Aproximación e interpolación mediante polinomios

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1 LA GACETA DE LA RSME, Vol. 5.3 (2002), Págs Aproximción e interpolción medinte polinomios por Miguel Mrno y Mrt Mrcolini En este trbjo se muestr un relción entre los conceptos de interpolción y mejor proximción de un función continu medinte polinomios. Pr ello se recurre un definición de multiplicidd de un cero de un función continu. INTRODUCCIÓN L proximción y l interpolción de un función continu definid en un intervlo compcto de l rect medinte polinomios de grdo lo sumo n son dos problems clásicos en mtemátics que tienen vris plicciones en ls ciencis experimentles. Nuestro objetivo es mostrr un relción entre mbos. Un importnte ntecedente histórico es el clásico resultdo de Chebyshev [1; ver tmbién 2, Ch. 3, 4] que crcteriz l mejor polinomio de proximción, en norm uniforme, medinte un condición de lternnci. No obstnte, nuestr ide no es trbjr con un determindo criterio de mejor proximción, como el de l norm uniforme, sino en prtir sólo de un propiedd proximtiv del polinomio, que creemos éste deberí cumplir pr que se considerdo rzonblemente bueno, l menos si socimos l ide de proximción con el concepto euclídeo de distnci entre dos puntos. L propiedd es l siguiente: no debe existir ningún otro polinomio de grdo lo sumo n que esté uniformemente más cerc de l función proximd. Se prueb, en el Teorem 1, resultdo principl de este trbjo, que est propiedd es equivlente que el polinomio se interpoldor de l función, en un sentido que se precisrá después y que nos conduce dr un definición de multiplicidd de un cero de un función continu. Según nuestro conocimiento, est definición es nuev en l litertur. En l prte finl del rtículo se muestr qué criterios clásicos de mejor proximción producen correspondientes polinomios que cumplen l propiedd susodich. UNA PROPIEDAD DE APROXIMACIÓN Se f un función continu definid en un intervlo [, b], <b.pr un entero n 0, fijo pero rbitrrio, llmmos IP n l espcio linel de los polinomios de grdo lo sumo n.

2 622 APROXIMACIÓN E INTERPOLACIÓN MEDIANTE POLINOMIOS Definición 1. Se dice de un polinomio P en IP n que es un buen proximción de f sobre IP n si cd vez que Q en IP n stisfce f Q f P en [, b], result que Q = P. Ejemplo 1. Consideremos l función f(x) = x en el intervlo [, 1]. P 1/2 es el polinomio de mejor proximción de f sobre IP 1 con respecto l norm uniforme. En, 0 y 1 se produce l lternnci menciond en l Introducción. P es tmbién un buen proximción de f sobre IP 1.Perolo mismo es cierto pr cd P α, donde P α (x) =αx, α 1. Se h un función continu definid en [, b]. Ls siguientes definiciones son usules en el cálculo numérico. Un punto z [, b] sediceuncero de h si h(z) = 0. El punto z [, b] esunceroisldo de h si existe δ>0tlquez es el único cero de h en (z δ, z + δ) [, b]. Si z (, b) es un cero isldo de h, entonces existe un δ>0tlqueh tiene un signo determindo, tnto en (z δ, z) [, b] comoen(z,z +δ) [, b]. Ahor qued completmente clro lo que signific que h cmbie su signo en z (no cmbie su signo en z). Si el cero isldo z de h es, ob, entonces se entiende que h no cmbi su signo en z. Observr que ests definiciones de cmbio de signo en z [, b] sontmbién (loclmente) válids pr el cociente h 1 /h 2 si h 1 y h 2 son continus en [, b] y z es un cero isldo de mbs. Sen h 1 y h 2 continus en [, b]. Si z [, b] es un cero isldo de mbs, diremos que h 1 (x) h 2 (x) enx = z si h 2 (x)/h 1 (x) es cotd en un entorno reducido de z, es decir, en [(z δ, z + δ) \{z}] [, b] prlgún δ>0, y no cmbi su signo en z. Definición 2. Se z [, b] uncerodelfunción continu h. Siz es un cero isldo, entonces se define l multiplicidd de z como el entero ddo por { } m h (z) :=min k IN : h(x) (x z) k en x = z. Si el conjunto de enteros positivos de rrib es vcío, se define m h (z) :=+. Si z es un cero no isldo, entonces se define m h (z) :=+. Además, definimos Z h de l siguiente mner: Si h no tiene ningún cero en [, b], entonces Z h := 0; Z h := + si h tiene infinitos ceros en [, b]. Finlmente, Z h := m h (z 1 )+ + m h (z i )sih sólo tiene los ceros (isldos) z 1,,z i en [, b], con multipliciddes m h (z 1 ),,m h (z i ), respectivmente. Si h es derivble r veces en el cero z [, b], r 1 (derivble lterlmente en z = o z = b), entonces h(x) =h (z)(x z)+ + h(r) (z) (x z) r + R(x) pr todo x [, b], r!

