Tema 9: Estadística Unidimensional.

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1 Tema 9: Estadístca Undmensonal..- Introduccón.- Conceptos Báscos 3.- Tablas estadístcas.- Parámetros Estadístcos De centralzacón. De poscón De dspersón. 5.- Grácos Estadístcos 6.- Ejerccos Resueltos 7.- Ejerccos Propuestos

2 .0.- Introduccón Estadístca Undmensonal Estadístca es la cenca que se ocupa de ocupa de la recogda de datos, su organzacón y análss, así como de las predccones que, a partr de estos datos, pueden hacerse. Es decr, permte el tratamento sstemátco de datos, la búsqueda de las conclusones de los msmos y la toma de decsones tras su análss. Exsten dos clases de Estadístca, según el problema que se estude y el método utlzado: - Estadístca Descrptva: Se ocupa de tomar los datos de un conjunto, organzarlos en tablas o en representacones grácas y del cálculo de unos números que nos normen de manera global del conjunto estudado. (os centraremos en ésta) - Estadístca Inerencal: Trata sobre la elaboracón de conclusones para la poblacón, partendo de los resultados de una muestra y del grado de abldad de estas conclusones..0.- Conceptos báscos El vocabularo especíco que aparece en cualquer estudo estadístco es: Poblacón: Es el conjunto ormado por todos los elementos que exsten para el estudo de un determnado enómeno. Indvduo u objeto: Es cada uno de los elementos de la poblacón. Muestra: Es el subconjunto extraído de la poblacón ya sea por necesdad o por oblgacón, cuyo estudo srve ara nerr característcas de toda la poblacón. Tamaño de la muestra (): Es el número de ndvduos que componen la muestra (en algunos casos concde con el de la poblacón)..- Varables o caracteres estadístcos Es cada una de las cualdades o propedades que permten clascar a los ndvduos de una poblacón (objeto de estudo estadístco). Los valores de la varable se suelen representar por x, x,...,x n. Las clases de varables estadístcas que aparecen en cualquer estudo estadístco son: Varables cualtatvas: Aquellas que no se pueden medr y se descrben con palabras. Por ejemplo: Raza de un perro, Estado cvl de una persona, color avorto. Varables cuanttatvas: Aquellas que se pueden medr y expresar con números. A su vez, las varables cuanttatvas pueden ser: Dscretas: Aquellas que pueden tomar solamente un número nto de valores numércos aslados. Por ejemplo: número de hermanos, úmero de asgnaturas aprobadas, Frutos de un árbol, etc. Contnuas: Aquellas que pueden tomar cualquer valor en un ntervalo dado. Por ejemplo: Estatura de los alumnos, el peso de cada una de los rutos de un árbol, número de teléono. Cuando se realza un estudo estadístco, todos los conceptos de los que hemos hablado se suelen relejar en la que se llama cha técnca. 08 Selectvdad.ntergranada.com

3 3.0.- Tablas Estadístcas Estadístca Undmensonal Una vez recogdos los datos, medante encuestas por ejemplo, se suelen ordenar. La orma usual de hacerlo es realzando un recuento y posterormente ormar una tabla con dstntas columnas Prmera columna, x : Está ormada por los dstntos valores que puede tomar la varable estadístca (ordenados de menor a mayor s se trata de una varable cuanttatva). S la varable a estudo es cuanttatva contnua, o dscreta pero con muchos valores dstntos, los datos deben agruparse en clases o ntervalos. En estos casos, esta prmera columna se dvde en dos, una para los ntervalos y otra para la marca de clase, que es el valor medo de cada ntervalo y se a' + b' calcula como la semsuma de los extremos del ntervalo Para construr los ntervalos hay que tener en cuenta: Se localzan los valores extremos a y b y se halla su derenca (recorrdo) r = b a Se decde el número de ntervalos que se quere ormar, tenendo en cuenta la cantdad de datos que se poseen. Es convenente que el número de ntervalos esté entre 6 y 5. Se busca un número entero un poco mayor que el recorrdo y que sea múltplo del número de ntervalos, r '. Se orman los ntervalos, de modo que el extremo neror del prmero sea algo menor que a y el extremo superor del últmo sea algo mayor que b. Es deseable que los extremos de los ntervalos no concdan con nnguno de los datos, pero s esto ocurrera, se orman los ntervalos tenendo presente que el límte neror de una clase pertenece al ntervalo, pero el límte superor no pertenece ntervalo, se cuenta en el sguente ntervalo. Ejemplo : En una materndad se han tomado los pesos (en logramos) de 50 recén nacdos: a) Cuál es la varable y de qué tpo es? Varable: peso de los recén nacdos. Tpo: cuanttatva contnua. b) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 ntervalos de,65 a,05. Localzamos los valores extremos:,8 y 3,9. Por tanto, el Recorrdo será: R = 3,9,8 =, 3..- Segunda columna, : Se stúan en ella las recuencas absolutas:, que es el número total de veces que aparece el valor x de la varable estadístca, o el número de valores de la varable que hay en un determnado ntervalo. La suma de todas las recuencas absolutas es el tamaño de la muestra o poblacón a estudo (), es decr: = = 3 n n = 08 Selectvdad.ntergranada.com

