Análisis de expansión de redes de telefonía móvil basándose en indicadores claves de desempeño, utilizando Procesos Gaussianos

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1 Análisis de expansión de redes de telefonía móvil basándose en indicadores claves de desempeño, utilizando Procesos Gaussianos Jhouben Janyk Cuesta Ramírez. Director: PhD. Mauricio Alexander Álvarez. Facultad de Ingeniería Eléctrica, Universidad Tecnológica de Pereira Mayo, / 36

2 Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 2 / 36

3 Introducción Motivación Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 3 / 36

4 Introducción Motivación Motivación 4 / 36

5 Introducción Motivación 5 / 36

6 Introducción Motivación 5 / 36

7 Introducción Motivación 6 / 36

8 Introducción Motivación 7 / 36

9 Introducción Objetivos Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 8 / 36

10 Introducción Objetivos Objetivo General Inferir de manera acertada e inteligente, el comportamiento de un KPI en nuevos puntos geográficos. 9 / 36

11 Introducción Objetivos Objetivos Específicos Modelar un KPI a través de un Proceso Gaussiano espacio-temporal. Estimar los parámetros del modelo, usando máxima verosimilitud. Validar el desempeño del Proceso Gaussiano utilizando validación-cruzada. 10 / 36

12 Introducción Objetivos Objetivos Específicos Modelar un KPI a través de un Proceso Gaussiano espacio-temporal. Estimar los parámetros del modelo, usando máxima verosimilitud. Validar el desempeño del Proceso Gaussiano utilizando validación-cruzada. 10 / 36

13 Introducción Objetivos Objetivos Específicos Modelar un KPI a través de un Proceso Gaussiano espacio-temporal. Estimar los parámetros del modelo, usando máxima verosimilitud. Validar el desempeño del Proceso Gaussiano utilizando validación-cruzada. 10 / 36

14 Introducción Objetivos Objetivos Específicos Modelar un KPI a través de un Proceso Gaussiano espacio-temporal. Estimar los parámetros del modelo, usando máxima verosimilitud. Validar el desempeño del Proceso Gaussiano utilizando validación-cruzada. 10 / 36

15 Materiales y Métodos Materiales Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 11 / 36

16 Materiales y Métodos Materiales Materiales Matlab 2012a Microsoft Excel AutoCAD GPML toolbox. Windows Moviemaker 12 / 36

17 Materiales y Métodos Métodos Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 13 / 36

18 Materiales y Métodos Métodos El Problema de Regresión - I El aprendizaje supervisado en regresión utiliza ejemplos D = {(x i, y i ) i = 1,..., n} para inferir nuevas salidas y i = f(x i ). 14 / 36

19 Materiales y Métodos Métodos El Problema de Regresión - I El aprendizaje supervisado en regresión utiliza ejemplos D = {(x i, y i ) i = 1,..., n} para inferir nuevas salidas y i = f(x i ). En el caso de Regresión Lineal y(x, w) = w 0 + w 1 x w D x D, (1) 14 / 36

20 Materiales y Métodos Métodos El Problema de Regresión - I El aprendizaje supervisado en regresión utiliza ejemplos D = {(x i, y i ) i = 1,..., n} para inferir nuevas salidas y i = f(x i ). En el caso de Regresión Lineal y(x, w) = w 0 + w 1 x w D x D, (1) donde x = (x 1,, x D ) T 14 / 36

21 Materiales y Métodos Métodos El Problema de Regresión - II y(x, w) = M 1 j=0 w j Φ j (x) = w T Φ(x), (2) donde w = (w 0,, w M 1 ) y Φ = (Φ 0,, Φ M 1 ) T con Φ 0 = 1 y M el número de parámetros del modelo. 15 / 36

22 Materiales y Métodos Métodos Procesos Gaussianos I 16 / 36

23 Materiales y Métodos Métodos Procesos Gaussianos I Un Proceso Gaussiano (GP) está compuesto por una colección de variables aleatorias escalares tal que para cada combinación finita X = {x 1 x n } las funciones f(x) GP(m(x), k(x, x )) siguen una distribución Gaussiana [1]. Modelo Gráfico 16 / 36

24 Materiales y Métodos Métodos Procesos Gaussianos II Un GP queda formalmente definido con la existencia de una función media y una función de covarianza m(x) = E[f(x)], k f (x, x ) = E[(f(x) m(x))(f(x ) m(x ) T ], El prior es de la forma N (0, K) 17 / 36

25 Materiales y Métodos Métodos Procesos Gaussianos II Un GP queda formalmente definido con la existencia de una función media y una función de covarianza m(x) = E[f(x)], k f (x, x ) = E[(f(x) m(x))(f(x ) m(x ) T ], El prior es de la forma N (0, K) 17 / 36

26 Materiales y Métodos Métodos Procesos Gaussianos II Un GP queda formalmente definido con la existencia de una función media y una función de covarianza m(x) = E[f(x)], k f (x, x ) = E[(f(x) m(x))(f(x ) m(x ) T ], El prior es de la forma N (0, K) 17 / 36

