MECÁNICA DE FLUIDOS Tema2. Impulsión de fluidos

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1 0 MECÁNICA E FLUIOS Tema. Imulsión de fluidos This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-Noerivs 3.0 Unorted License. To view a coy of this license, visit htt://creativecommons.org/licenses/by-ncnd/3.0/ or send a letter to Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 9404, USA. Autores I. Martín, R. Salcedo, R. Font.

2 Tema. Imulsión de fluidos TEMA.IMPULSIÓN E FLUIOS Índice TEMA.IMPULSIÓN E FLUIOS.... INTROUCCIÓN IMPULSIÓN E LÍQUIOS Cargas en el sistema Punto de colocación de una bomba Potencia de la bomba. Rendimiento Aaratos ara la imulsión de líquidos Criterios de selección del tio de bomba Flujo transitorio: Gole de ariete IMPULSION E GASES Comresión de gases: otencia y rendimiento de los comresores Equios ara la imulsión de gases: ventiladores, solantes y comresores Criterios de selección de ventiladores, solantes y comresores BIBLIOGRAFÍA... 64

3 Tema. Imulsión de fluidos. INTROUCCIÓN El deslazamiento de fluidos, líquidos o gases (en ocasiones incluso con sólidos en susensión) se desarrolla normalmente en sistemas de flujo, más o menos largos y comlejos que imlican conducciones rectas, generalmente cilíndricas de diámetros variados, enlazadas or uniones convenientes, curvaturas, codos, válvulas, etc. A través de estos sistemas el fluido sólo fluye esontáneamente si su energía total disminuye en la dirección del flujo. e no ser así, habrá que comunicarle energía desde el exterior mediante disositivos tales como bombas, en el caso de líquidos, o comresores, solantes o ventiladores, en el caso de gases. Tal aorte de energía uede invertirse en aumentar la velocidad, la altura o la resión del fluido. La cuantía de la energía que deberá suministrarse a un fluido ara conseguir su deslazamiento or un sistema determinado deenderá de su caudal, de la altura a que deba elevarse, de la resión con que se requiera al final de su recorrido, de las longitudes y diámetros de los tramos rectos de conducción, de los accidentes (ensanchamientos, estrechamientos, curvaturas válvulas, codos, etc.) intercalados entre ellos y de sus roiedades físicas, fundamentalmente su viscosidad y su densidad. La ecuación de Bernoulli: v v ^ g(z z) d F W (J/kg) (.) alicada a los extremos del sistema de que se trate ermitirá el cálculo de la energía (W) que debe comunicarse a la unidad de masa del fluido circulante. Con ella y el caudal másico de flujo que se desee (m) se obtiene la otencia teórica necesaria ara el flujo deseado: P = mw (W) (.) Son muy variados los tios de flujos y fluidos que ueden resentarse, aunque fundamentalmente uede dividirse en flujo de líquidos (incomresibles) y flujo de gases (comresibles, aunque si la variación de resión es baja ueden considerarse incomresibles). A modo de ejemlo se citará entre los rimeros: bombeo de roductos etrolíferos como crudos, gasolinas, naftas, gasóleos, etc. servicios de agua ara calefacción o enfriamiento en cambiadores de calor, servicios agua otable y alcantarillado en las grandes ciudades; bombeo de ácidos, álcalis y toda clase de roductos químicos desde sus deósitos almacén hasta las unidades en que se requieran, etc. En cuando a los gases, odemos citar el flujo de gas natural a grandes distancias; servicios de gas roano, de aire comrimido, etc. A su vez, los fluidos ueden ser gases o líquidos oco viscosos, líquidos de elevada viscosidad, newtonianos o no, con o sin sólidos en susensión, corrosivos o inertes, etc. En el resente tema, se abordará la descrición y funcionamiento de los distintos equios utilizados ara la imulsión de líquidos y gases de forma searada, no sólo or su distinto comortamiento de comresibilidad, sino orque sus grandes diferencias de densidad y viscosidad requieren que las resectivas máquinas imulsoras tengan características distintas. A modo de ejemlo, baste decir que los equios ara gases deberán tener mayor recisión en 3

4 Tema. Imulsión de fluidos el diseño ara evitar fugas, que se roducen con mucha mayor facilidad que en el caso de los líquidos. También odría decirse que en el caso de los líquidos hay que tener resente en qué lugar se coloca la bomba ara evitar roblemas de cavitación, circunstancia que no se roduce en los gases.. IMPULSIÓN E LÍQUIOS Como se vio en el Tema, en Ingeniería Química normalmente el balance de energía mecánica entre dos untos se exresa mediante la ecuación de Bernoulli en unidades de energía or unidad de masa (J/kg). Sin embargo, en Ingeniería Civil la ecuación de Bernoulli suele exresarse en unidades de energía or unidad de eso, teniendo el mismo significado físico. e esta forma la ecuación de Bernoulli se obtiene dividiendo ambos términos or la aceleración de la gravedad g, teniendo unidades de J/N, que dimensionalmente es equivalente a longitud (m). e esta forma, los distintos sumandos de la ecuación de Bernoulli se les denominan cargas o alturas. Considerando que los líquidos son incomresibles, la ecuación resultante queda de la forma: g (z v v g (P P ) F z) H g g (.) donde H = W/g y se le denomina altura roorcionada or la bomba, mientras que el término F/g se le suele denominar érdida de carga. ado que la circulación de líquidos es mucho más imortante en áreas de Ingeniería Civil (or ejemlo, redes distribución de aguas otables, riego y residuales), la bibliografía y los fabricantes de bombas utilizan exclusivamente la ecuación de Bernoulli exresada en m (ec..), or lo que en este tema los balances de energía mecánica se abordarán generalmente de esta forma. Previamente a la descrición de los distintos equios imulsores de líquidos, se verán algunas consideraciones.. Cargas en el sistema Un sistema tíico en el que se bombea un líquido es el indicado en la Figura.: z z B o m b a 3 4 l a d o d e a s i ra ci ó n l a d o d e i m u l s i ó n Figura.. Cargas en el sistema 4

