ESPACIO VECTORIAL. ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, E, al que le da estructura de grupo abeliano
|
|
- Xavier Calderón Ávila
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 ESPACIO VECTORIAL CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Sea E, K conjuntos +:ExE E +:KxK K.:KxK K f:kxe E (,a) f(,a)= ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, E, al que le da estructura de grupo abeliano ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, K, al que le da estructura de grupo abeliano ley de composición binaria interna definida sobre el conjunto, K, al que le da estructura de grupo abeliano. Esta operación tiene además la propiedaddistributiva con respecto a la suma de elementos del conjunto, K. El conjunto, K, tiene estructura de cuerpo conmutativo ley de composición binaria externa definida sobre el conjunto, E la ley de composición binaria externa tiene las siguientes propiedades: Distributiva de la ley de composición binaria externa respecto de la operación binaria interna, +, definida sobre el conjunto, K,K, ae, (+).a=.a+.a Distributiva de la ley de composición binaria externa respecto de la operación binaria interna, +, definida sobre el conjunto, E K, a,be,.(a+b)=.a+.b Asociatividad mixta,k, ae,.(.a)= ().a Neutralidad del elemento neutro, 1, del cuerpo, K, con respecto a la ley de composición binaria interna,., con respecto a la ley de composición binaria externa ae, 1.a= a Si se verifican estas cuatro propiedades se dice que el conjunto, E, tiene estructura de espacio vectorial por la izquierda sobre el cuerpo, K. Los elementos del conjunto, E, se denominan vectores, y escalares los elementos del conjunto, K. Se ha definido la operación externa por la izquierda, y podría haberse definido por la derecha, teniendo así un espacio vectorial por la izquierda o por la derecha. Si un conjunto, E, es al mismo tiempo un espacio vectorial por la izquierda y por la derecha, se dice que es un espacio vectorial. espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 617
2 De la estructura de espacio vectorial se obtienen las siguientes propiedades: Por ser el conjunto, E, un grupo aditivo Unicidad del elemento neutro del espacio vectorial E, ó vector nulo con respecto a la ley de composición binaria interna, + 0= (0,0,...,0) Unicidad del elemento opuesto de todo vector del espacio vectorial, E, con respecto a la ley de composición binaria interna, + Regularidad de todos los vectores del espacio vectorial, E, con respecto a la ley de composición binaria interna, + Posibilidad de realizar la operación de sustracción Puesto que restar dos vectores puede considerarse como sumarle a uno de ellos el opuesto del otro. a - b= a + (-b) -(-a)= a De las propiedades de la ley externa 0.a= 0.a= (+ 0).a=.a + 0.a despejando el segundo término del segundo miembro de esta igualdad 0=.a -.a= 0.a.0= 0.0=.(0.a)= (.0).a= 0.a= 0 (-).a= -.a Se ha de comprobar que estos dos vectores son opuestos, en cuyo caso su suma ha de ser el vector nulo del conjunto, E..a + (-.a)= [+ (-)].a= 0.a= 0 Propiedad distributiva de la ley de composición binaria externa respecto a la ley de composición binaria interna, +, definida sobre el espacio vectorial, E.(a - b)=.[a + (-b)]=.a +.(-b)=.a -.b Propiedad distributiva de la ley de composición binaria externa respecto a la ley de composición binaria interna, +, definida sobre el cuerpo, k (- ).a= [+ (-)].a=.a + (-).a=.a -.a espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 618
3 .(-a)= -.a Se ha de comprobar que estos dos vectores son opuestos, en cuyo caso su suma ha de ser el vector nulo del conjunto, E..(-a) +.a=.[(-a) + a]=.(-a + a)=.0= 0 Si,.a= 0, : = 0 Obvio a= 0 Si, 0, existe otro escalar, -1, inverso de aquel tal que: 0= -1.0= -1..a=1.a= a Dado el espacio vectorial, E. Si el subconjunto, E 1 E, con las mismas operaciones que le dan al conjunto, E, estructura de espacio vectorial, es también un espacio vectorial, se dice que el conjunto, E 1, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E. Se verifica : La suma ó composición por la ley de composición binaria interna, +, definida sobre el espacio vectorial, E 1 E, de dos vectores del espacio vectorial, E 1, es otro vector de este espacio vectorial, E 1, consecuencia de la ley de composición binaria interna, +, del grupo abeliano u,ve 1 u+ve 1 El producto ó composición por la ley de composición binaria externa de un vector del espacio vectorial, E 1 E, con un escalar del cuerpo conmutativo, K, es otro vector del espacio vectorial, E 1, consecuencia de la ley de composición binaria externa ue 1, K.uE 1 De la definición de subespacio vectorial se deduce: El vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, es un elemento de cualquier subespacio vectorial, E 1 E, del espacio vectorial, E El vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, es por sí solo un subespacio vectorial del especio vectorial, E. Dados dos subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, se verifica: La intersección de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, es otro subespacio vectorial, W, del espacio vectorial, E, cuyos vectores son todos los vectores comunes a ambos subespacios vectoriales, E 1, y, E 2 WE W= E 1 E 2 = {xw / xe 1, xe 2 } Para demostrar que este conjunto intersección, W= E 1 E 2, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, hay que probar que: espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 619
