Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

Transcripción

1 Jesús Grcí de Jlón de l Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid

2 Diferencil de un función

3 Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible. df = f (x) dx

4 Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible. df = f (x) dx Geométricmente, l diferencil es el incremento en l ordend de l rect tngente en el punto x, correspondiente un incremento de l vrible dx (diferencil de x).

5 Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible. df = f (x) dx Geométricmente, l diferencil es el incremento en l ordend de l rect tngente en el punto x, correspondiente un incremento de l vrible dx (diferencil de x). Es común representr l derivd de un función como cociente de diferenciles: f (x) = df dx

6 Diferencil de un función En generl f y df no son igules. Sin embrgo, son infinitésimos equivlentes cundo dx tiende cero: lím dx 0 f df = lím dx 0 f dx df dx = f (x) f (x) = 1 Es por esto que se suele interpretr l diferencil df como el incremento de l función correspondiente un incremento infinitesiml de l vrible dx.

7 Diferencil de un función En generl f y df no son igules. Sin embrgo, son infinitésimos equivlentes cundo dx tiende cero: lím dx 0 f df = lím dx 0 f dx df dx = f (x) f (x) = 1 Es por esto que se suele interpretr l diferencil df como el incremento de l función correspondiente un incremento infinitesiml de l vrible dx. Ls regl de diferencición son similres ls regls de derivción, por ejemplo: d(uv) = u dv + v du ( u ) v du u dv d = v v 2

8 Primitivs de un función Definición L función F (x) es un primitiv de f(x) si F (x) = f(x).

9 Primitivs de un función Definición L función F (x) es un primitiv de f(x) si F (x) = f(x). Si F (x) es un primitiv de f tmbién lo es F (x) + C donde C es un constnte culquier.

10 Primitivs de un función Definición L función F (x) es un primitiv de f(x) si F (x) = f(x). Si F (x) es un primitiv de f tmbién lo es F (x) + C donde C es un constnte culquier. Si F (x) y G(x) son primitivs de f su diferenci es constnte: G(x) = F (x) + C

11 Integrl indefinid Definición El conjunto de tods ls primitivs de l función f se llm integrl indefinid de f y se represent por: f(x) dx

12 Integrl indefinid Definición El conjunto de tods ls primitivs de l función f se llm integrl indefinid de f y se represent por: f(x) dx Si F (x) es un primitiv culquier de f: f(x) dx = F (x) + C donde C es un constnte rbitrri.

13 Propieddes de l integrl indefinid L integrl de un sum es l sum de ls integrles: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx

14 Propieddes de l integrl indefinid L integrl de un sum es l sum de ls integrles: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx Ls constntes pueden slir del signo integrl: kf(x) dx = k f(x) dx

15 Propieddes de l integrl indefinid L integrl de un sum es l sum de ls integrles: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx Ls constntes pueden slir del signo integrl: kf(x) dx = k f(x) dx Integrl de un diferencil: df = f(x) + C

16 Propieddes de l integrl indefinid L integrl de un sum es l sum de ls integrles: (f(x) ± g(x)) dx = f(x) dx ± g(x) dx Ls constntes pueden slir del signo integrl: kf(x) dx = k f(x) dx Integrl de un diferencil: df = f(x) + C Regl de integrción por prtes: u dv = uv v du

17 Integrles inmedits x n dx = xn+1 n C e x dx = e x + C sen x dx = cos x + C 1 dx = ln x + C x x dx = x ln + C cos x dx = sen x + C 1 cos 2 dx = tg x + C x 1 sen 2 dx = cotg x + C x 1 dx = rtg x + C 1 + x2 1 1 x 2 dx = rsen x + C

18 Integrles inmedits: observciones No existe nd precido l regl de l cden que permit integrr funciones compuests.

19 Integrles inmedits: observciones No existe nd precido l regl de l cden que permit integrr funciones compuests. Ls fórmuls nteriores siguen siendo válids si se sustituye x por x + ( constnte). Por ejemplo: cos (x + π) dx = sen (x + π) + C

20 Integrles inmedits: observciones No existe nd precido l regl de l cden que permit integrr funciones compuests. Ls fórmuls nteriores siguen siendo válids si se sustituye x por x + ( constnte). Por ejemplo: cos (x + π) dx = sen (x + π) + C Si se sustituye x por kx hy que dividir en el segundo miembro por k: cos 2x dx = 1 sen 2x + C 2

21 Integrl definid

22 Integrl definid

23 Integrl definid

24 Integrl definid

25 Integrl definid

26 Integrl definid

27 Integrl definid: definición Definición (Integrl definid) Se f un función definid en [, b]. Dividmos este intervlo en subintervlos de longitud dx. L sum de los productos f(x) dx cundo dx tiende cero se llm integrl definid de l función f entre y b y se represent por: b f(x) dx

28 Integrl definid: interpretción geométric Si l función f(x) es positiv en el intervlo [, b], l integrl definid es el áre comprendid entre l curv y = f(x), el eje de bsciss y ls rects x = y x = b.