4 3.3.- Tercera Columna, F : Estadístca Undmensonal En ella se colocan las recuencas absolutas acumuladas: F que son las sumas de todas las recuencas absolutas correspondentes a los valores anterores a x y la suya propa Cuarta columna, h : F = La colocamos cuando nos nteresa saber cuál es la proporcón del número de ndvduos con un valor determnado respecto al total. Para ello calculamos la recuenca relatva o proporcón: h que es el cocente que resulta de dvdr su recuenca absoluta ( ) entre el número total,, de ndvduos. h = y además sempre cumple que: 0h La suma de todas las recuencas relatvas es la undad Qunta columna, H : n h + h + h h = h = 3 En ella se colocan las recuencas relatvas acumuladas: H que son las sumas de todas las recuencas relatvas correspondentes a los valores anterores a x y la suya propa Sexta columna, p : n = H = h + h + h h Se calculan los porcentajes, que es el tanto por cento que representa el valor x respecto del total. Se calcula multplcando la recuenca relatva h por 00 (o medante una regla de tres) p h 00 La suma de todos los porcentajes es 00: Séptma columna, D x = Sempre cumple que: 0 p 00 n p + p + p p = p = 00 3 n = En ella escrbremos la derenca en valor absoluto entre la medda x y la meda, que luego nos servrá para calcular la desvacón meda. x x S se trata de una tabla de datos agrupados en ntervalos, entonces en esta columna aparecería: x x Además de estas 7 columnas vamos a utlzar otras dos, que nos vendrán muy ben para calcular algunos de los parámetros estadístcos. Estas columnas van a ser, la columna séptma, en la que aparecerá el producto x y la columna octava en la que aparece el producto x. Con todo esto, nuestra tabla de recogda y análss de datos sería de la orma: 3 08 Selectvdad.ntergranada.com

5 Intervalos x F h H P x Estadístca Undmensonal x x x Totales: = 00 x x x x Se puede colocar una columna ormada por las recuencas porcentuales acumuladas, pero no es muy habtual. A la hora de realzar un estudo estadístco, no es oblgatoro que utlcemos todas las columnas, sno solo aquellas que sean necesaras para dcho estudo..0.- Parámetros estadístcos Tomada una muestra undmensonal (x, x,..., x n) de tamaño n, nteresa reducr la normacón encerrada en ella a sólo unos pocos parámetros, llamados parámetros estadístcos. Hay tres tpos parámetros estadístcos: De centralzacón. De poscón De dspersón. Para estudar algunos de los parámetros estadístcos más mportantes, nos vamos a ayudar del sguente ejemplo: Ejemplo : Las urgencas atenddas en las 7 prmeras horas del día en un centro de salud son: Meddas de Centralzacón Las meddas de centralzacón resumen la normacón de la muestra:...- La Meda Artmétca: La meda artmétca o meda, x, es el más conocdo e ntutvo, sendo su objeto localzar alrededor de qué punto se stúan todas las observacones. Se calcula sumando todas las meddas y dvdendo dcho resultado entre el número de meddas. Su cálculo es ben sencllo: x x x = = x 7 En nuestro ejemplo, la meda de urgencas atenddas será: x = = = 3,86 personas La Medana: La Medana, Me, como la meda, es un parámetro de localzacón, sendo su objeto resumr en una sola cantdad los valores muestrales. Se dene como el valor numérco que queda en el centro cuando se ordena toda la muestra. (Medda central). En nuestro ejemplo, la medana de las urgencas atenddas será: Las ordenamos de menor a mayor: Y Vemos que la medana Me=. 08 Selectvdad.ntergranada.com

