Factorización 3. FACTORIZACION

Transcripción

1 UNIDAD Fctorizción. FACTORIZACION Sbemos que el orden de los fctores no lter el producto (propiedd conmuttiv). Recordemos que si (5)()=15 decimos que el 5 el son fctores de 15. Anteriormente recordmos l propiedd distributiv 6(+)=18+ Además: k ( m s ) k ( m) k ( s ) 5s (7s 9) 5s 5s Fctorizr un epresión consiste en epresrl como el producto de sus fctores. Por ejemplo l epresión 6 se puede epresr como ()( )( )..1. CASOS DE FACTORIZACION.1.1. Fctor Común: Se reconoce si h fctores "repetidos "en l prte literl o en los coeficientes. Ejemplos: Fctorizr: Observmos que tnto como contienen el fctor común. Se fctoriz: El fctor común por; dentro del préntesis escribimos los cocientes de dividir cd término de l epresión entre el fctor común. ( Además ); qued entonces: ( ) Fctorizr: 6m 1m Observemos que los coeficientes 6 1 tienen fctor común,, 6. Tommos el 6 porque siempre tommos el fctor común mor. De ls letrs el fctor común es m (porque está en los dos términos, observe que m m m ) luego el fctor común es 6m. Se fctoriz: El fctor común 6m por ; dentro del préntesis escribimos los cocientes de dividir cd término entre el fctor común 6m. Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 9

2 Fctorizción 6m 1m ( demás m ); qued entonces : 6m 6m 6m 1m 6m ( m) Fctorizr: Observemos que los coeficientes 16, 8,, 0 tienen fctor común 8. Tommos el 8 porque siempre tommos el fctor común mor. De ls letrs el fctor común es (porque están en todos términos). Luego el fctor común es: 8 Se fctoriz: El fctor común cocientes de dividir cd término entre el fctor común; 8 por; dentro del préntesis escribimos los ; 1 ; ; Qued entonces: 16 8 Fctorizr: 0 8 ( 1 5 ) 1) bc bc 5 )b bc ) ) ) 6) 15 c 5 10)18 9 9) c )5m 15m 7 8) 8 11) z z.1.. Trinomio Cudrdo Perfecto. Un trinomio cudrdo perfecto se reconoce si tiene "tres términos"; l primero l tercero se le puede scr ríz cudrd ect, el segundo término es el doble producto de ls dos ríces cudrds. Fctorizr: 1 Observmos que tiene "tres" términos; l primero se le puede scr ríz cudrd ect que es ; l tercer término que es 1 se le puede scr ríz cudrd ect que es 1. Y el segundo término ; es el doble producto de ls dos ríces ( )(1) Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 0

3 Fctorizción Como es Trinomio Cudrdo Perfecto se fctoriz como: l sum de ls dos ríces elevd l cudrdo. Qued entonces: 1 1 (Si el signo del segundo término es menos () se fctoriz como l diferenci elevd l cudrdo). Fctorizr: m 0mp 5p Observmos que tiene "tres" términos; l primero m se le puede scr ríz cudrd ect que es m ; l tercer término que es 5p se le puede scr ríz cudrd ect que es 5 p. Y el segundo término 0mp ; es el doble producto de ls dos ríces (m )(5p ) 0mp Como es Trinomio Cudrdo Perfecto se fctoriz como: l diferenci de ls dos ríces elevd l cudrdo. Qued entonces: m 0mp 5p m 5p 1) 10 5 )9 6 ) ) ) 6mn 9 7).1.. Diferenci de Cudrdos. ) )1 1 9 mn 9) L diferenci de cudrdos se reconoce si tiene "dos" términos, seprdos con signo "menos" mbos términos se le puede scr ríz cudrd ect. Fctorizr: 16 Observmos que tiene "dos" términos, seprdos con signo "menos"; mbos se le puede scr ríz cudrd ect: l ríz de 16 es ; l ríz de es. Como es un diferenci de cudrdos se fctoriz como: l sum de ls dos ríces por l diferenci de ls dos ríces. Qued entonces: 16 Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 1

4 Fctorizción Fctorizr: 9 z Observmos que tiene "dos" términos, seprdos con signo "menos"; mbos se le puede scr ríz cudrd ect: L ríz de 9 es ; l ríz de z es z. Como es un diferenci de cudrdos se fctoriz como: l sum de ls dos ríces por l diferenci de ls dos ríces. Qued entonces: 9 z z z 1) 5 5) )5 100 b )11 8 6) b c ) 9 10)9 z.1.. Trinomio de l Form b c 7)100 )1 9 b 6 6 m n 169 8) m n 1 11) p 16 b c Un trinomio de l form b c. Se reconoce si tiene "tres términos" si es posible encontrr (por tnteo), dos números que multiplicdos den el término independiente, que es (c ) sumdos den el coeficiente de l que es (b). Ejemplos: Fctorizr: 8 15 Observmos que tiene "tres" términos. El término independiente es el 15 el coeficiente de l es el 8. Buscmos por tnteo dos números que multiplicdos den el término independiente 15 sumdos den el coeficiente de l que es 8. Esos números son el 5 el. Puesto que 5()=15, demás 5+=8. Como es un trinomio de l form b c se fctoriz como: el producto de dos binomios cuo primer término es l ríz cudrd de que es, se complet con los números encontrdos (5 ) Qued entonces: Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin

