Ing. Rubén Darío Estrella, MBA

Transcripción

1 Septiembre 2014 Ing. Rubén Darío Estrella, MBA Cavaliere dell ordine al Merito della Repubblica Italiana Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemático, Teólogo y Maestro rubendarioestrella@hotmail.com / rubenestrella@atalayadecristo.org

2 En muchas ocasiones prácticas, el ritmo al que una cantidad cambia respecto a otra no suele ser constante, es decir, la expansión o contracción puede fluctuar, entonces es preferible representar estas situaciones a través de instrumentos matemáticos no lineales como la Parábola, la Hipérbola, la Elipse o la Circunferencia. Sobre todo las porciones de ellos que se enmarcan dentro del primer cuadrante del Sistema Cartesiano.

3 Ecuación Centro (h,k) y radio r (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 Si el centro es el origen x 2 + y 2 = r 2 Forma General x 2 +y 2 +Dx+Ey+F =0 (x+d/2) 2 +(y+e/2) 2 =(D 2 +E 2-4F)/4 (D 2 +E 2-4F) > 0 es una circunferencia. Centro (-D/2, -E/2) Radio r = ½ (D 2 +E 2-4F)

4 x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b (x-h) 2 /a 2 + (y-k) 2 /b 2 = 1 Ax 2 +By 2 +Dx+Ey+F =0

5 x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b (x-h) 2 /a 2 - (y-k) 2 /b 2 = 1 Ax 2 -By 2 +Dx+Ey+F =0

6 En una función lineal la variable dependiente y cambia en proporción directa con el cambio de la variable independiente x. La pendiente de una función lineal es la tasa constante de cambio de la variable dependiente si la variable independiente se acrecienta una unidad. En las funciones no lineales, la respuesta de la variable dependiente no se encuentra en proporción directa o exacta con los cambios de la variable independiente. Por ejemplo si verificamos el comportamiento de la siguiente función nos podremos dar cuenta: Y = f(x) = x²

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8 x y x y

9 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. b) Hacer el gráfico. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? d) Qué precio corresponde a la utilidad máxima?

10 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete) U = q * bu bu = Pu - Cu Cu = US$2 Pu = Cu + bu Pu = Cu + (Cu*150%) = = US$5 Bu = x 2 Utitlidad por casete

11 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: - Como el propósito es expresar la utilidad como una función del precio, la variable independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea x el precio al cual se venderá cada casete y U(x) la utilidad mensual correspondiente. - Se sabe cada mes se venden 4,000 casetes cuando el precio es US$5 y que se venderán 400 casetes menos cada mes por cada aumento de US$1 en el precio. Podríamos expresar el aumento con: x 5 Cantidad vendida = 4, (x - 5) m = (6-5)/( ) q = 4, x + 2,000 m = 1/-400 q = 6, x 1/-400(x-4000) = (y-5) q = (400) (15 x) x 4000 = - 400y x + 400y 6000 = 0 x = y x = (400) (15-y)

12 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. Cantidad vendida = 4, (x - 5) q = 4, x + 2,000 q = 6, x q = (400) (15 x) Bu = x 2 Utitlidad por casete Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete) U = (6, x) * (x 2) = -400x²+6,800x-12,000 Ax 2 +Bx+C=0 U = (400) * (15-x) * (x 2)

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14 x U(x) , , , , , , , , , , , ,

15 Utilidad Función de Utilidad U=(400)*(15-x)(x-2) 18,000 16,000 14,000 12,000 10,000 8,000 Función de Utilidad U=(400)*(15-x)(x-2) 6,000 4,000 2, Precio

16 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? El intervalo o margen de tolerancia sería [2 < x < 15], es decir, que si se desea beneficio se tendrá que vender a un precio mayor que US$2 y menor que US$15. Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática -400x²+6,800x-12,000 X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática = -6,800 ± (6,800)² - 4*(-400)* A 2 * (-400) X1 = (- 6, )/-800 = 2 X2 = (-6,800-5,200)/-800 = 15

