Modelado del coeficiente de potencia de un aerogenerador por efecto de fricción

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1 Modelado del coeficiente de potencia de un aerogenerador efecto de fricción Juvenal Villanueva Maldonado y Luis Alvarez-Icaza Instituto de Ingeniería Universidad Nacional Autónoma de México 45 Coyoacán DF, México Resumen En este artículo se propone un modelo para el coeficiente de potencia C p, el elemento más imtante para obtener la potencia mecánica del aerogenerador. Se utiliza como variable principal la velocidad relativa entre el viento y las hélices y, a través de un modelo de fricción, se propone un nuevo modelo para el coeficiente de potencia de un aerogenerador. El modelo obtenido se compara con un modelo heurístico de referencia. Palabras clave: Coeficiente de potencia, velocidad relativa y modelo de fricción. I. Introducción La energía cinética que está contenida en las corrientes de aire, y que es extraida las turbinas eólicas para generar energía eléctrica es una de las fuentes renovables con mayor crecimiento en el mundo. Se desea que estas turbinas maximicen la energía generada, siempre y cuando se puedan mantener condiciones seguras de operación. Para esto, el control tiene un papel muy imtante en el estudio de la conversión y extracción segura de la energía disponible en el viento. En la literatura se pueden encontrar trabajos donde se lleva a cabo el diseño y la simulación de controladores através de diferentes técnicas que buscan mejorar el funcionamiento de las turbinas eólicas y que hacen uso de modelos heurísticos para la potencia mecánica, P, y del coeficiente de potencia, C p, de la turbina. En Heier, 998 se puede encontrar un modelo que se utiliza frecuentemente y que está dado donde con C p =.5 P = 2 ρc pλ, A R ẋ λ i e 2 λ i 2 = λ i λ Investigación apoyada los proyectos CONACYT y UNAM-PAPIIT IN936 Estudiante de posgrado, Investigador, corresponsal. y Aquí, λ = Rω ẋ 4 A R es el área de barrido la turbina C p es el coeficiente de potencia ẋ es la velocidad del viento ρ es la densidad del viento λ es la velocidad de punta en la hélice es el ángulo de ataque de la hélice R es el radio de las hélices ω es la velocidad angular En la Fig., se observan las curvas características del coeficiente de potencia C p dados 2. Cp [adimencional] = = =2 =5 =7 = =2 =5 =2 =2 =25 = λ [adimencional] Figura. Curvas características de C p vs λ, para distintos ángulos de ataque. En este trabajo se supone que la velocidad del viento ẋ es conocida, aunque se sabe que la determinación precisa de esta velocidad es un problema abierto en el diseño de controladores para aerogeneradores que debe ser resuelto con el diseño de observadores o estimadores apropiados Sbarbaro y Peña, 2 y que será trabajo para futuras investigaciones.

2 El modelo dado deja de lado el fenómeno de fricción y la velocidad relativa que existe entre el viento y las hélices. En este trabajo se propone modelar el coeficiente de potencia a través de un modelo de fricción dinámico que permita el modelado de la potencia. En muchos sistemas, la fricción es un fenómeno no deseado que provoca perdida de energía, en este caso se puede decir que la fricción es un fenómeno benéfico que permite la transformación de la energía cinética del viento en energía cinética en las hélices. Lo que se espera es obtener la máximafuerzadefricción entre el viento ylashélices, para obtener una máxima transformación y un mejor rendimiento. II. Transformación del modelo de coeficiente de potencia, C p. El coeficiente de potencia es un elemento muy imtante dentro del modelo del aerogenerador, ya que es el factor que determina la cantidad de energía cinética que se puede extraer del viento. Tiene un límite teórico límite de Betz dado C p.59. Al ver la Fig. se puede observar que el valor de λ se encuentra en un rango de a 2. Por otro lado, la estructura de la Ec. 4 impide tener la capacidad de manejar una relación negativa entre ẋ y Rω que ocurre cuando existen cambios repentinos en los valores de ẋ o ω. El objetivo de este trabajo es obtener un modelo que esté en función de la velocidad relativa ẋ R, dada ẋ R =ẋ Rω. 5 Para esto, se propone una transformación que permita manejar esta variable. Considere que { λ C p = para λ> [, 3] o Para encontrar una transformación en términos de C p, se hace la suposición de que existe una variable dada R = ẋ rω, ẋ m 6 ẋ m donde ẋ m es la velocidad media del viento y r es un radio anular equivalente, r R. Si se toman 4 y 6, se despeja ω en ambas y se igualan, se obtiene [ ] λ = R ẋm 7 r ẋ o, si se despeja a,setiene [ ] = ẋ λ r R ẋ m 8 Se conocen ẋ m, ẋ y R, deestaformar es la variable que relaciona a λ y. Para encontrar el valor de r se postula que = C p = de esta forma se tiene que.5 6 λ i.4 5 despejando λ i se obtiene que.4 +5 = λ i 6 Al igualar 3 y se tiene que λ = e 2 λ i = 9.8 Si se utiliza 7 y se llega a [ ] r = R De esta manera, C p está dado C p = sgn e 2 λ i 3 λ i con dependencia de 3, 6, 7 y 2. La Fig. 2 muestra las curvas características que presenta este nuevo modelo. Debe notarse la simetría del modelo que describe indistintamente los regímenes de turbina o ventilador. Cp [adimencional] = =.3 =2 =5 =7 = =2.4 =5 =2 =2 =25 = [adimencional] Figura 2. Curvas características de C p vs.