6 Cálculo de la medana: Estadístca Undmensonal. Ordenamos los datos de menor a mayor.. S la sere tene un número mpar de meddas la medana es la puntuacón central de la msma., 3,,, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 5 3. S la sere tene un número par de puntuacones la medana es la meda entre las dos puntuacones centrales. Cálculo de la medana para datos agrupados 7, 8, 9, 0,, Me = 9.5 La medana se encuentra en el ntervalo donde la recuenca acumulada llega hasta la mtad de la suma de las recuencas absolutas. Es decr, tenemos que buscar el ntervalo en el que se encuentre Donde: Me = L + a L es el límte neror de la clase donde se encuentra la medana. es la semsuma de las recuencas absolutas. F - es la recuenca acumulada anteror a la clase de la medana. a es la ampltud de la clase (longtud del ntervalo). La medana es ndependente de las ampltudes de los ntervalos. Ejemplo 3: Calcular la medana de una dstrbucón estadístca que vene dada por la sguente tabla: F [60, 63) 5 5 [63, 66) 8 3 [66, 69) 65 [69, 7) 7 9 [7, 75) 8 00 Clase de la medana: [66, 69) El Límte neror de la clase es: 66 La semsuma de las recuencas absolutas es: =00/ = 50 La recuenca acumulada anteror es 3. La ampltud de la clase es Con todos estos datos: Me = L + a = = 67, La Moda: La Moda, Mo, es el dato que tene mayor recuenca absoluta, es decr el que más se repte. S la varable es contnua hablamos de ntervalo modal. Podría ocurrr que hubera varas modas, porque hubera datos que se repten lo msmo. En nuestro ejemplo, las modas serían 3 y 5 porque ambas se repten dos veces. Mo=3 y 5 Se puede hallar la moda para varables cualtatvas y cuanttatvas Selectvdad.ntergranada.com

7 Hallar la moda de la dstrbucón:, 3, 3,,,, 5, 5 Mo = Estadístca Undmensonal S en un grupo hay dos o varas puntuacones con la msma recuenca y esa recuenca es la máxma, la dstrbucón es bmodal o multmodal, es decr, tene varas modas.,,,,, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 Mo=, 5, 9 Cuando todas las puntuacones de un grupo tenen la msma recuenca, no hay moda.,, 3, 3, 6, 6, 9, 9 o hay moda S dos puntuacones adyacentes tenen la recuenca máxma, la moda es el promedo de las dos puntuacones adyacentes. 0,, 3, 3, 5, 5, 7, 8 Mo = Cálculo de la moda para datos agrupados: Donde: S todos los ntervalos tenen la msma ampltud. Mo = L + a ( ) + ( + ) L es el límte neror de la clase modal. es la recuenca absoluta de la clase modal. - es la recuenca absoluta nmedatamente neror a la clase modal. + es la recuenca absoluta nmedatamente posteror a la clase modal. a es la ampltud de la clase. Tambén se utlza otra órmula de la moda que da un valor aproxmado de ésta: + Mo = L + a + + Ejemplo : Calcular la moda de una dstrbucón estadístca que vene dada por la sguente tabla: [60, 63) 5 [63, 66) 8 [66, 69) [69, 7) 7 [7, 75) 8 =00 La moda está en la clase [66, 69) El límte neror de este ntervalo es: 66 F= -=8 +=7 La ampltud de la clase es 3. Así que s susttumos en ambas expresones: Y con la órmula aproxmada: Mo L a ( ) ( + ) ( 8) ( 8) ( 7) = + = = 67, = + = = 67, Mo L a + Y como vemos, el error cometdo es práctcamente desprecable Selectvdad.ntergranada.com