5 Tema. Imulsión de fluidos 5 donde z 3 = z 4, que al oder tomarse como origen de alturas, es igual a cero. A artir de este esquema se definen los siguientes concetos. Carga de asiración o succión: Es el valor de la energía que osee el fluido al llegar a la boca de succión de la bomba hidráulica, exresada en metros de líquido. Se define como la suma de la carga de resión, la carga cinética y la altura geográfica o cota en la boca de succión de la bomba, de acuerdo con la figura anterior: a z g V g P h (.) Si se lantea el balance de energía mecánica entre los untos y 3: g F g P z g v g P z g v a (.3) de donde: g F z g V g P z g V g P h a a (.4) Carga de imulsión: Es el valor de la energía que osee el fluido justo en el unto de salida de la bomba hidráulica, exresada en metros de líquido. Se define como la suma de la carga de resión, la carga cinética y la altura geométrica en la boca de imulsión de la bomba. En nuestro esquema, i z g V g P h (.5) Si, como antes, se lantea un balance de energía mecánica entre 4 y, se obtiene que, g F g V g P z h i i (.6) En (.4) F a /g = érdida de carga or fricción en la zona de asiración y en (.6) F i /g= érdida de carga or fricción en la zona de imulsión. Carga total: Es la diferencia algebraica entre la carga de imulsión y la de asiración, y teniendo en cuenta (.4) y (.6) g F g F g V g V g P P ) z (z h h h i a a i (.7) Si se lanteara un balance de energía mecánica entre y, el arámetro definido como carga total del sistema corresonde a la energía necesaria or unidad de eso ara que circule el líquido de a, or lo que esta carga corresonde a la energía requerida or una bomba ara imulsar el fluido.

6 Tema. Imulsión de fluidos e las ecuaciones (.4) y (.6) se deduce que la carga de asiración disminuye y la de imulsión aumenta a medida que aumenta el caudal del líquido (ya que aumentan F a y F i ), con lo que la carga total necesaria ara imulsar el líquido lógicamente es mayor cuanto más grande es el caudal que tiene que circular. Suongamos, en el ejemlo de la figura., que los deósitos y están abiertos a la atmósfera y que exresamos la resión relativa resecto a la atmosférica (P =P =0), y que la velocidad en ambos es rácticamente cero al ser la sección de los tanques mucho mayor que la de la conducción. Además, suóngase que la tubería que va de a 3 y la que va de 4 a, tienen el mismo diámetro. La figura. muestra el diagrama de líneas de altura. El trazo grueso que asa de los untos corresonde a la línea de energía total en cada unto del sistema. Así, la altura en el unto corresonde únicamente a su cota z, ya que P =0 y V = 0. El trazo grueso entre y 3 está inclinado, ya que al asar de a 3 hay érdidas or fricción (Fa/g), cuyo valor corresonde a la diferencia entre la altura total en 3 y la que habría en 3 si no hubiera érdidas (es decir, una horizontal entre y 3). La altura total en 3 corresonde a la carga de asiración, y uede comrobarse en el diagrama el cumlimiento de la ecuación (.4). Análogamente, la altura total en 4 corresonde a la carga de imulsión, y uede comrobarse or (.6), y nuevamente la altura total de corresonde a su cota geográfica. Al ser la tubería del mismo diámetro, el término cinético antes y desués de la bomba es el mismo, como se arecia en la figura, al ser constante el caudal. El salto de altura existente en la bomba, corresonde a la energía or unidad de eso de líquido transmitido or la bomba al fluido, que corresonde a la carga total, cumliéndose (.7). Justo en la salida de la bomba, esta le transmite energía de resión. H (m) V 4/ g z V 3/g P 4 / g z P 3 / g Pt. Pt 3 Pt.4 Pt. L(m) Figura... iagrama de cargas corresondiente a la figura.. 6

7 Tema. Imulsión de fluidos. Punto de colocación de una bomba Suongamos el ejemlo de la figura., donde un líquido es bombeado desde una altura z a otra suerior z, ero en este caso suongamos que la conducción es siemre ascendente. En la figura.3 se ha reresentado el diagrama de alturas o cargas ara este sistema, reresentando en este caso resiones absolutas. H (m) V 4 /g z z 3 z V 3 /g P atm /g z 3 P 4 /g P atm /g P 3 /g Pt. Pt 3 Pt.4 Pt. L(m) Figura.3. iagrama de cargas de un sistema de imulsión ascendente. La línea a trazos que va desde a 3 es la línea de alturas geográficas, de tal manera que z < z 3 = z 4 < z. La bomba or lo tanto está más elevada que el deósito en el unto. La energía total en el unto corresonde a la suma de la carga otencial y la carga de resión, que es la atmosférica. Como existen érdidas or fricción, la altura total en 3 habrá de ser inferior que en. ado que en 3 la cota es suerior que en y que el fluido tiene una velocidad, ara cumlirse el balance de energía mecánica, la resión en 3 habrá de ser inferior a la atmosférica, or lo que se habrá creado un vacío en el unto de succión de la bomba. Si la resión en 3 se hace igual o inferior a la resión de vaor del líquido imulsado, el líquido hervirá, aareciendo burbujas de gas que roducen vibraciones y ruido en las conducciones que, además de hacer imosible la imulsión del mismo, uede llegar a roducir daños serios y roturas en las conducciones. A este fenómeno se le denomina cavitación. Por tanto, la colocación de la bomba en un sistema de imulsión de líquidos habrá de hacerse en un unto tal que la resión a su entrada sea suerior a la resión de vaor. Se denomina Carga neta de asiración o NPSH (del inglés "net ositive suction head") a la carga de asiración total, determinada en la succión de la bomba, menos la resión de vaor del líquido a la temeratura que circula, ambas exresadas en metros, es decir: 7