4 La suma de dos elementos del conjunto intersección, W, de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, es otro elemento del conjuntio, W u,vw ue 1 ue 2 ve 1 ve 2 por ser, E 1, y, E 2, subespacios vectoriales del espacio vectorial, E u+ve 1 u+ve 2 de donde se deduce u+ve 1 E 2 = W El producto de un elemento del conjunto intersección, W, de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, por un escalar del cuerpo conmutativo, K, es otro elemento del conjunto intersección, W uw, K ue 1 ue 2 por ser, E 1, y, E 2, subespacios vectoriales del espacio vectorial, E.uE 1.uE 2 de donde se deduce.uw Un caso particular lo constituye el hecho de que este subespacio vectorial intersección, W, de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, tenga como único elemento el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, W= {0} en este caso los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, que dan lugar al subespacio vectorial intersección, W, se dicen subespacios vectoriales disjuntos. La suma de de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, es otro subespacio vectorial, E 1 +E 2, del espacio vectorial, E, cuyos vectores son suma de un vector del subespacio vectorial, E 1, y de un vector del subespacio vectorial, E 2 WE W= E 1 +E 2 = {xw / x= x 1 + x 2 ; x 1 E 1 ; x 2 E 2 } Para demostrar que este conjunto suma, W= E 1 +E 2, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, hay que probar que: espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 620
5 La suma de dos elementos del conjunto suma, W, de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, es otro elemento del conjunto, W u,vw u= u 1 +u 2 u 1 E 1, u 2 E 2 v= v 1 +v 2 v 1 E 1, v 2 E 2 se deduce u+v= (u 1 +u 2 )+(v 1 +v 2 )= (u 1 +v 1 )+(u 2 +v 2 )W puesto que los vectores u 1 +v 1 E 1 u 2 +v 2 E 2 El producto de un elemento del conjunto suma, W, de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, por un escalar del cuerpo conmutativo K, es otro elemento del conjunto suma, W uw, K u= u 1 + u 2 u 1 E 1, u 2 E 2 se deduce.u=.(u 1 + u 2 )=.u 1 +.u 2 W puesto que los vectores.u 1 E 1,.u 2 E 2 En general todo vector del subespacio vectorial suma, E 1 +E 2, del espacio vectorial, E, se puede descomponer de varias formas distintas como suma de dos vectores, uno perteneciente al primer subespacio vectorial, E 1, y otro perteneciente al segundo subespacio vectorial, E 2. w= u 1 + u 2 u 1 E 1, u 2 E 2 w= v 1 + v 2 v 1 E 1, v 2 E 2 se escribe w= u 1 + u 2 = v 1 + v 2 escribiendo en el mismo miembro de la expresión anterior los vectores pertenecientes al mismo subespacio vectorial w= u 1 v 1 = v 2 u 2 se obtiene un vector, w, del subespacio vectorial suma, E 1 +E 2, del espacio vectorial, E, que es suma por una parte de vectores del primer subespacio vectorial, E 1, por lo que es un vector de dicho subespacio vectorial, y por otro lado es suma de vectores del segundo subespacio vectorial, E 2, por lo espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 621
6 que también es un vector de dicho subespacio vectorial. Es pues un vector común a los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, por lo que se deduce que es un vector del subespacio vectorial intersección, E 1 E 2, del espacio vectorial, E. we 1 E 2 La descomposición de un vector, u, perteneciente al subespacio vectorial suma, E 1 +E 2, del espacio vectorial, E ue 1 +E 2 en suma de dos vectores puede hacerse de las formas u= u 1 + u 2 = (v 1 + w) + (v 2 - w)= v 1 + v 2 siendo, w, un vector del subespacio vectorial intersección, E 1 E 2, del espacio vectorial, E Si los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, son disjuntos, el subespacio vectorial intersección, E 1 E 2, del espacio vectorial, E, tiene como único elemento el vector nulo E 1 E 2 = {0} y la descomposición de todo vector perteneciente al subespacio vectorial suma, E 1 +E 2, del espacio vectorial, E, como adición de dos vectores uno perteneciente al primer subespacio vectorial, E 1, y el otro perteneciente al segundo subespacio vectorial, E 2, es única u= u 1 + u 2 = (v 1 + 0) + (v 2-0)= v 1 + v 2 La suma de los subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, se dice directa y se representa por: E 1 E 2 Si se verifica que la suma de estos subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, del espacio vectorial, E, da lugar al propio espacio vectorial, E, que los contiene, ambos subespacios vectoriales, E 1, y, E 2, se denominan suplementarios, y se verifica E 1 E 2 = E E 1 E 2 = {0} Se llama sistema de vectores a un conjunto, S, cuyos elementos son, n-vectores, del espacio vectorial E. S= (v 1,v 2,v 3,...,v n ) Se llama combinación lineal de un sistema de vectores, S, a todo vector del espacio vectorial, E, resultado de sumar todos los vectores, v i, del sistema de vectores, S, después de haberlos multiplicado por escalares, i, cualesquiera del cuerpo conmutativo, K. w= 1.v n.v n = n i 1. v i i Se llama variedad lineal, (S), generada por un sistema de vectores, S, al conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden obtener con los vectores de ese sistema. espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 622
7 Hallar la ecuación de la variedad lineal generada por el sistema de vectores, (1,2,3), y, (0,1,2), de, R 3. (x 1,x 2,x 3 )=.(1,2,3)+.(0,1,2) se deducen las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de, R 3, que generan x 1 = x 2 = 2+ x 3 = 3+2 eliminando los parámetros,, y,, entre las tres ecuaciones se llega a la ecuación del subespacio vectorial generado por el sistema de vectores = x 1 = x 2-2= x 2-2x 1 sustituyendo estos resultados en la tercera ecuación se escribe x 3 = 3x 1 +2(x 2-2x 1 )= 3x 1 +2x 2-4x 1 pasando al primer miembro todos los términos de esta ecuación 4x 1-2x 2-3x 1 +x 3 = 0 x 1-2x 2 +x 3 = 0 ecuación que sólo verifican los vectores del subespacio vectorial de, R 3, generado por el sistema de vectores. Hallar la ecuación de la variedad lineal generada por el sistema de vectores, (1,-2,3,-1), y, (4,-2,0,1), de, R 4. (x 1,x 2,x 3,x 4 )=.(1,-2,3,-1)+.(4,-2,0,1) se deducen las ecuaciones paramétricas del subespacio vectorial de, R 4, que generan x 1 = +4 x 2 = -2-2 x 3 = 3 x 4 = -+ eliminando los parámetros,, y,, entre las cuatros ecuaciones se llega a la ecuación del subespacio vectorial generado por el sistema de vectores de las dos primeras ecuaciones por el método de reducción se deduce el valor de los parámetros,, y, x 1 = +4 x 2 = -2-2 x 1 = +4 x 2 = x 1 = 2+8 x 2 = x 1 +x 2 = 6 = 2x1 x2 6 x 1 = +4 2x 2 = -4-4 x 1 +2x 2 = -3 = x 1 2 x 2 x 1 2 x espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 623
