TRABAJO PRÁCTICO N 3: Derivadas - Diferencial

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1 TRABAJO PRÁCTICO N : Derivadas - Diferencial ) Definición de derivada en un puno: La derivada de la función f es aquella función, denoada por f ', al que su valor en un número del dominio de f esá dado por: lim y = lim f( + ) f( La derivada en el puno la indicamos con la simbología: f ( ). ) Si ese límie eise. Nauralmene, ese límie puede no eisir, de modo que no oda función iene derivada en un puno. Aplique la definición de derivada en un puno para calcular f ( ), si eise. a) c) f() 8 = = 6 b) f() + = f() = = d) f() = = + = e) f() = + = ) Derivadas laerales i) Si la función f esá definida en, enonces la derivada por la derecha de f en, denoada por f ' + ( ), esá definida por : f ' + ( ) = f( + ) f( ) lim + si eise el límie. ii) Si la función f esá definida en, enonces la derivada por la izquierda de f en, denoada por f ' - ( ), esá definida por : f ' - ( ) = f( + ) f( ) lim si eise el límie A parir de esa definición y de la de límies laerales, se deduce que una función f es derivable en si y sólo si f ' + ( ) y f ' - ( ) eisen y son iguales. Por supueso: f '( ) = f ' + ( ) = f ' - ( ) Página

2 Teniendo en cuena las definiciones de derivadas laerales y la relación enre derivabilidad y coninuidad analice la derivabilidad de las siguienes funciones: g() en = - b) g( ) a) = + + π sen = si si en = = c) + < h() = +, en = d) f() = (6-7) si < si en = ) Halle la derivada de f, aplicando la definición de función derivada a) f() = b) f() = 9 c) f() = si d) f()= cos ) Halle, aplicando reglas, las derivadas de las siguienes funciones: a) y = f) y = cos + sen b) y = 5 a g) y = 7. e π c) y = + ln h) y = e ln d) y = a a 6 + b + b e + sen i) y =.e e) y =. sen j) y = + 5) Analice, uilizando reglas de derivación, si las siguienes funciones son derivables en los punos indicados. a) y = en = c) y = en = Página

3 b) f() =. + en = d) + + si si < en = 6) Halle a R y b R, si es posible, para que eisa ( ) : f a) si f() = a+ b si > = b) a + b si f() = si > = c) g()= + + > 5 a b = d) sen f() = = - + a+ b > 7) Sea f() una función al que f (u) = + u Hallar g ( ) y g ( ).. Sea g() = f( ). 8) Sea f() = 5 + y g() una función cualquiera derivable en = 8. Sabiendo que (go f) () =, calcular g (8). 9) Dados los siguienes valores de las funciones f y g y sus derivadas para = y = - : f () =, f () =, g () = -, g () = -, g (-) =, g (-) = 7 encuenre las derivadas indicadas a coninuación: a) [f() + g() ] en = b) [ g(g()) ] en = - c) [ f(g( - 6 )) ] en = d) [ f () ] en = ) Siendo f ( ) =, g( ) = sen, y h( ) =, a. Verifique que : Página

4 ( ho g) ( ) = sen ( f o g o h) ( ) = sen ( g o h) ( ) = sen ( ho f) ( ) = b. Calcule las siguienes derivadas ( ho g) ( ) ( g o h) ( π ) ( ho f ) ( ) ) Halle las derivadas de las siguienes funciones compuesas: a) y = ( + 5 ) h) y = 5 e b) y = a i) y = ln ln (ln ) c) y = co g co g α j) y =. sen d) y = g - sen 5 k) y = e + + ln e) y = ln cos l) y = sen + f) y = arcg ll) y = arcg g) y = arcsen() m) y = arc g + arc sen ( ) ) Se definen las funciones hiperbólicas mediane : Verifique: a) ch sh = e + e e e Sh Ch =, Sh = y Th = Ch c) ( sh) ch ' = b) ( ch ) ' = sh d) ( h ) ' = ch ) Derive las siguienes funciones hiperbólicas: a) y = ch c) y = + sh b) y = ch. cos + sh. sen d) y = e a. ( ch b + sh b ) Página