17 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. d) Qué precio corresponde a la utilidad máxima? La gráfica es la parábola que abre hacia abajo. La utilidad máxima ocurrirá en el valor de x que corresponde al punto más alto en la gráfica de utilidad. Este es el vértice de la parábola del cual se sabe que ocurre cuando U = (6, x) * (x 2) = -400x²+6,800x-12,000 Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A

18 Caso I. Un fabricante puede producir una cinta de vídeo en blanco a un costo de US$2 por casete. Los casetes se han vendido a un margen de beneficio de un 150% cada uno y, a ese precio, los consumidores han comprado 4,000 casetes al mes. El fabricante planea incrementar el precio de los casetes y estima que por cada US$1 de aumento en el precio, se venderán 400 casetes menos cada mes. d) Qué precio corresponde a la utilidad máxima? U = (6, x) * (x 2) = -400x²+6,800x-12,000 Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a C (B²/4A) cuando x = -B/2A. x = -B = -6,800 = US$8.5 2A 2(-400) La utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US$8.5 por cada casete, y la utilidad máxima mensual es: U = -400x²+6,800x-12,000 U = -400(8.5)² + 6,800(8.5) - 12,000 = US$16,900

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20 Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada US$1 de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. b) Hacer el gráfico. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? d) A qué precio se optimizarán los beneficios?

21 Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: Utilidad = (cantidad vendida) * (utilidad por artículo) U = q * bu Cu = US$3 Bu = Pu Cu = 15-3 = US$12 Bu = x 3 Utitlidad por artículo Como el propósito es expresar la utilidad como una función del precio, la variable independiente es el precio y la variable dependiente es la utilidad. Sea x el precio al cual se venderá cada casete y U(x) la utilidad mensual correspondiente.

22 Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al cual se vendieron los casetes. Comience estableciendo la relación deseada en palabras: Se sabe cada mes se venden 200 artículos cuando el precio es US$15 y que se venderán 20 artículos más cada mes por cada disminución de US$1 en el precio. Podríamos expresar la disminución con: 15 x Cantidad vendida = (15 - x) m = (14-15)/( ) = -1/20 q = x -1/20 (x-200) = y - 15 q = x -x = 20y q = (20) (25 x) - x 20y x = y Bu = x 3 Utitlidad por artículo Utilidad = (cantidad de casetes vendidos) * (utilidad por casete) U = (500 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500 U = (20) * (25-x) * (x-3)

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24 x U(x) , , , , , , , , , , , , , , , , ,

25 Utilidad Función de Utilidad U=(20)*(25-x)*(x-3) 3,000 2,500 2,000 1,500 Función de Utilidad U=(20)*(25-x)*(x-3) 1, Precio

26 Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. c) Cuál sería el margen de tolerancia en precio que soportaría el artículo para generar beneficio? El intervalo o margen de tolerancia sería [3 < x < 25], es decir, que si se desea beneficio se tendrá que vender a un precio mayor que US$3 y menor que US$25. Y = Ax² + Bx + C Función Cuadrática -20x²+560x-1,500 X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática = -560 ± (560)² - 4*(-20)* A 2 * (-20) X1 = ( )/-40 = 3 X2 = ( )/-40 = 25

27 Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. d) A qué precio se optimizarán los beneficios? La gráfica es la parábola que abre hacia abajo. La utilidad máxima ocurrirá en el valor de x que corresponde al punto más alto en la gráfica de utilidad. Este es el vértice de la parábola del cual se sabe que ocurre cuando U = (500 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500 Y = Ax² + Bx + C X = - B ± B²-4AC 2A Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a C (B²/4A) cuando x = - B/2A.