8 sustituyendo estos resultados en las dos últimas ecuaciones del sistema de ecuaciones anterior se tiene x 3 = 3= 3. x1 2x2 = -x 1-2x 2 3 x 4 = -+= - x 2x x x = 2x 4x 2x x 4x 5x eliminando denominadores y pasando todos los términos al primer miembro en cada una de estas dos ecuaciones se tiene x 1 +2x 2 +x 3 = 0-4x 1-5x2+6x 4 = 0 el par de ecuaciones obtenido determinan las ecuaciones del subespacio vectorial de, R 4, que generan el sistema de vectores dado. Teorema Sea S= (v 1,...,v n ) sistema de vectores del espacio vectorial, E La variedad lineal, (S), generada por un sistema de vectores, S, es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E. Para demostrar que el conjunto variedad lineal, (S), es un subespacio vectorial del espacio vectorial, E, hay que probar que: La suma de dos elementos del conjunto variedad lineal, (S), es otro elemento del mismo. u,v(s) u= i.v i v i S v= i.v i v i S se deduce u + v= i.v i + i.v i = ( i + i ).v i S El producto de un elemento de este conjunto variedad lineal, (S), por un escalar del cuerpo conmutativo K, es otro elemento del conjunto variedad lineal. u(s), K u= i.v i v i S se deduce.u=. i.v i = i.v i = (. i ).v i S Se deducen las propiedades: espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 624
9 No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), añadiendo a este sistema de vectores nuevos vectores combinación lineal de los primeros. No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), si se altera el orden de los vectores del sistema de vectores. No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), si se sustituye uno de de los vectores del sistema por su producto por un escalar. No cambia el subespacio vectorial generado por un sistema de vectores, (S), si a uno de los vectores del sistema se le suma el producto de otro vector cualquiera del sistema de vectores multiplicado por un escalar. Se dice que los vectores, v i, de un sistema de vectores, (S), son linealmente dependientes si cualquier combinación lineal de los mismos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial en el que se ha definido la ley de composición binaria interna, +, alguno de los escalares, i, del cuerpo, K, son no nulos. 0= 1.v n.v n = i.v i i 0, K El sistema de vectores, (S), se dice ligado. Se deduce: Si un sistema de vectores, (S), contiene un vector combinación lineal de los demás, es ligado. Sea w vector combinación lineal de los vectores del sistema, (S) w= 1.v n.v n pasando el vector, w, al segundo miembro de la expresión anterior se deduce 1.v n.v n - w= 0 se obtiene una combinación lineal de los vectores del nuevo sistema de vectores que da el vector nulo, en la que no todos los escalares son cero. Si un sistema de vectores, (S), contiene al vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, es ligado. Si a un sistema de vectores ligado, (S), se le añaden nuevos vectores, el sistema así obtenido también es ligado. La dependencia lineal de un sistema de vectores, (S), no depende del orden que los vectores ocupen dentro del sistema de vectores. Se dice que un sistema de vectores, (S), son linealmente independientes si toda combinación lineal de los mismos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que se ha definida la ley de composición binaria interna, +, implica que todos los escalares, i, del cuerpo, K, utilizados en ella son nulos. espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 625
10 0= 1.v n.v n = i.v i i = 0, K El sistema de vectores, (S), se dice libre. Se deduce: Todo vector no nulo, u, del espacio vectorial, E, es por si solo un sistema libre. u 0.u= 0 = 0 Un sistema de vectores libre, (S), no puede contener al vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el está definida la ley de composición binaria interna, +. Todo subconjunto, S, de un sistema de vectores libre, (S), S (S), es también un sistema de vectores libre. En el subespacio vectorial del espacio vectorial, E, generado por un sistema de vectores, (S), linealmente independientes, todo vector, w, del mismo se obtiene de forma única como como combinación lineal de los vectores del sistema de vectores, los cuales se dicen que son un sistema de generadores. Sea w vector del subespacio vectorial del espacio vectorial, E, generado por el conjunto de vectores, (S) w= i.v i si esta combinación lineal no fuese única se podría escribir w= i.v i = i.v i por lo que se tiene i.v i = i.v i pasando todos los términos de esta expresión a un único miembro 0= i.v i - i.v i = ( i - i ).v i se obtiene una combinación lineal de los vectores del sistema,(s), que da el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +. Como los vectores del sistema, (S), son linealmente independientes, se deduce que los escalares del cuerpo, K, utilizados en la combinación lineal han de ser todos nulos i - i = 0 de donde i = i la expresión del vector, w, es única espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 626
