Estadística Básica 1er Cuatrimestre 2012

Transcripción

1 Estadística Básica 1er Cuatrimestre 2012

2 En todo análisis y/o interpretación se pueden utilizar diversas medidas descriptivas que representan las propiedades de tendencia central, dispersión y forma, para extraer y resumir las principales características de los datos.

3 Centralización Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Posición Media, mediana y moda Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuartiles, deciles, percentiles Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Forma Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación. Asimetría

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6 La mayor parte de los conjuntos de datos muestran una tendencia a agruparse alrededor de un punto central. La media aritmética es la medida más común de centralización de un grupo de datos. Serie Simple: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x n entonces la media muestral se define como: n X = i= 1 n x i

7 Serie de Frecuencias: Si las observaciones de una muestra de tamaño n son x 1,x 2,, x i y f 1, f 2,, f i son sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como: Ejemplo: X X n i = 1 X = x f = 80 = 3,725 n i i = Nº de hijos f i n = 80

8 Intervalos de clase: Sean x m1,x m2,, x mi las marcas de clases de los intervalos y f 1, f 2,, f i sus respectivas frecuencias absolutas entonces la media muestral se define como: k X = x mi f i i= 1 n Intervalo x mi f i Ejemplo: X = 58 X = 41,14 [ ) 32 [ ) 37 [ ) 42 [ ) 47 [ )

9 Es el punto donde la muestra se divide en dos partes iguales. Serie Simple: Sean x 1,x 2,, x n una muestra ordenada en forma creciente, entonces la mediana se define como: x( n+ 1 )/2 Me = x + x 2 ( n ) n/2 /2 + 1 si n es impar si n es par

10 La ventaja de la mediana es que los valores extremos no tienen influencia sobre ella. Ejemplo 1: 1, 3, 4, 2, 7, 6 y 8 La media muestral es 4,4 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 Ejemplo 2: 1, 3, 4, 2, 7, 2450 y 8 La media muestral es 353,6 1, 2, 3, 4, 7, 8, 2450 MEDIANA MEDIANA

11 Serie de Frecuencias: Es aquel valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada es inmediatamente mayor a la mitad de las observaciones Ejemplo: El número de hijos en 80 familias se distribuye de la siguiente forma: Nº de hijos f i Fa n 2 = 80 2 = Me = 4 hijos 80

12 Intervalos de clases: Para calcular la mediana se usa la siguiente fórmula: donde: n Faa Me = L 2 inf + * a f L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a n/2. F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya Fa es mayor a n/2. a = Amplitud de los intervalos i

13 Ejemplo: n 58 = = Intervalo f i Fa [ ) 8 [ ) 14 [ ) 20 [ ) 12 [ ) Me n 58 Faa 22 = L 2 inf + * a Me = *5 = f 20 i

14 100,00 90,00 75% 80,00 70,00 Porcentajes 60,00 50,00 40,00 25% 30,00 20,00 10,00 0,00 M Putuacione s

15 Es la observación que se presenta con mayor frecuencia en la muestra. Serie Simple: Ejemplo 1: 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 10, 4, 6, 3, 1 La moda es 3. Ejemplo 2: 3, 6, 9, 3, 5, 8, 3, 10, 4, 6, 3, 1, 6, 2, 5, 6 Las modas son 3 y 6. Ejemplo 3: 1, 3, 4, 7, 8, 9, 2, 19, 6 En este caso, no hay moda.

16 Serie de Frecuencias: Nº de hijos f i La Moda son 4 hijos

17 Intervalos de clase: Para calcular el valor puntual de la moda se usa la siguiente fórmula: donde: d1 Mo = Linf + * a d + d d L inf = Límite inferior del intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta (intervalo modal). d 1 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo pre-modal. d 2 = Diferencia entre las frecuencias absolutas del intervalo modal y el intervalo post-modal. a = Amplitud de los intervalos

18 d1 Mo = Linf + * d + d 1 2 a A Agrupando en 6 clases Intervalos Frecuencias [ ) 2 [ ) 9 [ ) 13 [ ) 9 [ ) 9 [ ) 1 TOTAL 43 B Agrupando en 5 clases Intervalos Frecuencias [ ) 2 [ ) 13 [ ) 16 [ ) 11 [ ) 1 TOTAL 43 Clase Modal = [ ) Clase Modal = [ ) 4 Mo = 19,5 +.3 = Mo = 20,5 +.4 =

19 D1 D2 L i Mo a

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21 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles. 75% 25% 75% 25% Mínimo 25% 25% 25% 25% Cuartil 1 Mediana Cuartil 3 Q Cuartil 2 1 Q 3 Q 2 Máximo

22 Serie Simple: Sean x 1,x 2,, x n una muestra ordenada en forma creciente, entonces el cuartil j se define como: x( n+ 1 ) j/4 Q = x + x 2 j nj/4 nj/4 + 1 ( ) si n es impar si n es par

23 Serie de Frecuencias: Nº de hijos f i Fa Q 1 = 2 hijos n 80 j. = j. 4 4 n 80 n = = = 3. = Q 3 = 5 hijos

24 Intervalos de clases: n j. Faa Q 4 j = Linf + * a f i donde: L inf = Límite inferior del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 F aa = Frecuencia acumulada del intervalo anterior al primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4. f i = Frecuencia absoluta del primer intervalo cuya F a es mayor a j.n/4 a = Amplitud de los intervalos.