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29 Caso II. Una compañía ha estado produciendo un artículo a US$3 y lo vende a un precio de US$15 y a ese precio de venta los consumidores están demandando 200 artículos mensuales. La compañía está planeando bajar su precio para estimular las ventas y considera que por cada peso de disminución se venderán 20 artículos más cada mes. d) A qué precio se optimizarán los beneficios? Si A < 0, la parábola se abre hacia abajo y su vértice es un punto máximo, y la función cuadrática tiene un valor máximo igual a C (B²/4A) cuando x = -B/2A. x = -B = -560 = US$14 2A 2(-20) La utilidad se maximiza cuando el fabricante cobra US$14 por cada artículo, y la utilidad máxima mensual es: U = (500 20x) * (x-3) = -20x²+560x-1,500 U = -20(14)² + 560(14) - 1,500 = -3,920+7,840-1,500 = US$2,420

30 Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, y unidades (en miles), respectivamente. a) b) c) Formule el modelo de la oferta. Cuál sería la menor oferta? Cuál sería la oferta si el precio fuera US$70?

31 Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, y unidades (en miles), respectivamente. a) Formule el modelo de la oferta. Determine la función cuadrática que pasa por los puntos: (precio, cantidad ofertada) ( p, q) (25, 112.5) (30, 250.0) (40, 600.0) q = f(p) q = ap² + bp + c

32 Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, y unidades (en miles), respectivamente. a) Formule el modelo de la oferta. q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: (25,112.5) = a(25)² + b(25) + c o 625a + 25b + c = (30,250.0) = a(30)² + b(30) + c o 900a + 30b + c = (40,600.0) = a(40)² + b(40) + c o 1,600a + 40b + c = Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 0.5, b = 0 y c = -200 En consecuencia, la función cuadrática de la oferta viene dada por: q = ap² + bp + c q = f(p) = 0.5p² - 200

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35 a b c y a b c a = => numerador => denominador a=0.5

36 PARA OBTENER EL NUMERADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES DIAGONALES -18,000 = 18,000 = = 3,375-4,500 = 4,500 = = 10,000-6,250 = 6,250 = = 15,000 SE SUMAN LOS (+) SE SUMAN LOS (-) 3,375 10,000 15,000 = 28,375-18,000-4,500-6,250 = -28,750 EL NUMERADOR = -375

37 PARA OBTENER EL DENOMINADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES DIAGONALES -48,000 = 48,000 = = 18,750-25,000 = 25,000 = = 36,000-22,500 = 22,500 = = 40,000 SE SUMAN LOS (+) SE SUMAN LOS (-) 18,750 36,000 40,000 = 94,750-48,000-25,000-22,500 = -95,500 EL DENOMINADOR = -750

38 a b c y a b c b = => numerador => denominador

39 PARA OBTENER EL NUMERADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES DIAGONALES -400, = 400, = 1, = 156, , = 375, = = 540, , = 101, = = 180, SE SUMAN LOS (+) 156, , , = 876, SE SUMAN LOS (-) -400, , , = -876, EL NUMERADOR = 0.00

40 a b c y a b c c = => numerador => denominador

41 PARA OBTENER EL NUMERADOR: - DUPLICAMOS LAS DOS PRIMERAS FILAS CAMBIA SE MULTIPLICAN SE MULTIPLICAN SIGNO DIAGONALES DIAGONALES -5,400, = 5,400, = 1, = 11,250, ,250, = 6,250, = = 4,050, ,500, = 13,500, = = 10,000, SE SUMAN LOS (+) 11,250, ,050, ,000, = 25,300, SE SUMAN LOS (-) -5,400, ,250, ,500, = -25,150, EL NUMERADOR = 150,000.00

42 Caso III. Las encuestas de mercado administradas a los proveedores de un producto en particular llevaron a la conclusión de que la forma de la función de la oferta es cuadrática. A los proveedores se les preguntó qué cantidades estarían dispuestos a ofrecer a distintos precios de mercado. Los resultados de la encuesta revelaron que, con los precios de $25, $30 y $40, las cantidades que los proveedores estarían dispuestos a ofrecer en el mercado serían 112.5, y unidades (en miles), respectivamente. a) Formule el modelo de la oferta. q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: = a(25)² + b(25) + c o 625a + 25b + c = = a(30)² + b(30) + c o 900a + 30b + c = = a(40)² + b(40) + c o 1,600a + 40b + c = Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 0.5, b = 0 y c = -200 En consecuencia, la función cuadrática de la oferta viene dada por: q = ap² + bp + c q = f(p) = 0.5p² - 200

43 p q(p) ,050

44 Cantidad ofrecida, en miles Oferta q=0.5p-200 1,200 1, Oferta q=0.5p Precio en dólares

45 Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. b) Cuál sería la mayor demanda? c) Cuál sería la demanda si el precio fuera US$50?

