EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

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1 EJERCICIOS RESUELTOS DE NÚMEROS COMPLEJOS 1. Dados = -+4i, z = 5-i, z = y z 4 =7i, calcular: a) ( - z ) z b) z 4 + z z 4 c) + z 4-5z d) + z -1 f) z g) ( + 1 ) 1 z z h) z 1 z i) z j) e) z -1 z + z 4 a) Para calcular ( - z ) z, en primer lugar se calcula la operación del paréntesis y a continuación se multiplica el resultado por z : ( - z ) z = (-+4i (5-i)) = (--5+(4+)i) = (-8+6i) = -1+9i b) En primer lugar se calculan z 4 y z z 4 para después sumar los resultados: z 4 = (-+4i) 7i = -1i+8i = -8-1i z z 4 = 7i = 1 i z 4 + z z 4 = -8-1i + 1 i = -8-1 i Notar que otra forma de obtener este resultado es sacar factor común z 4 quedando: z 4 + z z 4 = ( + z ) z 4 = i i = + = + = i i i i i c) En primer lugar se calcula la operación + z 4-5z = -+4i + 7i 5(5-i) = -8+1i y después se calcula su conjugado, + z 4-5z = -8-1i d) El inverso de z es z -1 = 1 = y, por tanto, + z -1 = -+4i + = -7 +4i e) Para calcular el inverso de z = 5-i se puede proceder de dos formas: mediante la definición: z -1 = 5 5 +(-) (-) i = i escribiéndolo como un cociente y efectuando la división multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: -1 z = 1 = 1 z 5-i = 1(5+i) (5-i)(5+i) = 5+i 5-4i = 5+i 9 = i f) Teniendo en cuenta que el conjugado del conjugado de un número es el propio número, es decir, z = z, se tiene z = z = (-+4i)(5-i) = -15+6i+0i-8i = -7+6i Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 1

2 g) En primer lugar, se realiza la suma de y z, después se calcula el conjugado de este resultado y finalmente el inverso de éste último: + z = -+4i + 5-i = -+5+(4-)i = +i + z = -i ( + 1 ) 1 z z = 1 -i = 1(+i) (-i)( +i) = +i 4-4i = +i 8 = i Observar que se podría haber invertido el orden de realización de las dos últimas operaciones ya que se verifica ( a + bi) 1 = (a+bi) -1 h) z = (-+4i) = (9-4i+16i ) = (9-4i-16) = (-7-4i) = -1-6i i) Se efectúa el cociente multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador: z = 5-i -+4i = (5-i)(--4i) (-+4i)(--4i) = -15-0i+6i+8i 9-16i = i-8 = --14i = i j) En primer lugar se calcula el denominador z + z 4 = + 7i = +7i y, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, el cociente queda: = -+4i = (-+4i)(-7i) z + z 4 +7i (+7i)(-7i) = -9+1i+1i-8i 9-49i = -9+i+8 = 19+i = i. Dados los números complejos = -i y z = +6i, determinar el número x que verifica cada una de las siguientes igualdades: a) + x = z b) x = 1 c) + z + x = 1 d) z + x = - e) z x = a) Despejando x se tiene x = z - = +6i (-i) = -+(6+1)i = 1+7i b) Despejando x se tiene x = 1 que existe al ser no nulo. Aplicando la fórmula del cuadrado de una diferencia, se tiene: = (-i) = 4-4i + i = 4-4i -1 = -4i y calculando el inverso del resultado anterior queda x = 1 = 1-4i = 1(+4i) (-4i)(+4i) = +4i 9-16i = +4i 9+16 = +4i 5 = i c) Despejando x se tiene x = z = 1 - (-i) (+6i) = (1-6)i = -4-5i d) Despejando x se tiene x = - - z. Calculando el cuadrado de y z se tiene: = (-i) = 4-4i + i = 4-4i - 1 = -4i Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

3 z = (+6i) = 9 + 6i + 6i = 9 + 6i 6 = -7+6i Así, x = - - z = -(-4i) - (-7+6i) = - + 4i + 7-6i = 4-i e) Al ser z no nulo, se puede despejar x obteniéndose x =. Para calcular este cociente se z multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: x = = -i z +6i = (-i)(-6i) (+6i)(-6i) = 6-1i-i+6i 9-6i = 6-15i = -15i 45 = -1 i. Determinar una ecuación de coeficientes reales cuyas soluciones en C sean -, +i y -i. Si -, +i y -i son las soluciones de una ecuación, esta ha de ser proporcional a (x-(-)) (x-(+i)) (x-(-i)) = 0 realizando el producto del primer miembro de la ecuación se tiene (x-(-)) (x-(+i)) (x-(-i)) = (x+) (x--i) (x-+i) = (x+) ((x-) -i ) = (x+) (x -4x+4+1) = = (x+) (x -4x+5) = x - x - 7x + 15 Por tanto, una de las ecuaciones que cumplen la condición indicada es x - x - 7x + 15 = 0 4. Determinar un polinomio de coeficientes reales de grado 4 que tenga por raíces los números complejos -4i y -5+i. Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz imaginaria tiene también su conjugada, las cuatro raíces del polinomio buscado son -4i, 4i, -5+i y -5-i. Por tanto, el polinomio es cualquiera proporcional a: (x-(-4i)) (x-4i) (x-(-5+i)) (x-(-5-i)) = (x+4i) (x-4i) (x+5-i) (x+5+i) = = (x - 16i ) ((x+5) - 4i ) = (x +16) (x +10x+5+4) = (x +16) (x +10x+9) = = x x + 45x + 160x Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

