El plano cartesiano y gráficas de ecuaciones en dos variables. MECU 3031 Sec. 4.1 Arya 5ta ed.
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- José Ángel Poblete Quintana
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1 El plano cartesiano y gráficas de ecuaciones en dos variables MECU 3031 Sec. 4.1 Arya 5ta ed.
2 Sistema de coordenadas cartesianas En una dimensión, una recta numérica asocia cada número real con un punto sobre la recta. En dos dimensiones, se asocian puntos en un plano con pares ordenados de números reales. Slide 1.1-2
3 El plano de coordenadas cartesianas Dos líneas perpendiculares llamadas eje de x y eje de y: Dividen el plano en cuatro cuadrantes La intersección de los dos ejes se llama el origen. Cada punto P en el plano corresponde a un par ordenado (x, y) de coordenadas. Los signos de las coordenadas cambian según el cuadrante donde se encuentran. P Slide 1.1-3
4 Localización de puntos en el plano La primera coordenada, x, indica las unidades a moverse a la izquierda o la derecha, partiendo del origen. La segunda coordenada, y, nos indica las unidades a moverse hacia arriba o hacia abajo. Ejemplo: Localizar ( 3, 5). ( 3, 5) Partiendo de el origen, mover 3 unidades hacia la izquierda. Luego, mover 5 unidades hacia arriba. Marca el punto.
5 Identificar las coordenadas de los puntos Cuáles son las coordenadas de: A? B? C? D? E? F? G?
6 Ecuaciones y soluciones Muchas situaciones se pueden decribir matemáticamente usando una ecuación en la que aparecen dos variables. Ejemplos: 2x + 3y = 18 2x 2 3y + x 3 = 0 y = 3 4x 1 Una solución de una ecuación en dos variables es un par ordenado, (a, b), para el cual la sustitución del primer valor en x y el segundo valor en y produce un enunciado cierto.
7 Ejemplos a. Determina si el par ordenado ( 5, 7) es una solución de 2x + 3y = 18. b. Determina si el par ordenado (3, 4) es una solución de 2x + 3y = 18. Slide 1.1-7
8 Gráfica de una Ecuación Las ecuaciones en dos variables tienen una infinidad de soluciones. Como no podemos enumerar todas las soluciones de una ecuación en dos variables, construimos un dibujo, llamado gráfica, que representa el conjunto de todas las soluciones de la ecuación. Para construir una gráfica identificamos pares ordenados que son soluciones de la ecuación. Unos pares ordenados especiales de una ecuación se llaman los interceptos de la ecuacion.
9 Intercepto en x El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de x se conoce como el intercepto en x, (abreviaremos int-x). Ejemplo: Se presenta la gráfica de x + 2y = 7. El intercepto en x es (7,0).
10 Intercepto en x (cont.) El int-x es un punto con forma (a, 0). Para hallar el valor de a, asignamos el valor de 0 a y. Luego, resolvemos para x. Ejemplo: Deteminar el int-x de 2x + 3y = 18.
11 Intercept - y El punto donde la gráfica cruza o toca el eje de y se conoce como el intercepto en y (abreviaremos int-y). Ejemplo: Se presenta la gráfica de x + 2y = 7. El intercepto en y es (0,3.5).
12 Intercept - y El int-y es un punto con forma (0, b). Para hallar el valor de b, asignamos x = 0. Luego, resolvemos para y. Ejemplo: Deteminar el int-y de 2x + 3y = 18.
13 Identificar los interceptos en la gráfica int y: int x: Slide
14 Práctica Ejemplo: Deteminar los puntos donde ocurren intersecciones con los ejes de la ecuación 5x 2y = 10. Solución: int-y int-x
15 Bosquejar o trazar una gráfica Una forma de bosquejar o trazar ( sketch ) la gráfica de una ecuación es determinar suficientes soluciones de la ecuación (puntos en la gráfica). Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18. Debemos conseguir soluciones de la ecuación. Anteriormente determinamos que el int x es: (9, 0) y que int y es: (0, 6)
16 Ejemplo: Trazar la gráfica 2x + 3y = 18 (cont.) Determinamos una tercera solución reemplazando x con el valor de 5, y resolviendo para hallar el valor de y y y 18 3y 8 y 8 3 Por lo tanto, 5, 8 3 es una solución. Slide
17 Ejemplo (cont.) Trazar la gráfica: 2x + 3y = 18. int-x: int-y : (9, 0) (0, 6) Tercer punto: 5, 8 3 Ahora unimos los puntos con una recta. Slide
18 Diferentes formas de una ecuación Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una forma equivalente utilizando correctamente operaciones inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus variables. Formas de la ecuación lineal: Forma general ax + by + c = 0 Forma estándar ax + by = c Forma punto-pendiente y = mx + b
19 Diferentes formas de una ecuación Una ecuación en dos variables se puede expresar en más de una forma equivalente utilizando correctamente operaciones inversas para despejar la ecuación para cualquiera de sus variables. Ejemplo: Escribir y 2x + 1= 0 despejada para y. (Operación inversa de suma es resta. Restamos 1 a cada lado.) (Operación inversa de resta es suma. Sumamos 2x a cada lado.) (Una ecuación con y en términos de x, en forma pendiente intercepto.)