11 Si el sistema de vectores, S= (v 1,...,v n ), del espacio vectorial, E, es libre, y el sistema de vectores, S =(v 1,...,v n,w), del espacio vectorial, E, es ligado el vector, ws, es combinación lineal de los vectores del sistema libre. Dado que el sistema de vectores S= (v 1,...,v n ), es libre, cualquier combinación lineal de ellos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, obliga a que todos los escalares del cuerpo, K, utilizados en la misma sean nulos 0= 1.v n.v n i = 0, K ya que el sistema de vectores, S = (v 1,...,v n,w), es ligado, cualquier combinación lineal de ellos que de el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, en el que está definida la ley de composición binaria interna, +, obliga a que alguno de los escalares del cuerpo, K, utilizados en la misma sea no nulo 0= 1.v n.v n +.w i 0, K en esta expresión se ha de verificar que 0 puesto que de no cumplirse, quedaría simplificada la expresión anterior a 0= 1.v n.v n a una combinación lineal de los vectores del sistema ligado que da el vector nulo, 0, del espacio vectorial, E, lo que obliga a que alguno de los escalares del cuerpo, K, utilizados sea no nulo. Esto implicaría que este sistema de vectores, coincidente con el sistema de vectores libre, no fuese un sistema de vectores libre. Se tiene -.w= 1.v n.v n dividiendo por, w= 1.v n.v n se obtiene así el vector, ws, como combinación lineal de los vectores del sistema libre. Se deduce que el segundo sistema de vectores es ligado. Teorema fundamental de la independencia de vectores Sea S= (v 1,...,v n ) sistema de vectores del espacio vectorial, E, que generan el subespacio vectorial, E 1, del espacio vectorial, E S'= (v 1,...,v p ) sistema de vectores libre del subespacio vectorial, E 1 Todo sistema de vectores libre, S, del subespacio vectorial, E 1, contiene un número de vectores menor o igual al número de vectores que contiene el sistema de vectores, S, que genera el subespacio vectorial, E 1. p n espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 627
12 Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores, (1,2,-1,3), (-2,3,4,-1), (3,2,-1,0), y, (- 1,2,0,1), del espacio vectorial, R 4. se escriben las componentes de los vectores en filas u1 u2 u3 u u 1 ' u2 u2 u1 ' u3 u3 u1 ' u4 u4 u u u ' u " u u 4. u u "' " '' u u 4. u u 23. u 24. u ' u12 " ' ' " ' ' los vectores son linealmente independientes al ser el último vector transformado distinto del vector nulo, (0,0,0,0), del espacio vectorial, R 4. Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores, (2,-5,3,10), (1,-1,1,3), y, (3,3,1,1), del espacio vectorial, R 3. Se escriben las componentes de los vectores en filas u u u u u 1 = u 1-2u u u u 3 = u 3-3u u 3 = u 3 +2u los vectores son linealmente dependientes al ser el último vector el vector nulo, (0,0,0,0), del espacio vectorial, R 4. la relación de dependencia de estos vectores viene dado por u 3 = u u 1 = 0 u 3-3u (u 1-2u 2 )= 0 2.u 1 7.u 2 + u 3 = 0 Se llama base de un espacio vectorial, E, a todo sistema de vectores, (S), pertenecientes al espacio vectorial, E, que cumple las condiciones: (S), es un sistema de vectores libre. (S), es un sistema de generadores del espacio vectorial, E. Teorema Todo espacio vectorial, E, admite por lo menos una base. Teorema Si el sistema de vectores, B= (v 1,...,v n ), del espacio vectorial, E, es una base del espacio vectorial, E, todo vector del espacio vectorial, E, se expresa de modo único como combinación lineal de los vectores de esta base. we, w= 1.v n.v n Los escalares, i, utilizados en esta combinación lineal escritos en la forma, ( 1, 2,..., n ), se denominan coordenadas del vector, w, en esta base, B. espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 628
13 Se dice que un espacio vectorial, E, es de dimensión finita si posee un número finito de generadores, es decir, cualquier base, B, del espacio vectorial, E, está constituida por un número finito de vectores del espacio vectorial, E. Teorema En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, todas las bases,b, son finitas y poseen el mismo número de vectores del espacio vectorial, E.. Se llama dimensión de un espacio vectorial, E, al número de vectores del espacio vectorial, E, que contiene una cualquiera de sus bases, B. Se deduce: En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo sistema de vectores libre constituido por, n vectores, es una base del mismo. En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo sistema de vectores constituido por, n+1 vectores, es ligado. Se llama rango de un sistema de vectores, (S), del espacio vectorial, E, al número de vectores linealmente independientes que contiene. El rango de un sistema de vectores, (S), coincide con la dimensión del subespacio vectorial del espacio vectorial, E, generado por ellos. Teorema En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo subespacio vectorial del mismo admite por lo menos un subespacio vectorial suplementario. Teorema En un espacio vectorial, E, de dimensión finita, n, todo sistema de vectores libre, (S), que contenga, p vectores, del espacio vectorial, E, puede completarse con, n-p vectores, linealmente independientes del espacio vectorial, E, para formar todos ellos una base del espacio vectorial, E. Teorema Sea E E 1 espacio vectorial de dimensión finita, n subespacio vectorial del espacio vectorial, E, de dimensión finita, n' E 2 subespacio vectorial del espacio vectorial, E, de dimensión finita, n" Si las dimensiones del subespacio vectorial intersección, E 1 E 2, y del subespacio vectorial suma, E 1 +E 2, son respectivamente dim E 1 E 2 = i dim E 1 +E 2 = s se verifica dime 1 + dime 2 = dime 1 E 2 + dime 1 +E 2 n + n" = i + s espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 629
14 Teorema Sea E E 1 espacio vectorial de dimensión finita, n subespacio vectorial del espacio vectorial, E, de dimensión finita, n' r número de ecuaciones que definen al subespacio vectorial, E 1 se verifica dim E= dim E 1 + Nº ec. sub.esp. E 1 n = n' + r Hallar el rango del sistema de vectores, (2,-5,3,10), (1,-1,1,3), y, (3,3,1,1), del espacio vectorial, R 3. Se escriben las componentes de los vectores en filas rango= espacios vectoriales Departamento Matemáticas CPR Jorge Juan Xuvia 630
Tema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detalles( 1 0 BLOQUE DE GEOMETRÍA TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES. ( 5+ 3i )+ ( 2 i )=7+ 2i. La suma de dos números complejos es un número complejo.
