7. Calcula P (x ) Q (x ): P (x ) = 5x 4 + x 3 2x 2 5 Q (x ) = 7x 4 5x 2 + 3x + 2 P (x ) Q (x ) = 2x 4 + x 3 + 3x 2 3x 7

Transcripción

1 50 SOLUCIONARI 5. Operacions amb polinomis 1. POLINOMIS. SUMA I RESTA PENSA I CALCULA Donat el cub de la figura, calcula en funció de : a) L àrea. b) El volum. a) A ( ) = 6 2 b) V ( ) = 3 CARNET CALCULISTA Calcula amb dos decimals: 758,49 : 2,4 C = 316,03; R = 0,018 APLICA LA TEORIA 1. Donat el prisma quadrangular del dibui, calcula en funció de : 5. Suma els polinomis següents: P ( ) = Q ( ) = P ( ) + Q ( ) = Troba l oposat dels polinomis següents: P ( ) = Q ( ) = P ( ) = Q ( ) = Calcula P ( ) Q ( ): P ( ) = Q ( ) = P ( ) Q ( ) = Els ingressos i les despeses d una empresa en milions d euros, en funció del nombre d anys que porta funcionant, vénen donats per: I (t ) = t 2 3t + 5 G (t ) = t 2 4t + 9 Troba l epressió B (t ) dels beneficis. B (t ) = I (t ) G (t ) = t 4 a) L àrea. b) El volum. a) A ( ) = = 14 2 b) V ( ) = Quines de les epressions següents són monomis? Calcula n el grau. a) 5 3 y b) 3 2 y 3 c) 7 2 y 5 + 3y 2 d) 4a Són monomis a) i d). El grau de a) és 4 El grau de d) és 1 3. Ordena de manera decreient, segons els graus, els polinomis següents i calcula n el grau, el coeficient principal i el terme independent: a) b) c) d) a) Grau 3; coeficient principal: 5 Terme independent: 4 b) Grau 6; coeficient principal: 4 Terme independent: 7 c) Grau 5; coeficient principal: 4 Terme independent: 0 d) Grau 8; coeficient principal: 1 Terme independent: 9 4. Troba el valor de a, b i c perquè els polinomis següents siguen iguals: P ( ) = a b Q( ) = c a = 5, b = 6, c = MULTIPLICACIÓ DE POLINOMIS PENSA I CALCULA Calcula, en funció de, l àrea del rectangle de la figura: A ( ) = ( + 5) = CARNET CALCULISTA Calcula: ( ) = APLICA LA TEORIA 9. Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Calcula mentalment: a) ( + 2) 0 b) ( 3) 1 c) ( 7) 1 d) (2 + 6) 0 e) ( + 5) 2 f) ( 6) 2 g) ( + 9) 2 h) ( 4) 2 i) ( + 3) ( 3) a) 1 b) 3 c) 7 d) 1 e) f) g) h) i) 2 9