8 Tema. Imulsión de fluidos P NPSH h v a (.8) g P3 P V v 3 P Pv V Fa NPSH z3 z g g (.9) 3 g g g Para el cálculo del NPSH, es necesario tomar como origen de energías otenciales (z=0) la cota geográfica donde se encuentre la bomba. Este NPSH, denominado disonible" (NPSH dis ), en un unto es una característica del sistema e indeendiente de la bomba utilizada, que se uede calcular a artir de la ecuación (.9). Cuando el origen de energías otenciales es la cota de la bomba, el NPSH dis deberá ser siemre ositivo (> 0) ara que no haya cavitación. Este NPSH disonible se ha calculado a la entrada de la bomba y no en el unto físico donde la bomba imulsa al fluido. ado que el fluido or el interior de la bomba uede asar or estrechamientos y accesorios que roduzcan más érdidas de carga antes de llegar a las artes móviles que comunican la energía, los fabricantes de las bombas roorcionan "NPSH requerido", característica de la misma y función del diseño de la bomba. El "NPSH requerido" es el valor en que la resión absoluta, en el unto de succión de la bomba, debe exceder a la resión de vaor del líquido. Por tanto ara que una bomba funcione correctamente sin riesgos de cavitación, el NPSH disonible del sistema habrá de ser mayor que el NPSH requerido de la bomba (NPSH disonible > NPSH requerido ), teniendo que tomar en ambos la cota de la bomba como origen de energías otenciales. Si no se disone del dato concreto del NPSH requerido or la bomba, lo que se hará será colocar la bomba, en rinciio, en un unto tal que la resión estática en el mismo (P 3 en la Figura.) sea algo suerior a la resión de vaor del líquido a la temeratura que circula. Si or cualquier circunstancia se roduce la cavitación (P 3 <P v, NPSH 0), ésta uede evitarse: a) aumentando P 3, bien mediante un cambio de altura z 3 -z, o de la resión P (en ocasiones exigirá cambiar la osición de la bomba) o bien disminuyendo el caudal, con lo que disminuye la érdida de carga en la tubería de asiración; b) disminuyendo P v, mediante una disminución de la temeratura de circulación del fluido..3 Potencia de la bomba. Rendimiento Una vez determinado el unto de instalación, ara calcular la otencia que debe comunicar al fluido, se alica un balance de energía mecánica entre los untos y. La ecuación (.) uede escribirse como: V V P P g( z z) F W (.0) de donde se deduce el valor de W: energía or unidad de masa (J/kg) que recisa el líquido. La otencia que debe suministrar la bomba al fluido se calcula mediante la ecuación (.). Sin 8

9 Tema. Imulsión de fluidos embargo, la otencia real que consuma la bomba será mayor orque al comunicar esta energía al fluido en las artes móviles de la bomba se ierde energía; también hay una érdida al comunicar el motor eléctrico energía a las artes móviles y asimismo el motor no arovecha toda la energía que consume de la red. e aquí que el consumo real de energía es bastante suerior al que se ha deducido de la ecuación anterior (al que se denomina "teórico"). Para calcular la otencia real que se va a consumir es necesario conocer el rendimiento total de la bomba y el del motor eléctrico que la imulsa, de forma que se hacen las siguientes definiciones: energía que cata el fluido Rendimiento hidráulico = h= energía alicada or las artes móviles al fluido energía alicada or las artes móviles al fluido Rendimiento mecánico = mec = energía que se alica a la bomba energía que cata el fluido Rendimiento de la bomba = = = energía que se alica a la bomba bomba h mec energía que se alica a la bomba Rendimiento del motor = elect = energía que consume el motor energía que cata el fluido Rendimiento total = = = energía que consume el motor t bomba elect En ocasiones, los fabricantes roorcionan los rendimientos totales de las bombas, que es el que interesa ara el cálculo de la otencia real de la bomba: Pot real Pot teorico (.) t W(J / kg) m(kg / s) t Sin embargo, es frecuente que el fabricante de bombas roorcione únicamente el rendimiento de la bomba, ya que no suministra la misma con un motor dado, y se les uede acolar distintos motores. Lo que no es frecuente es que el fabricante roorcione searadamente el rendimiento mecánico y el rendimiento hidráulico..4 Aaratos ara la imulsión de líquidos Las formas de imulsar un fluido, líquido o gas, a través de una conducción son muy variadas, aunque básicamente se ueden reducir a una de las siguientes: a) or deslazamiento volumétrico del fluido, bien sea mecánicamente o con la ayuda de otro fluido (bombas de deslazamiento ositivo, etc.) b) or imulsión mecánica, mediante la acción de la fuerza centrífuga (turbobombas, ventiladores y turbocomresores) 9

10 Tema. Imulsión de fluidos c) or transorte de cantidad de movimiento mediante un segundo fluido (eyectores, etc.) d) or la acción de un camo magnético (bombas magnéticas). Según que el fluido que se va a imulsar sea un líquido o un gas, las máquinas utilizadas reciben distinto nombre. En lo sucesivo, se considerará la siguiente clasificación: Como se acaba de indicar, los aaratos destinados a la imulsión de líquidos se denominan bombas. La forma en que dicha imulsión se roduce uede ser variada, aunque suele ser de dos tios rinciales corresondiéndose con los tios a) y b) enunciados: a) Bombas de deslazamiento ositivo o volumétricas. En este tio de máquinas el líquido es introducido y confinado en un cierto esacio de la bomba, donde se le comunica la energía, siendo deslazado a continuación hasta la zona de exulsión. Este tio de bombas roorciona una cantidad constante de líquido en cada embolada o revolución de la arte móvil, sin que el líquido ueda circular libremente a través del cuero de la bomba. Ésta, lógicamente, no uede funcionar con la salida cerrada y si se quiere disminuir o surimir el caudal sin arar la bomba, es necesario recircular arte o todo el líquido bombeado, resectivamente. b) Turbobombas. En este tio de bombas se aumenta la energía cinética del líquido mediante un rodete giratorio, que todavía en el interior de la bomba se transforma en energía de resión. En ellas el líquido sí uede circular libremente a su través, ues recibe la energía or acción de giro que le comunica un disco giratorio a gran velocidad, sin necesidad de ser confinado en esacios interiores. Las turbobombas se clasifican en bombas centrífugas, helicocentrífugas y axiales en función de la trayectoria que siga el fluido a lo largo del rodete giratorio. A continuación se comentarán los tios rinciales de bombas, tanto de deslazamiento ositivo como turbobombas, y sus características rinciales, indicando finalmente los criterios fundamentales ara la adecuada elección de las mismas..4.. Bombas de deslazamiento ositivo o volumétricas En este tio de bombas, el caudal de salida deenderá solamente del tamaño de la bomba, su diseño, y será indeendiente de las características del sistema en que se encuentre, ya que el caudal de líquido en cada embolada es constante al trabajar el motor a velocidad constante. Según sea el mecanismo de imulsión del líquido, se dividen en: alternativas y rotatorias. a) Bombas alternativas Las bombas alternativas ueden ser: de émbolo o istón y de diafragma. Las bombas de émbolo o istón, constan de un cilindro de mayor o menor diámetro movido or una biela, el cual comrime al líquido en la cámara en que se aloja, en cuya entrada y salida existen las corresondientes válvulas de retención ara admisión y descarga (Fig..4). Como consecuencia de dicho mecanismo dan un caudal fluctuante, uesto que durante la admisión no hay descarga de líquido y durante la exulsión el caudal varia, asando or un máximo, tal como indica la Figura.5.a). 0