46 Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. Determine la función cuadrática que pasa por los puntos: (precio, cantidad demanda) ( p, q ) ( 5, 2025) (10, 1600) (20, 900) q = f(p) q = ap² + bp + c

47 Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. q = ap² + bp + c Al sustituir las tres combinaciones de precio-cantidad en la ecuación general cuadrática se obtiene el sistema resultante de ecuaciones: 2,025 = a(5)² + b(5) + c o 25a + 5b + c = 2,025 1,600 = a(10)² + b(10) + c o 100a + 10b + c = 1, = a(20)² + b(20) + c o 400a + 20b + c = 900 Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 1, b = -100 y c = 2,500

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50 Caso IV. En relación al caso anterior, se llevó a cabo una encuesta entre los consumidores con el fin de determinar la función de la demanda del mismo producto. Los investigadores preguntaron a los consumidores si comprarían el producto a diversos precios y con sus respuestas prepararon estimaciones de la demanda de mercado a varios precios. Luego de graficar los puntos de datos de la muestra se llegó a la conclusión de que la relación de la demanda estaba representada en forma óptima por una función cuadrática. Los investigadores concluyeron que la representación cuadrática era válida para precios comprendidos entre $5 y $45. Tres puntos de datos escogidos para ajustar la curva fueron (5,2025), (10, 1600) y (20, 900). a) Formule el modelo de la demanda. q = ap² + bp + c Al resolver este sistema de ecuaciones, produce los valores de: a = 1, b = -100 y c = 2,500 En consecuencia, la función cuadrática de la demanda viene dada por: q = p² - 100p + 2,500

51 p q(p) 5 2, , ,

52 Cantidad demanda en miles Demanda q=p-100p ,500 2,000 1,500 1, Precio en dólares

53 Caso V. El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 q o = q d 0.5p² - 200= p² - 100p + 2,500 (-1) -0.5p² + 100p 2,700 = 0 (-1) Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por: 0.5p² - 100p + 2,700 = 0

54 Caso V. El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por: 0.5p² - 100p + 2,700 = 0 X = - B ± B²-4AC Fórmula Cuadrática 2A p = - (-100) ± (100)²-4(0.5)(2,700) 2(0.5) p = 100 ± 4,600 = 100 ± p 1 = $ p 2 = $32.18

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56 Caso V. El equilibrio del mercado entre la oferta y la demanda puede estimarse para los modelos de la oferta y demanda de las funciones anteriores, con sólo determinar el precio de mercado que iguale a la cantidad ofrecida y la cantidad demandada. Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 Modelo que permitirá determinar el punto de equilibrio (p,q) del mercado viene dado por: 0.5p² - 100p + 2,700 = 0 p 1 = $ p 2 = $32.18 Los dos valores de p que satisfacen la ecuación son p 1 = y p 2 = El precio de se encuentra fuera del dominio relevante del modelo de la demanda y, por tanto, carece de significado. Si sustituimos p = $32.18 en los modelos de la Oferta y la Demanda obtenemos: Modelo de la Oferta q o = f(p) = 0.5p² Modelo de la Demanda q d = f(p) = p² - 100p + 2,500 Oferta q o = f(32.18) = 0.5(32.18)² = Demanda q d = f(32.18) = (32.18)² - 100(32.18) + 2,500 =

57 Demanda Oferta p q(p) q(p) 5 2, , ,

58 Cantidad en miles Punto de Equilibrio entre la Oferta y la Demanda 2,200 2,000 1,800 1,600 1,400 1,200 1, Función de la Demanda Función de la Oferta Precio en dólares [Punto de equilibrio en (32.18,317.77)]

