JUNIO DE PROBLEMA A1.

Transcripción

1 JUNIO DE 7. PROBLEMA A. Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a y resuélvelo en los casos en que es compatible: x- az - x+()y+ (-a)z x+()y+(a +)za+ (3 PUNTOS) Aplicamos el método de Gauss: -a - -a a + a+ ~ -a - a +a+ ~ -a - a +a- a+ 3 a +a- a-3 -± +8 a -±3 a, a- Estudiamos los distintos casos: º) Si a-3, el sistema es incompatible : ~ º) Si a-, el sistema es compatible indeterminado y la solución depende de un parámetro: - x+z- x--α y+z y-α zα 3º) Si a, el sistema es incompatible: º) Si a -3, a - y a, el sistema es compatible determinado: x-az- a+ ()y+z (a-)(a+)za+ 5 z (a-)(a+) a- z a- ()y-z- a- a-- a- a-5 a- y a-5 a +a-3 a x-+az-+ a- -a++a a- a- x a- ªf-ªf; 3ªf-ªf. 3ªf-ªf. 3 Como no se puede dividir por cero, tenemos que calcular los valores del parámetro que anulan los coeficientes de las incógnitas que tenemos que despejar. Observa que hay que seguir aplicando Gauss hasta obtener un sistema escalonado. 5 Como ya se han estudiado los casos en los que se anulan los coeficientes de las incógnitas que vamos a despejar ahora, podemos hacer esto tranquilamente. --

2 JUNIO DE 7. PROBLEMA A. Halla la ecuación continua de la recta formada por todos los puntos que equidistan de P(,-,), Q(-,3,) y R(3,,-). ( PUNTOS) PRIMER MÉTODO: P(,-,) N M R(3,,-) Q(-,3,) Si X(x,y,z) es uno de esos puntos, d(x,p)d(x,q)d(x,r). Por tanto: d(x,p)d(x,q) d(x,p)d(x,r) (x-) +(y+) +z (x+) +(y-3) +(z-) (x-) +(y+) +z (x-3) +(y-) +(z+) -x++y+x+-6y+9-z+ -x++y+-6x+9-y++z+ x-8y-z+ x+y-z- x-y-z-3 x+y-z ~ ~ x-y-z-3 y x+α y zα x- y- z SEGUNDO MÉTODO: Los puntos que equidistan de P y Q son los puntos del plano mediador del segmento PQ. Como el punto medio de ese segmento es M(,,) y [PQ ](-,,)-(,-,-), dicho plano tiene por ecuación: x-y-z+d --+D D3 x-y-z+3 Los puntos que equidistan de P y R son los puntos del plano mediador del segmento PR. Como su punto medio es N(,,-) y el vector [PR ](,,-)(,,-), dicho plano tiene por ecuación: x+y-z+d ++D D-3 x+y-z-3 Por tanto, la recta buscada es la intersección de ambos planos 3 : x-y-z-3 x+y-z ~ x-y-z-3 y - 3 x+α y zα ~ - x- y- z - -3 ªf-ªf. ªf /3. 3 Aunque aparentemente este método es distinto del anterior, en realidad coinciden. --

3 JUNIO DE 7. PROBLEMA B. Calcula el valor de t para que el determinante de la matriz A valga : t- t- t t- t t+ ( PUNTOS) Calculamos el determinante de la matriz A: t- t- t- t t Resolvemos la ecuación: t- t- t+ t- t- t+ t- t- 3 (t-) 3 (t-) 3 t- t ªf-ªf; 3ªf-ªf. 3ªf-ªf. 3 El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal. -3-

4 JUNIO DE 7. PROBLEMA B. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(,,) y corta a las rectas: PRIMER MÉTODO: x+3 r - y- z-5 y r x+y+z- 3x+y-z+8 La recta XY es la intersección de los planos π y π': (3 PUNTOS) X x+3 r - y- z-5 Q(-3,,5) u(-,,) u Q P(,,) Y π π' R v r x+y+z 3x+y-z-8 Como P r, ya que no satisface su ecuación, P y r determinan un plano: el plano π. Como [PQ ](-,,5): x- π - - y- z -(x-)-3(y-)-z x+3y+z-5 5 Como P r, ya que no satisface sus ecuaciones, P y r determinan un plano: el plano π'. Ahora bien, todos los planos que contienen a la recta r, y π' es uno de ellos, tienen por ecuación : π' α(x+y+z-)+β(3x+y-z+8) Y como el punto P está en el plano π', satisface su ecuación: β β π α(x+y+z-) π' x+y+z- Por tanto, las ecuaciones generales de la recta XY son: x+y+z x+3y+z5 3 5 ~ 3 - x+y+z y-z x- XY - y- z x-α y+α zα Un problema de esta naturaleza no siempre tiene solución. La desventaja de este primer método es que se obtiene solución incluso cuando no la hay. Pero como en Selectividad es improbable que pongan un problema sin solución, puede utilizarse tranquilamente. También se puede resolver el problema calculando la ecuación del plano π y hallando su intersección con la recta r. Conocido Y, la recta PY queda determinada. Otra forma de obtener el plano π' es encontrando primero las ecuaciones paramétricas de la recta r, con lo que tendríamos un punto y un vector direccional de dicha recta. Con esos datos y el punto P se calcularía la ecuación de π'. 3 ªf- ªf. --