11 Tema. Imulsión de fluidos Figura.4. Bomba de istón. Para evitar esta fluctuación se suele disoner un deósito lleno de aire a la salida de la bomba (ulmón), que or comresión y exansión del aire de su interior amortigua las oscilaciones del caudal. Otra forma muy frecuente consiste en utilizar émbolos que actúan or las dos caras (acción doble), de forma que cuando asira or un lado, está exulsando or el otro, como se indica en la Figura.6. En la Figura.5.b) se arecia el efecto conseguido sobre el caudal. Figura.5. Funcionamiento de una bomba alternativa. Figura.6. Bomba de istón de acción doble. Un aso más en este sentido lo constituyen las bombas con dos o más cilindros de acción simle o doble, desfasados en medio recorrido. El flujo total que roorcionan es del tio esquematizado en la Figura.5.c).

12 Tema. Imulsión de fluidos Sin embargo, a esar de estas fluctuaciones significativas en eriodos cortos de tiemo, estas bombas roorcionan caudales muy constantes en eriodos largos. Las resiones que se alcanzan a la salida suelen ser elevadas, sueriores a 50 bar en bombas de istón (diámetro relativamente grande) y hasta 400 bar con bombas de émbolo de equeño diámetro. Las bombas de istón o émbolo son muy útiles ara la imulsión de líquidos muy viscosos or el elevado esfuerzo cortante que se crea sobre las aredes del cilindro al aso del émbolo, lo que favorece la estanqueidad del conjunto; sin embargo, no se ueden utilizar ara bombear líquidos que contengan sólidos abrasivos, debido al daño que ocasionarían sobre las suerficies ulidas del interior. El rendimiento volumétrico de estas bombas, definido como cociente entre el volumen real del líquido suministrado y el volumen barrido or el cilindro, es suerior al 90 or 00. El rendimiento mecánico oscila entre 40 y 50 or 00, ara las bombas equeñas, y or 00, ara las bombas grandes. El número de emboladas uede oscilar entre 0 y 00 or minuto. Algunas desventajas son su tamaño relativamente grande y su elevado coste inicial y de mantenimiento. Las bombas de diafragma son similares a las de istón o émbolo. ifieren de estas en que la arte móvil está constituida or una membrana flexible de metal, caucho o lástico, accionada mecánica o neumáticamente (Fig..7). Su rincial ventaja es que no recisa emaquetadura ni rensaestoas ara evitar la fuga de líquido entre las artes fijas y móviles, or lo que son muy utilizadas ara imulsar líquidos tóxicos o eligrosos, y también líquidos esterilizados. El rincial roblema que resentan es, naturalmente, el de la vida relativamente corta del diafragma, y su riesgo de rotura, or lo que los costes de mantenimiento ueden ser elevados. Suele utilizarse ara bombear líquidos corrosivos y líquidos con sólidos abrasivos en susensión. b) Bombas rotatorias Figura.7. Bomba de diafragma. En ellas el deslazamiento del líquido se roduce or rotación de una o más iezas móviles en el interior de una carcasa, determinando unas cavidades en las que se aloja el líquido que se

13 Tema. Imulsión de fluidos deslaza desde la entrada de la bomba hasta la zona de descarga. La velocidad de giro es del orden de las 500 r..m., roorcionando al líquido resiones medias; hasta de 00 bar. Pueden bombear líquidos que no contengan sólidos abrasivos, aunque están esecialmente indicadas ara manejar líquidos algo viscosos, con roiedades lubricantes (aceites ligeros, etc.). Al contrario que las bombas alternativas, las rotatorias no necesitan válvulas de retención. Cuanto mejor sea el ajuste entre las artes fijas y móviles, menores fugas de líquido existirán y, or tanto, mayor será el rendimiento. Entre los diversos tios de bombas rotatorias cabe citar las siguientes: de ruedas dentadas, de lóbulos, de ruedas excéntricas, de aletas, de tornillo, de hélice salomónica y eristálticas. A continuación se comenta brevemente cada uno de ellos. Figura.8. Bombas de ruedas dentadas. Las bombas de ruedas dentadas son las bombas rotativas de deslazamiento ositivo más utilizadas. Constan de dos ruedas dentadas de igual diámetro que se engranan alojadas en una carcasa, como indica la Figura.8. Imulsan al líquido confinándolo entre los dientes de las ruedas y las aredes de la carcasa. Los engranajes ueden ser helicoidales o rectos, y solo uno de ellos ejerce el deslazamiento, mientras que el otro engranaje gira sincrónico con él. Pueden conseguir resiones de hasta 350 bar. Las bombas de lóbulos son similares a las anteriores, ero las ruedas en vez de ser dentadas disonen de dos lóbulos que cumlen la misma misión (Fig..9). Figura.9. Bomba de lóbulos. Figura.0. Bomba de ruedas excéntricas. Las bombas de ruedas excéntricas están torneadas or una rueda dentada unida al motor y otra, excéntrica con la anterior, que gira arrastrada or ella, como se indica en la Figura.0. Una media luna fija llena el esacio existente entre ambas ruedas. El líquido es imulsado or ambas, siendo alojado entre los dientes de las ruedas y las artes fijas. Las bombas de aletas son similares a las anteriores. Están formadas or unas aletas rectangulares unidas radialmente a un eje excéntrico con el cuero de la 3