8 S los ntervalos tenen ampltudes dstntas. En prmer lugar, tenemos que hallar las alturas. La clase modal es la que tene mayor altura. Y para calcularla utlzaremos la expresón: h = a h h Mo = L + a ( h h ) + ( h h + ) h + La órmula de la moda aproxmada cuando exsten dstntas ampltudes es: Mo = L + a h + h + Estadístca Undmensonal Ejemplo 5: En la sguente tabla se muestra las calcacones (suspenso, aprobado, notable y sobresalente) obtendas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda. h [0, 5) 5 3 [5, 7) 0 0 [7, 9) 6 [9, 0) 3 3 =50 Calculamos la clase que tene mayor altura medante: h = a 3 3 a a a3 a h = = = 3 h = = = 0 h = = = 6 h = = = 3 5 Por tanto, el ntervalo modal o la clase modal es [5, 7) Y la moda será: S utlzamos la órmula aproxmada: h h 0 3 = + = 5 + = 6, 7 Mo L a + ( h h ) + ( h h ) ( 0 3) + ( 0 6) h 6 = + = 5 + = 6, Mo L a h h+..- Meddas de Poscón Las meddas de poscón son valores de la varable que norman del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de valores. Para calcular estas meddas la varable debe ser cuanttatva....- Los Cuartles: Los Cuartles Q, Q y Q 3, son meddas que dvden el conjunto de datos ordenados en cuatro partes guales, es decr, en cada tramo está el 5% de los datos recogdos en el estudo. Q, Q y Q 3 determnan los valores correspondentes al 5%, al 50% y al 75% de los datos. Q concde con la medana. Cálculo de los cuartles:. Ordenamos los datos de menor a mayor.. Buscamos el lugar que ocupa cada cuartl medante la expresón: con =,, Selectvdad.ntergranada.com

9 Cálculo de los cuartles para úmero mpar de datos: Estadístca Undmensonal X =, 5, 3, 6, 7,, 9 Cálculo de los cuartles para úmero par de datos:, 5, 3,, 6, 7,, 9 Cálculo de los cuartles para datos agrupados: En prmer lugar, buscamos la clase donde se encuentra recuencas acumuladas. Donde: Para calcular los 3 cuartles nos ayudaremos de la órmula: con =,,3, en la tabla de las Q L a = + =,,3 L es el límte neror de la clase modal. F es la recuenca absoluta acumulada de la clase modal. F - es la recuenca absoluta acumulada nmedatamente neror a la clase modal. es la recuenca absoluta de la clase modal. a es la ampltud de la clase. Ejemplo: Calcular los cuartles de la dstrbucón de la sguente tabla: F [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 3 [80, 90) 8 [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 =65 Cálculo del prmer cuartl: 65 = 6,5 por tanto está en el ntervalo [60,70) y utlzando la órmula: 65 8 Q = L + a Q = = 68, 5 0 Cálculo del segundo cuartl: 65 = 3,5 por tanto está en el ntervalo [70,80) y utlzando la órmula: 65 8 Q = L + a Q = = 79,06 6 Cálculo del tercer cuartl: 65 3 = 8,75 por tanto está en el ntervalo [90,00) y utlzando la órmula: Q = L + a Q = = 90, Selectvdad.ntergranada.com

10 ...- Los Decles: Estadístca Undmensonal Los decles son los nueve valores que dvden la sere de datos en dez partes guales y dan los valores correspondentes al 0%, al 0%... y al 90% de los datos. D 50 concde con la medana. El cálculo de los Decles no tene mucho sentdo en un estudo estadístco dscreto. Cálculo de los Decles: En prmer lugar, buscamos la clase donde se encuentra, las recuencas acumuladas. 0 con =,,3,...,9 en la tabla de Y después nos ayudaremos de la órmula: D L a con 0 = + =,,3,...,9 Donde: L es el límte neror de la clase donde se encuentra el percentl. es la suma de las recuencas absolutas. F - es la recuenca acumulada anteror a la clase del percentl. a es la ampltud de la clase. Ejemplo: Calcular el decl 60 de la sguente dstrbucón: F [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 3 [80, 90) 8 [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 =65 Decl 60: Calculamos donde se encuentra: 6 65 = 39 por tanto está en el ntervalo [80,90) D 0 0 = L + a D6 = = 83, Los Percentles: Los Percentles o Centles, P, son meddas que dvden el conjunto de todos los datos en 00 partes guales. P 5, P 50 y P 75 determnan los valores correspondentes al 5%, al 50% y al 75% de los datos. P 50 concde con la medana Selectvdad.ntergranada.com

