SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2008 (MODELO 5)

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 008 (MODELO 5) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A De las restriccioes que debe cumplir las variables x e y e u problema de programació lieal se deduce el siguiete cojuto de iecuacioes: y x 8, x + y 13, y + 4x 49, x 0, y 0 a) (1 5 putos) Represete gráficamete el recito determiado por estas iecuacioes b) (1 puto) Determie los vértices del recito c) (0 5 putos) Obtega los valores extremos de la fució F(x,y) = 3x 4y + 1 e ese recito e idique e qué puto o putos se alcaza cada extremo y Represete la regió defiida por las siguietes iecuacioes y x 8, x + y 13, y + 4x 49, x 0, y 0 y determie sus vértices Las desigualdades y x 8, x + y 13, y + 4x 49, x 0, y 0, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, y x = 8, x + y = 13, y + 4x = 49, x = 0, y = 0 Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = x/ + 4; y = -x + 13; y = -4x + 49; x = 0; y = 0 Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos De y = -x + 13 e y = -4x + 49; teemos -x + 13 = -4x + 49, de dode 3x = 36, de dode x = 1 e y = 1, y el puto de corte es A(1,1) De x = -x + 13 e y = x/ + 4; teemos -x + 13 = x/ + 4, de dode -x + 6 = x + 8, es decir 18 = 3x luego x = 6 e y = 7, el puto de corte es B(6,7) De y = x/ + 4 e y = -4x + 49; teemos x/ + 4 = -4x + 49, de dode x + 8 = -8x + 98, es decir 9x = 90, luego x = 10 e y = 9, y el puto de corte es C(10,9) Fijádoos e la resolució de las ecuacioes, los vértices del recito so: A(1,1); B(6,7) y C(10,9) c) Obtega los valores extremos de la fució F(x,y) = 3x 4y + 1 e ese recito e idique e qué puto o 1

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua putos se alcaza cada extremo El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e alguo de los vértices del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(1,1); B(6,7) y el C(10,9) F(1,1) = 3(1) 4(1) + 1 = 44, F(6,7) = 3(6) 4(7) + 1 =, F(10,9) = 3(10) 4(9) + 1 = 6 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 44 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice A(1,1) y el míimo absoluto de la fució F e la regió es (el valor meor e los vértices) y se alcaza e el vértice B(6,70) EJERCICIO _A Sea la fució f(x) = x 3 6x a) (1 puto) Determie sus putos de corte co los ejes b) (1 puto) Calcule sus extremos relativos y su de iflexió c) (1 puto) Represete gráficamete la fució Sea la fució f(x) = x 3 6x a) Determie sus putos de corte co los ejes Para x = 0 teemos f(0) = 0 Corte co el eje OY, (0,0) Para f(x) = 0, teemos x 3 6x = x (x 6) = 0, de dode obteemos x = 0 (doble) y x = 6 Corte co el eje OX, (0,0) y (6,0) Calcule sus extremos relativos y su de iflexió Para calcular los extremos, utilizaremos el estudio de la primera derivada f (x) f(x) = x 3 6x f (x) = 3x 1x De f (x) = 0, teemos 3x 1x = 0 = x(3x 1), de dode x = 0 y x = 4, que so los extremos relativos e (-,0) Como f (-1) = 15 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) Como f (1) = -9 < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ) e (0,4) Como f (5) = 15 > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) e (4,+ ) Por defiició x = 0 es u máximo relativo y vale f(0) = 0 Por defiició x = 4 es u míimo relativo y vale f(4) = -3 Para calcular los putos de iflexió, utilizaremos el estudio de la seguda derivada f (x) f(x) = x 3 6x f (x) = 3x 1x f (x) = 6x 1 De f (x) = 0, teemos 6x -1 = 0, es decir x =, que será el puto de iflexió Como f (0) = -1 < 0, f es cócava ( ) e (-,) Como f (1) = (-4)/(+) < 0, f es covexa ( ) e (,+ ) Por defiició x = es u puto de iflexió y vale f() = 16 (c) Represete gráficamete la fució Co todo lo aterior u esbozo de f(x) (e azul) es