4 5. Dada una ecuación polinómica de grado 4 de coeficientes reales, responder a las siguientes cuestiones. a) Cuántas soluciones imaginarias puede tener si una de sus raíces es real? b) Si 8i y 5-i, son dos soluciones, cuáles son las otras soluciones? a) Como el polinomio es de grado 4, tiene 4 raíces reales o imaginarias. Teniendo en cuenta que si tiene una raíz imaginaria tiene también su conjugada y que una de sus raíces es real, se deduce que este polinomio de grado 4 o no tiene raíces imaginarias o tiene. b) Teniendo en cuenta que si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz imaginaria tiene también a su conjugada, las otras dos soluciones serán las conjugadas de las dadas, es decir, -8i y 5+i. 6. Resolver en R y en C las siguientes ecuaciones: a) x 4 + x - 10 = 0 b) x + 5x + 6x = 0 c) x 4 + x + 1 = 0 a) x 4 + x - 10 = 0 es una ecuación bicuadrada, por lo que haciendo t = x se obtiene la ecuación polinómica de segundo grado, t + t -10 = 0, cuyas soluciones son: t = - ± (-10) = - ± 49 = - ± 7 = -5 Considerando la solución t = -5, se obtiene x = -5, de donde x = ± -5 = ± 5-1 = ± 5 i Considerando la solución t =, se obtiene x =, de donde x = ± Por tanto, las soluciones en R son x = y x = - y las soluciones en C son, además de las dos anteriores, x = 5 i y x = - 5 i. b) Factorizando el polinomio, la ecuación x + 5x + 6x = 0 queda x(x +5x+6) = 0, y teniendo en cuenta que para que el producto de dos factores sea 0 basta que lo sea uno de ellos, se obtiene que o bien x = 0 o bien x + 5x + 6 = 0, de donde, x = -5 ± = -5 ± 1 = -5 ± 1 = - - Por tanto, las soluciones tanto en R como en C son x = 0, x = - y x = -. c) x 4 + x + 1 = 0 es una ecuación bicuadrada, por lo que haciendo t = x se obtiene la ecuación polinómica de segundo grado, t + t + 1 = 0, que se puede escribir de la forma, (t+1) = 0, cuya solución es t = -1, doble. Considerando la solución t = -1, se obtiene x = -1, de donde x = ± -1 = ± i Por tanto, la ecuación no tiene soluciones en R y las soluciones en C son x = i y x = - i, dobles. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 4

5 7. Determinar el módulo, el argumento, la forma polar y la forma trigonométrica de los siguientes números complejos: a) +i b) -+i c) -i d) --i e) - 5 f) 5 i g) + i En todos los apartados se representa el número complejo para ayudar a determinar su argumento. a) El módulo y el argumento de +i son: l+il = + = 8 = arg(+i) = arctg = arctg 1 = π 4 Por tanto, la forma polar de +i es ( ) π/4 y la forma trigonométrica 4 b) El módulo y el argumento de -+i son: l-+il = (-) + = 8 = π arg(-+i) = arctg = arctg (-1) = - 4 Por tanto, la forma polar y trigonométrica de -+i son, respectivamente: π l-+il = ( ) π/4 l-+il = c) El módulo y el argumento de -i son: l-il = +(-) = 8 = - 7π arg(-i) = arctg = arctg -1 = 4 Por tanto, la forma polar de -i es ( 7π ) 7π/4 y la forma trigonométrica 4 + i sen 7π Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 5

6 d) El módulo y el argumento de --i son: l--il = (-) +(-) = 8 = - 5π arg(--i) = arctg = arctg 1 = - 4 Por tanto, la forma polar de --i es ( 5π ) 5π/4 y la forma trigonométrica 4 + i sen 5π. e) De la figura se concluye de forma inmediata que el módulo y el argumento de - 5 son: l- 5l = 5 arg(- 5) = π Por tanto, la forma polar de - 5 es 5 π y la forma trigonométrica 5 (π + i senπ) f) De la figura se concluye de forma inmediata que el módulo y el argumento de 5 i son: 5 i = 5 arg 5 i = π Por tanto, la forma polar de 5 i es 5 π/ y la forma trigonométrica 5 π + i sen π g) El módulo y el argumento de + i son: l + i l = ( ) +1 = 4 = 1 arg( + i) = arctg = π 6 Por tanto, la forma polar y trigonométrica de + i son, respectivamente: + i = π/6 + i = 6 + i sen π 6 Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 6