11 El cálculo de los percentles no tene mucho sentdo en un estudo estadístco dscreto. Estadístca Undmensonal Cálculo de los percentles: En prmer lugar, buscamos la clase donde se encuentra, 00 con =,,3,...,99 en la tabla de las recuencas acumuladas. Y después nos ayudaremos de la órmula: P L a con 00 = + =,,3,...,99 Donde: L es el límte neror de la clase donde se encuentra el percentl. es la suma de las recuencas absolutas. F - es la recuenca acumulada anteror a la clase del percentl. a es la ampltud de la clase. Ejemplo: Calcular el percentl 35, 60 y 95 de la dstrbucón de la tabla: F [50, 60) 8 8 [60, 70) 0 8 [70, 80) 6 3 [80, 90) 8 [90, 00) 0 58 [00, 0) 5 63 [0, 0) 65 =65 Percentl 35: Calculamos donde se encuentra: =,75 por tanto está en el ntervalo [70,80) P = L + a P35 = = 7,97 6 Percentl 60: Calculamos donde se encuentra: = 39 por tanto está en el ntervalo [80,90) P = L + a P60 = = 83,57 Percentl 95: Calculamos donde se encuentra: = 6,75 por tanto está en el ntervalo [00,0) P = L + a P60 = = 07, Meddas de Dspersón Las meddas de dspersón nos norman sobre cuanto se alejan del centro los valores de la dstrbucón. Las meddas de dspersón son: Rango Desvacón Meda Varanza Desvacón típca Coecente de varacón 0 08 Selectvdad.ntergranada.com

12 .3..- Rango o Recorrdo: Estadístca Undmensonal El rango, r, (tambén conocdo por recorrdo o ampltud) es la derenca entre el mayor y el menor de los datos de una dstrbucón estadístca, y que ndca qué extensón de la recta de los números ocupan los datos de nuestra muestra Desvacón meda: La desvacón respecto a la meda es la derenca en valor absoluto entre cada valor de la varable estadístca y la meda artmétca. La desvacón meda se representa por sgno Dx y la calcularemos medante la expresón: x x + x x xn x x x Dx = = Donde: x es la meda artmétca x hace reerenca a la medda, tanto s es dscreta como s es contnua, solo que en la dstrbucón contnua representará la marca de clase del ntervalo correspondente. Ejemplo: Calcular la desvacón meda de la dstrbucón: x x x - x x - x [0, 5) [5, 0) [0, 5) [5, 30) [30, 35) Prmero calculamos la meda artmétca: x 57,5 x = = =,786 Y después la desvacón meda: x x 98,57 Dx = = =, Varanza: La Varanza, Var, mde la dspersón alrededor de la meda; cuanto más pequeña sea, más concentrados estarán los puntos alrededor de:.3..- Desvacón típca: x Var = x Para evtar tener que trabajar con las undades cuadradas de la varanza, se extrae su raíz cuadrada, con lo se obtene la desvacón típca,. x = Var = x 08 Selectvdad.ntergranada.com

13 Coecente de Varacón: Estadístca Undmensonal Las dspersones de aquellas dstrbucones que tenen medas artmétcas derentes o cuyos datos venen dados en undades derentes se pueden comparar medante el coecente de varacón, que se dene como el cocente entre la desvacón típca y la meda Grácos estadístcos CV.. A la hora de presentar los resultados de un estudo estadístco, es muy útl y recomendable utlzar alguno u algunos grácos estadístcos Gráco de barras: El gráco de barras, como su nombre lo ndca, está consttudo por barras rectangulares de gual ancho, conservando la msma dstanca de separacón entre sí. Se utlza báscamente para mostrar y comparar recuencas de varables cuanttatvas o comportamentos en el tempo, cuando el número de ítems es reducdo. Para elaborarlo deberíamos: Utlzar un sstema de coordenadas rectangulares y se llevan al eje de las "x" los valores que toma la varable en estudo y en el eje de las "y" se colocan las recuencas de cada barra. = x Luego se construyen los rectángulos, tomando como base al eje de las abscsas, cuya altura será gual a cada una de las derentes recuencas que presentan las varables en estudo. La magntud con que vene expresada la varable se observa en la longtud de las barras (rectángulos). Es mportante destacar que solamente la longtud de las barras y no su anchura es lo que denota la derenca de magntud entre los valores de la varable. Todas las barras tenen que tener una anchura gual, separadas entre sí, preerblemente por una longtud gual a la mtad del ancho de estas o dstancas guales entre barras. Las barras se pueden gracar tanto vertcalmente como horzontalmente. Se pueden elaborar barras compuestas y barras agrupadas. En este tpo de gráco se pueden utlzar: Barras smples: Compara valores entre categorías de una varable Barras dobles: Compara valores entre categorías de dos varables Barras múltples: Compara valores entre categorías de dos o más varables. Barras vertcales: Las categorías de la varable deben ubcarse en el eje x. Barras horzontales: Las categorías de la varable deben ubcarse en el eje y. Barras Aplcadas: Compara entre categorías el aporte de cada valor en el total Gráco de líneas o Tendencas: Usado báscamente para mostrar el comportamento de una varable cuanttatva a través del tempo. El gráco de líneas consste en segmentos rectlíneos undos entre sí, los cuales resaltan las varacones de la varable por undad de tempo. 08 Selectvdad.ntergranada.com

