9. Diferenciación de funciones reales de varias variables reales

Transcripción

1 9.2. Extremos POLINOMIOS DE TAYLOR Polinomios de Taylor y de McLaurin Se llama polinomio de Taylor de orden n 1 de la función f(x, y) en (a, b) al polinomio: f(a, b) f(a, b) n (x, y) = f(a, b) + (x a) + (y b)+ x y + 1 ( 2 ) f(a, b) 2! x 2 (x a) f(a, b) x y (x a)(y b) + 2 f(a, b) y 2 (y b) n ( ) n n f(a, b) n! k x n k y k (x a)n k (y b) k P (a,b) k=0 En el caso particular en que (a, b) = (0, 0) se obtiene el polinomio de McLaurin: P n (x, y) = f(0, 0) + f(0, 0) x + x f(0, 0) y + 1 ( 2 f(0, 0) y 2! n + 1 n! k=0 ) y 2 y 2 x 2 x f(0, 0) x y xy + 2 f(0, 0) ( ) n n f(0, 0) k x n k y k xn k y k 1. Obtén el polinomio de McLaurin de orden 2 de la función f(x, y) = x cos y + y sen x. 2. Obtén el polinomio de Taylor de orden 3 de la función f(x, y) = ln x y en el punto (1, 1)

2 9.2. Extremos EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS Extremos relativos Sea f(x, y) una función definida sobre el conjunto R del que (a, b) es un punto interior. Se dice que: La función f alcanza un mínimo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f(x, y) f(a, b). La función f alcanza un máximo relativo en el punto (a, b) si en un entorno del punto: f(x, y) f(a, b). Puntos críticos Sea f(x, y) una función definida sobre el conjunto R del que (a, b) es un punto interior. Se dice que (a, b) es un punto crítico de f si en dicho punto se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Criterio de las primeras derivadas parciales para la determinación de extremos relativos Una función definida sobre un abierto sólo puede alcanzar extremos relativos en los puntos críticos, es decir, donde se anulan las dos derivadas parciales o no existe alguna de ellas. Matriz hessiana Dada una función f diferenciable dos veces en el punto (a, b), se llama matriz hessiana de f en (a, b) a la matriz: ( ) fxx (a, b) f H f (a, b) = xy (a, b) f yx (a, b) f yy (a, b) Criterio de las segundas derivadas parciales para la determinación de extremos relativos Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene al punto (a, b) que es crítico (f x (a, b) = f y (a, b) = 0). Entonces: Si H f (a, b) > 0 y f xx (a, b) > 0, f tiene un mínimo relativo en (a, b). Si H f (a, b) > 0 y f xx (a, b) < 0, f tiene un máximo relativo en (a, b). Si H f (a, b) < 0, f tiene un punto de silla en (a, b). Si H f (a, b) = 0, este criterio no lleva a ninguna conclusión. Extremos absolutos Sea f(x, y) una función definida sobre el conjunto R. Se dice que: La función f alcanza un mínimo absoluto en el punto (a, b) si: f(x, y) f(a, b), para todo (x, y) R. La función f alcanza un máximo absoluto en el punto (a, b) si: f(x, y) f(a, b), para todo (x, y) R. Para la existencia de extremos absolutos se considera el teorema de Weierstrass: toda función continua definida sobre un conjunto cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Para determinar los extremos absolutos hay que tener en cuenta que se pueden alcanzar tanto en los extremos relativos como en la frontera del dominio de definición. 1. Determina los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = 2x 2 + y 2 + 8x 6y + 20; (b) f(x, y) = 1 3 x 2 + y Determina los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x 3 + 4xy 2y 2 + 1; (b) f(x, y) = x 2 y Determina los extremos absolutos de la función f(x, y) = sen(xy) en [0, π] [0, 1].

3 9.2. Extremos PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Problemas de optimización Como en el caso de funciones de una variable, una aplicación muy importante del cálculo de derivadas de funciones de varias variables es la resolución de problemas de optimización, es decir, problemas relativos a hallar un extremo absoluto (máximo o mínimo) de una función en un cierto dominio. 1. Una caja rectangular descansa en el plano z = 0 con uno de sus vértices en el origen y el opuesto en el primer octante sobre el plano 6x + 4y + 3z = 24. Cuál es el volumen máximo de la caja? 2. Un fabricante de artículos electrónicos determina que los beneficios obtenidos con la fabricación de x unidades de un reproductor de DVD e y unidades de un grabador de DVD vienen dados por la función P (x, y) = 8x + 10y 0, 001(x 2 + xy + y 2 ) euros Cuántas unidades debe fabricar de cada producto para obtener el máximo beneficio? Cuál es? 3. Se quiere construir un canal cuya sección sea un trapecio isósceles de base x y lado inclinado y con x + 2y = 1 metro. Cuál debe ser el ángulo exterior de los lados inclinados y cuánto deben medir los lados para que tenga sección máxima. 4. Demuestra que el cubo es la caja rectangular de volumen máximo inscrita en una esfera. 5. Una empresa fabrica velas en dos lugares distintos. El costo de producción de x unidades en el lugar 1 es C 1 (x) = 0, 02x 2 + 4x + 500, y en lugar 2 es C 2 (x) = 0, 05x 2 + 4x (a) Interpreta las diferencias entre estas dos funciones de costo. (b) Si las velas se venden a 15 e por unidad, cuál es el beneficio obtenido con la venta de x unidades producidas en 1 e y unidades producidas en 2? (c) Determina las unidades que se deben producir en cada lugar para que el beneficio sea máximo.