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua EJERCICIO 3_A Parte I E u aula de iformática hay 0 puestos de ordeador De ellos, 10 so compartidos y otros 10 so idividuales De los puestos compartidos, hay 3 e los que el ordeador o fucioa, de los idividuales hay e los que el ordeador o fucioa a) (1 puto) Seleccioado al azar u puesto e el aula, cuál es la probabilidad de que o fucioe el ordeador? b) (1 puto) Si se elige al azar u puesto e el que fucioa el ordeador, cuál es la probabilidad de que sea compartido? E u aula de iformática hay 0 puestos de ordeador De ellos, 10 so compartidos y otros 10 so idividuales De los puestos compartidos, hay 3 e los que el ordeador o fucioa, de los idividuales hay e los que el ordeador o fucioa Seleccioado al azar u puesto e el aula, cuál es la probabilidad de que o fucioe el ordeador? Total de ordeadores = 0, compartidos = 10, idividuales = 10 De los puestos compartidos, 3 o fucioa De los puestos idividuales, o fucioa Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrada), y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles) Compartidos = C Idividuales = I Totales Fucioa = F No fucioa = F C 3 Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales He puesto e egrita los úmeros que he completado Compartidos = C Idividuales = I Totales Fucioa = F No fucioa = F C 3 5 Totales Calcule la probabilidad de que o fucioe el ordeador p( o fucioe el ordeador ) = p("f C Total de o fucioa 5 ") = = Total de ordeadores 0 = 0 5 b) Si se elige al azar u puesto e el que fucioa el ordeador, cuál es la probabilidad de que sea 3

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua compartido? Compartido que fucioa 7 p("ordeador compartido, si fucioa") = p("c/f") = = Total fucioa EJERCICIO 3_A Parte II El peso, e kg, de los alumos de primaria de u colegio sigue ua distribució Normal de media 8 kg y desviació típica 7 kg Cosideremos muestras aleatorias de 9 alumos a) (0 5 putos) Qué distribució sigue la media de las muestras? b) (1 5 putos) Si elegimos, al azar, ua de esas muestras, cuál es la probabilidad de que su media esté compredida etre 6 y 9 kg? El peso, e kg, de los alumos de primaria de u colegio sigue ua distribució Normal de media 8 kg y desviació típica 7 kg Cosideremos muestras aleatorias de 9 alumos Qué distribució sigue la media de las muestras? Sabemos que si ua variable aleatoria X sigue ua ormal N(µ,σ), la distribució muestral de medias X sigue ua ormal N(µ, σ ) σ Datos σ = 7; µ = 8; = 9 Luego la distribució muestral de medias X sigue ua ormal N(µ, ), es decir la distribució muestral de medias X sigue ua ormal N(8, '7 9 ) = N(8,0 9) Si elegimos, al azar, ua de esas muestras, cuál es la probabilidad de que su media esté compredida etre 6 y 9 kg? Me está pidiedo p(6 X 9) = {tipificado} = p( Z 9) = p(- Z 1 11) = 0'9 0'9 = p(z 1 11) - p(z - ) = p(z 1 11) ( 1 p(z ) ) = p(z 1 11) + p(z ) 1 = = = OPCIÓN B EJERCICIO 1_B a) ( putos) Halle la matriz X que verifica la ecuació X 1 3 = 1 3 ( 4 ) 1 0 x b) (1 puto) Determie los valores de x e y que cumple la igualdad 1 1 = 3-1 y -x y 1 Halle la matriz X que verifica la ecuació X 1 3 = 1 3 ( 4 ) Si la matriz tiee matriz iversa trasformacioes elemetales a I 1 3 X = ( ) -1 por la derecha por la matriz, (podemos pasar de I, podemos multiplicar la expresió matricial mediate X De X = ( ) = ( ) 1 3 4, 1 3 4, es decir XI = ( ), de dode 4

