ESTADISTICA II INGENIERIA INFORMATICA, 3 ER Curso

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1 ESTADISTICA II INGENIERIA INFORMATICA, 3 ER Curso 3 - Septiembre Primera Parte - Test Las respuestas del TEST son las siguientes: Pregunta Respuesta C A D C B A Pregunta Respuesta C D A A C C CUESTIONES. La e cacia de un estimador insesgado ^ n de viene dada por A. (Sesgo(^ n )) 2 + var(^ n ) B. var(^ n ) C. =var(^ n ) Solución D. ECM(^ n ) 2. En el estudio de un diseño de experimentos con un factor se obtiene que el contraste de Levene es signi cativo. Por tanto A. Las varianzas de los residuos en cada nivel no son iguales. Solución B. Existe dependencia positiva en la serie de residuos. C. Se veri ca la hipótesis de homocedasticidad. D. Existe una relación lineal entre la variable respuesta y el tiempo. Debe introducirse el tiempo como regresora en el modelo. 3. Un diseño de experimentos equilibrado A. Es un diseño con factores sin interacción. B. Es un diseño sin factores bloque. C. Es un diseño con factores con interacción y replicados. D. Es un diseño en el que todos los tratamientos se han asignado a un número igual de unidades experimentales. Solución 4. El grá co de cajas de la variable respuesta de un diseño de experimentos con un factor frente a los niveles del factor es el siguiente. En cada nivel se tienen observaciones y de este grá co se deduce

2 A. El factor es signi cativo y se veri can las hipótesis. B. Se veri ca la hipótesis de normalidad pero falla la de homocedasticidad. C. Que el factor probablemente no sea signi cativo, no se observa el incumplimiento de alguna hipótesis. Solución D. Se veri ca la hipótesis de homocedasticidad pero falla la de normalidad. 5. Los residuos (e t ) de un diseño de experimentos según el orden de obtención (t) son los siguientes t e t t e t Haciendo los contrastes de rachas: número total de rachas (R) y número de rachas ascendentes y descendentes (T ) se obtiene A. T = 5; R = 7; existe dependencia negativa. B. T = 6; R = 5; existe dependencia positiva. Solución (Mediana de los residuos 25) C. T = 5; R = 7; existe independencia. D. T = 6; R = 5; existe independencia. 6. Utilizando los datos de la cuestión anterior y teniendo en cuenta que 2X t= e t = X2 t= e 2 t = X2 t= e 3 t = 7 48 y que el coe ciente de asimetría muestral (CA) tiene varianza 6=n: Se deduce que

3 A. CA = 52 y por tanto la distribución de los residuos es simétrica. Solución B. CA = 3 56 y por tanto la distribución de los residuos no es normal. C. CA = 52 y por tanto la distribución de los residuos es normal. D. CA = 23 y no se obtienen conclusiones acerca de la distribución de los residuos. CA = 7:48 2 q 28:24 2 = :52 ) CAS = q : = :949 ) simetr{a 7. Se quiere ajustar un diseño de experimentos con un factor jo y un factor aleatorio. Por tanto, se supone que A. Los efectos del factor aleatorio ( i ) son parámetros desconocidos. B. No existen diseños de experimentos con factores jos y aleatorios. C. Los efectos del factor aleatorio ( i ) son variables aleatorias de media cero y varianza desconocida. Solución D. Ninguna de las otras tres respuestas. 8. En un cuadrado latino con seis niveles en cada factor se ha obtenido que scr = X t e2 t = 2: Un intervalo de con anza al 95% para la varianza del modelo es A. (:52; 2:33) B. (:6; :35) C. (:2; 3:37) D. Ninguna de las otras tres respuestas. Solución scr 2 2 gl = 2 2 ) 2 2(:25) < 2 2 < 2 2(:975) 9:598 < 2 2 < 34:7 ) 2 34:7 < 2 < 2 9:598 :5853 < 2 < 2: El Teorema de Gauss Markov a rma que bajo determinadas hipótesis en un modelo de regresión lineal múltiple A. Los estimadores mínimo cuadráticos son los más e cientes dentro de la clase de los estimadores insesgados y lineales: Solución B. Los estimadores mínimo cuadráticos son los de menor ECM dentro de la clase de los estimadores de mínima varianza. C. Los estimadores mínimo cuadráticos son asintoticamente más e cientes que los de máxima verosimilitud. D. Los estimadores mínimo cuadráticos son los de menor varianza pero no necesariamente sesgados.. En un modelo de regresión lineal simple la varianza del estimador ^ A. Disminuye al disminuir la (V ar(^ )) : Solución B. Disminuye al aumentar la media de la regresora.