5 Fctorizción Fctorizr: 9 18 Observmos que tiene "tres" términos. El término independiente es el 18 el coeficiente de l es el 9 Buscmos por tnteo dos números que multiplicdos den el término independiente 18 sumdos den el coeficiente de l que es 9. Esos números son el 6 el. Puesto que ( 6)( ) 18 demás 6 ( ) 9 Como es un trinomio de l form b c se fctoriz como: el producto de dos binomios cuo primer término es l ríz cudrd de que es, se complet con los números encontrdos ( 6 ) Qued entonces: ) 5 ) 15 ) 7 6 ) 5) ) m 1m 11 7) m m 168 8) c c 15 9) 5 10) ) c 1c 1 1) Trinomio de l Form: b c Antes de nlizr este cso recordemos los ejemplos relizdos nteriormente de l form b c observe que observe que ve ( ) 5( ) 1 7 Ejemplos: Fctorizr: 7 6 Observe que es un trinomio de l form b c Multiplicmos todo el trinomio por el coeficiente de l, que es el ; dividimos por pr que no se ltere el trinomio. Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin

6 Fctorizción ( ) 7( ) 18 ( ojo 9 fctorizndo como en el cso nterior nos qued: demás (7 ) 7( )) ( 9)( ) (No olvide ;dos números que multiplicdos den 18 sumdos den 7). Se fctoriz nuevmente hor (fctor común), 9 ( ) ( )( ) ( )( ) Luego qued: 7 6 = ( )( ) Fctorizr: 11 5 Observe que es un trinomio de l form b c Multiplicmos todo el trinomio por el coeficiente de l, que es el dividimos por pr que no se ltere el trinomio. ( ) 11( ) 10 ( ojo fctorizndo como en el cso nterior nos qued: demás (11 ) 11( )) ( 10)( 1) den 11). (No olvide ;dos números que multiplicdos den 10 sumdos Se fctoriz nuevmente hor (fctor común), 10 ( 5) ( 5)( 1) ( 5)( 1) Luego qued: 11 5 = ( 5)( 1) 1) ) 5 )6 7 ) ) )1 6 7) 1 8) )1m 1m 5 10)0 1 11) )7 5 Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin

7 Fctorizción.1.6. Sum o Diferenci de Cubos Perfectos. b ( b) ( b b ) b ( b) ( b b ) Luego si se tiene un sum de dos cubos perfecto se fctoriz: l sum de sus ríces cúbics, por el cudrdo de l primer ríz menos el producto de ls dos ríces, más el cudrdo de l segund ríz Si tenemos hor l diferenci de dos cubos perfectos se fctoriz: L diferenci de sus ríces cúbics por el cudrdo de l primer ríz más el producto de ls dos ríces, más el cudrdo de l segund ríz. Ejemplos: Fctorizr: 1 L ríz cúbic de es ; l ríz cúbic de 1 es 1. Como es un diferenci de cubos se fctoriz: 1 ( 1) (1) ( 1)( 1) Fctorizr: 7 L ríz cúbic de es ; l ríz cúbic de 7 es. Como es un sum de cubos se fctoriz: 7 ( ) ( ) Fctorizr: ( )( L ríz cúbic de 8 9) 8 es 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1 ; l ríz cúbic de es. ) 1)1 5) 1 9)1 16m ) 6)7 b 10)7m 6n ) n m ) 1 7)6 6 8) ) 1) 8b Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 5

8 Fctorizción Ejercicios de todos los csos estudidos. 1) b 10b 5 ) 6 9 ) )6b 10b b 7) 10)t t 5) 8) ) 6 9)7b 1 11)1 b 1)15m 11m 1 1) ) n n 17) 7 19 )5b b b 1) 0 15) )1 9 m 1) 0 0) m.. PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES Se llmn Productos Notbles ciertos productos que cumplen regls fijs cuo resultdo puede ser escrito por simple inspección; sin necesidd de relizr l multiplicción pso pso. b Sbemos que elevr l cudrdo signific multiplicr dos veces l cntidd por sí mism. (No olvide que por ej: ). De igul mner l elevr l cudrdo b equivle multiplicr l cntidd por..1. Cudrdo de l sum de dos cntiddes. si mism sí: b b b Efectuemos el producto pso pso: b b b b b b b b O se que b b Luego el cudrdo de l sum de dos cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd más el duplo de l primer cntidd por l segund más el cudrdo de l segund cntidd Escribir por simple inspección: m Cudrdo de l primer cntidd... m El duplo de l primer por l segund cntidd... ( m)() 6m Cudrdo de l segund cntidd... 9 Luego m m 6m 9 6 Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 6