7 8. Determinar la forma binómica de los siguientes números complejos: a) 6 + i sen π b) 6 + i sen π c) 1 π/4 d) π/ a) El número complejo 6 + i sen π está dado en forma trigonométrica y para obtener su 6 forma binómica basta hacer operaciones, así: 6 + i sen π 6 = + i 1 = + i b) El número complejo + i sen π está dado en forma trigonométrica y para obtener su forma binómica basta hacer operaciones, así: + i sen π = (0+i1) = i c) El número complejo 1 π/4 está dado en forma polar, para obtener su forma binómica basta escribir su forma trigonométrica y hacer operaciones, así: π 1 π/4 = 1 = - + i d) El número complejo π/ está dado en forma polar, para obtener su forma binómica basta escribir su forma trigonométrica y hacer operaciones, así: π/ = + i sen π = 1 + i = + 6 i 9. Dados los números complejos = -i, z = 4 π, z = 4 y z 4 = 1 - i, realizar las operaciones que se indican a continuación expresando los resultados en forma binómica: a) z b) + z c) z 4 d) z e) z z f) z g) z 4 h) z En este ejercicio hay que tener en cuenta que para realizar una operación entre dos números complejos, ambos deben estar escritos de la misma forma: binómica, polar o trigonométrica. a) Expresando z en forma binómica se tiene z = 4 π = 4(π+isenπ) = 4(-1+i0) = -4, y multiplicando este resultado por se obtiene z = (-i)(-4) = -8+4i. Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 7

8 b) Expresando z en forma binómica queda z = = + i sumando este resultado con se obtiene + z = - i+ + i = 4+ = + i, y - - i. c) El cálculo de potencias de un número complejo se simplifica si éste se expresa en forma polar o trigonométrica. Para calcular la expresión polar de z 4 = 1 - i es necesario calcular su módulo y su argumento: l1 - i l = 1 +(- ) = 4 = arg(1 - - i) = arctg 1 = 5π y así la forma polar de 1 - i es 5π/ Por tanto, z 4 = ( 5π/ = ).5π/ = 8 5π = 8 π Y la expresión binómica del resultado es z 4 = 8 π = 8(π+isenπ) = 8(-1+0i) = -8 d) La forma binómica de z, obtenida en el apartado b), es z = + i, y multiplicando este resultado por se obtiene: z = (-i) + i = + i - i - i = 9 + i e) En este caso resulta más sencillo calcular el cociente en forma polar, para lo que se deben expresar numerador y denominador en dicha forma: z = 4 π z = = π/4 y realizando la división queda z z = 4 π = 4 π/4 π-π/4 = 4 π/4 Expresando el resultado en forma binómica queda: z = 4 z π/4 = 4 π 4 = i = - + i f) Al estar z expresado en forma polar, sus raíces cuadradas se pueden calcular de forma sencilla. Las raíces cuadradas de z = 4 π son: 4 (π+kπ)/ para k = 0, 1 es decir, π/ y π/ La forma binómica de cada una de las dos raíces es: Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 8

9 π/ = + i sen π = (0+i1) = i π π/ = + i sen π = (0+i(-1)) = -i Notar que en este caso al ser z = 4 π = -4, un número real, su raíz cuadrada se puede calcular como sigue: z = -4 = ± 4-1 = ± i. g) Al estar z expresado en forma polar, el cálculo de su cuarta potencia es inmediato, z 4 = (4 π ) 4 = 4 4 4π = 56 0 que expresado en forma binómica es z 4 = 56 0 = 56(0+isen0) = 56(1+i0) = 56 Como en el apartado anterior, notar que al ser z = 4 π = -4, un número real, su potencia cuarta se puede calcular como sigue: z 4 = (-4) 4 = 56 h) Como z = 4 tiene por expresión polar z = π/4, sus raíces cúbicas son: (π/4+kπ)/ para k = 0, 1, es decir, π/1, 9π/1 y 17π/1 La forma binómica de cada una de las tres raíces es: π/8 = 1 + i sen π 1 = π 1 + i π sen 1 9π/8 = 9π 1 + i sen 9π 1 = 9π 1 + i 9π sen 1 17π/8 = 17π 1 + i sen 17π 1 = 17π 1 + i 17π sen 1 Proyecto de innovación ARAGÓN TRES 9

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