5 ) Derive usando las reglas de derivación logarímicas: a) y = b) y = c) y = + y d) y = ( g ) g = 7 5 ( ) sen ( ) ln e) y = ( ) arc g sen f) y = ( ) 5) Derive las siguienes funciones implícias: a) 5y + = c) y = ln (y) +.y b) +.y + y = d) y = + y y 6) Halle: π a) f si f() = cos c) y en P(,) si y = + y b) f (-) si f() = + d) y en P(,) si ( + y) = 7 ( y) 7) Halle las derivadas de las siguienes funciones: a) = a. cos y= b. sen d) ρ = a ( cos θ ) en θ = π b) = cos y= sen e) ρ = + sen θ en θ = 6 π c) = e y= e cos sen en = π 8) Halle las ecuaciones de la reca angene y normal, de cada una de las siguienes curvas en el puno indicado: a) y = 5 en (, - ) d) = y= + en = b) y = en (, 6 ) e) π c) ρ = en θ= = a.cos θ y= a. sen θ en θ = π Página 5

6 9) Encuenre los punos sobre la curva y = + en los cuales la reca angene es: a) Paralela a la reca y = b) Perpendicular a la reca y = + 5 ) Halle los punos en que las angenes a la curva f() = + + sean paralelas al eje de las abscisas. ) En qué puno la angene a la parábola f() = 7 + es paralela a la reca y = - 5 +? ) Halle la ecuación de la parábola y = + b + c que es angene a la reca y = en el puno P (,). ) a) Sea f ( ) =, calcule la ecuación de la reca angene a la curva en =. b) Ídem a) para f ( ) = en el puno,. ) Eise la reca angene a f() = + eise. si < si - f() = si < si en =? Y a en =? Si eise, halle su pendiene. Si no, eplique por qué no 5) Halle el o los ángulos de inersección de los siguienes pares de curvas: = y y = + a) b) 8 + y = y= + 6) Analice si las siguienes curvas se inersecan orogonalmene. a) b) c) f ( ) = con g ( ) = = con g ( ) = f( ) f ( ) = con g ( ) = 7) Seleccione la opción correca, sabiendo que sólo una lo es. Jusifique. a) Para que la reca y = + n sea angene a la parábola y =, n debe valer: i. ii) iii)- iv) no depende de n Página 6

7 b) La ecuación de la reca angene a la curva y = 6ln() en el puno = es: i) y = ( / ) ii) y = 6( / ) iii) y = ( / ) iv) y + = ( / ) 8) Si A es el área de un cuadrado de lado, hallar una epresión que calcule: A y da, cuando el lado se incremena en. Consruir una gráfica que muesre el cuadrado, A y da. 9) Calcular el valor del incremeno y de la diferencial de las siguienes funciones, para los valores indicados: a) f() = en =, =,. b) f() = en =, =. ) Calcular aproimadamene el incremeno de la función f() = cuando varía de a,. ) En cuáno aumena aproimadamene el área de un círculo de 5 cm de radio si ese se alarga mm?. Un cubo meálico iene una arisa de cm de longiud. Por efeco de un aumeno de emperaura dicha longiud varía mm. Cuál será el aumeno de volumen eperimenado por el cubo?indicar la solución aproimada y la solución eaca. Propuesos ) Indique si es verdadera o falsa cada una de las siguienes proposiciones, jusificando la respuesa. a) La reca angene a la gráfica de una función f en un puno, cora a dicha gráfica sólo en ese puno. b) La coninuidad de la función h en = a es condición necesaria pero no suficiene para que h sea derivable en = a. c) Si f () = g () para odo, enonces f()= g() para odo. d) Si la reca angene a la gráfica de y = f() es horizonal cuando = c, enonces f (c) = e) Una función puede ser coninua en odo su dominio pero no derivable en odo puno del mismo. Página 7