14 Tema. Imulsión de fluidos bomba, que al deslazarse or acción de la fuerza centrífuga, determinan las cavidades en las que es alojado el líquido (Fig..). Figura.. Bomba de aletas. Figura.. Bomba de tornillo. Las bombas de tornillo, arecidas a las de ruedas dentadas, constan de uno o más rotores cilíndricos en forma de tornillo que encierran al líquido entre sus estrías y las aredes de la cavidad donde se alojan, obligándolo a circular en dirección axial desde un extremo del tornillo al otro. En las versiones de tres rotores, el central es el que arrastra a los otros dos (Fig..). Se utilizan rincialmente ara imulsar líquidos viscosos. Las bombas de hélice salomónica son una modificación de las anteriores, ues en lugar de un rotor cilíndrico roscado están dotadas de un rotor helicoidal metálico cuyo eje describe, además del giro, una trayectoria circular dentro de una cavidad fija de forma similar. En el movimiento del rotor, los huecos que quedan entre el rotor y las aredes fijas (de un material lástico) avanzan de un extremo a otro de forma análoga a la de la bomba de tornillo (Fig..3). Igual que estas, las bombas de hélice salomónica se utilizan referentemente ara imulsar líquidos de elevada viscosidad, como aceites esados, grasas, inturas, etc. Con ellas se obtienen resiones elevadas, tanto mayores cuanto más largo es el tornillo o la hélice salomónica y mayor es la velocidad de giro. Figura.3. Bomba de hélice salomónica. Por último, las bombas eristálticas constan de una tubería flexible, entre 3 y 5 mm de diámetro, que al ser comrimida sucesivamente or unas ruedas que giran continuamente, obligan a circular al líquido en la dirección del giro. El efecto resultante es similar al del movimiento eristáltico del aarato digestivo animal, del cual recibe su nombre. Tienen la ventaja, como las bombas de diafragma, de no ofrecer osibilidades de fugas, al no existir artes rígidas fijas y móviles en contacto, aunque resentan el mismo roblema de la vida limitada del material elástico de la conducción. Suelen suministrar caudales reducidos, or lo que se emlean frecuentemente a escala de laboratorio. 4

15 Tema. Imulsión de fluidos Bomba eristáltica Algunos de los tios anteriores de bombas de deslazamiento ositivo, referentemente de las rotatorias, se suelen utilizar or su gran recisión en el caudal suministrado como bombas dosificadoras, e incluso, como medidores de caudal..4.. Turbobombas Son sin duda las más extensamente utilizadas (y más esecialmente las bombas centrífugas) en la industria ara el transorte de fluidos de todo tio, or sus notables ventajas. Como se dijo anteriormente, las turbobombas incrementan la energía cinética del fluido mediante la acción de un rodete que gira a gran velocidad, convirtiéndose esta energía en energía de resión en la bomba. La característica rincial de estas bombas es que el caudal que roorcionan, además de deender del diseño de la roia bomba, viene condicionado or las características de la instalación en que se encuentren. En las bombas centrífugas, el líquido es introducido or el centro del rodete, y este se deslaza dentro del mismo en dirección radial al eje de giro del rodete. En las bombas axiales o de hélice, el flujo del fluido es (como su nombre indica) axial al eje de giro del rodete, mientras que en las hélicocentrífugas, son centrífugas que en vez de tener un rodete circular tiene una forma tal que el líquido en su interior en vez de girar comletamente radial al eje de giro del rodete, lo hace de forma oblicua. ado que el rinciio de funcionamiento de las turbobombas es el mismo ara los tres tios, se dará exlicación de su funcionamiento sobre las bombas centrífugas, que son con mucho las más utilizadas en la industria, y or tanto, tendrán una consideración esecial en este tema. Bomba centrífuga Bomba axial Como se ha mencionado, están formadas or un disco rotatorio denominado rodete, rovisto de unas nervaduras o álabes disuestos como indica la Figura.4, que gira a gran velocidad 5

16 Tema. Imulsión de fluidos dentro de una carcasa metálica ( r..m.). El giro es roorcionado or un motor eléctrico, que va acolado al eje de giro del rodete. El líquido entra a la bomba or el eje hueco del rodete, asirado como consecuencia de la disminución inicial de resión que roducen sus álabes al girar. A continuación, este líquido es royectado radialmente a lo largo de los álabes or la acción de la fuerza centrífuga, aumentando considerablemente su energía cinética. A la salida del rodete, esta energía cinética adquirida se transforma en energía de resión, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli, a costa de un ensanchamiento aulatino de la sección de aso. Este ensanchamiento rogresivo se uede conseguir dándole a la carcasa una forma de esiral, denominada voluta, como se indica en la Figura.4, o mediante otra ieza dotada de álabes, fija, denominada difusor, muy utilizado en bombas más comlejas de etaas múltiles (Fig..5). La resión de descarga de una bomba centrífuga, ara una misma resión de admisión, deenderá, naturalmente, de la eficacia con que se lleve a cabo la citada conversión de energía cinética en energía de resión. Figura.4. Bomba centrífuga (de voluta). Las bombas centrífugas son de gran versatilidad, bajo coste, fácil diseño, oeración y mantenimiento, or lo que resultan las más indicadas en la mayoría de los casos. Pueden roorcionar caudales variables, desde algunos litros or minuto (los modelos de menor tamaño) hasta varios cientos de metros cúbicos or minuto. Figura.5. Bomba centrífuga de difusor. Según sea el tio de líquido que se vaya a bombear, se elige un tio u otro de rodete, construyéndolo además del material adecuado. Este uede ser de hierro, bronce, acero de diversos tios, aleaciones de níquel etc.; incluso existen también de metal revestido de vidrio, de cerámica, de carbón o de fibras sintéticas, según las necesidades del fluido a imulsar. Los rodetes ueden ser cerrados, semiabiertos, abiertos o de flujo mezclado. Los rimeros están formados or dos discos aralelos, entre los que se encuentran los álabes soldados a sus caras; los rodetes semiabiertos constan de un solo disco con los álabes en una de sus caras; los rodetes abiertos están formados or los álabes y el soorte imrescindible ara su sujeción, y 6

17 Tema. Imulsión de fluidos los de flujo mezclado disonen de unos álabes eseciales que roorcionan además del flujo radial, un flujo axial (bombas helicocentrífugas). Los rodetes cerrados son los más corrientes y se utilizan ara líquidos oco viscosos y sin sólidos en susensión. A su vez los rodetes abiertos son los más indicados cuando se ha de bombear un líquido con sólidos abrasivos en susensión. En cuanto a la asiración de la bomba centrífuga, ésta uede ser sencilla o doble, según que se roduzca or una de las caras del rodete o or las dos, resectivamente, tal como se indica en la Figura.6. Figura.6. Bomba centrífuga: a) Asiración sencilla; b) Asiración doble. Otras características de las bombas centrífugas son que no roducen ulsación en la descarga, que ueden trabajar en un amlio intervalo de resiones y caudales, ara una misma velocidad de giro, y que la resión de descarga es función de la densidad del fluido bombeado. Resumiendo, como ventajas rinciales de las bombas centrífugas, cabría destacar las siguientes: Construcción sencilla, con gran diversidad de materiales de construcción. Bajo coste inicial y de mantenimiento (menor que el de cualquier tio de bomba). Ausencia de válvulas en el cuero de la bomba. Posibilidad de acolamiento directo a un motor eléctrico, dada la gran velocidad a que oeran (hasta más de 4000 r..m.). En general, ara un caudal determinado, una mayor velocidad de giro suone un menor tamaño de la bomba y del motor. Al ser la de menor tamaño ara una determinada caacidad, osibilidad de fabricarse formando con el motor de imulsión una unidad sellada, or lo que resulta útil ara su introducción en el deósito de succión. Funcionamiento muy estable. Si se roduce un bloqueo de la línea de imulsión (salida de la bomba) no se roduce daño en la bomba, siemre que su funcionamiento no se mantenga así or largo tiemo. Puede manejar líquidos que contengan elevadas roorciones de sólidos susendidos. 7