2 SOLUCIONARI Desenvolupa i simplifica: a) (2 + 1/2) 2 b) ( + 5 ) ( 5 ) c) (6 2/3) 2 d) (5 + 3/4) (5 3/4) a) /4 b) 2 5 c) /9 d) / Troba el polinomi que dóna l àrea del quadrat de la figura: A ( ) = ( + 3) 2 = Desenvolupa els productes següents: a) 5 2 (2 3 3 ) b) 2 3 ( ) c) 3 ( ) d) 6 4 ( ) a) b) c) d) Opera i simplifica: a) ( + 3) 2 ( 3) 2 b) ( + 4) 2 ( + 4)( 4) a) 12 b) Factoritza mentalment: a) b) c) 2 25 d) a) 2 ( + 3) b) ( 3) 2 c) ( + 5)( 5) d) ( + 4) Factoritza: a) b) c) 2 3 d) a) 4 3 (3 + 2) b) 5 ( + 2) 2 c) ( + 3 )( 3 ) d) (3 5) 2 3. DIVISIÓ DE POLINOMIS PENSA I CALCULA Fes mentalment les divisions següents: a) ( ) : b) ( ) : ( + 3) c) ( ) : ( 4) d) ( 2 25) : ( + 5) a) b) + 3 c) 4 d) 5 CARNET CALCULISTA Calcula amb dos decimals: 8,57 : 40 C = 0,21; R = 0,17 APLICA LA TEORIA 19. Dividei i fes la comprovació: P ( ) = entre Q ( ) = C ( ) = R ( ) = es comprova que C ( ) Q ( ) + R ( ) = P ( ) 20. Dividei per Ruffini: P ( ) = entre Q ( ) = + 3 C ( ) = R = Dividei: P ( ) = entre Q ( ) = C ( ) = R ( ) = Dividei per Ruffini: P ( ) = entre Q ( ) = 3 C ( ) = R = Dividei: P ( ) = entre Q ( ) = C ( ) = R ( ) = Dividei per Ruffini: P ( ) = entre Q ( ) = + 1 C ( ) = R = Dividei per Ruffini: ( ) : ( 2) C ( ) = R = Troba un polinomi tal que en dividir-lo entre s obtinga de quocient: i de resta: ( )( ) = = TEOREMA DE LA RESTA I DEL FACTOR PENSA I CALCULA Tenim un rectangle de 12 m de perímetre, per tant la base més l altura faran 6 m. Si l altura fa metres, la base farà 6 metres. La fórmula de l àrea serà: A ( ) = (6 ) A ( ) = 6 2 Completa en el teu quadern la taula de la dreta i troba quan l àrea és màima A ( ) = 6 2 6

3 52 SOLUCIONARI L àrea és màima quan = 3 m CARNET CALCULISTA APLICA LA TEORIA 27. Calcula mentalment el valor numèric del polinomi P ( ) = per als valors que s indiquen: a) Per a = 0 b) Per a = 1 a) P (0) = 8 b) P (1) = Calcula el valor numèric del polinomi següent per als valors que s indiquen: P ( ) = a) Per a = 3 b) Per a = 3 a) P (3) = 13 b) P ( 3) = Calcula, sense fer la divisió, la resta de dividir el polinomi P ( ) = entre 2 R = P (2) = Calcula, sense fer la divisió, la resta de dividir el polinomi P ( ) = entre + 3 R = P ( 3) = A ( ) = Calcula: : = Calcula el valor de k perquè la resta de la següent divisió siga 5: ( 3 + k 2 4) : ( + 3) P ( 3) = 5 9k 31 = 5 k = Quin dels nombres, 3 o 3, és arrel del polinomi P ( ) = ? R = P (3) = 0 = 3 és arrel R = P ( 3) = 0 = 3 és arrel 33. Observa el gràfic i calcula les arrels del polinomi P ( ) = Y X 34. Comprova, sense fer la divisió, que el polinomi P ( ) = és divisible entre + 1 R = P ( 1) = 0 sí és divisible. 35. Calcula el valor de k perquè el polinomi: P ( ) = k + 10 siga divisible entre 1 R = P (1) = k = 0 k = El polinomi té alguna arrel real? Raona la resposta. No, perquè 2 sempre és major o igual que zero i al sumarli 9, sempre és positiu, per tant, mai no pot ser zero. EXERCICIS I PROBLEMES 1. POLINOMIS. SUMA I RESTA 37. Quines de les epressions següents són monomis? Calcula n el grau. a) y b) 5 2 y 3 c) 2 y 5 4 y 2 d) 7 Són monomis b) i d). El grau del b) és 5 El grau del d) és Classifica les epressions algebraiques següents en monomis, binomis o trinomis. a) + y + z b) 7 5 y 3 c) y d) a) Trinomi b) Monomi c) Binomi d) Binomi 39. Calcula el grau, el coeficient principal i el terme independent dels polinomis següents: a) b) c) d) a) Grau: 4; coeficient principal: 5 Terme independent: 1 b) Grau: 7; coeficient principal: 4 Terme independent: 1 c) Grau: 2; coeficient principal: 5 Terme independent: 3 d) Grau: 10; coeficient principal: 6 Terme independent: Suma els polinomis següents: P ( ) = Q ( ) = Calcula P ( ) Q ( ): P ( ) = Q ( ) = = 1, 2 = 3 P() = MULTIPLICACIÓ DE POLINOMIS 42. Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) =

