MATRICES Y DETERMINANTES

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1 MTRICES Y DETERMINNTES. Definición de mtriz.. Tipos de mtrices.. Sum de mtrices.. Producto de un número rel por un mtriz.. Producto de mtrices.. Ejercicios. Determinnte de un mtriz. 8. Menor complementrio y djunto. 9. Propieddes de los determinntes.. Cálculo de determinntes de culquier orden.. L mtriz invers medinte determinntes.. Rngo de un mtriz medinte determinntes.. DEINICIÓN DE MTRIZ Se denomin mtriz todo conjunto de números o expresiones dispuestos en form rectngulr, formndo fils y columns. EJEMPLO: Cd uno de los números de que const l mtriz se denomin elemento. Un elemento se distingue de otro por l posición que ocup, es decir, l fil y l column l que pertenece. El número de fils y columns de un mtriz se denomin dimensión de un mtriz. El conjunto de mtrices de m fils y n columns se denot por mxn o ( ij ), y un elemento culquier de l mism, que se encuentr en l fil i y en l column j, por ij.... n mxn m m... mn En el ejemplo: l mtriz es de orden x El elemento =, =, = Dos mtrices son igules cundo tienen l mism dimensión y los elementos que ocupn el mismo lugr en mbs, son igules.. TIPOS DE MTRICES Mtriz fil: Es un mtriz constituid por un sol fil. Mtriz column: Es un mtriz con un sol column. CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes

2 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes Mtriz rectngulr: quell mtriz que tiene distinto número de fils que de columns, siendo su dimensión mxn. Mtriz cudrd: L que tiene el mismo número de fils que de columns. Los elementos de l form ii constituyen l digonl principl. Es un mtriz de orden Digonl principl Mtriz nul: O Todos los elementos son nulos. Mtriz tringulr superior: Los elementos situdos por debjo de l digonl principl son. Mtriz tringulr inferior: Los elementos situdos por encim de l digonl principl son. Mtriz digonl: Todos los elementos situdos por encim y por debjo de l digonl principl son nulos. Mtriz esclr: Es un mtriz digonl en l que los elementos de l digonl principl son igules. Mtriz identidd o unidd: I Es un mtriz digonl en l que los elementos de l digonl principl son igules. I =

3 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes Mtriz trnspuest: t Dd un mtriz, se llm trnspuest de l mtriz que se obtiene cmbindo ordendmente ls fils por ls columns. t PROPIEDDES: ( t ) t = ( + ) t = t + t (α ) t = α t ( ) t = t t Mtriz idempotente: Si =. Mtriz involutiv:si = I. Mtriz simétric: Es quell mtriz cudrd que verific: = t. Un mtriz es simétric si es cudrd y el elemento ij es igul l elemento ji t Mtriz ntisimétric o hemisimétric: Es quell mtriz cudrd que verific: = - t. L mtriz debe ser cudrd y ij = - ji, por tnto los elementos de l digonl ii deben ser nulos t Mtriz ortogonl: Si verific: t = I. SUM DE MTRICES Dds dos mtrices de l mism dimensión, =(ij) y =(bij), se define l mtriz sum como: +=(ij+bij). Es decir, quell mtriz cuyos elementos se obtienen sumndo los elementos de ls dos mtrices que ocupn l mism posición. PROPIEDDES socitiv: + ( + C) = ( + ) + C Elemento neutro: + O = Elemento opuesto: + (-) = O Conmuttiv: + = +

4 . PRODUCTO DE UN NÚMERO REL POR UN MTRIZ Dd un mtriz =(ij) y un número rel k R, se define el producto de un número rel por un mtriz: l mtriz del mismo orden que, en l que cd elemento está multiplicdo por k: k=(k ij) Es decir, todos los elementos de quedn multiplicdos por k 9 PROPIEDDES (b ) = ( b) Mmxn,, b (+) = +,Mmxn (+b) = + b Mmxn, b = Mmxn. PRODUCTO DE MTRICES Dos mtrices y se dicen multiplicbles si el número de columns de coincide con el número de fils de. M mxn x M nxp = M mxp El elemento cij de l mtriz producto se obtiene multiplicndo cd elemento de l fil i de l mtriz por cd elemento de l column j de l mtriz y sumándolos. Es decir, se multiplic cd fil de por cd column de como si fuese un producto esclr de vectores (,)(,) (,)(,) (,)(,) (,)(,) (,)(,) (,)(,) PROPIEDDES socitiv: ( C) = ( ) C Elemento neutro: I = No es Conmuttiv: Distributiv del producto respecto de l sum: ( + C) = + C CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes

5 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes. EJERCICIOS. Dds ls mtrices: y Clculr: + ; - ;.;.; t.. Demostrr que: - - I =, siendo:. Se l mtriz. Hllr n, pr n. Obtener ls mtrices y que verifiquen el sistem:. Sen ls mtrices: C Efectur ls siguientes operciones: ( + ) ; ( - ) ; () ; t C.. Sen ls mtrices: C ) Justificr si son posibles los siguientes productos: ( t ) C ( C t ) t b) Determinr l dimensión de M pr que pued efecturse el producto M C c) Determin l dimensión de M pr que C t M se un mtriz cudrd.