3 LA GACETA 623 donde (x z) r R(x) 0 cundo x z. Dequí se deduce fácilmente que l definición nterior de m h (z) coincide, pr este cso y m h (z) =1, 2,,r, con l definición usul, por todos conocid. Lem. Sen h y g funciones continus en [, b], ysez [, b] un cero isldo de mbs. Entonces h(x) g(x) enx = z = m h (z) m g (z). Demostrción. L prueb es obvi si m := m g (z) =+. Luego supongmos m<+. Así(x z) m /g(x) es cotd en un entorno reducido de z, y no cmbi su signo en z. Usndo l hipótesis,sesiguequeexisteunentorno reducido de z donde ls misms condiciones son cierts pr (x z) m /h(x) = [(x z) m /g(x)][g(x)/h(x)]. Luego m h (z) m. Teorem 1. Se f un función continu definid en [, b] ysep IP n. Entonces ls siguientes firmciones son equivlentes: () Z f P n +1. (b) P es un buen proximción de f sobre IP n. Demostrción. () = (b) Supongmos que (b) no vle. Luego existe Q IP n, Q P,tl que f Q = f P (Q P ) f P en [, b]. (1) Bjo est suposición, probremos que () no vle. Sigue de (1) que Q P f Q + f P 2 f P en [, b]. (2) Se deduce de quí que los ceros de f P,siloshy,sontmbién ceros de Q P y por tnto son ceros isldos de f P.Sif P no tiene ceros, entonces () no vle. Supongmos hor que z es un cero (isldo) de f P de multiplicidd m, donde 1 m +. Se desprende de (2) y de l desiguldd en (1) que (f P )(x) (Q P )(x) enx = z. PorelLem,m f P (z) m Q P (z). Se concluye de quí quez f P Z Q P n, que es l negción de (). Esto prueb que () = (b). (b) = () Neguemos () suponiendo que Z f P =: r n. Probremos que P no es un buen proximción de f sobre IP n, que es negr (b). Si r =0, entonces (b) es flso, y que f P C f P pr lgún C IP 0 \{0}, y P + C IP n. Luego supongmos r>0ysenm 1,,m i ls multipliciddes de todos y cd uno de los ceros z 1,,z i de f P, respectivmente, donde m m i = r. ConsideremosQ IP n ddo por Q(x) =(x z 1 ) m 1...(x z i ) m i.

4 624 APROXIMACIÓN E INTERPOLACIÓN MEDIANTE POLINOMIOS Pr culquier entero j stisfciendo 1 j i, se tiene por definición de m j que (f P )(x) Q(x)enx = z j.dequísiguequeq(x)/(f P )(x)escotd en un entorno reducido D j de z j, y no cmbi su signo en z j.comodemás Q/(f P ) es continu en el conjunto compcto [, b] \ i j=1 D j, y es continu y sin ceros en [, b] \{z 1,,z i }, se concluye que existe un ɛ (, 0) (0, 1) tl que se cumplen ls dos siguientes condiciones: f(x) P (x) > ɛq(x) pr x [, b] \{z 1,,z i }; El signo de f P coincide con el signo de ɛq en [, b]. De ests dos condiciones se obtiene que f(x) P (x) ɛq(x) < f(x) P (x) pr x [, b] \{z 1,,z i }, lo que implic obvimente que P no es un buen proximción de f sobre IP n, por lo que (b) no se cumple. Un criterio de mejor proximción de un función continu f en un intervlo [, b] es un mecnismo bien definido de selección de un conjunto no vcío de polinomios en IP n, los llmdos polinomios de mejor proximción de f (con respecto l criterio ddo). Ahor podemos decir que un criterio de mejor proximción es bueno si pr tod función continu f cd polinomio P de mejor proximción de f es un buen proximción de f sobre IP n. CRITERIOS CLÁSICOS DE MEJOR APROXIMACIÓN Los siguientes criterios de mejor proximción son mplimente conocidos: son quéllos que determinn P como consecuenci de que se cumpl f P p dµ f S p dµ pr todo S IP n, donde p es un número rel positivo, fijo pero rbitrrio, y µ es un medid borelin no nul. Denotemos C n,p (µ) estos criterios de proximción. Pr evitr que tod función µ-medible definid en [, b] se identifique, fuer de un conjunto de medid nul, con infinitos polinomios en IP n,pidámosle µ el único requisito de no estr concentrd en n o menos puntos. Teorem 2. El criterio de mejor proximción C n,p (µ) es bueno, siendo µ un medid borelin no nul en [, b], no concentrd en n o menos puntos. Demostrción. Se P IP n un polinomio de mejor proximción de f con respecto C n,p (µ). Supongmos que Q IP n stisfce f Q f P en [, b]. (3)