4 SOLUCIONARI Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Desenvolupa mentalment: a) ( + 3) 2 b) ( + 1)( 1) c) ( /2 2/3) 2 d) ( + 2 )( 2 ) a) b) 2 1 c) 2 /4 2 /3 + 4/9 d) Desenvolupa els productes següents: a) 4 (5 4 6 ) b) 7 2 ( ) c) 3 3 ( 6 2 1) d) 5 4 ( ) a) b) c) d) Opera i simplifica: a) (2 + 5) 2 (2 + 5)(2 5) b) ( 1/3) 2 + ( + 1/3) a) b) 2 + 2/9 48. Factoritza mentalment: a) b) c) 2 5 d) a) 4 2 (2 + 3) b) ( + 5) 2 c) ( + 5 )( 5 ) d) ( 7) 2 3. DIVISIÓ DE POLINOMIS 49. Dividei i fes la comprovació: P ( ) = entre Q ( ) = C ( ) = R ( ) = Cal fer-ne la comprovació: Q ( ) C ( ) + R ( ) tiene que dar P ( ) 50. Dividei i fes la comprovació: P ( ) = entre Q ( ) = C ( ) = R ( ) = Cal fer-ne la comprovació: Q ( ) C ( ) + R ( ) tiene que dar P ( ) 51. Dividei P ( ) = entre Q ( ) = C ( ) = R ( ) = Dividei per Ruffini: P ( ) = entre Q ( ) = + 2 C ( ) = R = Dividei per Ruffini: P ( ) = entre Q ( ) = 1 C ( ) = R = Dividei per Ruffini: P ( ) = entre Q ( ) = 2 C ( ) = R = TEOREMA DE LA RESTA I DEL FACTOR 55. Calcula mentalment el valor numèric del polinomi P ( ) = per als valors que s indiquen: a) Per a = 0 b) Per a = 1 a) P (0) = 6 b) P (1) = Calcula el valor numèric del polinomi següent per als valors que s indiquen: P ( ) = a) Per a = 2 b) Per a = 1 a) P (2) = 23 b) P ( 1) = Quin dels nombres, 2 o 2, és arrel del polinomi P ( ) = ? R = P (2) = 12 No és arrel. R = P ( 2) = 0 Sí és arrel. 58. Calcula el valor de k perquè la resta de la següent divisió siga 11 P ( ) = 3 + k entre 3 P (3) = 11 k = Calcula, sense fer la divisió, la resta de dividir P ( ) = entre + 2 R = P ( 2) = Comprova, sense fer la divisió, que el polinomi P ( ) = és divisible entre 3 R = P (3) = 0 Sí és divisible. 61. Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió següent siga 7: ( 4 + k ) : ( + 1) P ( 1) = 7 k + 12 = 7 k = 5 PER A AMPLIAR 62. Troba el valor de a, b i c perquè els polinomis següents siguen iguals: P ( ) = 6 5 b Q ( ) = a c a = 6, b = 0, c = 4

5 54 SOLUCIONARI 63. Calcula mentalment: a) (2 /3 + 5) 0 b) (3 25) 1 c) (7 3/5) 1 d) (5 + 13) 0 a) 1 b) 3 25 b) 7 3/5 d) Factoritza: a) b) c) d) a) 6 2 (4 3) b) 2 ( + 3) 2 c) (3 + 2)(3 2) d) 5 2 ( 1) Opera i simplifica: a) (2 + 3/2)(2 3/2) 2 (2 3/2) 2 b) ( /2 2/3) 2 ( /2 + 2/3) 2 a) 3 9/2 b) 4 /3 66. Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió següent siga 13: ( 5 + k ) : ( 1) P (1) = 13 k 2 = 13 k = Calcula el valor de k perquè el polinomi: P ( ) = k 8 siga divisible entre + 2 P ( 2) = 0 4 2k = 0 k = Calcula el polinomi que dóna l àrea del triangle següent: PROBLEMES 70. Escriu en forma de polinomi, en una variable, cada un dels enunciats següents: a) El quadrat d un nombre, menys aquest nombre, més 5 b) El cub d un nombre, més el doble del quadrat del nombre, menys el triple del nombre, més 4 c) L àrea d un quadrat de costat d) L àrea d un rombe en què una diagonal és el doble de l altra. a) P ( ) = b) P ( ) = c) A ( ) = 2 d) A ( ) = 2 /2 = Quin polinomi hem de sumar a P ( ) = per a obtindre el polinomi Q ( ) = ? Q ( ) P ( ) = Donada una caia sense tapa i el seu desenvolupament, calcula en funció de : a) L àrea. b) El volum. 6 m 10 m a) A ( ) = (10 2 )(6 2 ) + 2 (10 2 ) (6 2 ) = A ( ) = b) V ( ) = (10 2 )(6 2 ) = Calcula el polinomi que dóna l àrea del rectangle següent: ( + 5) A ( ) = = A ( ) = (2 3) = Calcula el polinomi que dóna l àrea del triangle rectangle següent: 69. Observa el gràfic i calcula les arrels del polinomi següent P ( ) = 2 4 Y A ( ) = (2 + 1) /2 = 2 + /2 75. Calcula el polinomi que dóna l àrea del rombe següent: X P() = = 2, 2 = 2 A( ) = ( + 1)( 1)/2 = 2 /2 1/2

6 SOLUCIONARI Calcula un polinomi tal que en dividir-ho entre s obtinga de quocient i de resta ( )( ) = = h /2 77. Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió següent siga 5: ( 3 + k 2 4) : ( 2) S hi aplica el teorema del la resta: P (2) = 5 4k + 4 = 5 k = 1/4 78. Calcula el valor de k perquè el polinomi P ( ) = k + 30 siga divisible entre + 3 )2 h = ( = 2 3 = 2 3 = A ( ) = = Calcula el polinomi que dóna l àrea del trapezi següent: 1 P ( 3) = 0 3k 33 = 0 k = Observa el gràfic i calcula les arrels del polinomi P ( ) = Y + 1 A ( ) = = Calcula el polinomi que dóna l àrea del cercle següent: X 5 y = = 1, 2 = 1, 3 = 3 PER A APROFUNDIR 80. Donat el paral lelepípede següent: A ( ) = π( 5) 2 = π 2 10π + 25π 84. Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió següent siga 9: ( k) : ( 4) S hi aplica el teorema del factor : 3 calcula en funció de l àrea i el volum. A ( ) = = 52 2 V ( ) = = Calcula el monomi que dóna l àrea d un triangle equilàter en què el costat mesura 2 P (4) = 9 k 20 = 9 k = Calcula el valor de k perquè el polinomi P ( ) = k siga divisible entre + 5 P ( 5) = 0 25k 350 = 0 k = El polinomi té alguna arrel real? Raona la resposta. 2 és sempre positiu o zero i en sumar-li 25 és positiu. Per tant, mai no es pot fer zero. No té arrels reals.

7 56 SOLUCIONARI 87. Observa el gràfic i calcula les arrels del polinomi P ( ) = 2 4 Y P() = 2 4 X 5. Dividei P ( ) = entre Q ( ) = Fes-ne la comprovació. C ( ) = R ( ) = Se comprueba que Q ( ) C ( ) + R ( ) = P ( ) 6. Dividei per Ruffini P ( ) = entre Q ( ) = + 3 C ( ) = R = 3 7. Donat el paral lelepípede següent: 1 = 0, 1 = 4 APLICA-HI LES TEUES COMPETÈNCIES 88. Calcula el polinomi que definei un moviment uniformement accelerat en què: a = 6 m/s 2, v 0 = 8 m/s y e 0 = 3 m e (t ) = 3t 2 + 8t Calcula l espai que porta recorregut quan hagen passat 5 s e (5) = 118 m 90. Calcula l espai que recorre entre el segon 10 i el segon 20 e (20) e (10) = = 980 m COMPROVA QUÈ SAPS 1. Enuncia el teorema de la resta i posa n un eemple. La resta que s obté en dividir el polinomi P ( ) entre el binomi a és el valor numèric del polinomi per a = a R = P (a) Eemple: Troba, sense fer-ne la divisió la resta de dividir P ( ) = entre + 3 R = P ( 3) = ( 3) 3 7 ( 3) + 15 = = 9 2. Ordena el polinomi següent de manera decreient segons els graus i calcula n el grau, el coeficient principal i el terme independent: Grau: 7 Coeficient principal: 6 Terme independent: 9 3. Desenvolupa mentalment els apartats a) i b) i factoritza els apartats c) i d): a) (2 5) 2 b) ( + 3 )( 3 ) c) d) 2 5 a) b) 2 3 c) 3 ( + 2) 2 d) ( + 5 )( 5 ) 4. Multiplica els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Calcula en funció de : a) L àrea. b) El volum. a) A ( ) = = 94 2 b) V ( ) = = Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió següent siga 5: ( 3 + k 6) : ( 2) S hi aplica el teorema de la resta i s ha de verificar que: P (2) = k 6 = k 6 = 5 2k = 3 k = 3/2 WINDOWS/LINUX PAS A PAS Donats els polinomis: P ( ) = i Q ( ) = Calcula: P ( ) + Q ( ), P ( ) Q ( ), P ( ) Q ( ) 92. Desenvolupa (5 + 3/7) Factoritza Dividei D ( ) = entre d ( ) = Calcula el valor numèric del polinomi para = 2, = 0, = 1 5 P ( ) = Representa la paràbola y = i observantne el gràfic calcula les arrels del polinomi P ( ) = =

8 SOLUCIONARI 57 Planteja el problema següent i resol-lo amb Wiris: 97. Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió ( 3 + k 6) : ( 2) siga 5 PRACTICA 98. Desenvolupa: a) 4 3 (2 + 3) 2 b) ( + 3) ( 3) ( + 3 )( 3 ) a) b) Factoritza: a) 3 9 b) 2 5 a) ( + 3) ( 3) b) ( + 5 ) ( 5 ) 100. Donats els polinomis: P ( ) = Q ( ) = Calcula: P ( ) + Q ( ); P ( ) Q ( ); P ( ) Q ( ) P ( ) + Q ( ) = P ( ) Q ( ) = P ( ) Q ( ) = Dividei i fes la comprovació: entre C ( ) = R ( ) = Se comprueba que C ( ) Q ( ) + R ( ) = P ( ) 102. Dividei entre + 2 C ( ) = R = Calcula gràficament les arrels del polinomi: P ( ) = = 7, 2 = 2, 3 = 2 Planteja els problemes següents i resol-los amb ajuda de Wiris: 104. Calcula, sense fer la divisió, la resta de dividir entre 2 R = P (2) = Calcula un polinomi sabent que en dividir-lo entre dóna de quocient , i de resta, 8 9. S hi aplica la prova de la divisió: Comprova, sense fer la divisió, que el polinomi P ( ) = és divisible entre 3 R = P (3) = 0 Sí és divisible Calcula el valor de k perquè la resta de la divisió següent siga 5: ( 3 + k 2 4) : ( + 3) P ( 3) = 5 9k 31 = 5 k = Calcula el valor de k perquè k siga divisible entre + 2 k = 18