8 f) Si 5 y= π, enonces y = 5π g) Si eise f (c), enonces f es coninua en c h) La ecuación de la angene a la gráfica de y = ( ) y= en el puno (,) es i) Si f () = 6 y g () = enonces la pendiene de la reca angene a la gráfica de y = f() 5 g() en = es. j) Las angenes a las curvas puno P(;). y = e + y =, son perpendiculares en el ) Para qué valor no negaivo de b es la reca y = + b normal a la gráfica de y = +? 5) Si la ecuación de la reca angene a la gráfica de f () en = es y + 5 =, calcule g '() siendo g( ) = f ( + sen( π)). 6) Dada π f() = sen( π ) si π si < π halle uilizando la definición f ( π ). 7) Dada la función si f ( ) = a+ b si > Encuenre los valores de a y b para que eisa f (). Jusifique indicando odas las definiciones, propiedades, eoremas uilizados. RESPUESTAS ) a ) f '( 6 ) = b) f '( ) = c) f ' ( ) = d) f '( ) = e ) f '( ) no eise 8 ' ' ) a) g ( ) es coninua en = - y no es derivable en = - ya que g+ ( ) g ( ) b) g ( ) = c) no es derivable en = ya que no es coninua en ese puno Página 8

9 d) es derivable en = ) a) f '( ) = 6 b) f '( ) = c) f ' ( ) = d ) f '( ) = sen ( cos + sen ) - ( - sen + cos ) ) a) y = 5 + f) y = ( cos + sen ) b) y = 5 a π c) y = d) y = a 6a 5 + b g) y = 6. e. ( 7 + ) h) y = e ln ln cos - e - sen i) y = e - sen e) y = ( sen + cos ) j) y = ( ) 5) a) f () b) f ( ) c) f ' () d) f ' () 6) a ) a = b = - b) a = - b = c ) a = b = - d ) a = b = 7) g () = 6 + ; g () = 65 8 ) g (8) = 5 9) a) b) 7 c) 6 d) ) b) - π cos - 6 π ) a) y = ( + 5 ) 9. ( ) h) y = -. e. b) y = a cos ec c) y = co g ln i ) y =.ln j) y = sen ( sen +. cos.ln ) d) y =.g.sec sen.cos Página 9

10 e) y = - g k) y = ( e + ) ( e ln ) + 5ln f) y = ( + ) sen cos l) y = ( )( ) g) y = 6 ll) y = + 6 m) y = + 9 ( ) ) a ) y = ch. sh = sh c) y = sh ch + sh b) y = sh cos d) y = e a (ch b + sh b ) ( a + b) 7 ) a) y = + 5 co g ( ). y cos.sen b) y = (.ln + ). y c) y = sen cos.ln +. sen y (+ )sec d) y = ln g + g e) y = ln (ln ). y ln + f) y = ln arc g. y ( )arc g ) a) y = 5 c) y = + y y y b) y = y + y d) y = + y y ( + ) y Página

11 π 6) a) f = c) y (,) = - b) f ( - ) = d) y (,) = b π 7) a) f ( ) = g d) f a = - π b) f ( ) = cog e) f 6 = π c) f = - 8) a) y = 7 reca angene, y = reca normal b) y = 6 8 reca angene, y = 5 + reca normal 6 c) y = - + reca angene, y = reca normal d) y = + reca angene, y = - + reca normal e) y = - + a reca angene, y = reca normal 5 9) a) P (, ) b) P, ) (, ) (, 5 ) ( -, - ) ) P (,- ) ) y = - + ) a) y = b) y = + ) Si eise y su pendiene es cero. En la segunda función no eise ya que no es una función derivable ya que no es coninua en dicho puno 5) a) θ = 7º 6 =θ b) arc g = 7º 6) a) SI b) SI c) NO Página

12 7) a) iii) b) ii) 8) A = + d d da = d. d 9) a) f =,96 df =,9 b) f =, df =, ) df =,5 ) da = 8,8 cm ) dv =,9 v =,97 Propuesos ) a ) Falsa Por ejemplo : La reca y = - es angene a la curva y = en el puno P(,-) y la reca angene vuelve a corar la curva en el puno P(,) b ) Verdadera.Relación derivabilidad y coninuidad c ) Falsa.Por ejemplo : f ( ) = sen + y g ( ) = sen 9 d ) Verdadera. Toda reca horizonal iene pendiene igual a cero e) Verdadera. La coninuidad de una función es una condición necesaria pero no suficiene para la derivabilidad de una función. f ) Falsa.Pues y = g) Verdadera.Relación enre derivabilidad y coninuidad de una función h ) Falsa.La ecuación de la reca angene en dicho puno es y - = ( - ) i ) Falsa. La pendiene es - j) Verdadera.Sus pendienes son y - respecivamene. 7 ) b= 5) g ( ) = - 5 ( - - π ) 6) no eise f ( π ) 7) b = - 6 a = Página