5 LA GACETA 625 El teorem quedrá probdo si mostrmos que Q = P.SeT := (P + Q)/2, de modo que T IP n. Como consecuenci de (3) es fácil ver que f(x) T (x) < f(x) P (x) si Q(x) P (x). Ahor bien, si Q P, entonces Q(x) P (x) prtodox [, b] exceptopr, losumo,n vlores distintos de x. Comoµ es un medid no concentrd en n o menos puntos, se concluye que f T p < f P p en un conjunto de medid µ positiv en [, b], y por lo tnto f T p dµ < f P p dµ, lo cul contrdice que P es un polinomio en IP n de mejor proximción de f. De est mner, Q debe coincidir con P. Pr el criterio prticulr de mejor proximción C n,p (µ) esdeesperr resultdos más precisos en cunto l condición interpoldor de P.Estoessí en muchos csos, pero no en todos, como veremos más delnte. Por ejemplo, cundo p>1sesbequef P debe tener l menos n + 1 ceros distintos. Aprte del trbjo pionero de Chebyshev, menciondo en l Introducción, est conexión entre mejor proximción e interpolción se h investigdo en los rtículos [3] y [4]. En [3] se consider un medid µ concentrd en l menos n + 2 puntos, mientrs que en [4] µ es l medid de Lebesgue. Tmbién en [5] se nlizn ests cuestiones, pero bjo un enfoque más generl, extendiéndose tnto los criterios como ls funciones de proximción. Ahor se d un ejemplo simple con el fin de mostrr que pr un polinomio P de mejor proximción de f, un con respecto C n,1 (µ), no es posible obtener un resultdo más fino que el ddo por (b) = () del Teorem 1. Ejemplo 2. Se f dd por f(x) = x pr x [, b] =[, 1]. Clculremos los polinomios en IP 1 de mejor proximción de f con respecto C 1,1 (µ), donde µ es l medid concentrd en, 0 y 1, con µ({}) =µ({1}) =1y µ({0}) = 3. Luego, pr tod función continu h definid en [, 1] tenemos hdµ = h() + h(1) + 3h(0). Se P un polinomio en IP 1 de mejor proximción de f. SiT IP 1 está ddo por T (x) =P ( x), sigue que Luego f (P + T )/2 dµ 1 2 f T dµ = f P dµ f P dµ. f T dµ = f P dµ,

6 626 APROXIMACIÓN E INTERPOLACIÓN MEDIANTE POLINOMIOS por lo que f (P + T )/2 dµ = f P dµ ydequíresultque(p + T )/2 estmbién un polinomio de mejor proximción de f. Como(P + T )/2 es un función pr, se deduce que (P + T )/2 IP 0.Así cbmos de probr que un polinomio en IP 0 de mejor proximción de f con respecto C 0,1 (µ) es tmbién un polinomio de mejor proximción de f con respecto C 1,1 (µ). Bst pues encontrr un constnte C que hg cumplir f C dµ f S dµ pr tod constnte S. Es fácil ver que C = 0eslúnic solución de este problem de mínimos. Usndo estos resultdos, hor no cuest trbjo hllr todos los polinomios de mejor proximción de f con respecto C 1,1 (µ). Son quellos P λ ddos por P λ (x) =λx, con λ 1. De quí, f P λ,con <λ<1, tiene sólo un cero, de multiplicidd 2, en x = 0. Ejemplos similres éste pueden ser construidos pr C n,1 con n>1. Finlmente considermos otro criterio clásico de mejor proximción de un función continu f, precismente el de l norm uniforme, que produce su polinomio de mejor proximción minimizndo mx f(x) S(x) sobre S IP n. x [,b] Es bueno este criterio? L respuest es firmtiv, si bien no por un propiedd intrínsec del criterio sino debido que en este cso el polinomio P de mejor proximción de f es único, resultdo este último muy conocido en teorí de mejor proximción. De quí l demostrción de que P es un buen proximción de f sobre IP n es inmedit. AGRADECIMIENTOS Desemos grdecer los revisores del rtículo por sus interesntes comentrios. En especil, l formulción de l Definición 2, equivlente l dd originlmente por los utores pero menos complicd, sí como un simplificción en l demostrción del Teorem 1, fueron sugerencis de uno de los revisores.

7 LA GACETA 627 REFERENCIAS [1] P. L. Chebyshev, Théorie des mécnismes connus sous le nom de prllélogrmmes, Mém. Acd. Sci. Pétersb. vii (1854). [2] E. W. Cheney, Introduction to Approximtion Theory, Chelse Publishing Compny, New York (1982). [3] T. S. Motzkin, J. L. Wlsh, Polynomils of best pproximtion on rel finite point set. I, Trns. Amer. Mth. Soc 91 (1959), [4] T. S. Motzkin, J. L. Wlsh, Polynomils of best pproximtion on n intervl, Proc. Nt. Acd. Sci. U.S.A. 45 (1959), [5] J. R. Rice, Best pproximtions nd interpolting functions, Trns. Amer. Mth. Soc. 101 (1961), Miguel Mrno y Mrt Mrcolini Deprtmento de Mtemátics Universidd de Jén Jén correo electrónico: