Problemes de Geometria per a l ESO Calculeu l àrea d un cercle tal que té un hexàgon inscrit de costats consecutius 1, 1, 1, 2, 2, 2.

Transcripción

1 Problemes de Geometria per a l SO 7 6- alculeu l àrea d un cercle tal que té un hexàgon inscrit de costats consecutius,,,,, Siga l hexàgon inscrit en la circumferència de centre O i radi r Siga α O, β O α + β 60º α + β 0º ( α + β) 0º (per ser angle inscrit en la circumferència) plicant el teorema del cosinus al triangle + cos a0º 7 Siga el punt mig del segment : O 80º ( α + β) l triangle O és isòsceles, O 0º plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle 7 cos 0º Resolent l equació: r 7 r L àrea del cercle de centre O és: 7 7π S πr π 7 O :

2 6- onat un punt interior a l hexàgon regular la suma de les distàncies als costats és constant alculeu la suma d aquestes distàncies si el costat de l hexàgon és c Generalitzeu el resultat per a un polígon regular de n costats N P L K I Siguen h PI, h PJ, h PK, h PL, h 5 P, h 6 PN les distàncies del punt P als sis costats del triangle L àrea de l hexàgon regular és igual a la suma de les àrees dels sis triangles que forma el punt P i el vèrtex de l hexàgon regular: S c( h + h + h + h + h5 + h6 ) Siga O el centre de l hexàgon regular L àrea de l hexàgon regular és igual a la suma de les àrees dels sis triangles equilàters que forma el centre de l hexàgon amb els vèrtexs de l hexàgon Siga Q el punt mig del costat plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle de l hexàgon regular és OQ c L àrea de l hexàgon regular és: S 6 S O 6 c c c QO, l apotema I N O J P J L K Igualant les àrees: S c( h + h + h + h + h5 + h6 ) c Q h h + h + h + h + h c La suma d aquestes distàncies del punt P als costats és constant Generalització: Siga un polígon regular de n costats Siga P un punt interior al polígon Siga c el seu costat La suma de les distància de P als costats és: n h + h + h + + hn c 80º tg n

3 6- Siga el tetraedre P tal que 6, 8, 0 ls angles entre P, P, P amb el plànol del triangle mesuren 60º etermineu el volum del tetraedre P Siga P la projecció de P sobre el plànol del triangle PP ' PP' PP' 60º leshores, els triangles rectangles PP ', PP', PP' són iguals leshores, P ' P' P' leshores, P és el circumcentre del triangle és un triangle rectangle, el seu circumcentre és el punt mig de la hipotenusa leshores P és el punt mig del segment P ' P' 5 plicant raons trigonomètriques al triangle rectangle PP ' 5tg60º 5, altura del tetraedre l volum del tetraedre P és: VP S PP' V P P ' P :

4 6- ins d un quadrat s han dibuixat 5 quadrats (veure figura) alculeu la proporció entre les àrees de la suma dels 5 quadrats interiors i la del quadrat exterior Solució : Siga el quadrat el exterior de costat Siga el punt mig del costat Siga N el punt mig del costat N c Siga NOPQ un dels cinc quadrats interiors Siga NO OP x costats del quadrat c plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle NP x N NP x leshores, c x x c 8 La suma de les àrees dels 5 quadrats interiors és: 5 S 5 5 x c 8 L àrea del quadrat és: S c NOP : La proporció entre les àrees de la suma dels 5 quadrats interiors i la del quadrat exterior és: 5 c S5 8 5 S c 8 O N P Q Solució : 9 5 La proporció entre les àrees de la suma dels 5 quadrats interiors i la del quadrat exterior és: 5 c S5 8 5 S c 8 8

