2 12 x 6 x 2 b) x 2 4 a 2 x 2 4a x 4a 2 e) 14b 2 7a b 10 b x 5a x f) 2 x2 y z 2 x y 2 z 2. Efectúa las siguientes operaciones y simplifca: (C1, C2) a) x 2 x x 1 x 1 x 2 x 1 2 = b) 2a 2 1 4a a = 2 c) a b a 2 a b a b a b a a b b = d) 1 x 2 1 x 1 x 1 x x 2 1 x 2 1= e) 1 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 = f) 1 x g) x y x2 y 2 1 x y x y x y x y = h) 1 x 1 x 5 x 25 7 x 7 14 = 10 x 50 1 x : 1 x x2 1 x2 x = i) 1 x x 1 x x 1 x 1 1 = j) x2 6 x 9 : x2 4 x x 2 x x 2 4 x 4 : x2 5 x 6 x 2 2 x 1 = k) a 2 1 a 2 a 2 : a2 2a 1 a 2 a 2 = l) 1 x x 1 x 1 1 = TEMA 8: ECUACIONES Y SISTEMAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN TEMA 8 C1.- Distinguir entre identidades y ecuaciones. Saber si un resultado es solución o no de una ecuación. C2.- Resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis y denominadores. C.- Resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. C4.- Resolver problemas mediante el planteamiento y resolución de ecuaciones de primero y de segundo grado. C5.- Resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas mediante la obtención de sistemas equivalentes y aplicando los métodos de sustitución, de reducción y gráfico. Plantear y resolver problemas mediante la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales. 1. Solución de la ecuación completa de segundo grado. Demostración razonada. (C) 2. Discusión del número y la naturaleza de las soluciones de una ecuación de segundo grado: discriminante. (C1, C). Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas sin utilizar la fórmula general: (C)

18 a) x 2 x=0 b) 4 x 2 9=0 c) x 2 =0 d) 4 x 2 8 x=0 e) x 2 9=0 f) 2 x 2 18=0 g) 2 x 2 18 x=0 h) x 2 4 x=0 1. Resuelve las ecuaciones siguientes:(c) a) x 4 1 x 2 6=0 b) x 2 5 x 8=0 c) x 4 5 x 2 4=0 d) x 12=4 x 2 x 8 e) 2 x 2 x=2 x 2 x 7 f) 2 2 x 1 x x=x 6 g) x 1 2 x = 4 h) 2 x 2 x 4= 5 x 2 x Resuelve las ecuaciones siguientes: (C2, C) a) 7 x x 2 x = 4 x 1 4 x2 4 x b) 2 6 x2 9 x 2 1 = 2 x 1 c) x 4 x 2 8 x 4 x 5 = 7 4 d) 2 4 x 1 = 4 x 1 e) x 1 x 2 x 1 x 2 = 2 x 1 x 1 2. Escribe dos ecuaciones de segundo grado que tengan por soluciones -2 y 1. (C1). Escribe una ecuación de segundo grado que tenga una solución doble. (C1) 4. Escribe dos ecuaciones que tengan de solución 0 y 5. (C1) 5. Calculando el discriminante y sin resolverlas di cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones: (C1, C) a) x 2 4 x 2=0 b) x 2 6 x =0 c) x 2 5 x 7=0 1. Resuelve las ecuaciones siguientes: (C) a) 5 x 8 x 1 = 7 x 4 x 2 c) x 1 2 = x x d) x 2 4 x 4=0 b) 2 x 7 2 x 7 x 1 x 1 =0 d) x 2 4 x 2= El área de una parcela rectangular es de 9800 metros cuadrados. Calcula sus lados si se sabe que uno mide el doble que el otro.(sol: y 12 ó 42 y 27) (C4) 2. Halla los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que el cateto mayor es 15 cm más grande que el menor y que la hipotenusa es 15 cm más grande que el cateto mayor.(c4). Si se disminuye en 4 m cada uno de los lados de un cuadrado, su área disminuye en 128 cm 2. Halla el perímetro del cuadrado.(c4) 4. Halla dos números naturales consecutivos sabiendo que la suma de la cuarta y quinta parte del primero y la suma de la tercera y séptima del segundo son también números naturales consecutivos. Explica cómo haces el problema.(c4) 5. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años. Dentro de cuántos años la edad del padre será el triple que la edad del hijo? Explica cómo haces el problema.(c5) 6. Halla dos números cuya suma es 14 y la de sus cuadrados 100. (C5) 7. Un cuadrado tiene 44 m 2 más que otro y éste 2 m menos de lado que el primero. Halla los lados de los cuadrados. (C5) 8. Aplicando el método de sustitución resuelve los sistemas siguientes:(c5)