4 C. Disminuye al aumentar la varianza del modelo. D. Disminuye al disminuir el tamaño muestral.. Al ajustar un modelo de regresión lineal múltiple, se obtiene que el F IV () = 2 (Factor de Incremento de la Varianza de la regresora x ). Por tanto A. Existe una fuerte relación lineal entre la regresora x y la respuesta Y: B. La regresora x es signi cativa y debe estar en el modelo. C. Existe una fuerte relación lineal entre la regresora x y las otras regresoras. Solución D. La regresora x es orotogonal a las otras regresoras. 2. Al ajustar un modelo de regresión lineal múltiple con cuatro regresoras se obtiene el siguiente grá co matricial de dispersión de las regresoras. De este grá co se deduce: A. La existencia de observaciones in uyentes a priori. B. Que el modelo de regresión lineal es adecuado. C. La existencia de multicolinealidad. Solución D. No se observa ningún hecho destacable.

5 ESTADISTICA II, Ingeniería Informática, Problemas, 3 - Septiembre Problema. Se ha llevado a cabo un diseño de experimentos para estudiar la posible in uencia de la variable "Tipo de examen" en la "Nota nal" de una asignatura, controlando la in uencia del "Profesor" y del "Tiempo (en horas) de estudio semanales". Se consideran 3 profesores distintos (P, P2 y P2), 3 tipos de examen (E=Test, E2=Problemas y E3=Mixto) y 3 tiempos de dedicación semanales (T="Menos de 2 horas", T2="Entre 2 y 5 horas" y T3="Más de 5 horas"). Los resultados del experimento sobre 9 alumnos son los de la tabla adjunta (en cada casilla aparece el nivel del factor "Tiempo" y la nota nal correspondiente que sacó cada alumno para los niveles de los factores "Tipo de examen" y "Profesor" en su la y columna): Tipo de Examen (factor A) E E2 E3 Profesor (factor B) P P2 P3 T T2 T :5 T2 T3 T 7:5 8 4:5 T3 T T2 7 4:25 6:5 P.. Formular matemáticamente este diseño de experimentos e indicar las hipótesis que se hacen. Calcular las estimaciones de los efectos de los factores E, P y T. El modelo matemático es Y ij(k) = + i + j + k + " ij(k) ; con " ij(k) v. a. independientes N ; 2 : Para estimar los efectos de los factores E y P, calculamos: P P2 P3 y i b i = y i y E T T2 T :5 5:5 :528 E2 T2 T3 T 7:5 8 4:5 6:67 :642 E3 T3 T T2 7 4:25 6:5 5:92 :8 y :j 6:67 6:47 5:5 y = 6:28 b j = y :j y :39 :389 :528

6 Para el factor T, tenemos: y (k) b k = y (k) y 4:25 :778 7 :972 6:83 :82 P.2. Completar la tabla ANOVA e indicar qué efectos son signi cativos (nivel de signi cación 5%). Obtener los coe cientes de determinación. F. var. sc gl SCM F p-valor signi cativo? Factor E NO Factor P NO Factor T SÍ Residual Global Las sumas de cuadrados se han calculado de la siguiente manera: P sce = K K b 2 i = 3 : : :8 2 = 2: 972 i= P scp = K K b 2 j = 3 : : :528 2 = : 3472 j= P sct = K K b 2 k = 3 : : :82 2 = 4: 264 k= scr = scg (sce + scp + sct ) = :3472 Los coe cientes de determinación son: R 2 ("Examen") = 2:972 = :6 6 8:55 R 2 ("Profesor") = :3472 8:55 = :746 R 2 ("Tiempo") = 4:264 8:55 = :79 R 2 8:55 :3472 ("TOTAL") = = :9877 = :6 + :746 + :79 8:55