5 65- Siga un prisma triangular recte tal que cm, 90º, 0º, '' 0º alculeu el volum del prisma plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 8, Siga ' h altura del prisma : plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle ' : ' h + 6 plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle ' : ' h + 6 plicant el teorema del cosinus '' : ( ) h h + 6 h + 6 h + 6 cos0º h h + 6 h + 6 cos 0º h + 6 levant al quadrat: h 08 0 Resolent l equació: h 8 l volum del prisma és: V cm

6 66- n un prisma triangular regular l aresta de la base és 6 i l altura 0, es dibuixa un plànol que passa per l aresta i forma un angle de 0º amb la base etermineu l àrea de la secció que determina el plànol etermineu la proporció entre el tetraedre que determina la secció i el volum del prisma La secció que determina el plànol en el prisma és el triangle isòsceles l aresta ' Siga el punt mig de l aresta L angle que forma la secció i la base és: P 0º plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle P 6, P L àrea de la secció és: S P l volum del prisma és: V S 0 Pr isma : P : l volum del tetraedre P és: V Tetraedre S P S La proporció entre els volums del tetraedre i el prisma és: VTetraedre S V 0 S 0 Pr isma P, P en

7 67- Siga P una piràmide triangular regular de base d aresta 5 L aresta P és perpendicular al plànol i alculeu l àrea total de la piràmide P 7 Siga el punt mig de l aresta Siga P 7x, x plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 5 l triangle : P és rectangle, aplicant el teorema de Pitàgores: P + (7x) () l triangle 5 l triangle és rectangle, aplicant el teorema de Pitàgores: + (x) () P és rectangle, aplicant el teorema de Pitàgores: 5 P (9x) () e l expressió (): 75 x () Substituïm l expressió () en l expressió (): 75 P 5x (5) onsiderem el sistema format per les expressions () i (5) P P 5x 8x leshores, P 50 L àrea de la piràmide és: S P S 75 P 50 Resolent el sistema: 5 5 x 6 + S P

8 68- n el quadrat s ha dibuixat els punts migs K, L, dels K costats, i, respectivament etermineu la proporció entre l àrea de la regió afitada pels segments, L, L i l àrea del quadrat (Veure figura) L Siga c costat del quadrat plicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle 5 K c ls triangles K, S K SL S L són iguals i a més a més: K : Siga PQRL la regió afitada pels tres segments, L, L L K R P Q ls triangles rectangles L, K són iguals i tenen els catets corresponents perpendiculars aleshores, L i K són perpendiculars ls triangles rectangles K, R són semblants Les seues àrees són proporcionals al quadrat de la proporció dels costats corresponents: S S R K K 5 S R SK S S ls triangles rectangles Q, R són iguals P és la intersecció de les diagonals del rectangle L S PL S L S S 8 L àrea de la regió PQRL és: 9 S PQRL S S PQRL 9 S 0 ( SL + SR + S PL ) + + S S

9 69- onat el paral lelogram i la recta r exterior al paral lelogram, siguen,, G i H les projeccions dels,, i, respectivament Proveu que + H + G vèrtexs H G r ibuixem les rectes m, n paral leles a la recta r que passen per i, respectivament La recta m talla la recta en el punt P La recta n talla la recta G en el punt Q P, HGQ són rectangles, aleshores, P, H GQ P Q 90º P Q, ls triangles rectangles leshores, P Q P, Q són iguals P H G Q r n m + H P + P + H G + + GQ + G

10 70- n la figura, N N, T T TT alculeu la mesura del segment SN N S T plicant el teorema invers del teorema de Tales, els triangles semblants, aleshores: TN és paral lel a, TN plicant el teorema invers del teorema de Tales, els triangles semblants, aleshores: T és paral lel a, N plicant el teorema invers del teorema de Tales, els triangles semblants, aleshores: N és paral lel a N és paral lel a ST,,, TN són T són N són leshores, S TN l quadrilàter NTS és un trapezi isòsceles, aleshores, les seues diagonals són iguals NS T Nota: el quadrilàter NT és un paral lelogram inscrit en una circumferència, aleshores, és un rectangle