9 Fctorizción Escribir por simple inspección. 6 b Cudrdo de l primer cntidd El duplo de l primer por l segund cntidd... (6 )( b) 1b Cudrdo de l segund cntidd... 6 b 6 1b b Luego b b b Utilizndo un proceso similr l nterior en este cso los signos dn intercldo ; ;... Cudrdo de l diferenci de dos cntiddes. b b b Es decir Escribir por simple inspección. b Cudrdo de l primer cntidd... El duplo de l primer por l segund cntidd ( )(b ) b 6 Cudrdo de l segund cntidd... b 16 b 9b 6 Luego Escribir por simple inspección 1) ) ) ) m 5n ) 10 7) n... Cubo de un binomio b b 9b ) 8b 5 m 8) 8 9 Sbemos que elevr l cubo signific multiplicr tres veces l cntidd por sí mism. (No olvide que por ej: De igul mner l elevr l cubo b mism sí: b b b b ). equivle multiplicr l cntidd por si Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 7

10 Fctorizción Efectuemos el producto pso pso: b b b b b b b b b b b b b b b b O se que ( b) b b b Luego el cubo de l sum de dos cntiddes es igul l cubo de l primer cntidd más el triplo del cudrdo de l primer cntidd por l segund, más el triplo de l primer por el cudrdo de l segund, más el cubo de l segund. Por simple inspección hllr: ( m ) Aplicndo l definición: ( m ) m m () m() m 6m 1m 8... Cubo de l diferenci de dos cntiddes. b Utilizndo un proceso similr l nterior en este cso los signos dn intercldo ; ; ;, b b b b Es decir Por simple inspección hllr: Aplicndo l definición: ( ) ( ) Escribir por simple inspección ) m 1 1) ) 5b Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 8

11 Fctorizción.. COCIENTES NOTABLES Se llmn Cocientes Notbles ciertos cocientes que cumplen regls fijs cuo resultdo puede ser escrito por simple inspección; sin necesidd de relizr l división pso pso...1. Cociente entre l diferenci del cudrdo de dos cntiddes entre l sum o diferenci de ess cntiddes. b Se el cociente: efectuemos l división, nos qued. b b b b b b b b b Luego b b b 0 L diferenci de los cudrdos de dos cntiddes dividid por l sum de ess cntiddes es igul l diferenci de ls cntiddes. Ejemplos: Resolver los siguientes cocientes notbles (sin relizr l división) Dividir: entre Dividir: entre Dividir: n 9m entre mn 9m n mn mn Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 9

12 Fctorizción b Se el cociente: efectuemos l división, nos qued. b b b b b b b b Luego b b b b 0 L diferenci de los cudrdos de dos cntiddes dividid por l diferenci de ess cntiddes es igul l sum de ls cntiddes. Ejemplos: Resolver los siguientes cocientes notbles (sin relizr l división) Dividir: Dividir: entre entre Dividir: z entre z z z z Resolver por simple inspección, los siguientes cocientes: 1 9 1) ) ) 1 b ) b b 5) 9 10b 1 b 8) 1 b b 6) b m n 1 n 9) 10) m n 1 n 7) Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 0

13 Fctorizción... Cociente de l sum o diferenci de los cubos de dos cntiddes entre l sum o diferenci de ess cntiddes. Se el cociente: b efectuemos l división, nos qued. b b b b b b b b Luego b b b b b b b b b 0 L sum de los cubos de dos cntiddes dividid por l sum de ls cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd, menos el producto de l primer por l segund, más el cudrdo de l segund cntidd Resolver los siguientes cocientes notbles (sin relizr l división) Dividir: 1 entre Dividir: m 15 entre m 5n 7 n 7m 15n m 5n 9m 15mn 5n m m 5 n 5n Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin 1

14 Fctorizción Se el cociente: b efectuemos l división, nos qued. b b b b b b b b Luego b b b b b b b b b 0 L diferenci de los cubos de dos cntiddes dividid por l diferenci de ls cntiddes es igul l cudrdo de l primer cntidd, más el producto de l primer por l segund, más el cudrdo de l segund cntidd Ejemplos: Resolver los siguientes cocientes notbles (sin relizr l división) Dividir: 8 1 entre Dividir: entre Resolver por simple inspección, los siguientes cocientes: 1 1) ) 1 6 ) 7 b ) b 1 b 5) 1 b 9 6 b 8) b ) 79 51b 6) 9 8b 15 9) Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin

15 Fctorizción Utilizndo GeoGebr, fctorice l epresión: nm mn 6m 1) Abr un nuevo rchivo en el progrm geogebr. ) En el menú vist, despliegue l opción Cálculo Simbólico (CAS),cierre l vist lgebric l vist gráfic. ) Digite n * m n * m 6m (no olvide el *) ) En ls herrmients de clic en el botón fctoriz 5) Nos d m nm n Utilizndo procedimiento similr l nterior fctorice: i ) 10 5 Observe nos d 5 ii ) 16 9 Observe nos d ) m 5m 1 m 7 m iii Observe nos d iv ) 5 Observe nos d 1 Alfonso López Asprill Mtemátics 8º Págin