5 SEGUNDO MÉTODO: X x+3 r - y- z-5 x-3-α y z5+α P(,,) Y r x+y+z 3x+y-z-8 Calculamos primero las ecuaciones paramétricas de la recta r : x+y+z 3x+y-z ~ ~ 7 x+y+z x-5+β y+z7 y7-β zβ Por estar el punto X en la recta r : X(-3-α,,5+α). Por estar el punto Y en r : Y(-5+β,7-β,β). Como los vectores [PX ](--α,,5+α) y [PY ](-6+β,6-β,β) son colineales, 3 sus coordenadas son proporcionales: --α -6+β 6-β 5+α β αβ-6α+7β8-3β-6 -+8β-6α+αβ-6+β β3+α-β-αβ -β-αβ-3-α+5β+αβ α-6α+8 β αβ-6α+7β8 αβ-α+β3 3αβ-α+9β3 -α β α- β Estos valores satisfacen la tercera ecuación: Lo que significa que el problema tiene solución. Como [PY ] es vector direccional de la recta buscada: β [PY x- ](-,,) XY - y- z ªf-3 ªf. ªf (-/). 3 Linealmente dependientes. Resuelvo el sistema formado por las dos primeras ecuaciones. Para ello, resto a la segunda dos veces la primera. -5-

6 JUNIO DE 7. PROBLEMA C. Halla la integral indefinida: dx x +x-6 ( PUNTOS) Como se trata de una integral racional (cociente de polinomios), calculamos las raíces del denominador: Por tanto: x +x-6 x x +x-6 (x-) (x+3) A (x+3)+b (x-) En consecuencia: -± + -±5 x x-3 A x- + B x+3 A (x+3)+b (x-) (x-) (x+3) Si x 5 A A/5 Si x-3-5 B B-/5 dx x +x-6 /5 x- dx - /5 x+3 dx 5 x- dx - 5 x+3 dx 5 ln x- - 5 ln x+3 +C Comprobación : 5 ln x- - 5 ln x+3 ' 5 x- - 5 x+3 x+3-x+ 5(x-)(x+3) (x-)(x+3) x +x-6 Las dos integrales son casi inmediatas de tipo logarítmico. Si no resulta muy difícil el cálculo de las derivadas, es conveniente hacer la comprobación para cerciorarnos de que la integral está bien calculada. -6-

7 JUNIO DE 7. PROBLEMA C. π Dada la función f(x)x sen( x), demuestra que existe α (,) tal que f(α)f(α+). Menciona los resultados teóricos que utilices (Ayuda: usa una nueva función g construida adecuadamente a partir de f.) (3 Puntos) Se considera la función : π g(x)f(x)-f(x+)x sen x -(x+) sen π (x+) Como esta función satisface las condiciones del teorema de Bolzano, existe α en (,) tal que g(α). Ahora bien: En efecto: g(α) f(α)-f(α+) f(α)f(α+) ª) g() g()<: π g() sen - sen - < g() sen π-5 sen ª) g es continua en [,]: [,] Dom(g)R. Si a [,]: lím x a g(x)lím x a 5π 5 > 5 / x sen x π -(x+) sen π (x+) π a sen a -(a+) sen π (a+) g(a) O - / g α Si hay que probar que existe α tal que f(α)f(α+), es decir, tal que f(α)-f(α+), hay que considerar una función que se anule en xα. Esa función es g(x)f(x)-f(x+). -7-

8 JUNIO DE 7. PROBLEMA D. Demuestra que la función f(x)(-x ) sen x tiene un máximo relativo en el intervalo (,π/). Menciona los resultados teóricos que utilices. ( Puntos) º) Como la condición necesaria de extremo relativo es que la derivada valga cero, se considera la función: f'(x)-x sen x+(-x ) cos x º) Como la función f' satisface las condiciones del teorema de Bolzano, existe α en (,π/) tal que f'(α). En efecto: ª) f'() f'(π/)<: f'() sen + cos >. f'( π )- π sen π +(- π ) cos π -π <. ª) f' es continua en [,π/]: [,π/] Dom(f')Dom(f)R. Si a [,π/]: lím x a f'(x)lím x a [-x sen x+(-x ) cos x] -a sen a+(-a ) cos af'(a) 3º) Ahora bien, como f es continua en α, por ser derivable en dicho punto, y f' es positiva a la izquierda y negativa a la derecha de α, entonces, por el criterio de la variación del signo de la primera derivada, f tiene en dicho punto un máximo relativo. O -π α f' π/ -8-

9 JUNIO DE 7. PROBLEMA D. Calcula el área de la región del plano encerrada por las gráficas de las funciones f(x)x y g(x)6+3x-x. (3 Puntos) º) Resolvemos el sistema que forman las funciones que limitan por arriba y por abajo el recinto cuya área queremos hallar: yx y6+3x-x x6+3x-x x -x-6 x ± + ±5 x3 x- º) Averiguamos entre - y 3 qué función está por encima y qué función está por debajo: x y y 6 3º) Calculamos el área: A 3 (6+3x-x -x) dx 3 - (-x +x+6) dx - x x +6x