A. VECTORES 1. VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES

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1 RESUMEN DE GEOMETRÍA MATEMÁTICAS II A. VECTORES 1. VECTORES FIJOS Y VECTORES LIBRES Un vector fijo de origen A y extremo B, siendo A y B puntos del espacio, es un segmento orientado caracterizado por: - Módulo o longitud del segmento orientado. - Dirección, que es la recta que contiene al vector. - Sentido u orientación de la recta, en este caso de A hacia B. La flecha indica el sentido y el módulo es la distancia entre A y B. Llamaremos vector libre al conjunto de todos los vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido (vectores fijos equipolentes) que uno dado. Se suelen representar por u r, v r, Si u r es el vector libre formado por todos los vectores fijos equipolentes al vector fijo AB también se puede representar por [ AB ].. OPERACIONES CON VECTORES LIBRES SUMA Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 1

2 PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR. DEPENDENCIA LINEAL, BASES, COORDENADAS. Nº de vectores Posición Dependencia lineal? Alineados Lin. dependientes No alineados Lin. Independientes Coplanarios Lin. Dependientes No coplanarios Lin. Independientes Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página

3 Un conjunto de vectores es una base si: - son linealmente independientes, y - si cualquier otro vector se puede poner como combinación lineal de ellos. En el espacio, tres vectores de distinta dimensión forman una base. La base más utilizada es la base ortonormal: r r r r r r r r r r B = i, j, k ; i = j = k = 1 y i j, i,k r r { } y j k Una base es ortogonal si los vectores son perpendiculares dos a dos. 4. OPERACIONES CON COORDENADAS. S Si A = (a 1, a, a ) y B = (b 1, b,b ) AB = (b 1 a 1, b a, b a ) ) Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página

4 5. PRODUCTO ESCALAR. Expresión analítica: r r r respecto de B { i, j, k } Aplicaciones: = ORTONORMAL Interpretación geométrica del producto escalar: Cómo halla un vector unitario de la misma dirección y sentido que uno dado: Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 4

5 6. PRODUCTO VECTORIAL. El producto vectorial es 0 si: - Uno de los dos vectores es el vector cero. - Si los dos vectores tienen la misma dirección. Exp. analítica: Propiedades: 7. PRODUCTO MIXTO Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 5

6 Las propiedades del producto mixto se deducen de las propiedades de los determinantes B. PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO 8. SISTEMAS DE REFERENCIA EN EL ESPACIO Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto (origen de coordenadas) y por una base. Normalmente se trabaja con un sistema de referencia ortonormal, cuya base es ortonormal. En un sistema de referencia cualquier punto del espacio P tiene tres coordenadas que son las coordenadas del vector de posición del punto. P OP, vector de posición de P Coordenadas de P Coordenadas de OP = ( p, p, p ) 1 Coordenadas de un vector: A = ( a1,a,a ) y B = ( b1,b,b ) AB = ( b1 a1, b a, b a ) Coordenadas del punto medio de un segmento: a1 + b1 a A = ( a1,a,a ) y B = ( b1,b,b ) M = (, + b a, + b ) Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 6

7 9. ECUACIONES DE LA RECTA EN EL ESPACIO Sea r la recta que pasa por el punto A y tiene la dirección del vector Ecuación vectorial: OX = OA+ λ AX ( x,y,z ) = ( a1,a,a ) + λ ( d1,d,d ) Si la recta r estuviese determinada por dos puntos A y B, pasaríamos a este caso tomando por el punto de la determinación, cualquiera de los dos puntos y por el vector director el vector AB o el BA Ecuaciones paramétricas: = a1 + λ d1 y = a + λ d z = a + λ d Ecuación en forma continua: x a d 1 1 y a = d z a = d Ecuaciones implícitas: x a d1 x a d1 1 1 y a = d z a = d Ax + By + Cz + D A' x + B' y + C' z + D' Nota: son las ecuaciones de dos planos 9. ECUACIONES DEL PLANO EN EL ESPACIO Sea π el plano determinado por el punto A y por los vectores directores Ecuación vectorial y OX = OA+ λ AX = OA+ λ u + µ v ( x,y,z ) = ( a1,a,a ) + λ ( u1,u,u ) + µ ( v1,v,v ) Si el plano π estuviese determinado por tres puntos A, B y C, pasaríamos al caso anterior tomando por el punto de la determinación, cualquiera de los tres puntos y por los vectores directores los vectores AB y AC (u otros). Ecuaciones paramétricas: = a1 + λ u1 + µ v1 y = a + λ u + µ v z = a + λ u + µ v u u u 1 v v v 1 Ecuación implícita: x a y a z a 1 Ax+By+Cz+D=0; Se demuestra que (A,B,C) son las coordenadas de un vector normal al plano. Ecuación normal: Si π: Ax+By+Cz+D=0 A ( x a ) 1 ) + B( y a ) + C( z a = siendo (A,B,C) = vector normal al plano Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 7 0