3 III. Modelo dinámico de fricción. El modelo de fricción dinámico de referencia es el modelo de LuGre Canudas et al., 994 que está dado con ż =ẋ r σ z ẋ R gẋ r 4 F f = σ z + σ ż + σ 2 ẋ r 5 gẋ r =F c +F s F c e ẋr/ẋs2 6 ẋ r =ẋ rω 7 este modelo supone que la superficie de contacto es irregular y trata de representar el comtamiento entre las superficies medio de z, unestadointernoque mide la deformación microscópica de la superficie, ẋ r es la velocidad relativa y σ, σ y σ 2 son los valores de rigidez, amortiguamiento y fricción viscosa respectivamente, mientras que gẋ r es una función positiva que representa el efecto Stribeck, la cual depende de la fuerza de Coulomb, F c, la fuerza estática, F s, y de la velocidad Stribeck, ẋ s. A. Modelado de C p a través de modelo de LuGre modificado. Se tomaron 4 y 5, que representan a C p, y se propusieron las siguientes modificaciones. Para la ecuación del estado interno z, setomó gẋ r =,σ = σ 3 y se agregaron potencias k y k 2 en algunos de los términos. Para obtener ż = sgnẋ r ẋ r k2 σ 3 z ẋ r 8 donde ˆΘ es el vector de los parámetros estimados. Al utilizar el método de mínimos cuadrados recursivo normalizado sin factor de olvido Ioannou y Sun, 996, se llegó a los siguientes resultados. IV. Resultados Se analizaron tres casos para obtener un modelo equivalente a C p, que toma como modelo de referencia el que se muestra en las Ecs. 3, 6, 7, 2 y 3. A. Caso Para este caso, Ĉp está parametrizado la Ec. 22 y se realiza la estimación paramétrica con los datos siguientes k =3 k 2 = ẋ= 25m/s ẋ m =5m/s R= 6mts. y como señal de excitación se usa la curva de mostrada en la Fig. 3. Esta señal se diseñó para procionar excitación persistente C p = σ z + σ ż + σ 2 sgnẋ r ẋ r k 9 si se sustituye 8 en 9, se obtiene C p = σ z + σ sgnẋ r ẋ r k2 σ σ 3 z ẋ r + σ 2 sgnẋ r ẋ r k que se parametriza de la siguiente forma Θ= θ θ θ 2 θ 3 = σ σ σ 2 σ σ 3 2 y Φ=[z sgnẋ r ẋ r k2 sgnẋ r ẋ r k ẋ r z] De esta manera se tiene el modelo en la forma C p = ΦΘ 2 que permite utilizar cualquier algoritmo convencional de identificación directa, donde el estimado de C p está dado Ĉ p =ΦˆΘ Figura 3. Señal de exitación vs tiempo. En las Fig. 4 a y b se muestra el resultado de la estimación para los valores de = y 3 respectivamente, en a se observa una muy buena estimación en comparación con la que se muestra en b. En la Fig. 5 a y b se observan los errores para estos dos casos. En la Fig. 6 se puede observar la evolución de los parámetros. Se observa que dos de ellos, σ y σ 3, muestran una oscilación en su valor que se reduce al transcurrir el tiempo y que es debida a la naturaleza de la señal de excitación y a limitaciones en la estructura del modelo propuesto. El valor final tomado corresponde al valor medio al que tienden a converger. Como los parámetros resultaban en juegos de valores distintos para cada valor de, se buscó lamaneradecodificarlos cambios de σ i con respecto a. Para ello se obtuvieron estimaciones de los parámetros para varios valores de. Sepropusodemaneraheurística una curva en que

4 Cp[-], Ĉp[-.-].2. Cp - Ĉp a Respuesta de la estimación de C p para = o. a Error de estimación para = o Cp[-], Ĉp[-.-] Cp - Ĉp brespuestadelaestimación de C p para =3 o. Figura 4. Señal de C p línea continua y Ĉp línea punteada vs tiempo. Caso. b Error de estimación para =3 o. Figura 5. Señal de error vs tiempo. Caso. codificara la variación observada. El resultado obtenido se puede ver en la Fig. 7. Las ecuaciones representan la codificación lograda para representar la dependencia de σ i sobre. Puede notarse que estas ecuaciones presentan un alto grado de complejidad en. σ x x σ x 4 σ = σ = σ 2 = e / σ 3 = En la Fig. 8 se observa el comtamiento del modelo dado 8 y 9 con la integración de los parámetros σ i, dados 23-26, teniendo un error medio cuadrático del 6%. Se pueden apreciar el error que se presenta en las curvas características de C p, obtenido con el modelo propuesto líneas discontinuas en relación al modelo heurístico líneas continuas. σ σ Figura 6. Comtamiento de los parámetros σ vs tiempo, para valores de = o, o,5 o,5 o,25 o y3 o,paraelcaso. B. Caso 2 Para mejorar los resultados del Caso, se buscó otra forma de representación con k 2 =., σ 3 = y k dada k = e Aunque k presenta una complejidad en su representación, el estado interno ż se reduce y se elimina un parámetro. Por lo que se tiene que

