TEMA 8: MOVIMIENTO OSCILATORIO Introducción

Transcripción

1 TEMA 8: MOVIMIENTO OSCILATORIO 8..-Introducción Decimos que una partícula realiza un movimiento periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, llamados periodo T, su posición, x, velocidad, v, y aceleración, a toman el mismo valor: r r r ( t) ( t + T) ( t + T ) r r r v( t) v( t + T) v( t + T ) r r r a( t) a( t + T) a( t + T ) Esto implica que el móvil vuelve al punto de partida cada periodo. Cuando el movimiento periódico es de vaivén sobre una misma trayectoria respecto a su posición de equilibrio, se denomina movimiento oscilatorio, o vibratorio si el periodo es muy pequeño. De todos los movimientos oscilatorios el más importante y sencillo de analizar es el movimiento armónico simple M.A.S. que constituye una descripción bastante precisa de oscilaciones de la naturaleza y será esencial para comprender fenómenos ondulatorios relacionados con la luz y el sonido Dinámica del M.A.S: segunda ley de Newton Sabemos que una fuerza recuperadora elástica es aquella cuyo valor es proporcional a la deformación o desplazamiento del punto de equilibrio de la partícula. Dicha fuerza no será constante y la aceleración de la partícula sometida a la misma tampoco. Así, la segunda ley de Newton para una partícula sometida a una fuerza recuperadora será: Kx ma d x d x Kx m m + kx dt dt d x + dt 0 K m x 0 Las soluciones a esta ecuación diferencial de segundo orden son soluciones armónicas. Si adoptamos la forma senoidal la solución a dicha ecuación, es decir la función que representa la dependencia de x con t sería: K x A. sen( ω t donde ω m siendo x la elongación (distancia al punto de equilibrio) A la amplitud o elongación máxima ( ω t + ϕ ) la fase del movimiento y ω la frecuencia angular del mismo, es decir /T, y ϕ la fase inicial del mismo. La descripción de este movimiento sería la siguiente. Supongamos un cuerpo separado una distancia A de su posición de equilibrio. En el extremo el valor de la elongación,x, será máximo y por tanto igual a A. Esto da lugar a un valor máximo de fuerza recuperadora actuando sobre la partícula de forma F KA y a un valor de energía potencial elástica, también máximo: U KA.

2 Al dejar el cuerpo en libertad inicia su movimiento con una aceleración máxima que al ir disminuyendo el valor de la fuerza (x va bajando) t disminuirá proporcionalmente, y en consecuencia v irá aumentando con la consiguiente trasformación de energía potencial en energía cinética. Así llega al punto de equilibrio con una velocidad máxima y en consecuencia lo rebasa hasta llegar a un valor máximo pero en sentido opuesto de la amplitud A, con la consiguiente transformación, de nuevo de energía cinética en potencial. Como la energía mecánica en este proceso se conserva, se repetirá indefinidamente. Las expresiones de x, v y a en función del tiempo para este movimiento serán: x( t) Asen( ωt v( t) Aω cos( ωt a( t) Aω sen( ωt Además, fácilmente se puede deducir las expresiones de v y a en función de x. Así: v A ω cos v ω A a ω x x ( ωt A ω [ sen ( ωt ] A ω A ω sen ( ωt ω ( A x ) Para t0 se cumple : x senϕ A v0 cos ϕ Aω v así: A + x. ω 8.3 Energía del M.A.S. Sabemos que la fuerza recuperadora elástica es una fuerza conservativa y por tanto posee asociada una energía potencial dada por U Kx. Dicha energía al dejar el cuerpo en libertad s manifiesta en forma de Ec. La energía meca nica del sistema se conserva y esto se puede deducir de la ecuación de la º ley de Newton. Así: dv dx ma + Kx 0 m + Kx 0 mvdv + kxdx 0 dt dx int egrando : mv + Kx C Cuyo valor será la energía mecánica del sistema. Vamos a calcularla. Si sustituimos x y v por sus valores en función del tiempo se obtiene:

