Equacions i sistemes de segon grau

Transcripción

1 Equacions i sistemes de segon grau 3 Equacions de segon grau. Resolució. a) L àrea del pati d una escola és quadrada i fa 0,5 m. Per calcular el perímetre del pati seguei els passos següents: Escriu l equació que planteja aquest problema: Quin grau té aquesta equació? Quina és la longitud d un dels costats del pati? Quin és el perímetre del pati? Una equació de segon grau és una epressió del tipus a + b + c = 0 en què a, b, i c són nombres reals i a 0. Si b 0 i c 0 es diu que l equació és completa. Vegem la resolució d equacions de segon grau incompletes, és a dir, quan b = 0 o c = 0. c 0 a c a + c = 0 a = c = ± Si > té dues solucions. Si c = 0 la solució és = 0. a c Si < 0 no té solució. a = 0 a + b = 0 a + b = 0 b a + b = 0 = ( ) a sempre tenen dues solucions. b) Resol les equacions següents: 4 96 = = 0 7 ( ) + 3( + ) =

2 3 Equacions i sistemes de segon grau. a) Considera l equació de segon grau ( 3) = 5. Per resoldre aquesta equació seguei els passos següents: Etreu l arrel quadrada en els dos termes. Has obtingut dues equacions de primer grau. Resol aquestes dues equacions. Comprova que les dues solucions trobades són solucions de l equació inicial. Resolució d equacions de segon grau particulars. r ( p + r) = = 0 p ( p + r)( q + s) = 0 ( q + s) = 0 = s q sempre tenen dues solucions. q o r q ( p + r) = q p + r = ± q = ± Si > té dues solucions. Si q = 0 té una solució doble. p Si q < 0 no té solució. b) Resol les equacions següents: ( 5 3)( + ) = = = 8

3 Equacions i sistemes de segon grau 3 3. a) Considera l equació següent: ( )( + 3) = 6. Fes el producte del primer membre. Escriu una equació equivalent a la trobada amb el segon membre igual a zero. Quin grau té aquesta equació? És una equació completa o incompleta? Per què? Vegem la resolució d equacions de segon grau completa, és a dir, a + b + c = 0, a, b, c 0. b b ac Aplicarem la fórmula general: = ± 4. a El nombre de solucions d una equació de segon grau depèn del signe del discriminant = b 4 ac. Si > 0, l equació té dues solucions diferents: b b 4ac = + a b Si = 0, l equació té una solució doble: = a. Si < 0, l equació no té solució. b b 4ac = a b) Resol l equació de segon grau obtinguda a l apartat a). c) Resol l'equació següent: ( + 3) 3 + = ( )( 5 6) 9

4 3 Equacions i sistemes de segon grau Suma i producte de les solucions 4. a) Resol les equacions de segon grau següents i completa la taula. Equació = 0 Solucions + = 8 = 0 = = = + = + 8 = 0 = = = + = = = = La suma i el producte de les dues solucions i d una equació de segon grau a + b + c = 0 compleien les propietats següents: b S = + = c P = = a a b) Resol mentalment les equacions de segon grau següents: Equació Solucions 5 = 0 = = = 0 = = = 0 = = + = 0 = = c) Troba dos nombres tals que la seva suma sigui 3 i el seu producte

5 Equacions i sistemes de segon grau 3 Sistemes d equacions de segon grau 5. a) Resol aquest sistema d equacions: + y = 7, seguint els passos indicats. + y = 5 Aïlla la variable de la primera equació. Substituei en la segona equació. Resol l equació de segon grau que has trobat. Substituei aquests valors en l epressió aïllada de. Les solucions del sistema són: = , y = i = , y = Un sistema és un sistema d equacions de segon grau quan, en aplicar algun mètode algèbric, ens porta a resoldre una equació de segon grau. Per resoldre sistemes de segon grau utilitzarem qualsevol dels mètodes algèbrics: substitució, reducció o igualació. b) Resol aquest sistema d equacions: + y = 3, seguint els passos indicats. 4 3y = 4 Multiplica la primera equació per 3. Suma aquesta equació amb la segona equació del sistema. Resol l equació de segon grau que has trobat. Substituei aquests valors en la primera equació i resol les equacions de segon grau obtingudes. Les solucions del sistema són: = , y = , = , y = = , y 3 = i 4 =......, y 4 = c) Quin mètode de resolució has fet servir en l apartat a)? I en l apartat b)?

6 3 Equacions i sistemes de segon grau 6. a) Resol aquest sistema d equacions: y = + y = 3 33 En general, el millor mètode algèbric per resoldre sistemes d equacions de segon grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions particulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes. b) Resol els sistemes d equacions de segon grau següents: + 3y = 5 ( 7)( y + ) = 3 y = y = 677 ( 4) + ( y 3) = 8 4( 3) 8( y + 5) = 84 3

7 Equacions i sistemes de segon grau 3 Equacions biquadrades 7. a) El producte de dos nombres és 75 i la diferència entre els seus quadrats és 66. Planteja el sistema per resoldre aquest problema: Aïlla la variable de l equació de primer grau i substituei-la a l equació de segon grau: Arregla l equació obtinguda, eliminant el denominador i passant tots els termes al matei costat de l igual: L equació obtinguda és de grau, els eponents de la variable són i Una equació de quart grau s anomena biquadrada si té l epressió algebraica: a 4 + b + c = 0, en què a, b i c són nombres reals i a 0. Si fem el canvi d incògnita = t podem transformar aquesta equació biquadrada en l equació de segon grau at + bt + c = 0 i ens permet resoldre l equació. t b b 4ac b b 4ac = +, t = + a a = ± t, = ± t b) Acaba de resoldre el sistema de l apartat a): c) Resol les equacions biquadrades següents: = 0 ( 3) = ( )( + ) 4 33