18 Tema. Imulsión de fluidos A diferencia de las bombas de deslazamiento ositivo, ueden trabajar a válvula cerrada a la salida sin que sufran daño, roorcionando en vez de caudal, resión a la salida de la bomba. Entre las rinciales desventajas que resentan las bombas centrífugas, ueden destacarse las siguientes: Una bomba centrífuga de una sola etaa no uede roorcionar una resión elevada. Se construyen bombas de múltiles etaas caaces de desarrollar grandes resiones, ero resultan mucho más costosas y no se ueden construir con materiales resistentes a la corrosión, debido a su gran comlejidad. Es referible, generalmente, emlear velocidades muy altas ara reducir el número de etaas necesarias. Solamente ueden oerar con elevado rendimiento en un intervalo limitado de condiciones (caudal-resión). Necesitan de la instalación de válvulas de retención en la línea de asiración, de lo contrario el líquido odría retornar al deósito de succión en caso de detener la bomba. Los líquidos muy viscosos no ueden manejarse con buen rendimiento. En estos casos son referibles las bombas de deslazamiento ositivo. Funcionamiento de una bomba centrífuga. Curva característica Las bombas centrífugas oeran casi siemre a velocidad constante, or lo que el caudal suministrado (denominado habitualmente caacidad de la bomba) deende solamente, ara una misma bomba, de las cargas de asiración e imulsión. Consideremos la bomba centrífuga de la figura.7, en la que se observa la vista radial y frontal de un rodete. Los álabes están situados sobre el rodete, entre los radios r y r, y tienen una anchura constante b. La masa de un elemento líquido que está girando entre r y r+dr, dm=rb dr. La velocidad de ese elemento diferencial u es la suma de la velocidad tangencial u t roorcionada or el rodete (u t = r) y la velocidad u v del elemento, considerando al rodete el sistema inercial de referencia. El momento angular de este elemento, dl dm(ur cos ). Como el torque es la variación de momento angular con el tiemo, y suoniendo régimen estacionario, la masa no varía en la unidad de tiemo: dl d dm (ur cos ) rbdr (ur cos ) Qd(ur cos ) (.) dt t t 8

19 Tema. Imulsión de fluidos u ut uv r r Figura.7. Vista frontal y radial de un rodete y reresentación de las velocidades. Como la otencia es el roducto del torque or la velocidad angular, y a artir de la otencia se uede calcular la energía or unidad de eso desarrollada or la bomba, integrando el torque sobre el radio menor y mayor del rodete corresondiente a los álabes, se obtiene: P Q(u r cos u r cos ) (.3), (u r cos ur cos ) (.4) g H t fórmula que es conocida como ecuación de Euler ara las turbomáquinas. Para oder obtener la ecuación de Euler, se tienen que cumlir dos condiciones: a) rendimiento de la bomba unidad, y b) comortamiento idéntico de todos los filetes que atraviesan el rodete, que suone tener un rodete dotado de infinitos alabes de esesor nulo. Estas hiótesis nos las recuerdan los subíndices que acomañan a la H en la ecuación anterior. e cualquier forma, la ecuación (.4) indica que el máximo rendimiento de la bomba se obtendrá a un caudal Q tal que roduzca que el sustraendo sea nulo, es decir, que el cos = 0, denominándose a este caudal de diseño Q ro. Por trigonometría, como uede verse en la figura.7. u v sen usen ; u t u v cos u cos (.5) El caudal volumétrico es el roducto del área or la comonente radial de la velocidad, y haciendo uso de las relaciones trigonométricas anteriores: Q r (.6) bu sen r bu v,sen Esta ecuación (.6) es también válida en el diámetro interior o menor del rodete r. Para las condiciones ótimas de diseño, dado que el ángulo = /, se obtiene igualmente or trigonometría que: tg u u ; Qro br tg u t, rr (.7) Para exresar la energía or unidad de eso, o altura, o carga desarrollada or la bomba en función del caudal, uede desreciarse de la ecuación de Euler (.4) el término corresondiente al diámetro interno del rodete. Sustituyendo en la ecuación resultante las 9

20 Tema. Imulsión de fluidos relaciones trigonométricas (.5) y la ecuación (.6) en el radio exterior r, se obtiene la altura o energía roorcionada or la bomba or unidad de eso de fluido en función del caudal: r Q H t, ru cos (.8) g g bgtg Por tanto, la altura o energía or unidad de eso de fluido que roorcionan teóricamente los alabes del rodete giratorio de una bomba centrífuga es indeendiente de la densidad del fluido. Cuando los álabes están inclinados de la manera en que se observa en la figura.7 (siemre se diseñan de esa forma or estabilidad y adatabilidad al sistema), la tg es ositiva, y or tanto, la altura de la bomba disminuye linealmente a medida que aumenta el caudal imulsado. Como se dijo anteriormente, la altura teórica de la bomba H t se obtuvo suoniendo un comortamiento idéntico al de infinitos álabes de esesor nulo a través del rodete. Por tanto, la altura real roorcionada or una bomba de un número finito de alabes será inferior a la anterior. Analicemos cuanto menor será dicha energía: a) Por un lado, la energía roorcionada or el rodete de una bomba de un número finito de álabes, suoniendo rendimiento unidad, será inferior a la de un número infinito or medio de un factor corrector, es decir, Ht Ht, ;. e este factor existen numerosas exresiones emíricas en la bibliografía, destacando la de Pfleiderer:.( sen ) (.9) r z r z = nº de álabes en el rodete b) Además, en el interior de la bomba tienen lugar érdidas de carga al circular el líquido a gran velocidad, tanto or fricción en los álabes y en la voluta, como or choque de imacto en el difusor y voluta. Por tanto, dado que las érdidas de carga or fricción, según la ecuación de Fanning, son roorcionales al cuadrado del caudal, y las érdidas or choque están relacionadas con la desviación del cuadrado del caudal con resecto al de diseño Q ro (ya que al ser = 90º, los choques del fluido con los álabes son nulos). Así, ueden establecerse las siguientes relaciones: H t, a bq (.0) 0