14 Cuando se tenen varas varables a representar, con el n de establecer comparacones entre ellas (sempre que su undad de medda sea la msma); se utlza plasmarlos en un solo gráco, el cual es el resultado de representar varas varables en un msmo plano. A este tpo de gráco se le llama gráco de líneas compuesto. Estadístca Undmensonal Crteros para elaborar un gráco de líneas:. La utlzacón de la escala que se utlzará en el plano cartesano puede varar tomando en cuenta el enómeno que se va a gracar. o es necesaro que las abscsas (ejes x) y las ordenadas (eje y) del plano cartesano lleven la msma escala; sn embargo, cuando las magntudes de las varables no se derencan sustancalmente es recomendable utlzar escalas guales para obtener un gráco con mayor precsón.. Cuando una de las varables en estudo se nca con valores muy altos es recomendable no comenzar el eje por el orgen cartesano sno por un valor próxmo o por el msmo valor por donde comenza la varable. 3. Es costumbre representar en el eje de las x del plano cartesano la varable ndependente del estudo que se realza y en el eje de las y la varable dependente. En aquellos casos que se dculta dstngur el tpo de varable se recomenda colocar en la ordenada del plano cartesano las recuencas de las varables en estudo y sobre la abscsa la varable cronológca (años, semanas, días, horas, etc.) Gráco de sectores crculares: Usualmente llamado gráco de torta, debdo a su orma característca de una crcunerenca dvdda en sectores, por medo de rados que dan la sensacón de un pastel cortado en porcones. Se usa para representar varables cualtatvas en porcentajes o cras absolutas cuando el número de ítems no es superor a 5 y se quere resaltar uno de ellos. En el ejemplo de la derecha podemos observar el gráco de sectores en el que aparecen los datos de los deportes preerdos de los españoles Hstograma de recuencas: El hstograma es un dagrama en orma de columna, muy parecdo a los grácos de barras. Se dene como un conjunto de rectángulos paralelos, en el que la base representa la clase de la dstrbucón y su altura la magntud que alcanza la recuenca de la clase correspondente. Son barras rectangulares levantadas sobre el eje de las abscsas del plano cartesano utlzando escalas adecuadas para los valores que asume la varable en la dstrbucón de recuenca. El ancho de la base de los rectángulos es proporconal a cada clase de la dstrbucón, de tal manera que, cuando la dstrbucón tene clases de gual tamaño, el tamaño de todos los rectángulos tendrá bases guales. Los lados del rectángulo se levantan sobre los puntos del eje de las x que corresponden a los límtes de cada clase y la longtud de los msmos será gual a la recuenca que tenga esa clase, los lados por lo tanto corresponden a la recuenca de cada clase de la dstrbucón de recuenca Selectvdad.ntergranada.com