29 Integrl definid: interpretción geométric Si l función f(x) es positiv en el intervlo [, b], l integrl definid es el áre comprendid entre l curv y = f(x), el eje de bsciss y ls rects x = y x = b. Si f(x) es negtiv en [, b], l integrl es igul l áre comprendid entre l curv, el eje y ls rects cmbid de signo.

30 Integrl definid: interpretción geométric Si l función f(x) es positiv en el intervlo [, b], l integrl definid es el áre comprendid entre l curv y = f(x), el eje de bsciss y ls rects x = y x = b. Si f(x) es negtiv en [, b], l integrl es igul l áre comprendid entre l curv, el eje y ls rects cmbid de signo. Finlmente, si l función cmbi de signo en el intervlo, l integrl es igul l diferenci entre l porción de áre que qued sobre el eje OX y l que qued por debjo.

31 Integrl definid: propieddes 1 Límites igules: f(x) dx = 0

32 Integrl definid: propieddes 1 Límites igules: f(x) dx = 0 2 Cmbio de límites: b f(x) dx = b f(x) dx

33 Integrl definid: propieddes 1 Límites igules: f(x) dx = 0 2 Cmbio de límites: b f(x) dx = b f(x) dx 3 Aditividd respecto l intervlo: b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx

34 Teorem del vlor medio

35 Teorem del vlor medio del cálculo integrl Teorem (del vlor medio) Si f es un función continu en, b l integrl de f en [, b] es igul l longitud del intervlo por el vlor de f en un punto intermedio: b f(x) dx = (b )f(ξ) ξ (, b)

36 Teorem del vlor medio del cálculo integrl Teorem (del vlor medio) Si f es un función continu en, b l integrl de f en [, b] es igul l longitud del intervlo por el vlor de f en un punto intermedio: b f(x) dx = (b )f(ξ) ξ (, b) Demostrción. Por el teorem de Weierstrss l función f lcnz unos vlores M y m máximo y mínimo bsoluto. Entonces: m(b ) b f(x) dx M(b )

37 Teorem del vlor medio del cálculo integrl continución. Dividiendo por b ; m 1 b b f(x) dx M

38 Teorem del vlor medio del cálculo integrl continución. Dividiendo por b ; m 1 b b f(x) dx M Por el teorem de Bolzno, l función f tom todos los vlores intermedios entre m y M. Por tnto, existe ξ (, b) tl que: 1 b b f(x) dx = f(ξ)

39 Teorem del vlor medio del cálculo integrl continución. Dividiendo por b ; m 1 b b f(x) dx M Por el teorem de Bolzno, l función f tom todos los vlores intermedios entre m y M. Por tnto, existe ξ (, b) tl que: y por consiguiente: 1 b b b f(x) dx = f(ξ) f(x) dx = (b )f(ξ)

40 Teorem fundmentl del cálculo integrl Teorem (Teorem fundmentl del cálculo integrl) Se f un función continu en el intervlo [, b]. L función: F (x) = x f(t) dt dependiente del límite superior de l integrl, es un primitiv de f, es decir, F (x) = f(x).

41 Teorem fundmentl del cálculo integrl

42 Teorem fundmentl del cálculo integrl

43 Teorem fundmentl del cálculo integrl

44 Teorem fundmentl del cálculo integrl

45 Teorem fundmentl del cálculo integrl Demostrción. F (x) = lím h 0 1 = lím h 0 h 1 = lím h 0 h F (x + h) F (x) h [ x+h x+h x f(t) dt f(t) dt x ] f(t) dt 1 = lím hf(ξ) ξ (x, x + h) h 0 h = f(x)

46 Regl de Brrow Teorem Se f un función continu en [, b] y F un primitiv culquier de f. Entonces: b f(x) dx = F (b) F ()

47 Regl de Brrow Teorem Se f un función continu en [, b] y F un primitiv culquier de f. Entonces: b f(x) dx = F (b) F () Por ejemplo: π 0 sen x dx = [ ] π cos x = ( cos π) ( cos 0) = 2 0

48 Regl de Brrow Demostrción. Por el teorem fundmentl: Pr x = : de modo que: x f(x) dx = F (x) + C f(x) dx = F () + C = 0 = C = F () x f(x) dx = F (x) F () y sustituyendo x = b result el teorem.