21 Tema. Imulsión de fluidos H t (a bq) (.) H r Ht Kfricc Q Kchoque(Q Qro ) A BQ CQ (.) H H t, H t Figura.8. Alturas teóricas y reales roorcionadas or una bomba centrífuga. H r La curva característica muestra que la bomba roorciona la máxima altura a caudales nulos. Si se oera una bomba centrífuga a válvula cerrada, la resión que adquiere el fluido (ya que no circula) es la corresondiente a la altura de la bomba. Además de la curva característica de la bomba H/Q, es imrescindible Q conocer la variación del rendimiento y de la otencia frente al caudal, cuyas evoluciones se muestran en la figura.9. Resecto al rendimiento, su evolución es una arábola que asa or el origen y tiene un máximo, al cual le corresonde ara una areja de valores altura-caudal, y corresonde al unto ótimo de funcionamiento de la bomba. La curva de rendimientos asa or el origen ya que a caudales nulos, el rendimiento de la bomba es cero. El motivo de que el rendimiento de la bomba varíe y sea inferior a la unidad se debe, aarte de al roio rendimiento del motor eléctrico, a érdidas volumétricas de fluido (fugas de fluido al exterior de la bomba y fugas de fluido de la voluta que retornan a la zona de imulsión) y a érdidas mecánicas (fricción en los cojinetes y rensaestoas). Téngase en cuenta que las érdidas de energía mecánica del fluido or fricción y or choque ya se habían tenido en cuenta en el cálculo de la carga de la bomba. Así, la curva de rendimientos uede ajustarse analíticamente mediante una arábola (ec..3), y como asa or el origen, su término indeendiente será nulo: Q EQ (.3)

22 Tema. Imulsión de fluidos Figura.9. Curvas características de una bomba centrífuga. Resecto a la variación otencia-caudal, cabe diferenciar entre la otencia que cata el fluido, (P = H g Q), y la otencia al freno (N a = ) que ejerce el eje de la bomba ara moverla. La rimera es nula a caudal nulo, ya que el fluido no cata energía cuando no hay una imulsión del mismo, ero la otencia al freno no es nula a caudales nulos ya que se resuriza el líquido a la salida de la bomba. Ambas están relacionadas con el rendimiento comentado anteriormente. Si se descuentan de la otencia al freno, or un lado, las érdidas de otencia debidas a los roces en los cojinetes, en la arte lana del disco rotor, y las equivalentes a las fugas de líquido, que son rácticamente constantes, y or otro lado las érdidas debidas al choque del fluido a la salida de los álabes, denominadas érdidas or choque, y las debidas roiamente al rozamiento del fluido, se obtiene como indica la Figura.0, la otencia suministrada realmente al fluido, cuya forma es similar a la curva de rendimientos, exceto que, cuando la bomba trabaja a válvula cerrada y su caudal es nulo, se obtiene la máxima carga a la salida, que significa la máxima resión, y aunque el rendimiento sea nulo (no imulsa nada), sí que se consume otencia ya que el torque no es nulo.

23 Tema. Imulsión de fluidos Figura.0. Curva característica otencia al freno-caudal y zonas de distribución de la otencia de una bomba centrífuga. Las dos últimas érdidas de otencia mencionadas ya no son constantes. Las érdidas or choque se roducen al tener que cambiar bruscamente la dirección al fluido que sale del rodete, guiado or sus nervaduras, ara tomar la nueva dirección que le imone la voluta o el difusor. Como se comrenderá, la turbulencia que se roduzca deenderá de la inclinación con que se hayan diseñado los álabes, de la velocidad de giro del rodete y del caudal de líquido bombeado. Para una bomba determinada (velocidad de giro fija), la inclinación de los álabes se calcula ara un cierto caudal de diseño, y or encima o or debajo de dicho caudal, el ángulo de los álabes deja de ser ótimo y las érdidas or choque aumentan. Ello exlica la forma curva de la otencia absorbida or el fluido frente al caudal, en la Figura.0, la cual resenta un máximo que corresonde al caudal de diseño. Por último, las érdidas de otencia debidas al rozamiento del fluido, tanto mayores cuanto mayor sea su velocidad, de acuerdo con la ecuación de Fanning, aumentan con el caudal de fluido, siendo nulas en el caso de que este no circule. e cuanto antecede, se comrende fácilmente la forma cóncava hacia el eje de abscisas, que resenta la curva de la otencia suministrada realmente al fluido, cuyo máximo corresonde al caudal ótimo de bombeo. Cálculo del caudal imulsado or una bomba centrífuga en un sistema. Considérese el esquema de la figura., donde se desea deslazar un líquido desde un deósito a una altura z a otro a una altura suerior z mediante una bomba, cuya curva característica se muestra en la figura., emleando L metros de una tubería de diámetro. Al alicar la ecuación (.7), se obtiene la carga total del sistema, que es una característica del mismo: 3

24 Tema. Imulsión de fluidos H sist Fa Fi fv L 3fQ L (z z) (z z) (z z) (.4) 5 g g g Como la diferencia de altura geográfica es única ara este sistema, así como la tubería, la carga total del sistema es una función del cuadrado del caudal, como se muestra en la figura.. Así el unto de oeración de la bomba, es decir, el caudal que imulsa y la altura roorcionada, vendrá dada or el unto de corte de la característica de la bomba (función arabólica descendente) y la curva del sistema (función arabólica ascendente). Por tanto, ara cualquier sistema dado, es osible calcular la carga o altura total necesaria mediante la ecuación (.7). Si el sistema está totalmente definido (cotas geográficas, longitud de tuberías, diámetros, etc), la carga necesaria en el sistema es una función del caudal. Con los datos de la curva característica de la bomba, el caudal imulsado será aquel en que la carga del sistema sea igual a la carga de la bomba, es decir, al unto de corte entre la curva de la carga del sistema y la curva característica de la bomba. Patm Patm z z Figura.. Esquema de de un sistema de imulsión. Figura.. Reresentación de la curva característica con la curva del sistema. 4