7 P.3. Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, indicar qué modelo más simple sirve para explicar los datos. Completar la tabla ANOVA, indicando si los nuevos factores son signi cativos al 5%. Calcular los coe cientes de determinación. Como solamente es signi cativo el factor "Tiempo de estudio", se puede ajustar un diseño de una vía F. var. sc gl SCM F p-valor signi cativo? Factor T SÍ Residual Global El coe ciente de determinación es R 2 = 4:264 8:55 = :79 P.4. Ajustar los datos a un diseño cuya única vía sea el factor T, calcular las estimaciones de los efectos y calcular los grupos homogéneos, al 95%, según el método LSD. Reordenando los datos según el diseño de una vía tenemos El modelo matemático es T T2 T3 E 4 7 5:5 E2 4:5 7:5 8 E3 4:25 6:5 7 y i 4:25 7 6:83 y = 6:28 b i = y i y :778 :972 :82 Y ij = i + " ij = + i + " ij Para estudiar los grupos homogéneos, realizamos los siguientes contrastes: Contraste El valor crítico es H 2 : = 2 H 2 : 6= 2 Contraste 2 H 3 : = 3 H 3 : 6= 3 Contraste 3 H 23 : 2 = 3 H 23 : 2 6= 3 bs R y i y j r n i + nj t n I ) y i y j < bs R ) y i y j < :795 r n i + nj t 6(:975) r 3 + 2:4469 = :

8 Constraste : jy : y 2: j = j4:25 7j = 2: 75 : ) Se rechaza H 2 Constraste 2: jy : y 3: j = j4:25 6:83j = 2: 58 : ) Se rechaza H 3 Constraste 3: jy 2: y 3: j = j7 6:83j = :7 < : ) Se acepta H 23 Los grupos homogéneos son: T y (T2,T3). P.5. Calcular los residuos del modelo del apartado anterior. Hay alguno atípico? Teniendo en cuenta que by ij = b i = b + b i y que la estimación de la varianza residual es bs 2 R = :639 (y por tanto bs R = :795) entonces los residuos son: Factor T y ij by ij e ij = y ij by ij r ij = e ij bs R T 4 4:25 :25 :344 T 4:5 4:25 :25 :344 T 4:25 4:25 T2 7 7 T2 7:5 7 :5 :6289 T2 6:5 7 :5 :6289 T3 5:5 6:83 :33 :673 T3 8 6:83 :67 :468 T3 7 6:83 :67 :2 No hay datos atípicos.

9 ESTADISTICA II, Ingeniería Informática, Problemas, 3 - Septiembre Problema 2: En una red de comunicaciones se quiere estudiar la relación entre la variable respuesta Y ="velocidad de trasmisión" y dos regresoras X ="grosor del cable" y X 2 ="temperatura ambiente". Para ello se han hecho diferentes pruebas y se ha tomado una muestra de 5 observaciones. A partir de esta muestra se han obtenido los siguientes datos X t X = X t 5 9:2 2 9:2 78:26 27:5 2 27: :2 983:59 86: A A Y t P Y = 5 yi 2 = 663:2 NOTA: En todos los casos en que se pida estudiar la signi catividad de un contraste utilizar = 5 i= P.6. En un primer análisis se estudia la relación lineal simple entre la respuesta Y ="velocidad de trasmisión" y la regresora X ="grosor del cable". Calcular un intervalo de con anza al 95% para el coe ciente de regresión del modelo ( ) ^ = s Y s 2 = La recta de regresión estimada es 983:59 9:2 = :2 5 78:26 9: : 672 : 84 : 284 3: (: 84) 2 = : 9 7 = 3: 62 9 :3 78 ^ = y ^ x = : 284 3: 62 9 : 84 = 3: Cálculo del intervalo de con anza ^y=3: : 62 9 x V ar(^ ) = ^s2 R 23: 758 ns 2 = = : :3 78 (^ ) = p : = : Cálculo de la varianza residual del modelo X e 2 t = 663:2 (3: :2 + 3: :59) = 4: 4 ^s 2 R = 4: 4 48 = 23: 758