59 p 0.5p^2-200 p^2-100p PRECIO OFERTA DEMANDA , ,

60 1, , p^2-200 OFERTA p^2-100p DEMANDA

61 Caso VI. La figura a continuación muestra las ubicaciones relativas de tres ciudades a lo largo de una carretera costera. Se trata de lugares muy populares de veraneo y su población crece muchísimo en los meses de verano. Las tres ciudades piensan que su servicio de rescate y de atención médica es insuficiente durante la temporada vacacional. Han decidido apoyar de modo conjunto un servicio de atención en casos de urgencia que enviará camiones de rescate y paramédicos bien adiestrados. La pregunta básica se refiere a la ubicación del servicio. Al elegir la ubicación, se ha aceptado que la distancia entre el servicio y las ciudades deberá ser lo más corta posible, a fin de garantizar tiempos rápidos de respuesta. Otra consideración es el tamaño de la población veraniega de cada ciudad, pues ésta es una medida de la posible necesidad de los servicios de respuesta ante las urgencias. Cuanto más grande sea la población veraniega de una ciudad, mayor será el deseo de situar el servicio cerca de ella. Los analistas han decidido que el criterio para seleccionar la ubicación es reducir al mínimo la suma de los productos de las poblaciones veraniegas de cada ciudad y elevar el cuadrado la distancia existente entre la ciudad y el servicio. Esto puede expresarse de la siguiente manera: d j ² = (x xj) ² + (y yj) ² d j ² = (x xj) ² 3 Minimice S = p j * d j ² J=1 Donde p j es la población veraniego de la ciudad j, expresada en miles, y d j es la distancia entre la ciudad j y el servicio de rescate. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S.

62 Caso VI. Los analistas han decidido que el criterio para seleccionar la ubicación es reducir al mínimo la suma de los productos de las poblaciones veraniegas de cada ciudad y elevar el cuadrado la distancia existente entre la ciudad y el servicio. Esto puede expresarse de la siguiente manera: 3 Minimice S = p j * d j ² J=1 Donde p j es la población veraniego de la ciudad j, expresada en miles, y d j es la distancia entre la ciudad j y el servicio de rescate. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S. Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y sea x j la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por medio de la ecuación d j = x - x j. Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará en función de x. La función se define así: 3 S= f(x) = p j * (x - x j )² J=1

63 Caso VI. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S. Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y sea x j la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por medio de la ecuación d j = x - x j. Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará en función de x. La función se define así: 3 S= f(x) = p j * (x - x j )² J=1 S = [150 * (x-12)²] + [100 * (x-20)²] + [200 * (x-30)²] S = [150 * (x²-24x+144)] + [100 * (x²-40x+400)] + [200 * (x²-60x+900)] S = 150x²-3,600x+21, x²-4,000x+40, x²-12,000x+180,000 El Modelo de Ubicación viene definido por la función: S = 450x² - 19,600x + 241,600

64 Caso VI. Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*==========*========== MILLAS Si las poblaciones veraniegas son, respectivamente, 150,000, 100,000 y 200,000 para las tres ciudades, calcule la expresión general correspondiente a S. Sea x la ubicación del servicio en relación el punto cero de la escada de la figura anterior y sea x j la ubicación de la ciudad j. La distancia entre la ciudad j el servicio se calcula por medio de la ecuación d j = x - x j. Cuando x se define como la ubicación desconocida del servicio propuesto, S se expresará en función de x. La función se define así: 3 S= f(x) = p j * (x - x j )² J=1 El Modelo de Ubicación viene definido por la función: S = 450x² - 19,600x + 241,600 Nótese que esta función es la forma cuadrática, y se graficará como una parábola que es cóncava hacia arriba. S será minimizada en el vértice de la parábola o donde: x = -B = -(-19,600) = A 2(450) Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 =============*========*=[=]========*========== MILLAS Ubicación óptima del servicio El servicio de respuesta a urgencias se instalará a millas a la derecha del punto cero, o sea a 1.77 millas a la derecha de la ciudad 2.

65 Modelo de Ubicacion 450x^ x , , , , , ,