1. Distribución Normal.

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1 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS UNIDAD 5. Estadística IES Galileo Galilei RESUMEN 1. Distribució Normal Cálculo de probabilidades a) Para ua distribució estádar N(0,1) usamos directamete la tabla: Ejemplos: P( z 1) = 0,8413 P( z 1) = 1 - P( z 1) = 0,1586 P( 1< z ) = P( z ) - P( z 1) = P( 1< z 1) = P( z 1) - P( z 1) = = 0,1359 P( z 1) 1 = 0,687 b) Para ua distribució N( µ, ) tipificamos la variable: k µ P( x k ) = P z 1.. Itervalos característicos a) Para ua distribució N(0,1): para que se cumpla P z < z z = 1 - O lo que es lo mismo: P z > z = P z z = 1 - Para ecotrar z utilizamos la tabla. El itervalo paracterístico para p = 1 - es z, z

2 Calcular el itervalo característico para el 95%. 1 = 0,95 = 0,05 = 0,05 0, 05 para que se cumpla z < z = 0,95 P ( ) 0,05 z0,05 O lo que es lo mismo: P ( z > ) = 0,05 P ( ) z 0,05 Para ecotrar z = 0,975 z 0,05 z utilizamos la tabla: z 0, 05 El itervalo paracterístico para p = 0,95 es (-1,96 ; 1,96) b) Para ua distribució N( µ, ): Buscamos el itervalo correspodiete para N (0,1): z, z Tipificamos y el itervalo resulta ser µ z µ +, z

3 . Distribució de las medias muestrales POBLACIÓN Coocemos µ y MUESTRAS de tamaño Deducimos datos sobre la la distribució de la medias de estas muestras Si la població es N( µ, ) Si la població o es N( µ, ) pero 30 La muestra es N µ, El cociete itelectual de los alumos de u cetro se distribuye N(110,15). Nos propoemos extraer ua muestra aleatoria de 5 alumos. a) Cuál es la distribució de las medias de las muestras que puede extraerse? b) Cuál es la probabilidad de que el C.I. medio de los 5 alumos de la muestra obteida sea superior a 115? c) Dar el itervalo característico de las medias muestrales correspodietes a ua probabilidad del 95% a) Como la població sigue ua distribució ormal N(110,15) y = 3, las medias muestrales se distribuye N(110, 15 ) = N(110,3) b) P( x > 115 ) = P z > = P (z > 1,67) = 1 0,955 = 0, c) Para 1 - = 0,95 buscamos utilizado la tabla de N(0,1) z 0, 05. Nuestro itervalo será etoces (110 1,96 3 ; ,96 3) = (104,1 ; 115,88)

4 3. Iferecia estadística MUESTRA de tamaño Coocemos la media muestral µ (y a veces la desviació típica s) POBLACIÓN Descoocemos la media poblacioal Se suele coocer Realizamos estimacioes de la media de la poplació a partir de los datos de ua muestra co u determiado ivel de cofiaza Itervalo de cofiaza para la media Coocemos los datos de ua muestra de tamaño : su media x y su desviació típica s (este dato o siempre es ecesario). Tambié coocemos la desviació típica de la població, (e caso de o teer este dato podemos utilizar la desviació típica de las medias muestrales, s) Podemos estimar el valor de la media de la població: Teemos ua cofiaza del (1 - ) 100 % de que el itervalo x z, x + z cotiee a la media de la població. Para estimar el peso medio de las chicas de 16 años de ua ciudad se toma ua muestra aleatoria de 100 de ellas obteiédose los siguietes parámetros: x = 5,5 kg y s = 5,3 kg. Calcula u itervalo para dicha media co u ivel de cofiaza del 95%. 1 = 0,95 = 0,05 = 0,05 0, 05 utilizado las tablas: z 0, 05 El itervalo que os pide es: 5,3 5,3 5,5 1,96,5,5 + 1,96 = (51,46 ; 53,54) Teemos u ivel de cofiaza del 95% de que el peso medio de las chicas de 16 años de esa ciudad está etre los 51,46 kg y los 53,54 kg.

5 3.. Error máximo admisible Se deomia error máximo admisible al radio del itervalo de cofiaza: E = z Si coocemos E podemos calcular: si coocemos 1 - (co 1 - calculamos z ). 1 - si coocemos (despejamos z y de ahí, utilizado las tablas, 1 - ) El cociete itelectual de u cierto colectivo tiee ua media µ descoocida y ua desviació típica = 8. De qué tamaño debe ser la muestra co la cual se estime la media co u ivel de cofiaza del 95% y u error admisible E = 3? 1 = 0,95 = 0,05 = 0,05 0, 05 utilizado las tablas: z 0, 05 Aplicado la fórmula: E = z 8 3 = 7,3 U coroel desea estimar la estatura media de todos los soldados de su regimieto co u error meor de 0,5 cm utilizado ua muestra de 30 soldados. Sabiedo que la desviació típica es = 5,3 cm, cuál será el ivel de cofiaza co el que se realiza la estimació? Aplicado la fórmula: E = z 0,5 5,3 z 30 = z = 0,5 Utilizado la tabla de la distribució N(0,1): P(z 0,5) = 0,6985 De la gráfica se deduce que: = 0,3015 = 0,6030 Por lo que el ivel de cofiaza es: 1 - = 0,3970 Es decir, existe u ivel de cofiaza del 39,7%