27 Materiales y Métodos Métodos Procesos Gaussianos II Un GP queda formalmente definido con la existencia de una función media y una función de covarianza m(x) = E[f(x)], k f (x, x ) = E[(f(x) m(x))(f(x ) m(x ) T ], El prior es de la forma N (0, K) 17 / 36

28 Materiales y Métodos Métodos Muestras del Prior y Posterior Realizaciones del Prior 18 / 36

29 Materiales y Métodos Métodos Muestras del Prior y Posterior Realizaciones del Prior Realizaciones del Posterior 18 / 36

30 Materiales y Métodos Métodos Predicciones I Para observaciones ruidosas se tiene entonces el modelo y = f(x) + ε, donde si el ruido es i.i.d. y con distribución de probabilidad ε N (0, σn) 2, la distribución conjunta de las salidas y la predicción es [ ] ( [ ]) y K(X, X) + σ 2 N 0, n I K(X, X ). K(X, X) K(X, X ) f 19 / 36

31 Materiales y Métodos Métodos Predicciones I Para observaciones ruidosas se tiene entonces el modelo y = f(x) + ε, donde si el ruido es i.i.d. y con distribución de probabilidad ε N (0, σn) 2, la distribución conjunta de las salidas y la predicción es [ ] ( [ ]) y K(X, X) + σ 2 N 0, n I K(X, X ). K(X, X) K(X, X ) f 19 / 36

32 Materiales y Métodos Métodos Predicciones II La distribución condicional es de la forma f X, y, X N ( f, cov(f )) f E[f X, y, X ] = K(X, X)[K(X, X) + σ 2 ni] 1 y, cov(f ) =K(X, X ) K(X, X)[K(X, X) + σ 2 ni] 1 K(X, X ). 20 / 36

33 Materiales y Métodos Métodos Predicciones II La distribución condicional es de la forma f X, y, X N ( f, cov(f )) f E[f X, y, X ] = K(X, X)[K(X, X) + σ 2 ni] 1 y, cov(f ) =K(X, X ) K(X, X)[K(X, X) + σ 2 ni] 1 K(X, X ). 20 / 36

34 Materiales y Métodos Métodos Funciones de Covarianza Función Exponencial Cuadrática [2] Funciónes de la Clase Màtern [2] 21 / 36

35 Materiales y Métodos Métodos Función de Verosimilitud Representa la probabilidad de las observaciones dado el modelo. 22 / 36

36 Materiales y Métodos Métodos Función de Verosimilitud Representa la probabilidad de las observaciones dado el modelo. p(y f, X) = i N (y i f i, σ 2 n) (3) 22 / 36

37 Materiales y Métodos Métodos Estimación de los Parámetros I 23 / 36

38 Materiales y Métodos Métodos Estimación de los Parámetros I La verosimilitud marginal es de la forma : y X N (0, K y ), donde K y = K + σ 2 ni. 23 / 36

39 Materiales y Métodos Métodos Estimación de los Parámetros I La verosimilitud marginal es de la forma : y X N (0, K y ), donde K y = K + σ 2 ni. Tomando el logaritmo natural log p(y X) = 1 2 yt Ky 1 y 1 2 log K y n 2 log 2π, (4) 23 / 36

40 Materiales y Métodos Métodos Estimación de los Parámetros II Derivando la Ec.4 respecto al parámetro θ j se obtiene log p(y X, θ) = 1 ( θ j 2 tr (αα T Ky 1 ) K ) y, (5) θ j donde α = K 1 y y. 24 / 36

41 Resultados Medidas del desempeño del modelo - I Error Medio Cuadrático Normalizado (SMSE) [3]. Pérdida Logarítmica Normalizada Promedio (MSLL) [3]. Validación Cruzada [4]. 25 / 36

42 Resultados Metodología Inferencia en la variable tiempo y regresión espacio-temporal para cada celda. Inferencia completa de la zona. 26 / 36

43 Resultados Metodología Inferencia en la variable tiempo y regresión espacio-temporal para cada celda. Inferencia completa de la zona. 26 / 36

44 Resultados Metodología Inferencia en la variable tiempo y regresión espacio-temporal para cada celda. Inferencia completa de la zona. 26 / 36

45 Resultados Para tener en cuenta Un SMSE cercano a cero indica una buena inferencia y un MSLL negativamente alto indica un mejor modelo [5]. Para cada validación cruzada el conjunto salidas de validación fue normalizado respecto al conjunto de entrenamiento. Las salidas del conjunto de entrenamiento para la inferencia completa fueron normalizadas y las coordenadas fueron re-escaladas. 27 / 36

46 Resultados Para tener en cuenta Un SMSE cercano a cero indica una buena inferencia y un MSLL negativamente alto indica un mejor modelo [5]. Para cada validación cruzada el conjunto salidas de validación fue normalizado respecto al conjunto de entrenamiento. Las salidas del conjunto de entrenamiento para la inferencia completa fueron normalizadas y las coordenadas fueron re-escaladas. 27 / 36

47 Resultados Para tener en cuenta Un SMSE cercano a cero indica una buena inferencia y un MSLL negativamente alto indica un mejor modelo [5]. Para cada validación cruzada el conjunto salidas de validación fue normalizado respecto al conjunto de entrenamiento. Las salidas del conjunto de entrenamiento para la inferencia completa fueron normalizadas y las coordenadas fueron re-escaladas. 27 / 36