3 E ω A mω A v max cos E ωt + mv KA sen ωt max KA cos ωt + KA sen ωt KA ó de forma que: A E / K ; y : v " E / m max Veamos un gráfico de la variación de la energía potencial del oscilador armónico en función de la distancia al punto de equilibrio. 8.3 Estudio de algunos MM.AA.SS 8.3.a.-Movimiento de un cuerpo suspendido de un muelle vertical Consideremos un muelle de masa despreciable y longitud natural l suspendido de un punto fijo. Cuando colgamos un cuerpo de masa m del extremo libre éste se alarga un l y en la nueva posición de equilibrio se cumple: mg K l 0 De esta ecuación se deduce la constante elástica del muelle K. Si desplazamos verticalmente el cuerpo desde su equilibrio el sistema se moverá puesto que ahora la fuerza recuperadora será mayor que el peso ( o menor al encoger el muelle) de forma que la segunda ley de Newton dice: ( d x d x K F mg K l + x) ma Kx m + x 0 dt dt m

4 Lo cual indica que el movimiento descrito por el objeto será M.A.S y cuya frecuencia angular vendrá dada por: ω K / m T M / K 8.3.b.-Péndulo simple Es un sistema ideal definido como una partícula de masa m suspendida mediante un hilo inextensible y sin masa. En este caso la componente tangencial del peso (que es negativa pues se opone al aumento del ángulo φ actúa como fuerza recuperadora elástica. Además, si el ángulo es pequeño se cumple que sen φ φ y la ecuación correspondiente a la segunda ley de Newton para este movimiento corresponde a una ecuación que define un M.A.S. Así: mgsenφ ma ; a d φ g + φ 0 dt l t t d φ lα l dt En esta ecuación la frecuencia angular ω g / l T l / g y el periodo de oscilación serán: En esta ecuación cabe señalar que para pequeñas oscilaciones el periodo de oscilación es independiente de la amplitud ni de la misma. 8.3.c.-Péndulo Físico Todo cuerpo capaz de girar alrededor de un eje horizontal que no pase por su centro de gravedad constituye un péndulo físico o compuesto. El cuerpo estará en equilibrio si la fuerza peso y la reacción que actúa en el centro de suspensión están en la

5 misma vertical. En cambio, al separar el cuerpo un pequeño ángulo aparece un par de fuerzas que tiende a llevarlo a la posición de equilibrio. Ésta se rebasa por inercia y el movimiento se repite entonces periódicamente. El par recuperador actúa como fuerza responsable de este movimiento, así la ecuación será: d φ mgdsenφ Iα I dt d φ mgd + φ 0 dt I En esta ecuación que define un M.A.S la frecuencia angular y el periodo serán: ω mgd / I T I / mgd PÉNDULO SIMPLE PÉNDULO FÍSICO

6 EJEMPLOS MOVIMIENATO ARMÓNICO SIMPLE.-Una partícula de masa g ejecuta un M.A.S. sobre una trayectoria rectilínea. En t0 está en el origen y posee una velocidad de -5m/s. Regresa al origen s después. Determinar: la amplitud, frecuencia, pulsación y elongación en un instante de tiempo t. En t0 estará en el origen, la partícula va hacia la izquierda (la velocidad es negativa); luego regresa al origen en s, va hacia la derecha y después regresa de nuevo al origen (de nuevo en s). Por tanto el valor del periodo será T s. Si T s ω rad/s T Para calcular la amplitud determinamos la fase inicial del movimiento a partir de las condiciones iniciales. x Asen( ωt ; t 0 x x x 0 Asen( ω.0 ; 0 senϕ ϕ 0 x Asenωt 0 0 Como también conocemos la velocidad inicial se tiene: v Aω cos( ωt ; t 0 v v v 0 Aω cosωt; 5 Aω cos0; 5 Aω; 5 A m 0 5; ϕ 0 Lo cual indica que el movimiento inicial de la partícula es hacia la parte negativa del eje X. La ecuación horaria del movimiento que nos da la variación de la elongación x con el tiempo será entonces: 5 x sent

7 .-Una partícula de mg de masa ejecuta un movimiento oscilatorio que puede expresarse por la ecuación: x Asen t, siendo T el periodo igual a /00 s. Cuando T tt/, la velocidad vale v3,4 cm/s. Calcular: a) la amplitud; b) la energía total y c) la fuerza recuperadora. a) Para calcular la amplitud como: x Asen t al derivar obtenemos la expresión de T la velocidad y con las condiciones iniciales se determina A. v T A cos t; 3.4 A cos ; 3.4 A.00 cos ; A T T /00 T 6 6 cm b) Para calcular la energía obtenemos en el valor de la velocidad máxima: v max Aω 5,76.0 E m. v max c) Y la fuerza: ,6m / s /00 (3,6) 653,6.0 5 erg. F ma a Aω senωt 5,76.0 F 3,4.0 5 dinas 3 4 /0 4 sen 6