25 H MECÁNICA E FLUIOS Tema. Imulsión de fluidos.4.3. Asociación de bombas centrífugas en serie y bombas múltiles Las bombas centrífugas son el gruo de bombas más amliamente utilizadas en la industria, or su bajo coste y restaciones. Estas bombas son caaces de roorcionar desde caudales muy equeños a muy elevados; sin embargo, las resiones de salida de dichas bombas son, las mayores, de unos 500 kpa, que es un valor inferior a las resiones que son caaces de roorcionar las bombas alternativas de deslazamiento ositivo. Sin embargo, las resiones roorcionadas or las bombas centrífugas ueden incrementarse asociando bombas en serie. Suóngase el ejemlo mostrado en la figura.3. La bomba no es caaz de imulsar líquido en el sistema cuya curva se muestra. Si se acolara otra bomba idéntica a la bomba en serie, el caudal que circularía or las dos bombas sería el mismo. Por tanto, el mismo caudal recibiría igual energía or cada bomba (ya que son iguales), or lo que la curva característica resultante de la asociación de dos bombas será la suma de la altura roorcionada or cada bomba al mismo caudal, como se muestra en la figura. e esta forma, la asociación en serie de dos bombas idénticas ermite la imulsión de fluido cuando con una solo no era osible. Asociación serie curva sistema bomba Q Figura.3. Reresentación de bombas en serie. Fig..4. Bomba de 3 rodetes. Las denominadas bombas centrífugas múltiles son realmente una asociación de bombas centrífugas iguales en serie. La figura.4 muestra la imagen de una bomba múltile. Aunque en el ejemlo exuesto se ha exlicado la obtención de la curva característica de dos bombas idénticas, la curva resultante de la curva característica de la asociación de dos bombas diferentes en serie se obtiene de idéntica manera, sumando las alturas que se obtienen ara cada caudal Asociación de bombas en aralelo En una determinada instalación de alimentación de fluidos en una industria, no es reciso que circule siemre el mismo caudal, sino que en función de las necesidades de roducción, odrá 5

26 Tema. Imulsión de fluidos alimentarse más o menos caudal. Las bombas centrífugas, que oeran siemre a la misma velocidad, ueden utilizarse ara alimentar varios caudales intercambiando en el sistema, or ejemlo, una válvula de regulación, de forma que al introducir más érdida de carga, disminuye el caudal alimentado. Sin embargo, se ha visto que cada bomba centrífuga tiene un unto ótimo de funcionamiento donde el rendimiento es alto, y aunque uede trabajar en otras condiciones, no es recomendable dadas las imortantes érdidas energéticas que ello conlleva. Por tanto, cuando en un sistema se desea trabajar a distintos caudales, roorcionando al fluido la misma altura o energía or unidad de eso de fluido, se suele utilizar la asociación de bombas centrífugas en aralelo. Consideremos un sistema de imulsión de una única tubería, cuya curva está reresentada en la figura.5, en la que la imulsión está formada or dos bombas centrífugas diferentes, cuyas curvas características se muestran también en la figura. En este caso, el caudal total Q que circula or el sistema será la suma de los caudales imulsados or cada bomba. Por tanto, ara una altura o energía or unidad de eso requerida or el sistema, en la asociación de bombas en aralelo, imulsará cada una el caudal corresondiente a esa altura requerida. Es decir, la curva característica corresondiente a la asociación de bombas se construye sumando los caudales que roorcionan las bombas a una H determinada. Obsérvese que mediante la asociación en aralelo de bombas no se consigue una mayor energía or unidad de fluido, sino imulsar un caudal mayor. H sistema Asociación en aralelo bomba bomba Q Q Q t Q Figura.5. Reresentación de la característica de bombas en aralelo Semejanza en bombas centrífugas Como se mencionó anteriormente, las curvas características reales de las bombas centrífugas las roorcionan los fabricantes de las mismas, que a su vez las han obtenido exerimentalmente. ado que los fabricantes ofrecen una cantidad muy amlia de bombas, incluso ara untos ótimos de funcionamiento róximos, hay gamas de bombas donde el tamaño de la bomba es el mismo y solo varía ligeramente el tamaño del rodete. Además, un fabricante uede ofertar una bomba dada dando con ella la curva característica a una determinada velocidad de giro, y el usuario final utilizarla a otra velocidad de giro. Basándose 6

27 Tema. Imulsión de fluidos en los denominados criterios de semejanza entre bombas, que engloba la semejanza geométrica, dinámica y cinemática, es osible obtener la curva característica de una bomba que es semejante a otra y cuya curva característica se conoce. El caudal imulsado or una bomba centrífuga, la altura teórica de la bomba y la otencia catada or el fluido venían exresados or las ecuaciones.6 y.8: Q r (.6) H bu sen u r cos g t, (.8) P = Q g H (.5) Teniendo en cuenta que la velocidad del fluido a la salida del rodete u es roorcional a la velocidad tangencial u t, queda establecido que la relación de caudales (Q/Q ), alturas (H/H ) y otencias (P/P ) de bombas que guardan semejanza cinemática son: Q Q' ru r' u' r r' ' (.6) H H' P P' u r r (.7) ' u' r' ' r' QH Q' H' 3 4 (.8) El caso de la semejanza total entre bombas (geométrica, dinámica y cinemática) uede alicarse únicamente en dos circunstancias: a) Bombas idénticas girando a distintas velocidades, mientras estas no difieran excesivamente. En este caso, el caudal Q, la altura de la bomba H y la otencia P son roorcionales a la velocidad de giro, a su cuadrado, y a su tercera otencia, resectivamente, ya que =. Q Q' 3 H P 3 ; ; (.9) ' H' ' P' ' Si se disusiera del ajuste analítico de la curva característica de la bomba H =A+BQ +CQ, alicando la semejanza, obtendríamos directamente la curva característica a la nueva velocidad de giro, que resulta H= A+BQ+CQ. Resecto al rendimiento, cuando dos bombas son semejantes, el rendimiento de la bomba que oera en unas condiciones de semejanza es el mismo, es decir =. En este caso, si se disusiera de la curva de rendimientos inicial = Q +FQ, la nueva curva de rendimientos sería = Q/ +EQ / 7