BLOQUE DE GEOMETRÍA TEMA 4: ESPACIOS VECTORIALES. Operaciones Binarias: Observamos las siguientes operaciones: ( 5+ 3i )+ ( 2 i )=7+ 2i. La suma de dos números complejos es un número complejo. ( 1 0 2
Más detalles1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales
Álgebra lineal y Geometría I Gloria Serrano Sotelo Departamento de MATEMÁTICAS Sea k un cuerpo. 1. Espacio vectorial. Subespacios vectoriales Definición 1.1. Un k-espacio vectorial o espacio vectorial
Más detallesTema 2: Espacios Vectoriales
Tema 2: Espacios Vectoriales José M. Salazar Octubre de 2016 Tema 2: Espacios Vectoriales Lección 2. Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales. Bases. Lección 3. Coordenadas respecto de una base. Ecuaciones.
Más detallesun conjunto cuyos elementos denominaremos vectores y denotaremos por es un espacio vectorial si verifica las siguientes propiedades:
CAPÍTULO 2: ESPACIOS VECTORIALES 2.1- Definición y propiedades. 2.1.1-Definición: espacio vectorial. Sea un cuerpo conmutativo a cuyos elementos denominaremos escalares o números. No es necesario preocuparse
Más detallesEspacios Vectoriales. Matemáticas. Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES
Espacios Vectoriales Matemáticas Espacios Vectoriales CARACTERIZACION COMBINACIONES LINEALES REDUCCION DE GAUSS SISTEMA GENERADOR, BASES 5 ESPACIO VECTORIAL Dados: (E,+) Grupo Abeliano (K,+, ) Cuerpo :
Más detallesCAPÍTULO 4 ESPACIOS VECTORIALES
CAPÍTULO 4 ESPACIOS VECTORIALES 4.1.- Concepto y definición de espacio vectorial. 4.2.- Propiedades de los espacios vectoriales. 4.3.- Subespacios vectoriales. 4.4.- Combinación lineal de vectores. 4.5.-
Más detallesESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS 7. ESPACIOS VECTORIALES 7.1 Estructura de Espacio Vectorial. Sea
Más detalles6 Vectores. Dependencia e independencia lineal.
6 Vectores. Dependencia e independencia lineal. Introducción Hay fenómenos reales que se pueden representar adecuadamente mediante un número con su adecuada unidad de medida. Sin embargo para representar
Más detalles2 Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesBENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN
1 BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN BANCO DE PREGUNTAS CURSO: ALGEBRA LINEAL LICENCIATURA EN CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN MC Fco. Javier Robles Mendoza Otoño
Más detallesCONJUNTOS. Los conjuntos son conceptos primitivos que representan una totalidad, una reunión de cosas.
CONJUNTOS CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Los conjuntos son conceptos primitivos que representan una totalidad, una reunión de cosas. Un conjunto está formado por una serie de elementos susceptibles de poseer
Más detallesEjercicio 3.1 Estudiar si son subespacios vectoriales los siguientes subconjuntos de los espacios R n indicados:
10 Departamento de Álgebra. Universidad de Sevilla Tema 3. Sección 1. Variedades lineales. Definición. Ejercicio 3.1 Estudiar si son subespacios vectoriales los siguientes subconjuntos de los espacios
Más detallesCONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero
Fundamento Científico del Currículum de Matemáticas en Enseñanza Secundaria CONCEPTOS BÁSICOS DE ESPACIOS VECTORIALES Alumno. Cristina Mª Méndez Suero ESPACIOS VECTORIALES DEFINICIÓN... 1 PROPIEDADES DE
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesMatrices. Álgebra de matrices.
Matrices. Álgebra de matrices. 1. Definiciones generales Definición 1.1 Si m y n son dos números naturales, se llama matriz de números reales de orden m n a una aplicación A : {1, 2, 3,..., m} {1, 2, 3,...,
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES MATRICES. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Matrices ) Dada la matriz M=, prueba que n n M M, n. ) Demuestra la siguiente implicación: Si I A I AA A
Más detallesSi u y v son vectores cualquiera en W, entonces u + v esta en W. Si c es cualquier numero real y u es cualquier vector en W, entonces cu esta en W.