10 El intervalo de con anza al 95% es 2 3: 62 9 : t 48 (:975) = 3: 62 9 : :96 2 (: 79 4; 6: 26 4) El intervalo de con anza al 9% es 2 3: 62 9 : t 48 (:95) = 3: 62 9 : :66 2 (: 55 3; 5: 655 5) P.7. Utilizando el modelo anterior, calcular un intervalo de predicción al 95% para una observación cuyo grosor es x ;t = La predicción es El número de observaciones equivalentes es ^y(x ;t = ) = 3: : 62 9 = 7: n t = n + (x t x ) 2 s 2 = + 5 ( : 84)2 :3 78 = 6: 234 V ar(^y()) = ^s 2 R + nt = 23: = 25: 22 6: 234 El intervalo de predicción es (^y()) = p 25: 22 = 5: 22 ^y() 2 7: : 22 t 48 (:975) = 7: : 22 :96 ^y() 2 ( 2: 456; 7: 23) P.8. A continuación se ajusta un modelo con las dos regresoras se obtiene Contrastar la hipótesis H = 2 = ^y t = 3:68 + 3:73 grosor + :495 temp Es el denominado contraste conjunto de regresión de la F que se resuelve construyendo la siguiente tabla ANOVA scr = X e 2 t = 663:2 (3:68 54:2 + 3:73 983:59 + :495 86:) = 47: 83 scg = ns 2 Y = 5 663:2 5! 54:2 2 = 342: 5

11 : F. var. sc gl SCM F p-valor signi cativo? Modelo 94: : 5 89: 85 : SÍ Residual 47: : 45 3 ^s R = : Global 342: 49 27: 39 ^s Y = 5: Se RECHAZA claramente la hipótesis de NO in uencia del modelo.el contraste de regresión es signi cativo. P.9. cuánto mejora el coe ciente de determinación corregido por grados de libertad al pasar del modelo con una regresora (grosor) al modelo con dos regresoras (grosor y temperatura)? Interpretar este coe ciente en ambos casos. Con una regresora R 2 = ^s 2 R; ^s 2 Y = 23: : 39 = :32 6 ) R = p :32 6 = :364 4 Por tanto, la in uencia de la variable grosor es pequeña Con dos regresoras R 2 2 = ^s 2 R;2 ^s 2 Y = 3: : 39 ) R 2 = p :885 7 = :94 83 = :885 7 El modelo con las dos variables explica claramente el comportamiento de la respuesta. El incremento en el R 2 al cambiar de modelo es muy fuerte R 2 = R 2 2 R 2 = :885 7 :32 6 = : P.. De la primera observación muestral se tiene la siguiente información y = :5 x = 2 x 2 = 4 DF IT S = :2 Estudiar si la observación es in uyente y/o atípico. Será de utilidad el siguiente dato X t X 229: 5 6: : 8 = 6: 6 4:39 :9 27 : 8 :9 27 :2 46 A Residuo ordinario e = y ^y = :5 (3:68 + 3: :495 ( 4)) = :5 9: 6 = : 34

12 In uencia h = : 5 6: : 8 6: 6 4:39 :9 27 : 8 :9 27 : A = :22434 Residuo tipi cado V ar(e ) = ^s 2 R ( h ) = 3: 45 3( :22434) = 3: 74 7 ) (e ) = p 3: 74 7 = : La observación no es atípica r = e : 34 = = :764 9 (e ) : "In uencia a priori" E(h i ) = k + n = 3 5 = :6 h = :22434 < 2 E(h i ) = :2 La observación no es in uyente a priori "In uencia a posteriori" DF IT S = :2 < 2 La observación no es in uyente a posteriori r k r 2 n = 2 5 = :4

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