48 Resultados Espacio de Entrada - I Espacio de entradas para regresión en t, t 1 t 2. t n y 1 y 2. y n 28 / 36

49 Resultados Espacio de Entrada - I Espacio de entradas para regresión en t, t 1 t 2. t n y 1 y 2. y n donde y i equivale al valor del KPI en el tiempo t i. 28 / 36

50 Resultados Espacio de Entrada - II Para el caso espacio temporal se tiene x x,1 x y,1 t 1 x x,1 x y,1 t 2 x x,1 x y,1 t n... x x,p x y,p t 1 x x,p x y,p t 2 x x,p x y,p t n, y 1,1 y 1,2 y 1,n., (6) y p,1 y p,2 y p,n 29 / 36

51 Resultados Espacio de Entrada - II Para el caso espacio temporal se tiene x x,1 x y,1 t 1 x x,1 x y,1 t 2 x x,1 x y,1 t n... x x,p x y,p t 1 x x,p x y,p t 2 x x,p x y,p t n, y 1,1 y 1,2 y 1,n., (6) y p,1 y p,2 y p,n donde,x x,i y x y,i indican la coordenada (x, y) de la celda i (con i = {1,, p} con p = 11 celdas), y t k el día de la medición (con k = {1,, n}) siendo n = 30 el número total de días). 29 / 36

52 Resultados Inferencia sobre Cada celda Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 30 / 36

53 Resultados Inferencia sobre Cada celda Resultados Celdas individuales CELDA 001 Cov.\Error SMSE L. SMSE G. MSLL L. MSLL G. Exp C. 0.60± ± ± ±0.03 Màt ± ± ± ±0.04 Màt ± ± ± ±0.04 Màt ± ± ± ±0.05 CELDA 021 Cov.\Error SMSE L. SMSE G. MSLL L. MSLL G. Exp C. 0.68± ± ± ±0.03 Màt ± ± ± ±0.03 Màt ± ± ± ±0.03 Màt ± ± ± ± / 36

54 Resultados Regresión completa de la zona Contenido 1 Introducción Motivación Objetivos 2 Materiales y Métodos Materiales Métodos 3 Resultados Inferencia sobre Cada celda Regresión completa de la zona 32 / 36

55 Resultados Regresión completa de la zona Resultados inferencia zona geográfica completa Para la elección del modelo de inferencia global se eligió la función de covarianza Màtern, con parámetro ν = 1 Cov.\Error SMSE L. SMSE G. MSLL L. MSLL G. Exp C. 0.76± ± ± ±0.45 Màt ± ± ± ±0.43 Màt ± ± ± ±0.43 Màt ± ± ± ± / 36

56 Resultados Regresión completa de la zona Resultados inferencia zona geográfica completa Para la elección del modelo de inferencia global se eligió la función de covarianza Màtern, con parámetro ν = 1 Cov.\Error SMSE L. SMSE G. MSLL L. MSLL G. Exp C. 0.76± ± ± ±0.45 Màt ± ± ± ±0.43 Màt ± ± ± ±0.43 Màt ± ± ± ± / 36

57 Resultados Regresión completa de la zona Ejemplo Superficie 34 / 36

58 Resultados Regresión completa de la zona Ejemplo Superficie Ejemplo Contorno 34 / 36

59 Resultados Regresión completa de la zona Conclusiones El modelado espacio-temporal resultó ser apropiado para los datos, aunque se presentaron pequeños valores negativos del KPI en algunos puntos de la zona. 35 / 36

60 Resultados Regresión completa de la zona Conclusiones El modelado espacio-temporal resultó ser apropiado para los datos, aunque se presentaron pequeños valores negativos del KPI en algunos puntos de la zona. Se encontró una región clave, la cual obtenía los más altos valores del KPI, dicha región incluía muy pocas celdas, lo cual incentiva a pensar en ubicar una nueva celda cercana en esa zona. 35 / 36

61 Resultados Regresión completa de la zona Conclusiones El modelado espacio-temporal resultó ser apropiado para los datos, aunque se presentaron pequeños valores negativos del KPI en algunos puntos de la zona. Se encontró una región clave, la cual obtenía los más altos valores del KPI, dicha región incluía muy pocas celdas, lo cual incentiva a pensar en ubicar una nueva celda cercana en esa zona. El proceso de inferencia espacio-temporal mostró como el KPI tiende a tener un leve comportamiento periódico. 35 / 36

62 Resultados Regresión completa de la zona Gracias! Preguntas? 36 / 36

63 Referencias L. A., B. R., and G. Richard, Multi-dimensional signal separation with gaussian processes, pp , K. P. Murphy, Machine Learning a Probabilistic Perspective. The MIT Press, K. Chalupka, Empirical evaluation of gaussian process approximation algorithms, Master s thesis, School of Informatics, University of Edinburgh, C. M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning. Springer, C. E. Rasmussen and C. Williams, Gaussian Processes for Machine Learning. The MIT Press, / 36

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