15 Estadístca Undmensonal Cuando se elaboran grácas estadístcas en el plano cartesano es recomendable que en el eje de las ordenadas se representen las recuencas y el eje de abscsas las varables ndependentes Polígono de recuencas: Se utlza báscamente para mostrar la dstrbucón de recuencas de varables cuanttatvas, para construrlo se toma la marca de clase que concde con el punto medo de cada rectángulo de un hstograma. Pasos para elaborar un polígono de recuencas: a) Se dbuja un plano cartesano. b) Se traza sobre el eje de las abscsas, a dstancas guales, los puntos medos de las derentes clases de la dstrbucón de recuencas. c) Se levantan perpendculares por cada una de las marcas de clase, con una longtud gual a la recuenca de cada una de las clases que ntegran la dstrbucón de recuenca. Al nal de cada perpendcular se marca un punto. d) Los puntos resultantes se unen por medo de una línea recta obtenéndose una línea polgonal. e) Con la naldad de cerrar la línea polgonal se agrega una clase magnara con recuenca cero a cada extremo de la dstrbucón de recuenca, por tales motvos ambos extremos del polígono se cortan con el eje de las abscsas. Tambén se puede elaborar un polígono de recuenca después de haber gracado un hstograma; s se determna el punto medo de cada rectángulo de un hstograma y esos puntos medos se unen por medo de segmentos de recta dan como resultado el polígono de recuenca. (Fgura de la zquerda) Hstograma de recuencas acumuladas: Se utlza báscamente para mostrar la dstrbucón de recuencas acumulada de varables cuanttatvas. Es una gráca que se elabora con los valores de las recuencas acumuladas (menor que y mayor que) y los límtes de las clases de una dstrbucón de recuenca. El polígono de recuencas acumuladas es conocdo comúnmente como ojva. La ojva es una representacón gráca que consste en una línea, que puede ser ascendente o descendente y se utlza para representar las dstrbucones de recuencas acumuladas menor que y mayor que, según los datos utlzados. En los estudos de análss estadístcos la ojva es de gran utldad porque permte obtener con gran aproxmacón certa normacón requerda, en un momento determnado. 08 Selectvdad.ntergranada.com

16 6.0.- Ejerccos Resueltos: Estadístca Undmensonal. Sea la sguente dstrbucón estadístca: x [0, 5) 3 [5, 0) 5 [0, 5) 7 [5, 30) [30, 35) Hallar: a) La moda, medana y meda. b) El rango, desvacón meda, varanza, desvacón típca y C.V. c) Los cuartles º y 3º. d) Los percentles 30, 70 y 97. Lo prmero es completar la tabla con las columnas necesaras: x Intervalo x F h H x x x x [0, 5) ,3 0, [5, 0) ,38 0, [0, 5) ,333 0, [5, 30) ,90 0, [30, 35) 3.5 0, = x = 57, x x = 98,57 Moda: La moda, que es el valor que más se repte, se encuentra en el ntervalo [0, 5), así que: Mo L a ( ) ( + ) ( 7 5) ( 7 5) ( 7 ) = + = = + + Medana: La medana, que es la medda central, /=0,5, se encuentra en el ntervalo [0,5), por tanto: Meda: La meda artmétca vene dada por: 0,5 8 Me = L + a = =,786 7 x x 57,5 x =,79 = = = Rango: El rango es la derenca entre el mayor valor y el menor: r = xmax xmn = 35 0 = 5 Desvacón meda: vene dada por: D x x x 98,7 = = =,69 Varanza: La calculamos medante la expresón x Var = = = 068,5,79 x 33,87 x La Desvacón típca es la raíz cuadrada de la varanza: = Var = x = 33,87 = 5,86 El coecente de varacón es: Los cuartles venen dados por: 5,86 CV.. = = = 0,67 x,79 Q L a = + 3 El prmer cuartl, Q, está en /=5,5 está en la clase [5, 0) y su valor es: Q = = 7, Selectvdad.ntergranada.com