8 Ecuaciones de los ejes de coordenadas: Ecs. Paramétricas Ec. en forma continua Ecs. Implícitas Eje X: = λ x y z y A = (0,0,0) = = y z = (1,0,0) z Eje Y: x y z A = (0,0,0) = = y = λ = (0,1,0) z Eje Z: A = (0,0,0) y = (0,0,1) z = λ Ecuaciones de los planos coordenados Plano XY: A = (0,0,0) = (1,0,0) = (0,1,0) Plano XZ: A = (0,0,0) = (1,0,0) = (0,0,1) Plano YZ: A = (0,0,0) = (0,1,0) = (0,0,1) Ecs. Paramétricas x y z = = Ec. Implícita = λ z y = µ z = λ y z = µ y x y = λ z = µ z y 10. POSICIONES RELATIVAS DE PLANOS Y RECTAS EN EL ESPACIO A. RECTA RECTA: Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan rango ( dr,ds,rs ) = 1 rango ( dr,ds,rs ) = rango ( dr,ds ) = 1 rango ( dr,ds,rs ) = rango ( dr,ds ) = rango ( dr,ds,rs ) = Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 8

9 B. RECTA PLANO: Recta contenida en el plano Recta secante al plano Recta paralela al plano Sistema Compatible Indeterminado Sistema Compatible Determinado Sistema Incompatible = a1 + λ d1 Sea r : y = a + λ d y π : Ax + By + Cz + D. z = a + λ d Al hacer A (a 1 + λ d 1 ) + B (a + λ d ) + C (a + λ d ) + D, se obtiene una ecuación de grado 1 cuya incógnita es λ. Recta contenida en el plano Recta secante al plano Recta paralela al plano La ecuación tiene infinitas soluciones (0=0) La ecuación tiene una solución (λ = número) La ecuación NO tiene solución (0=5) Sea = a1 + λ d1 r : y = a + λ d z = a + λ d y π : Ax + By + Cz + D. A ( a,a,a ), d r = ( d,d,d ) y n = ( A,B,C ) = 1 1 π Recta contenida en el plano Recta secante al plano Recta paralela al plano d r nπ y A π 0 n π d r d r nπ y A π Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 9

10 C. PLANO PLANO: Sean π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 y π : A x + B y + C z + D los dos planos. Se considera el sistema de tres incógnitas formado por las dos ecuaciones de los dos planos. Sea A la matriz de coeficientes de ese sistema y A la matriz ampliada de ese sistema. Los planos son coincidentes Los planos son paralelos Los planos son secantes (se cortan en una recta) Sistema Compatible Indeterminado (solución: dos parámetros) Sistema Incompatible Sistema Compatible Indeterminado (solución: un parámetro) D. PLANO PLANO PLANO: Sean π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1, π : A x + B y + C z + D y π : A x + B y + C z + D los tres planos. Se considera el sistema de tres incógnitas formado por las tres ecuaciones de los tres planos. Sea A la matriz de coeficientes de ese sistema y A la matriz ampliada de ese sistema. Los planos son coincidentes Los planos son paralelos Los planos se cortan en un punto (forman un triedro) Rango A = 1 = rango A Sistema Compatible Indeterminado (Solución: dos parámetros) Los planos se cortan en una recta Rango A = 1 < = rango A Sistema Incompatible (No hay Solución) Rango A = = rango A Sistema Compatible Determinado (Solución: Un punto) Los planos se cortan dos a dos en una recta o hay dos planos paralelos y el otro los corta Rango A = = rango A Sistema Compatible Indeterminado (Solución: un parámetro) Rango A = < = rango A Sistema Incompatible (No hay Solución al sistema) 11. HAZ DE PLANOS Se llama haz de planos a los infinitos planos que pasan por una recta r. Si r viene dada π : Ax + By + Cz + D por r : el haz de planos está formado por los planos π' : A' x + B' y + C' z + D' Ax + By + Cz + D + λ ( A' x + B' y + C' z + D' ) λ R más el plano π Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 10

11 1. PROYECCIONES A. Proyección de un punto sobre un plano B. Proyección de un punto sobre una recta C. Proyección de una recta sobre un plano Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 11

12 1. ELEMENTOS SIMÉTRICOS A. Simétrico de un punto respecto a otro punto B. Simétrico de un punto respecto a una recta C. Simétrico de un punto con respecto a un plano Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 1

13 14. ÁNGULOS A. Ángulo de dos vectores B. Ángulo de dos rectas (que se cortan o que se cruzan) C. Ángulo de recta y plano D. Ángulo de dos planos Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 1

14 15. DISTANCIAS A. Distancia entre dos puntos B. Distancia de un punto a una recta C. Distancia de un punto a un plano. D. Distancia entre dos rectas paralelas. E. Distancia de una recta a un plano paralelo a ella. Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 14

15 E. Distancia entre dos rectas que se cruzan F. Distancia entre dos planos paralelos. También: 15. LUGARES GEOMÉTRICOS. ESFERA A. Plano mediador Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 15

16 B. Planos bisectores de dos planos dados que se cortan en una recta C. Esfera Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 16

17 Resumen de Geometría. Matemáticas II. Página 17