6 . CONCEPTO DE DETERMINNTE Es un esclr que se sign cd mtriz cudrd. Se expres como o det (). DETERMINNTE DE ORDEN UNO = DETERMINNTE DE ORDEN DOS ( ) DETERMINNTE DE ORDEN TRES Consideremos un mtriz x rbitrri = ( ij ). El determinnte de se define como sigue: ( + + ) ( + + ) Obsérvese que hy seis productos, cd uno de ellos formdo por tres elementos de l mtriz. Tres de los productos precen con signo positivo (conservn su signo) y tres con signo negtivo (cmbin su signo). Regl de Srrous Pierre Srrous (98, 8) fue un mtemático frncés que estbleció un regl pr clculr determinntes de orden : Los términos con signo + están formdos por los elementos de l digonl principl y los de ls digonles prlels con su correspondiente vértice opuesto. Los términos con signo están formdos por los elementos de l digonl secundri y los de ls digonles prlels con su correspondiente vértice opuesto. Ejemplo ( ) CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes

7 8. MENOR COMPLEMENTRIO Y DJUNTO DE UN ELEMENTO MENOR COMPLEMENRIO α ij Se llm menor complementrio de un elemento ij l vlor del determinnte de orden n- que se obtiene l suprimir en l mtriz l fil i y l column j. ( ) 8 DJUNTO DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINNTE ij Se llm djunto del elemento ij l menor complementrio multiplicdo por (- ) i+j, es decir, nteponiendo: El signo es + si i+j es pr. El signo es si i+j es impr. ( ) ( ) 8 CLCULO DE UN DETERMINNTE POR LOS DJUNTOS DE UN LÍNE El vlor de un determinnte es igul l sum de productos de los elementos de un líne por sus djuntos correspondientes: Ejemplo COLUMN ( 9) () () IL ( 9) ( ) () SRROUS (8 ) ( ) ( ) 9. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES. El determinnte de un mtriz y el de su trnspuest t son igules. t =. = si posee dos línes prlels igules (l fil y son igules). = si todos los elementos de un líne son nulos CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes

8 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes 8. = si los elementos de un líne son combinción linel de ls otrs ( = + ). En un mtriz tringulr el determinnte es igul l producto de los elementos de l digonl principl.. Si en un determinnte se cmbin entre sí dos línes prlels su determinnte cmbi de signo. (se h cmbido l fil con l ). Si los elementos de un líne se le sumn los elementos de otr prlel multiplicdos previmente por un nº rel el vlor del determinnte no vrí ) ( l C se le h sumdo C + C 8. Si se multiplic un determinnte por un número rel, qued multiplicdo por dicho número culquier líne, pero sólo un. 9 C 9. Si todos los elementos de un fil o column están formdos por dos sumndos, dicho determinnte se descompone en l sum de dos determinntes. f d b e c f e d c b. El determinnte de un producto es igul l producto de los determinntes: =

9 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes 9. CÁLCULO DE UN DETERMINNTE DE CULQUIER ORDEN Consiste en conseguir que un de ls línes del determinnte esté formd por elementos nulos, menos uno: el elemento bse o pivote, que vldrá ó -. Seguiremos los siguientes psos:. Si lgún elemento del determinnte vle l unidd, se elige un de ls dos línes: l fil o l column, que contienen dicho elemento (se debe escoger quell que conteng el myor número posible de elementos nulos). 8. En cso negtivo podemos hcer dos coss: o Nos fijmos en un líne que conteng el myor número posible de elementos nulos y operremos pr que uno de los elementos de es líne se un ó - (operndo con lgun líne prlel). 8 = 8 o Dividiendo l líne por uno de sus elementos, por lo cul deberímos multiplicr el determinnte por dicho elemento pr que su vlor no vríe: común en un líne de uno de sus elementos. hemos dividido l entre dos y lo hemos scdo fuer. Tomndo como referenci el elemento bse, operremos de modo que todos los elementos de l fil o column, donde se encuentre, sen ceros. 9. Tommos el djunto del elemento bse, con lo que obtenemos un determinnte de orden inferior en un unidd l originl. 8) ( 9

10 . MTRIZ INVERS L mtriz invers de un mtriz cudrd, es otr mtriz que cumple que: - = - = I No tods ls mtrices cudrds tienen invers. Pr que exist l mtriz invers de su determinnte tiene que ser distinto de cero: - existe si PROPIEDDES. ( ) - = - -. ( - ) - =. (k ) - = k - -. ( t ) - = ( - ) t CÁLCULO DE L MTRIZ INVERS d t, siendo d l mtriz formd por los djuntos de los elementos de EJEMPLO ( ) Hllmos los djuntos de cd elemento: d Clculmos l trnspuest de l mtriz djunt. d t L mtriz invers se obtiene dividiendo todos los elementos de ( d ) t entre el determinnte de. d t CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes

11 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes. RNGO DE UN MTRIZ Es el número de fils o columns linelmente independientes, utilizndo est definición, se puede clculr usndo el método de Guss. Tmbién podemos decir que el rngo es: el orden de l myor submtriz cudrd de determinnte no nulo. Utilizndo est definición se puede clculr el rngo usndo determinntes. CÁLCULO DEL RNGO DE UN MTRIZ POR DETERMINNTES. Podemos descrtr un líne si:. Todos sus coeficientes son ceros. Hy dos línes igules. Un líne es proporcionl otr. Un líne es combinción linel de otrs. Suprimimos l tercer column porque es combinción linel de ls dos primers: c = c + c. Clculmos los determinntes de ls submtrices cudrds de myor orden posible, si hy lguno distinto de cero, el orden de l submtriz es el rngo de Son todos nulos, por tnto el determinnte es menor que.. uscmos si hy lgun submtriz de orden cuyo determinnte se no nulo: rngo =

12 CRISTIN ROND HERNÁNDEZ Mtrices y determinntes CÁLCULO POR EL MÉTODO DE GUSS Podemos descrtr un líne si: Todos sus coeficientes son ceros. Hy dos línes igules. Un líne es proporcionl otr. Un líne es combinción linel de otrs. En generl consiste en hcer nuls el máximo número de línes posible, y el rngo será el número de fils no nuls. EJEMPLOS:. rgc C. rgd D