17 Estadístca Undmensonal 3 5 El tercer cuartl, Q 3, está en 3/=5,75 está en la clase [5, 30) y su valor es: Q 3 = = 5,936 Los Percentles venen dados por la expresón: P 00 = L + a El percentl ,3 00 = se encuentra en la clase [5, 0) y su valor es: P = = 8, 3 5 El percentl ,7 00 = se encuentra en la clase [0, 5) y su valor es: P = =,786 7 El percentl ,37 00 = se encuentra en la clase [30, 35) y su valor es: P = = 33, 5.- Al laboratoro de la polcía centíca de Casablanca, han llegado 30 botellas de agua de dstntas marcas, para analzar su contendo en sales mnerales, Se han obtendo los sguentes datos, expresados en mg Clasca la varable estadístca de concentracón de sales. La concentracón de sales, x, es una varable estadístca cuanttatva contnua..- Agrupa los datos en una tabla de 7 ntervalos. El recorrdo, r, es la derenca entre los valores máxmos y mínmos; r = max mn = 76 = 55 r = 55 Elegmos un r, un poco más grande que el recorrdo y que además sea múltplo de 7. r ' = 56 r r ' Calculamos r = r ' r = = 0,5 y calculamos la ampltud de cada ntervalo: a = = 8 7 Con esto cada ntervalo tene una ampltud a=8 y empezamos en: mn a = 0,5 = 0,5 Por tanto, el prmer ntervalo es (0,5-8,5). 3.- Completa la tabla con todas las columnas necesaras x Intervalos x F h H x x x x 0,5 8,5,5 0,33 0, ,7 8,5 36,5 3, ,66 0,3 6,5 58,5 7,5 36,5,5 0,5 3 0, 0,,5 90,75 0,79,5 5,5 8, ,33 0, ,5 665,75 7,9 5,5 60,5 56,5 5 0,66 0,8 8,5 596,5 5,35 60,5 68,5 6,5 6 0,066 0, ,5 3, 68,5 76,5 7,5 30 0, ,8 Totales: =30 x = 3 x = 7375,5 x x = 373, Selectvdad.ntergranada.com

18 Calcula: Estadístca Undmensonal.- La meda y la moda x 3 La meda artmétca vene dada por: Meda : x = = = 7, 3 30 La moda, que es el valor que más se repte, el 7, se encuentra en el ntervalo (,5 5,5), así que: 5.- La medana y los cuartles Mo L a ( ) ( + ) ( 7 3) ( 7 3) ( 7 5) = + =,5 + 8 = 9, La medana, que es la medda central, /=5, se encuentra en el ntervalo (,5 5,5) por tanto: 5 Me = L + a =,5 + 8 = 7,93 7 Los cuartles venen dados por: Q L a = + El prmer cuartl, Q, está en 30/=7,5 y se corresponde con la clase (8,5 36,5) y su valor es: 7,5 Q = 8,5 + 8 = 3, 5 El tercer cuartl, Q 3, está en 30 3/=,5 y se corresponde con la clase (5,5-60,5) y su valor es:,5 9 Q3 = 5,5 + 8 = 58, Los percentles P 0, P 80 y P 98 Los Percentles venen dados por la expresón: P 00 = L + a El percentl = se encuentra en la clase (36,5,5) y su valor es: 9 P0 = 36,5 + 8 =,5 3 El percentl = se encuentra en la clase (5,5 60,5) y su valor es: 9 P80 = 5,5 + 8 = 60,5 5 El percentl , 00 = se encuentra en la clase (68,5 76,5) y su valor es: 9, 6 P98 = 68,5 + 8 = 75,3 7.- La desvacón meda La desvacón meda vene dada por: D x x x 373,9 = = =, La varanza y la desvacón típca La Varanza la calculamos medante la expresón x Var = = = ,5 7,3 x 9,58 x La Desvacón típca es la raíz cuadrada de la varanza: = Var = x = 9,58 = 5, Selectvdad.ntergranada.com

19 9.- El coecente de varacón 5,5 El coecente de varacón es: CV.. = = = 0,39 x 7,3 Estadístca Undmensonal 0.- Representa los datos medante el gráco que consderes más adecuado. Contendo en sales mnerales en el Agua (mg) ,5 3,5 0,5 8,5 56,5 6,5 7,5 3.- Al lanzar 30 veces un dado, se obtenen los sguentes resultados:,5,,3,,6,,5,,,,6,,3,6,3,,,,,5,,6,,,,3,,, a) Recuenta los datos y organízalos en una tabla. b) Calcula la meda, la medana y la moda. c) Calcula el recorrdo. d) Calcula la varanza y la desvacón típca. e) A la vsta de la tabla, Se puede sospechar que el dado está trucado? Sol: x x x =30 x = 0 x = b) x = 3,36 ; m e=; M o=; c) 5; d),7 y,66; e) Trucado 8 08 Selectvdad.ntergranada.com