4 9.2. Extremos EXTREMOS CONDICIONADOS Extremos condicionados Muchos problemas de optimización requieren de la obtención de algún extremo (máximo o mínimo) absoluto de cierta función f, llamada función objetivo, que está definida sobre variables que deben verificar ciertas condiciones, dadas por medio de ecuaciones, llamadas restricciones o ligaduras. Estos extremos se llaman extremos condicionados, y se resuelven usando el conocido como método de los multiplicadores de Lagrange. El método de los multiplicadores de Lagrange A continuación se expondrá el método de los multiplicadores de Lagrange en los casos más usuales. En todos ellos, f y g i son funciones con primeras derivadas parciales continuas. Dos variables y una ligadura. Para hallar el extremo absoluto de f(x, y) sometido a la restricción g(x, y) = 0, se procede así: 1. Se considera la función F (x, y) = f(x, y) + λg(x, y) y se resuelve el sistema: { F (x, y) = 0 g(x, y) = 0 f x (x, y) + λg x (x, y) = 0 que es equivalente a: f y (x, y) + λg y (x, y) = 0 g(x, y) = 0 2. Se evalúa f en cada solución del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el máximo y el mínimo de f, respectivamente, condicionado a la ligadura. Tres variables y una o dos ligaduras. Para hallar el extremo absoluto de f(x, y) sometido a las restricciones g 1 (x, y, z) = 0 y g 2 (x, y, z) = 0, se procede así: 1. Se considera la función F (x, y, z) = f(x, y, z) + λ 1 g 1 (x, y, z) + λ 2 g 2 (x, y, z) y se resuelve el sistema: F (x, y, z) = 0 g 1 (x, y, z) = 0 g 2 (x, y, z) = 0 2. Se evalúa f en cada solución del sistema. El valor mayor y el menor valor obtenidos dan el máximo y el mínimo de f, respectivamente, condicionados a las ligaduras. 1. Halla el valor máximo que alcanza la función f(x, y) = xy, sobre la circunferencia x 2 + y 2 = Halla el valor mínimo que alcanza la función f(x, y, z) = 3x 2 + y 2 + 5z 2 sobre el plano 3x + y 2z = Sea T (x, y, z) = x + 2y + z 2 la temperatura en cada punto de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 11. Halla las temperaturas extremas sobre la curva intersección del plano x + y + z = 3 con la esfera. 4. Halla los valores extremos de la función f(x, y) = x 2 + 2y 2 2x + 3 en el círculo x 2 + y Halla las dimensiones del paralelepípedo de volumen máximo que se puede construir siendo 1 metro la suma de las longitudes de sus lados distintos.

5 9.2. Extremos EJERCICIOS 1. Obtén el polinomio de McLaurin de orden 3 de la función f(x, y) = e x cos y. 2. Obtén el polinomio de Taylor de orden 2 de la función f(x, y) = x 3 + y 2 + xy 2 en el punto (1, 2). 3. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x 4 + y 4 + 6x 2 y 2 + 8x 3 ; (b) f(x, y) = x 3 + y 3 3x 12y + 5; (c) f(x, y) = (1 x)(1 2x)(1 y)(1 2y). 4. Halla los extremos relativos y absolutos de las siguientes funciones en el recinto que se indica: (a) f(x, y) = x 2 y 2, en R = { (x, y) : y x , y + x }. (b) f(x, y) = xy, en R = { (x, y) : x 2 + y 2 a 2}, a > Calcula el área del mayor rectángulo con lados paralelos a los ejes inscrito en: (a) un círculo de radio r; (b) una elipse de semiejes a y b. 6. Se considera la circunferencia C intersección de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 y el plano x + y + z = 1, y el punto P (0, 3, 3). (a) Obtén las coordenadas del punto Q sobre la circunferencia C cuya distancia a P sea mínima. (b) Cuál es el valor de esa distancia mínima? 7. Se desea construir una caja cerrada rectangular de volumen 10 cm 3 usando tres materiales diferentes para cada par de caras opuestas. El precio de los materiales es de 1 e, 2 e y 5 e el cm 2, respectivamente. Determina las dimensiones de la caja más económica. 8. Halla el volumen máximo de un prisma rectangular de área igual a 6 m Una fábrica, que produce tres productos diferentes en cantidades x, y y z, obtiene un beneficio igual a B(x, y, z) = 2x + 8y + 24z. Encuentra las cantidades que se deben producir, sujetas a la restricción x 2 + 2y 2 + 4z 2 = 4, , para que beneficio sea máximo. 10. Calcula el mínimo y máximo absolutos de: (a) f(x, y, z) = e x+y+z2, sobre Γ = { (x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 4, x 2 + y 2 = 1 }. (b) f(x, y, z) = x + y + z, sobre Γ = { (x, y, z) : x 2 + y 2 = 2, x + z = 1 }.