19 a) x y=17 2 x 4 y= 16 c) x y=4 4 x 4 y=16 b) 2 x 4 y=14 x 2 y=5 d) 5 x 2 y=25 7 x y=5 1. Aplicando el método de reducción resuelve los sistemas siguientes:(c5) a) x 2 y= 11 5 x y=7 c) x y=26 2 x 5 y= 14 2 x 1. Resuelve el sistema siguiente (C5): y 4 =5 5 x y 2 = 2. Resuelve el sistema siguiente (C5): 2 x 1 y = y x y 1 2 = 2 y b) 2 x 4 y= 14 x 2 y=27 d) 2 x 4 y=8 x 8 y= 5. Aplicando el método gráfco resuelve los sistemas siguientes: (C5) a) x y= x 2 y=8 b) 5 x 2 y= 9 x 4 y= La diferencia de dos números es 1/6. El triple del mayor menos el doble del menor es 1. Halla dichos números.(c5) 2. Las tres cuartas partes de la edad de Susana exceden en 15 años a la de David. Hace 4 años la edad de Susana era el doble de la de David. Halla la edad de cada uno.(c5). Resuelve los sistemas siguientes por el método que consideres oportuno:(c5) a) 2 x 4 y 4 2 x = y 4 x= 2 x y y=28 b) x y= Nacho se ha ido de viaje a Perú, donde ha estado 5 días más que en su viaje a la India. En cada uno de los sitios ha hecho una media diaria de 15 fotos. Si en total tiene 45 fotos, cuántos días ha estado en Perú?(C5) 2. Yolanda y Silvia tienen, cada una, una colección de minerales. Silvia le dice a Yolanda: Si me regalases tres minerales yo tendría el doble que tú, y si yo te regalase 7, tendríamos el mismo número las dos. Calcula los minerales que tiene cada una de las dos amigas.(sol: 20 y 4)(C5). La edad de Felipe es cuatro años menos que el doble de la edad de Guillermo. Dentro de cuatro años, la cuarta parte de la edad de Felipe más la tercera de la de Guillermo sumarán ocho. Qué edades tienen ahora?(sol: 12 años Felipe y 8 Guillermo)(C5) 4. Por un pantalón y unos zapatos he pagado 126 euros. Si el precio del pantalón aumentara en un 15 %, su precio sería el doble que el de los zapatos. Cuánto vale cada prenda?(c5) 5. Escribe una ecuación de segundo grado en forma ax 2 +bx+c=0 que tenga como soluciones x= y x=2 que tenga como coefciente a = 9. (C1) 6. Calculando previamente el discriminante y sin resolverlas di cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones: (C1, C) a) x 2 4 x 2=0 7. Resuelve las ecuaciones siguientes: (C) a) x 1 2 = x x b) x 2 6 x =0 b) x 2 x 2=0 8. Ayer gané 10 euros más que hoy. Si lo que gané hoy es los cinco sextos de lo que gané ayer, cuánto gané cada día? (C5) 9. Resuelve gráfcamente: x 4 y=15 2 x y=5. (C5)

20 10.Resuelve las ecuaciones siguientes: (C) a) x 2 b) 2 x=0 4 x 2 16=0 11.Escribe una ecuación de segundo grado en forma ax 2 +bx+c=0 que tenga como soluciones x= y x=1 que tenga como coefciente a = 5. (C1, C) 12.Calculando previamente el discriminante y sin resolverlas di cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones: (C1, C) a) x 2 5 x 7=0 b) x 2 4 x 4=0 1.Resuelve las ecuaciones siguientes: (C) a) 5 x 8 x 1 = 7 x 4 x 2 b) x 2 x 12=0 x y 14.Resuelve: 5 =6 y x 2 (C5) 7 =9 15.Pepe tiene el doble de dinero que Juan. Si Pepe le da 12 euros a Juan ambos tendrán lo mismo. Cuánto tiene cada uno?(c5) 16.Resuelve gráfcamente: 5 x 2 y=16 (C5) 4 x y=10 17.Resuelve las ecuaciones siguientes: (C) a) x 2 2 x=0 b) 4 x 2 16=0 18.Resuelve las siguiente ecuación: 2 x 7 2 x 7 x 1 x 1 =0 (C) 19.El producto de dos números enteros consecutivos es igual al quíntuplo del mayor más siete unidades. Encuentra dichos números. (C4) 20.Resuelve los siguientes sistemas por el método que quieras (C5) x a) 7 y =5 y x 14 =26 b) x 5 y=8 7 x 8 y=25 x y c) 5 =6 y x 2 7 =9