Unidad 4 Espacios vectoriales reales 4.1 Subespacios Si V es un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Entonces W es un subespacio de V si se cumplen las siguientes condiciones Si u y v son
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesEspacios vectoriales
Espacios vectoriales [Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. Algebra Lineal 1 En el estudio de las matrices y, en particular, de los sistemas de ecuaciones lineales realizamos sumas y multiplicación
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
1. Introducción: 1.1 Grupo Abeliano 1. Cuerpo. Estructura de espacio vectorial 3. Propiedades 4. Subespacio vectorial 5. Combinación lineal de vectores 5.1 Propiedades 6. Dependencia e independencia lineal
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
MATEMÁTICA I - - Capítulo 8 ------------------------------------------------------------------------------------ ESPACIOS VECTORIALES.. Espacios Vectoriales y Subespacios... Definición. Un espacio vectorial
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto
Más detallesEspacios vectoriales.
Unidad docente de Matemáticas Matemáticas (CC. Químicas) Espacios vectoriales. Si detectas cualquier error o errata por favor, comunicaselo al profesor de la asignatura. El subíndice can significa canónica/o..
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesApuntes. Vâxáà ÉÇxá ÜxáâxÄàtá xáñtv Éá äxvàéü täxá. Universidad
Vâxáà ÉÇxá ÜxáâxÄàtá xáñtv Éá äxvàéü täxá Universidad CUESTIONES RESUELTAS 1. Demostrar, a partir de la definición de Espacio Vectorial, las siguientes consecuencias de la misma: ( Nota: Para mayor agilidad
Más detallesVECTORES. A cada clase de vectores equipolentes se denomina vector libre.!
VECTORES Vectores libres del plano Definiciones Sean A y B dos puntos del plano de la geometría elemental. Se llama vector AB al par ordenado A, B. El punto A se denomina origen y al punto B extremo. (
Más detallesResumen 2: Espacios vectoriales
Resumen 2: Espacios vectoriales 1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial V sobre K, un cuerpo, está formado por elementos denominados vectores, los cuales pueden sumarse internamente y también multiplicarse
Más detallesÍNDICE. Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES Conceptos Teóricos Ejercicios y Problemas resueltos... 13
00_Principios 10/8/10 09:47 Página 7 ÍNDICE Prólogo... 9 Capítulo 1. ESPACIOS VECTORIALES... 11 Conceptos Teóricos... 11 Ejercicios y Problemas resueltos... 13 Capítulo 2. MATRICES Y DETERMINANTES... 21
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detallesLEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS
LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y ELEMENTOS DISTINGUIDOS Sea una estructura formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley interna, comúnmente denotada por " * ", que
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesEJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1 ESPACIOS VECTORIALES
EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA ESPACIOS VECTORIALES Formas reducidas y escalonada de una matriz SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ) Encuentre una sucesión de matrices elementales E, E,..., E k tal que
Más detallesTEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO
TEMA 11. VECTORES EN EL ESPACIO Dados dos puntos y, se define el vector como el segmento orientado caracterizado por su módulo, su dirección y su sentido. Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detalles1. Espacios Vectoriales Reales.
. Espacios Vectoriales Reales. El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de todos los sistemas algebráicos donde tiene sentido las combinaciones lineales y sus consecuencias.
Más detallesPLANO AFÍN Ecuaciones de la recta
PLNO FÍN Ecuaciones de la recta CPR. JORGE JUN Xuvia-Narón Si sobre un plano está definida un sistema de referencia definido por una base canónica, cualquier punto de dicho plano se puede unir con el origen,
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre K es una conjunto V que cumple: 1) Existe una regla que asocia a dos elementos u, v V su suma que se denota por u + v, que es también elemento de V y que
Más detallesEs trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc.
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por
Más detallesTemas 4 y 5: El espacio afín. Variedades lineales. Paralelismo.
ALGEBRA II: Temas 4-5 DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Temas 4 y 5: El espacio afín Variedades lineales Paralelismo 1 Introducción La Geometría afín sobre R tiene como objetos básicos los siguientes: un conjunto
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Capítulo 4 Espacios vectoriales reales. 4.1 Espacios vectoriales. Definición 86.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe
Más detallescomo el número real que resulta del producto matricial y se nota por:
Espacio euclídeo 2 2. ESPACIO EUCLÍDEO 2.. PRODUCTO ESCALAR En el espacio vectorial se define el producto escalar de dos vectores y como el número real que resulta del producto matricial y se nota por:,
Más detallesEspacios Vectoriales. Tema Introducción. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas
Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas se han escrito con el ánimo de facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y no como un libro de texto o manual de Álgebra
Más detallesTEMA 7: MATRICES. OPERACIONES.
TEMA 7: MATRICES. OPERACIONES. 1. MATRICES. TIPOS DE MATRICES. Se llama matriz de orden m x n (m filas y n columnas) a un conjunto de m n elementos, distribuidos en m filas y n columnas y encerrados entre
Más detallesEspacios vectoriales reales
144 Matemáticas 1 : Álgebra Lineal Capítulo 9 Espacios vectoriales reales 9.1 Espacios vectoriales Los conjuntos de vectores del plano, R, y del espacio, R 3, son conocidos y estamos acostumbrados a movernos
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS ÁLGEBRA LINEAL Tema 2. Espacios Vectoriales
SUBTEMA: ESPACIOS VECTORIALES Problema 1: Sea V = {a} el conjunto con el único elemento a. Determinar si V es un Espacio Vectorial sobre los reales con las operaciones de adición y multiplicación por un
Más detallesESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES. ESPACIO VECTORIAL REAL Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar
Más detallesGEOMETRÍA AFÍN Y PROYECTIVA Espacios Vectoriales.