8 3 Equacions i sistemes de segon grau Equacions irracionals 8. a) Resol l equació següent: + 3 =, seguint els passos indicats. Aïlla l arrel en el primer membre: Per treure l arrel eleva al quadrat els dos membres de la igualtat: Resol l equació de segon grau obtinguda: Comprova si els valors obtinguts són solució de l equació inicial: Dels dos valors obtinguts, el valor és una solució real i el valor és una solució fictícia, és a dir, no complei la igualtat. Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe radical. Per eemple: + 5 =. Per resoldre aquestes equacions hem d aïllar primer l arrel en un dels termes i després elevem els dos termes al quadrat. Resolem l equació de segon grau obtinguda. Al final s haurà d esbrinar si les solucions obtingudes són solucions de l equació irracional, ja que, a vegades, en elevar al quadrat els dos membres s hi pot introduir una equació fictícia. b) Resol les equacions irracionals següents. En aquest cas hauràs d elevar al quadrat l'equació dues vegades: = 5 34

9 Equacions i sistemes de segon grau 3 Altres tipus d equacions 9. a) Observa les equacions següents, digues de quin grau són i aplica els passos indicats per resoldre-les: = 0 Grau: Aïlla el terme amb : 4 6 = 0 Grau: Aïlla el terme amb : Aplica l arrel cúbica als dos membres: Aplica l arrel quarta als dos membres: La solució és: = 0 Grau: Etreu el factor comú : Les solucions són: ( 4 6) ( 5 405) = 0 Grau: Iguala cada factor del producte a zero: Iguala cada factor del producte a zero i resol: Soluciona cada equació obtinguda: Les solucions són: Les solucions són: Per resoldre alguns tipus d equacions que no són ni de primer ni de segon grau es poden utilitzar diferents mètodes algèbrics: Etracció de factor comú. Igualació dels factors d un producte a zero. Aïllament i aplicació d arrels. 35

10 3 Equacions i sistemes de segon grau b) Resol les equacions següents: = = 0 = 3 3 ( 3 5)( 4 3) = ( 3) 9 = ( 3)( + 3) ( 4) 5 = 3 36

11 Equacions i sistemes de segon grau 3 Resolució de problemes 0. a) El jardí de la Paula té forma de rectangle. Per tancar-lo ha utilitzat 4 m de filat i la diagonal mesura 5 m. Quina és l àrea del jardí? Per trobar-la seguei els passos següents: Fes un dibui de la situació geomètrica que planteja el problema. Identifica les incògnites: és la longitud de y és la longitud de Planteja l equació que et proporciona la condició del perímetre: Planteja l equació que et proporciona la condició de la diagonal: Resol el sistema de segon grau obtingut: L àrea del jardí és A vegades per resoldre problemes s ha de plantejar i resoldre una equació de segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d equacions. Els passos per resoldre aquests problemes són: Lectura comprensiva del tet, identificació de les incògnites. Traducció del tet al llenguatge algèbric i plantejament de les equacions o sistemes d equacions. Resolució de les equacions o sistemes. Comprovació que les solucions són coherents amb l enunciat. b) En Miquel compra per als seus fills llibretes per valor de 30. Si cada llibreta hagués costat 50 cèntims menys, n hauria pogut comprar 3 més. Quantes llibretes ha comprat? Quin és el preu de cada llibreta? 37

12 3 Equacions i sistemes de segon grau Activitats finals d avaluació 3. Les solucions de l equació són: a) 8 3 i 8 3 b) 8 3 i 0 c) 8 3 i 0 d) 4 3 i 0 4 = 0. Els signes de les dues solucions de l equació + 0 = 0 són: a) Tots dos positius. b) Tots dos negatius. c) Un positiu i l altre negatiu. 3. L equació = 0 té: a) Dues solucions. b) Una solució doble. c) No té solucions. 4. Les solucions de l equació ( 5) = 49 són: a) i b) i c) i d) i 5. El discriminant de l equació = 0 és: a) = 93 b) = 57 c) = 93 d) = L equació que té com a solucions 4, 3, i és: a) = 0 b) = 0 c) ( + 4)( 3)( ) = 0 d) ( 4)( + 3)( + ) = 0 7. Les solucions del sistema següent són: y = 4 + y = 33 a) =, y = 4; =, y = 4 3 =, y3 = 4 = y, 4 b) =, y = 4; =, y = 4 3 =, y3 = 4 =, y4 = 8. Comprova si = 0 és solució de les equacions següents: 4 5 = = = = Sí/no 9. Quina és l àrea d un rectangle si sabem que un dels costats mesura cm més que l altre i la diagonal fa cm més que el costat petit? a) 3+ 3 cm b) cm c) 4 cm d) 3 cm 0. Si sumem una unitat a l arrel d un nombre obtenim la meitat del nombre menys tres unitats. Quin és aquest nombre? a) 6 i 5 b) No té solució c) 6 d) 6 38