25 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en diez partes iguales, los puntos de división se conocen como deciles. 20% 80% Mínimo Decil 2 Máximo D 2

26 Cuando se divide un conjunto ordenado de datos en cien partes iguales, los puntos de división se conocen como percentil. 18% 82% Mínimo Percentil 18 Máximo P 18

27 100,00 90,00 80,00 75% 70,00 Po rcen tajes 60,00 50,00 40,00 30,00 25% 20,00 10,00 0,00 Q 1 P 40 Q Putuaciones

28 Longitud (cm) f i Fa n M e n 30 = = = =

29 Longitud (cm) f i Mo = 4 cm

30 Longitud (cm) f i Fa n D j = 9 = = =

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33 El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña : r = x x max min

34 Para el conjunto de datos x 1, x 2,.,x n Las diferencias determinan las desviaciones de la media. Dado que la suma de estas desviaciones es cero, se utiliza como medida de variabilidad el promedio de los cuadrados de tales desviaciones. s n 2 i= 1 = ( x x) i n 2 Sin embargo, como sólo hay n-1 desviaciones independientes conviene dividir entre n-1, es decir

35 n S 2 = i = 1 ( x x ) i n 1 2 Esta última será la fórmula que emplearemos

36 Esta medida de variabilidad se denomina Varianza. Como S 2 no tiene las mismas unidades que los datos, se define la Desviación Estándar como la raíz cuadrada (positiva) de la varianza a fin de tener una medida en las mismas unidades de los datos. La desviación estándar es útil para comparar dispersión entre dos poblaciones, pero también lo es para calcular el porcentaje de la población que pueden localizarse a menos de una distancia específica de la media.

37 Resumiendo Varianza para datos no agrupados 1 ) ( = = n X x S n i i Varianza para datos agrupados (Serie de ) ( 2 f X x n i i Varianza para datos agrupados (Serie de Frecuencias) 1 ) ( 1 2 = = n f X x S i i i Varianza para datos agrupados (Intervalos de clases) ( ) 1 k mi i i x X f S n = =

38 Desvío Estándar para datos no agrupados S = n 1 ( x i X n 1 i= 1 ) 2 Desvío Estándar para datos agrupados (Serie de Frecuencia) S = n 1 ( x n 1 i = 1 i X ) 2 f i Desvío Estándar para datos agrupados (Intervalos de clases) 1 k 2 S = ( xmi X ) fi n 1 i= 1 Representa la variabilidad existente en un conjunto de datos, así podemos tener dos muestras que tienen la misma media, pero que tienen diferente Desviación Estándar.

39 Nos permite la comparación entre distintas variables y poblaciones. Mide el grado de homogeneidad o heterogeneidad en una o mas poblaciones. Su principal característica es estar desprovisto de unidades. El valor se puede expresar en términos porcentuales. CV S = 100% X

40 Ejemplo: Si tenemos el peso de 5 pacientes (70, 60, 56, 83 y 79 Kg) cuya media es de 69,6 kg. y su desviación estándar (s) = 10,44 y la presión arterial de los mismos (150, 170, 135, 180 y 195 mmhg) cuya media es de 166 mmhg y su desviación estándar de 21,3. La pregunta sería: qué distribución es más dispersa, el peso o la presión arterial? Si comparamos las desviaciones estándar observamos que la desviación estándar de la presión arterial es mucho mayor; sin embargo, no podemos comparar dos variables que tienen escalas de medidas diferentes, por lo que calculamos los coeficientes de variación: CV de la variable peso = CV de la variable Presión =

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42 Forma Una tercera propiedad de un conjunto de datos es su forma, la manera en que se distribuyen los datos. Una distribución de datos puede ser simétrica o no. Si la distribución de datos no es simétrica, se le denomina asimétrica o sesgada. Todo lo que se requiere para describir la forma es comparar la media, la mediana y la modo.

43 Insesgada Moda=Mediana=Media Si X = Me = Mo : Simétrica

44 Sesgo Negativo (a la izquierda) Media Mediana Moda Si X < Me < Mo : Asimétrica Negativa

45 Sesgo Positivo (a la derecha) Moda Mediana Media Si Mo < Me < X : Asimétrica Positiva

46 N ( ) 3 i x x n i A s = i= 1 σ N 3

47 Centralización Indican valores con respecto a los que los datos parecen agruparse. Posición Media, mediana y moda Dividen un conjunto ordenado de datos en grupos con la misma cantidad de individuos. Cuartiles, deciles, percentiles Dispersión Indican la mayor o menor concentración de los datos con respecto a las medidas de centralización. Forma Rango, Varianza, Desviación típica, Coeficiente de Variación. Asimetría

48 www3.fi.mdp.edu.ar\estadisticabasicawww 3. En este sitio el alumno podrá: Obtener información actualizada de la asignatura. Descargar el material teórico y práctico aportado por la cátedra. Consultar el cronograma de exámenes. Notificarse de las calificaciones obtenidas en las distintas evaluaciones.

49 En este sitio el alumno podrá: Comunicarse con la cátedra. Explorar sugerencias y materiales de estudio. Complementar lo desarrollado en clase. Notificarse de las calificaciones obtenidas en las distintas evaluaciones

50 Un proyecto de análisis de datos comienza con un problema que se resuelve aplicando el método estadístico. Planteo del Problema. Su relevancia Planteo de las preguntas. Identificación de las variables y de los objetivos del proyecto. Descripción de la población, de la muestra y de la técnica de recolección utilizada. Presentación del informe con los resultados y las conclusiones NO Se resuelve el problema? Recopilación de la información muestral Presentación de los datos: Tablas de frecuencias. Gráficos. Medidas de tendencia central y de variabilidad. SI Análisis e interpretación de los datos, coherencia entre el problema y los objetivos

51 Problemas referidos al consumo, por ejemplo: a) de combustible, b) de gas, c) de energía eléctrica, d) de bebidas sin alcohol y alcohólicas. e) del tipo de comidas ingeridas por los alumnos. f) gastos mensuales de los alumnos (caracterizar rubros)