Sonia L. Rueda ETS Arquitectura. UPM Año 2016-2017. 1 GEOMETRÍA AFÍN Y PROYECTIVA Espacios Vectoriales. 1. Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son subespacios vectoriales de R 4. A = {(x,
Más detallesClase de Álgebra Lineal
Clase de Álgebra Lineal M.Sc. Carlos Mario De Oro Facultad de Ciencias Básicas Departamento de matemáticas 04.2017 Page 1 Espacios vectoriales Definicion. Espacio Vectorial (E.V.) Un V espacio vectorial
Más detallesSOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales.
SOLUCIONES A LA AUTOEVALUACIÓN - Espacios Vectoriales. A) Soluciones a las Cuestiones C-1) a) Sí, por ejemplo el eje X, formado por los vectores de la forma (λ, 0), que se identificarían con el número
Más detallesIntroducción a los espacios vectoriales
1 / 64 Introducción a los espacios vectoriales Pablo Olaso Redondo Informática Universidad Francisco de Vitoria November 19, 2015 2 / 64 Espacios vectoriales 1 Las 10 propiedades de un espacio vectorial
Más detallesSea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares).
Capítulo 6 Espacios Vectoriales 6.1 Definiciones Sea V un conjunto no vacío (cuyos elementos se llamarán vectores) y sea K un cuerpo (cuyos elementos se llamarán escalares). Definición 6.1.1 Se dice que
Más detallesEL ESPACIO AFÍN. se distinguen, además de su origen A y su extremo B, las siguientes
VECTOR FIJO Y VECTOR LIBRE. Sea E el espacio ordinario. EL ESPACIO AFÍN Llamaremos vector fijo a cualquier segmento orientado dado por dos puntos A y B del espacio E. Al punto A lo llamamos origen del
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso
PROBLEMAS RESUELTOS del espacio vectorial curso - - Consideremos el conjunto R formado por todas las parejas () de números reales Se define en R la operación interna ()( )( ) una de las operaciones eternas
Más detalles1. Lección 1 - Espacio Vectorial
1. Lección 1 - Espacio Vectorial Definiremos espacio vectorial como la estructura algebraica consistente en: 1. Grupo abeliano {V, +, } cuyos elementos se denominan vectores. Para que los elementos de
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 2017Asturias: Red de 1 Universidades Virtuales Iberoamericanas Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Luisa Martín Horcajo U.P.M. Definición: Vector libre. Operaciones Un vector fijo es una segmento orientado, que queda caracterizado por su origen A y su extremo B y se representa por
Más detallesTema 2: Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 Tema 2: Espacios vectoriales Ejercicios 1. En R 2 se definen las siguientes operaciones: (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 +
Más detallesCapítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos
Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesEstructura vectorial de R n
Estructura vectorial de R n (R n, +, ) con las operaciones vectoriales de suma de vectores + y producto por escalares es un espacio vectorial ya que verifica: (R n, +) es un grupo abeliano. Para todos
Más detallesDefinición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas.
1.- CONCEPTO DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES Definición de matriz Una matriz A es un conjunto de números dispuestos en filas y en columnas. 1 3 4 Por ejemplo, A = es una matriz de 2 filas y 3 columnas 0 5
Más detallesMATRICES. Matriz de los coeficientes. Matriz de las incógnitas. Matriz de los términos independientes. Matriz ampliada. Información general
MTRICES Sistema de ecuaciones lineales 2x+ 3y z= 5 5x 2y+ 2z= 10 x y+ 3z= 8 Expresión matricial 2 3 1 x 5 5 2 2 y = 10 1 1 3 z 8 2 3 1 5 2 2 1 1 3 Matriz de los coeficientes 3 filas 3 columnas matriz 3
Más detalles{ } { 1, 0, 0, 0, 0,1,1,1,(1,1,1,1)} ( ) ( ) ( )
.- Se considera R con la suma habitual con el producto por un escalar que se indica en los casos siguientes. Prueba que en ninguno de ellos, (R,+, ) es espacio vectorial señalando alguna propiedad del
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesAlgebra Lineal y Geometría.
Algebra Lineal y Geometría. Unidad n 4: Dimensión de un Espacio Esp. Liliana Eva Mata Contenidos. Combinación lineal de vectores. Dependencia e Independencia Lineal. Sistema de Generadores. Base de un
Más detallesÁlgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12. Espacios vectoriales. Bases...
Álgebra Lineal Grupo A Curso 2011/12 Espacios vectoriales. Bases 61) Dados los vectores v 1,v 2,...,v n linealmente independientes, probar que también lo son los vectores u 1 = v 1 u 2 = v 1 + v 2... u
Más detalles1. Hallar el rango de cada una de las siguientes matrices
Tarea 5 Hallar el rango de cada una de las siguientes matrices 5 5 a) = 7 6 5 5 b) = 5 8 Solución: a) rang ( ) = b) rang ( ) = Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente
Más detalles12/05/14. Espacios Vectoriales CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES 4.3 CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES
/5/.3 Espacios Vectoriales CONJUNTOS LINEALMENTE INDEPENDIENTES; BASES Se dice que un conjunto indexado de vectores {v,, v p } en V es linealmente independiente si la ecuación vectorial cv + c v +... +
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detalles58 7. ESPACIOS COCIENTE
CAPíULO 7 Espacios cociente En esta sección estudiamos el cociente de un espacio vectorial por un subespacio W. Este cociente se define como el conjunto cociente de por una relación de equivalencia conveniente.