5 σ[-], ˆσ[-*-] 8 x σ[-], ˆσ[-*-] Cp[-], Ĉp[ ] σ2[-], ˆσ2[-*-] 2.5 x σ3[-], ˆσ3[-*-] x a Respuesta de la estimación de C p para = o..6 Figura 7. Parámetros σ[-] y ˆσ[-*-] vs, para el Caso..4.2 Cp[-], Ĉp[ ] Cp[-] y Ĉp[-.-] brespuestadelaestimación de C p para =3 o. Figura 9. Señal de C p linea continua y Ĉp linea punteada vs tiempo,paraelcaso2. Figura Curvas características de C p vs,paraelcaso. de generar dos modelos para los parámetros σ i,peroel error se reduce significativamente. En el primer caso se toman valores de =[, 7] o con k 2 = y k =4.35e Ĉ p = σ z + σ sgnẋ r ẋ r k2 + σ 2 sgnẋ r ẋ r k 28 Se puede observar que este modelo depende directamente de ẋ r, el cual es uno de los objetivos principales de este trabajo. Realizando el mismo procedimiento de parametrización y estimación que en el Caso, se obtuvieron los siguientes resultados; en la Fig. 9 se puede ver que en la gráfica a se mantiene una muy buena estimación, y en b se ve que se mejoró notablemente. Esto también se observa en la Fig., que muestra el error de estimación para ambos casos. En a se observa que el error se mantiene con la misma magnitud, mientras que en b, éste se redujo. Al momento de codificar los parámetros σ i en función de se tuvo el mismo grado de complejidad en las ecuaciones. El resultado global se puede observar en la Fig., donde se muestran las curvas de C p.endicha figura se puede ver que el error que se presenta es de 2%, mayor al del caso anterior. C. Caso 3 Para reducir el error que se presenta en los casos anteriores se realizó la estimación en dos partes, en relación a los valores de. Esto tiene la desventaja mientras que para =[7, 3] o, k 2 =.6 y k = e De esta manera se encontró que para = [, 7] o los parámetros están dados σ = e σ = e σ 2 = e mientras que para el caso de =[7, 3] o,están dados

6 ɛ ɛ Cp[-], Ĉp[ ] a Error de estimación para = o Figura 2. Curvas características de C p vs, para el Caso 3..2 Cp[-], Ĉp[-.-] b Error de estimación para =3 o. Figura. Señal de error vs tiempo, para el Caso Figura. Curvas características de C p vs, para el Caso 2. σ = e σ = e σ 2 = e Con estos datos se pueden observar en la Fig. 2 lascurvasdec p, donde las curvas dadas el modelo propuesto líneas punteadas presenta una buena aproximación con respecto al modelo heurístico, mostrando un error del 2%. V. Conclusiones Se presentó un estudio que deriva nuevas formas de modelar la potencia de los aerogeneradores medio del efecto de fricción que existe entre el viento y las hélices. Se obtuvó un modelo equivalente para el coeficiente de potencia a través de un modelo modificado de LuGre que permite comprender el fenómeno real que existe en la transformación de energía cinética del viento. Se obtuvo una transformación del modelo de C p que muestra una serie de curvas simétricas que permiten modelar las dos posibles formas en que una hélice puede funcionar, turbina o ventilador, y que utiliza como variable clave la diferencia de velocidades entre el viento y las hélices. Se obtuvieron tres modelos para la representación del C p,losdosúltimos muestran un muy buen comtamiento para valores fijos del ángulo de ataque. Se obtuvo un modelo global del coeficiente de potencia válido para el ángulo de ataque de [, 3] o, que reproduce muy bien el comtamiento del modelo heurístico de referencia, pero que sin embargo presenta una estructura muy compleja con dependencia en. Es necesario seguir con el estudio de la relación que existe entre las variables, ω y λ, yasí obtener caracterizaciones menos complejas de los parámetros σ i. Referencias Canudas, C., P. Dupont y B. Armstrong-Hélouvry 994. A survey of models, analysis tools and compensation methods for the control of machines with friction. Automatica 37, Heier, S Grid Integration of Wind Energy Conversion Systems. Wiley. Ioannou, Petros A. y Jing Sun 996. Robust Adaptive Control. PTR Prentice-Hall. Sbarbaro, D. y R. Peña 2. A non linear wind velocity observer for a small wind energy system. En: Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control. pp

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