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua Cambio De F por F F- F F (-1) F1-3 F , teemos que = Luego X = 3 ( 4 ) = X = 3 ( 4 ) = =, x Determie los valores de x e y que cumple la igualdad 1 1 = 3-1 y -x y x De 1 1 x 3 = teemos = 3-1 y -x y 1 3x-y -x+y Igualado miembro a miembro teemos: x = 3 3x-y = -x+y Sustituyedo x = y = -3+y 1 = y, por tato y = 6 Luego x = 3 e y = 6 EJERCICIO _B x +4 si x 1 Sea la fució f(x) = ax+b si x > 1 a) ( putos) Calcule a y b, sabiedo que f () = 7 y que f es cotiua e x = 1 b) (1 puto) Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = - 1 x +4 si x 1 Sea la fució f(x) = ax+b si x > 1 a) Calcule a y b, sabiedo que f () = 7 y que f es cotiua e x = 1 x =, está e la rama x > 1 dode f(x) = ax + b De f() = 7 teemos a + b = 7 Sabemos que f es cotiua e x = 1, luego f(1) = lim f(x) = lim f(x) x 1 x + 1 f(1) = lim f(x) = lim (x + 4) = 5 x 1 x 1 lim f(x) = lim (ax + b) = a + b + + x 1 x 1 Igualado teemos a + b = 5 Resolvemos el sistema: a + b = 7 a + b = 5 A la 1ª le resto la seguda y queda a =, de dode b = 3 Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e el puto de abscisa x = - 1 El puto x = -1 está e la rama x 1, dode f(x) = x + 4 La ecuació de la recta tagete e x = -1 es y f(-1) = f (-1) (x (-1)) De f(x) = x + 4, teemos f(-1) = 5 De f (x) = x, teemos f(-1) = - Luego la recta tagete e x = -1 es y 5 = - (x + 1), es decir y = -x + 3 EJERCICIO 3_B Parte I Se dispoe de los siguietes datos sobre el equipamieto de los hogares de ua ciudad: E el 60% de los hogares se puede ver la TDT (Televisió Digital Terrestre) y el 70% de los hogares dispoe de ordeador De etre los hogares que dispoe de ordeador, el 80% puede ver la TDT a) (1 puto) So sucesos idepedietes dispoer de ordeador y poder ver la TDT? b) (1 puto) Qué porcetaje de hogares o dispoe de ordeador i puede ver la TDT? Se dispoe de los siguietes datos sobre el equipamieto de los hogares de ua ciudad: E el 60% de los hogares se puede ver la TDT (Televisió Digital Terrestre) y el 70% de los hogares dispoe de ordeador De etre los hogares que dispoe de ordeador, el 80% puede ver la TDT

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 008 (Modelo 5) Germá-Jesús Rubio Lua So sucesos idepedietes dispoer de ordeador y poder ver la TDT? Sea los sucesos TDT y O los sucesos puede ver Televisió Digital Terrestre y dispoe de ordeador, respectivamete Me dice que p(tdt) = 60% = 0 6; p(o) = 70% = 0 7 y que p(tdt/o) = 80% = 0 8 Me está pidiedo ver si p(tdt O) = p(tdt) p(o) De p(tdt/o) = 0 8, teemos 0 8 = p(tdt/o) = = 0 56 Por otro lado p(tdt) p(o) = = 0 4 ( O ) p TDT p(o), de dode p(tdt O) = 0 8 p(o) = = Como p(tdt O) = = p(tdt) p(o), los sucesos o so idepedietes Qué porcetaje de hogares o dispoe de ordeador i puede ver la TDT? Me está pidiedo p(tdt C O C ) = {ley de Morga} = p(tdt O) C = {suceso cotrario} = 1 - p(tdt O) = = 1 {**} = = 0 6 {**} = p(tdt O) = p(tdt) + p(o) - p(tdt O) = = 0 74 EJERCICIO 3_B Parte II ( putos) E u cetro de aillamieto de aves se ha detectado que e ua muestra de 50 ejemplares de ua especie, 60 so portadoras de ua bacteria Obtega u itervalo de cofiaza, al 97%, para la proporció de aves de esa especie que so portadoras de la bacteria Para costruir el itervalo: - Se elige u estimador del parámetro que se desea estimar ( X para μ, y p para p), e uestro caso es de proporció luego es p = = Se elige u ivel de cofiaza 1 α co el que se desea costruir el itervalo, que os lo da y es del 97%, es decir 1 α = 97% = 0 97, de dode α = 0 03 = 3% como ivel de sigificació - El itervalo cetrado e el estadístico p obteido de la muestra sería: p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ IC( p) = p ˆ - z ˆ 1 α/, p + z 1 α/ para estimar p Dode z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) tal que p(-z 1-α/ Z z 1-α/ ) = =1 - α De esa igualdad se deduce que p(z z 1-α/ ) = 1 - α/, que se mira e la tabla de la distribució Normal, y os dará el correspodiete valor crítico z 1 - α/ p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = / = 0 985, mirado e la tabla de la N(0,1), que correspode a z 1-α/ = 17 Por tato el itervalo de cofiaza pedido es p(1 ˆ p) ˆ p(1 ˆ p) ˆ IC(p) = p ˆ - z ˆ 1 α/,p + z 1 α/ ( ; ) = 0'40'76 0'40'76 0'4 - '17, 0'4 + '

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