Método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Transcripción

1 Método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas con coeficientes reales a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (1) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Asociadas al sistema (1) tenemos dos matrices La primera de éstas es la matriz de coeficientes del sistema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn La segunda es la matriz aumentada del sistema a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m El sistema (1) puede ser escrito en la forma x = Ax = b Donde A es la matriz de coeficientes del sistema (1) mientras que x y b son los vectores columna x 1 b 1 x 2 b 2 x n y b = Si b es el vector cero, es decir, b 1 = b 2 = = b n =, entonces el sistema (1) es llamado sistema homogéneo A cada sistema Ax = b, le podemos asociar el sistema homogéneo Ax =, el cual se obtiene del sistema inicial al reemplazar por un cero a cada uno de los términos constantes b 1, b 2,, b n A un sistema obtenido de esta forma se le llama sistema homogéneo asociado al sistema Ax = b 1 b n

2 Soluciones del sistema (1) vector en R n que satisface la igualdad As = b Una solución del sistema de ecuaciones lineales (1) es un s 1 s 2 s = Exercise 1 El conjunto de soluciones del sistema homogéneo Ax = es un subespacio vectorial de R n Exercise 2 Sea ŝ una solución del sistema Ax = b y sea S h el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado al sistema Ax = b Demuestra que para cada solución σ S h se tiene que ŝ+σ es solución del sistema Ax = b Teorema 1 Sea S el conjunto de soluciones del sistema Ax = b y sea S h el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado Entonces, para cualquier solución ŝ del sistema Ax = b se tiene que S = { ŝ } + S h, es decir, S = { ŝ + σ σ Sh } Demostración Supongamos que ŝ es una solución del sistema Ax = b Basta demostrar que para cualquier solución s del sistema Ax = b existe una solución w del sistema homogéneo asociado tal que s = ŝ + wpara esto, notemos que el vector s ŝ es una solución del sistema homogéneo asociado En efecto, s n A ( s ŝ ) = As Aŝ = b b = Así, con w = s ŝ se satisface que s = ŝ + w y w S h Con esto y el ejercicio 2 se concluye la prueba del teorema Matrices reducidas a una forma escalonada Un renglón (o columna) R de una matriz A es llamado(a) nulo(a) si todas las entradas de R son cero Definición Decimos que una matriz A está reducida a una forma escalonada si satisface las siguientes condiciones 1 Cualquier renglón de A con una entrada distinta de cero, está arriba de cualquier renglón nulo 2 La primera entrada distinta de cero de cada renglón es la única entrada distinta de cero en la columna a la que pertenece dicha entrada 2

3 3 La primera entrada distinta de cero de cada renglón es igual a 1 y esta entrada se situa a la derecha de la primera entrada distinta de cero del renglon anterior Ejemplo 1 La matriz siguiente está reducida a una forma escalonada Ejemplo 2 La matriz siguiente no está reducida a una forma escalonada El procedimiento para reducir a una matriz dada a su forma escalonada consiste, a grandes rasgos, de dos pasos Paso1 (Paso de reducción inferior o hacia abajo) La matriz B es transformada a una matriz triangular superior, que satisface que la primera entrada distinta de cero de cada renglón es igual a 1 y esta entrada se situa a la derecha de la primera entrada distinta de cero del renglon anterior Paso 2 (Paso de reducción superior o hacia arriba) La matriz triangular superior es reducida a su forma escalonada al convertir en ceros, con la primera entrada distinta de cero de cada renglón, a todas las otras entradas de la columna que contiene a dicha entrada Para llevar a cabo la reducción a la forma escalonada, es necesario, realizar las siguientes operaciones en los renglones de la matriz Definición Sea B una matriz con m renglones y n columnas Una operación elemental en renglones (o columnas) es cualquiera de los siguientes tres tipos de operaciones en renglones (columnas) de B Tipo 1 Intercambiar cuales quiera dos renglones (columnas) de B Tipo 2 Multiplicar cualquier renglón (columna) de B por un escalar destinto de cero 3