20 Ejemplo: Trazar la gráfica y 2x + 1= 0 Primero despejamos la ecuación para y, y = 2x 1. Luego, elegimos algunos valores para asignar a la x: x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 Determinamos los valores correspondientes de y para cada valor. Finalmente, organizamos los pares ordenados en una tabla conocida como una tabla de valores.
21 Ejemplo: Trazar la gráfica y = 2x 1 (cont.) Completa la tabla: Localiza los puntos en un plano. Notas : Una gráfica con esta forma se conoce como una recta. Es la forma típica de una ecuación lineal.
22 Otro ejemplo Esboce la gráfica de y = x 2 3. Elegir unos valores para x, luego completar la tabla de valores: Localizamos los puntos en un plano cartesiano:
23 Ejemplo (cont.) (-3, 6), (-2, 1) (-1, -2), (0, -3), (1, -2), (2, 1), (3, 6) Unimos los puntos en esta ocasión con una curva suave, (sin picos ni brincos) siguiendo el patrón que observamos. Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola. Es la forma típica de una ecuación cuadrática. y = x 2 3
24 Ejemplo (cont.) El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. A la izquierda del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeño. La gráfica es decreciente en el lado izquierdo del (0, -3). (decreciente en (-, 0)) A la derecha del (0, -3), notamos que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande. La gráfica es creciente en el lado derecho del (0, -3). (creciente en (0, ))
25 Práctica Indicar los intervalos donde la gráfica es creciente o decreciente. La gráfica baja de izquierda a derecha, por lo tanto es decreciente en La gráfica sube de izquierda a derecha, por lo tanto es creciente en La gráfica baja de izquierda a derecha, por lo tanto es decreciente en
26 Interpretación de gráficas A menudo la información se presenta en forma gráfica por lo que interpretar gráficas es una destreza importante. Observe la gráfica. a. Cuál fue la temperatura a las 6 PM? b. A qué horas del día era la temperatura menor que 50? c. Durante qué periodo antes de las 4 PM era la temperatura por lo menos 60?
27 Interpretación de gráficas (cont.) La gráfica muestra los ingresos y costos mensuales relacionados a la producción de podadoras de grama de cierta compañía..
28 Opcional USANDO CALCULADORA GRAFICA Slide
29 Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 x 2
30 (cont.) Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 x 2 Hallar los interceptos. En la gráfica, la escala aumenta de uno en uno, por lo que podemos estimar visualmente los interceptos y luego confirmar con la calculadora. int y (0,9)
31 Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 x 2 (cont) Hallar los interceptos en x.. Aún en TRACE mode podemos escribir el valor de x que queremos evaluar y oprimir ENTER. Los interceptos en x son (-3,0) y (3,0)
32 Trazar la gráfica con calculadora gráfica: y = 9 x 2 (cont) Para copiar la gráfica de la pantalla de la calculadora al papel, debes llenar la tabla para otros valores de y. x y Oprimimos 2ND WINDOW, para configurar la tabla que va a producir la calculadora. Llenamos la tabla y luego localizamos los puntos:
33 (cont.) Trazar la gráfica: y = 9 x 2 Localiza los puntos en un plano cartesiano: El punto (0, 9) parece dividir la gráfica en dos partes iguales. A la izquierda del (0, 9): a medida que x se hace más grande, y se hace más grande. (La gráfica es creciente.) A la derecha de este punto: a medida que x se hace más grande, y se hace más pequeño. (La gráfica es decreciente.) x y
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