Más detallesTema 1: ESPACIOS VECTORIALES
Tema 1: ESPACIOS VECTORIALES Prof. Rafael López Camino Departamento de Geometría y Topología Universidad de Granada Material docente para el alumno Asignatura: Geometría I. Curso 2003/04 Licenciatura:
Más detallesUnidad 5: Geometría analítica del plano.
Geometría analítica del plano 1 Unidad 5: Geometría analítica del plano. 1.- Vectores. Operaciones con vectores. Un vector fijo es un segmento entre dos puntos, A y B del plano, al que se le da una orientación
Más detallesTema 4: Estructura vectorial de R n.
TEORÍA DE ÁLGEBRA I: Tema 4. DIPLOMATURA DE ESTADÍSTICA 1 Tema 4: Estructura vectorial de R n. 1 Definiciones y propiedades Definición. 1.1 Denotaremos por R n al conjunto de todas las n-tuplas de números
Más detallesTema III. Espacios vectoriales
Tema III. Espacios vectoriales 1. Espacios vectoriales 2. Dependencia e independencia lineal 3. Sistemas generadores. Bases 4. Cambio de base 5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones. 6. Interpretación geométrica
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios y subespacios vectoriales Espacios Vectoriales 1. Demuestre que con la suma y multiplicación habituales es un espacio vectorial real.. Considere el conjunto C de los números complejos con la suma
Más detallesTEMA V. Espacios vectoriales
TEMA V. Espacios vectoriales 1 1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales: a El conjunto (R 2, +,, R. b El conjunto (R 3,
Más detallesen el espacio queda caracterizado por un par de puntos A y B, o bien por su módulo, dirección y sentido junto con el origen, siendo:
TEMA 10: VECTORES EN EL ESPACIO. 10.1 Vectores fijos y libres en el espacio vectorial. 10. Operaciones con vectores libres. Bases del espacio vectorial. 10.3 Producto escalar. Módulo y ángulo de vectores.
Más detallesEXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios
EXPRESIÓN ALGEBRAICA Monomios, Polinomios CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón Se denomina expresión algebraica a toda combinación de números reales y letras ligadas por las operaciones aritméticas de, adición,
Más detallesEjercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero
Ejercicios resueltos de Álgebra, hoja 2. Beatriz Graña Otero 11 de Diciembre de 2008 2 B.G.O. 104.- Determina si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial correspondiente son subvariedades afines:
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales Natalia Boal Francisco José Gaspar María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza 1 En IR 2 se definen las siguientes operaciones + : x, y + x, y = x + x, y + y, IR
Más detallesCAPÍTULO 1. Espacios Vectoriales. Sumario
CAPÍTULO 1 Espacios Vectoriales Sumario 1.1. Introducción 1.2. La estructura de espacio vectorial 1.3. Dependencia e independencia lineal 1.4. Subespacios vectoriales o variedades lineales 1.5. Base y
Más detallesEspacios Vectoriales
Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido
Más detallesDepartamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile
Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 08-2 SEMANA 7: ESPACIOS VECTORIALES 3.5. Generadores de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial
Más detallesEspacios vectoriales (Curso )
ÁLGEBRA Práctica 5 Espacios vectoriales (Curso 2008 2009) 1. En el espacio vectorial real IR 2 consideramos los siguientes subconjuntos: (a) A = {(x y) IR 2 x 2 + y 2 = 1}. (b) B = {(x y) IR 2 x = 3y}.
Más detallesCuestiones de Álgebra Lineal
Cuestiones de Álgebra Lineal Algunas de las cuestiones que aparecen en esta relación están pensadas para ser introducidas en un plataforma interactiva de aprendizaje de modo que los parámetros a, b que
Más detalles2.9 Ejercicios resueltos
86 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. 2.9 Ejercicios resueltos Ejercicio 2. Sea A = ( ) 2. Se pide: 3 m a) Encontrar m para que existan matrices cuadradas B ynonulastalesque A B =0.
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO.
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO. Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas
Más detalles5. Aplicaciones lineales
5. Aplicaciones lineales Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Otoño 2010 Contents 5 Aplicaciones lineales 7 5.1 Definición y propiedades..............................
Más detallesEjercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales.
Trabajo Práctico N 5: ESPACIOS VECTORIALES Ejercicio 1: Proponga al menos 3 conjuntos y las operaciones adecuadas de modo que sean espacios vectoriales. Ejercicio 2: Determine si los siguientes conjuntos
Más detallesESPACIOS VECTORIALES
ESPACIOS VECTORIALES Espacio ectorial real. Es un conjunto V no acío cuyos elementos reciben el nombre de ectores dotado de dos operaciones: ª.- Una interna llamada suma que cumple las siguientes propiedades:
Más detallesÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA
ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA Laureano González Vega y Cecilia Valero Revenga Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación Universidad de Cantabria Curso 2017 2018 Índice I Lecciones 1 1 Espacios
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesOperaciones con matrices
Operaciones con matrices Tareas adicionales Los problemas auxiliares de estas tareas adicionales no son muy difíciles y corresponden al nivel obligatorio de conocimientos. Los problemas principales de
Más detallesÁlgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales
Álgebra y Álgebra II - Segundo Cuatrimestre 2017 Práctico 4 - Espacios Vectoriales (1) Sea n N. Mostrar que el conjunto de polinomios sobre R de grado menor que n es un subespacio vectorial de R[x]. Este
Más detalles