4 Tipo 3 Sumar cualquier múltiplo de un renglón (columna) de B a otro renglón (columna) de B A manera de ejemplo, vamos a resolver un sistema de ecuaciones utilizando el metodo de eliminación Gaussiana Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones 3x 1 x 2 +x 3 x 4 +2x 5 = 5 x 1 x 2 x 3 2x 4 x 5 = 2 5x 1 2x 2 +x 3 3x 4 +3x 5 = 1 2x 1 x 2 2x 4 +2x 5 = 5 (2) La matriz aumentada del sistema es En la primera columna no nula, transformamos el primer coeficiente del primer renglón en un 1 En el ejemplo, Podemos llevar a cabo esto, de dos distintas manera La primera es utilizar una operacion elemental del tipo dos, esto es, multiplicar por 1 3 el primer renglon, que sera denotado por R 1 La segunda consiste en realizar una operación del tipo 1 Por ejemplo, podemos intercambiar los renglones R 1 y el segundo renglón denotado con R 2 Al realizar la segunda opción la matriz que resulta es la siguiente: Transformamos, usando operaciones elementales del tipo 3, la primera columna no nula en una columna con la primer entrada igual a uno y todas las demás entradas igual a cero En el ejemplo, debemos realizar lo siguiente a) Sumar al renglón R 2 el múltiplo 3R 1 del renglón R 1 Esto es 3R 1 +R 2 =

5 Con lo cual obtenemos la matriz b) Sumar al tercer renglón R 3 el múltiplo 5R 1 del renglón R 1 c) Sumar al cuarto renglón R 4 el múltiplo 2R 1 del renglón R 1 Al realizar a y b, obtenemos la matríz Crear un 1 en la entrada del siguiente renglón que esté en la columna más a la izquierda posible, sin hacer uso del renglón previo En el ejemplo, la columna mas a la izquierda posible es la segunda columna Nuevamente, para completar el objetivo descrito, intercambiamos el cuarto y el quinto renglón, para obtener la matriz Usamos operaciones elementales del tipo 3 para crear ceros del uno recien obtenido Para realizar ésto procedemos como sigue a) Sumar al tercer renglón R 3 el múltiplo 3R 2 del renglón R 2 b) Sumar al cuarto renglón R 4 el múltiplo R 2 del renglón R 2 Al realizar estas operaciones elementales, obtenemos la matriz Repetimos los pasos 3 y 4 en cada uno de los siguiente renglones no nulos En el ejemplo, el siguiente renglón es el tercero, pero la columna mas a la izquierda es la cuarta columna Para realizar el objetivo, hacemos lo siguiente 5

6 a) Sumar al cuarto renglón R 4 el múltiplo R 3 del renglón R 3 Al realizar esta operación elemental, obtenemos la matriz Notemos que esto concluye el paso 1 de la reducción, para realizar el paso 2, efectuamos lo siguiente 6 De abajo hacia arriba, comenzando con el primer renglón distinto de cero, sumamos múltiplos de este renglón a cada uno de los renglones que están a arriba de éste para crear ceros en las entradas que están arriba del primer coeficiente no nulo de este renglón En el ejemplo, el renglon con el que hay que comenzar es el cuarto renglón Buscamos crear ceros en las entradas arriba de la entrada a 45 = 1 de la cuarta columna Para esto, realizamos lo siguiente a) Sumar al tercer renglón R 3 el múltiplo 4R 4 del cuarto renglón R 4 b) Sumar al segundo renglón R 2 el múltiplo 4R 4 del cuarto renglón R 4 c) Sumar al primer renglón R 1 el cuarto renglón R 4 Con ésto obtenemos la siguiente matriz Repetimos el proceso descrito en 6 para cada uno de los renglones, el proceso se concluye al realizarlo con el segundo renglon En el ejemplo, repetimos 6, pero con el tercer renglón R 3 a) Sumar al segundo renglón R 2 el múltiplo 2R 3 del renglón R 3 b) Sumar al primer renglón R 1 el múltiplo 2R 3 del renglón R 3 Con ésto obtenemos la siguiente matriz Ahora, repetimos 6, pero con el tercer renglón R 2 6

7 a) Sumamos al primer renglon R 1 el renglón R Esto concluye la eliminación Gaussiana Hemos obtenido la matriz reducida a una forma escalonada Asociada a esta matriz reducida, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones x 1 x 3 =3 x 2 +2x 3 =7 x 4 = 3 x 5 = Para describir el conjunto de soluciones del sistema inicial, notemos que tenemos cuatro variables dependientes y una libre Las variables depedientes son x 1, x 2, x 4 y x 5, mientras que las variables libres, en este caso, solo hay una, la variable x 5 A las variables libres les damos valores paramétricos, en nuestro caso, x 5 = t Así, tenemos que las soluciones del sistema (2) se pueden escribir de la siguiente manera, x 1 x 2 x 3 = x 4 x 5 3 t 7 2t t = + t 3 Es un cálculo directo ver que (3, 7,, 3, ) es una solución del sistema (2) y que el conjunto de soluciones del sistema homogéneo asociado es {( t, 2t, t,, ), t R} Además, el {( 1, 2, 1,, )} es una base para este subespacio vectorial Referencias [1] Stephen H Friedberg, Arnold J Insel, Lawrence E Spence, Linear Algebra, 4/E, 23, Pearson 1 2 1, 7