8 3.-Un móvil está animado de un M.A.S. rectilíneo sinusoidal. Se desplaza sobre un segmento de longitud 6 cm. La frecuencia del movimiento es de 5 ciclos/s y en el instante inicial está en un extremo. Calcular: a) la ecuación horaria del movimiento; b) la velocidad y la aceleración en t0; c)determinar los instantes en los que el móvil pasa por el origen Datos: A 3m; f 5ciclos / s; ω f 0. rad / s; a) de la condición t0 xa se deduce el valor de la fase inicial. x Asen( ω t ; 3 3sen( ω.0 ; senϕ ; ϕ de esta forma la ecuación horaria será: x 3sen ( 0t ) b) Para calcular la velocidad y la aceleración en el instante inicial: v0 Aω cos ω a0 Aω sen ω (0 ) sen 300 m / s c) Para calcular los instantes en los que el móvil pasa por el origen tenemos en cuenta que: x 0 0 3sen 0t + 3cos( 0t ); cos( 0t ) 0; 0t + n t + n s 0 0

9 4.-Un péndulo posee una longitud de 80 cm y una bolita de 00g. Se separa un ángulo de 5º del equilibrio y se deja en libertad. Calcular: a) la ecuación horaria de su movimiento; b) la velocidad cuando se encuentra a cm del equilibrio. a) En primer lugar comprobamos que el movimiento sea armónico simple, es decir que sen ϕ ϕ 5º 5º 0,087rad; y a su vez sen 5 0, 087 por tanto si se cumple. 360º Calculamos A y ω A l. senϕ 0,8.0,087 0,07m ω g l 9,8 0,8 3,5rad / s Como para t0 xa se tiene que: Asen( ω t A Asenϕ senϕ ϕ Entonces la ecuación horaria será: x 0,07sen 3,5t + b) Para x cm podemos determinar la fase del movimiento: 7sen ω t + ; sen ωt + ; ωt + arcsen 0,9 7 7 Por tanto la velocidad será: v ω Acos 0,9 3,5.0,07.cos 0,9; v 0,3m / s x por lo que

10 5.-Una fuerza de 30 N estira 5 cm un resorte vertical. Calcular: a) qué masa ha de suspenderse del resorte para que el sistema oscile con un periodo / 4 s?; b) si la amplitud del movimiento es de 5 cm, dónde se encuentra el cuerpo y en que sentido se mueve / después de pasar por la posición de equilibrio dirigiéndose hacia abajo?; c) qué fuerza ejerce el resorte sobre el cuerpo cuando se encuentra 3 cm por debajo de la posición de equilibrio moviéndose hacia arriba? Datos: T ; ω 8rad / s 4 T F 30 a) F Kx; K 00N / m X 0,5 Así tendremos que: m T /6 T ; m K.00 3,8kg. K 4 4 b) Si A0,05 m y teniendo en cuenta que para t0 el cuerpo está en la posición de equilibrio (momento en el que se cuelga del resorte vertical la masa calculada en el apartado a) tendremos para la elongación: y Asen( ω t ; como t / y sabiendo que ϕ 0 tendremos: y 0,05sen 8. 0,05sen(,09) 0,05.0,87; y 0, 043m Para saber en que sentido se mueve el objeto tendremos en cuenta que el periodo de oscilación se divide en cuatro etapas de movimiento que son: bajar hasta un extremo, subir hasta equilibrio, subir al otro extremo y finalmente bajar hasta el equilibrio. Por T / 4 tanto en cada parte el cuerpo emplea un tiempo s Así, cuando han transcurrido / s el cuerpo ya ha llegado al extremo inferior y se encuentra subiendo estando situado a 0,043 m de la posición de equilibrio. c) Para calcular la fuerza tenemos en cuenta la segunda ley de Newton de forma que: F mg ma; a ω y 8.0,03,9m / s El signo negativo indica que la aceleración es opuesta a la elongación (al aumentar la elongación la aceleración aumenta en valor absoluto pero el cuerpo se va frenado, por eso es negativa). Al sustituir su valor en la segunda ley de Newton tendremos: F ma + mg 3,8(,9 + 9,8) F 36,6N