Si no existe el límite, se dice que la función no es derivable en x 0 En este caso, la gráfica tiene un pico en el punto P(x 0

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1 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. CÁLCULO DE DERIVADAS Función derivada Se llama función derivada de una función f a la función h f f hh lim f(f () representa la pendiente de la gráfica) En consecuencia, la derivada de la función f en un punto = sería h Si no eiste el límite, se dice que la función no es derivable en. En este caso, la gráfica tiene un pico en el punto P(, f( )) f f hh lim fcomo el cálculo de límites es bastante laborioso los matemáticos dedujeron, usando el cálculo de límites, unas fórmulas y reglas para obtener la derivada de forma más sencilla y rápida: La función derivada de las funciones básicas con las que vamos a trabajar se recoge en esta tabla: Tabla de derivadas Función constante: f() c f () Función potencia: Ejemplo : f() 7 f () k k f() f () k Ejemplo : f() f () f() f () Casos particulares f() f () f() f () f() f () Función eponencial: f() a f () a ln(a), a, a Ejemplo : f() f () ln() Caso particular : f() e f () e Función logaritmo: f() log a () f (), a, a ln(a) Ejemplo : f() log () f () ln() Caso particular : f() ln() f () Derivada de la suma y la resta f() u() v() f () u () v () f() u() v() f () u () v () 5 Ejemplo:f() f () 5 Reglas de derivación Derivada de un nº por una función f() k u() f () k u () Ejemplo : f() 7 f () 7. Derivada de la combinación lineal de funciones f() au() b v() f () au () b v () Ejemplo : f() 5 f () Derivada del producto de funciones f() u() v() f () u () v() u() v () Ejemplo : f() ln() f () ln() ln() [ln() ] Derivada del cociente de funciones u() u () v() f() f () u() v () v() [v()] ln(). ln() ln() Ejemplo : f() f () - Página -

2 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) Abreviadamente, la derivada es f[u()] [f(u())] f [u()] u () [f(u)] f (u). u Ejemplos 7 u f(u) u ) f() ( ) f () [f(u)] f (u). u 7u. u 7( ).( ) ( ) u ln() ln() ) f() ln () f () [f(u)] f (u). u ln(). f(u) u u e e f(u) u ) f() f () [f(u)] f (u). u.(e ) e (e ) (e ) u ) f() f () [f(u)] f (u). u.( ) f(u) u u u f(u) 5) f() f () [f(u)] f (u). u ln().( ) ln(). u 6 6) f() log 5(6) f () [f(u)] f (u). u.6 f(u) log (u) 5 6ln(5) ln(5) Ejercicio de clase Sean las funciones f() = ( ) ln( e ) g() Determine el valor de f ( ) y g (). (Propuesto PAU Andalucía ). es f () ( ) () ln( ) ( ) Sacando factor común ( ) obtenemos : f () ( ) ln( ) ( ) Luego, f ( ) [( ) ] ( ) ln[( ) ]. ( ) ( ) es () e.( ) ( ) (e ) g () ( ) ()( ) Sacando factor común (e ) obtenemos (e ) ( ). ( )( ) Luego, g () (e ). ( ) - Página -

3 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) ( 5) f() b) g() = e 7 ( 5 ) c) (Propuesto PAU Andalucía ) ln( ) h() ( 5) ()( ) ( 5) ( ) ()( 5) ( ) ( 5)( ) ()( 5) ( ) a) f () ( ) ( ) ( ) b) g () e.7 ( 5 ) e ( 5 )( ) e ( 5 ) 7( 5 ) ( ) e ( 5 ) ( 5 ) c) h ().ln( ) ( ) ln( ). ln( ) ( ) ln( ) ( ) ( ) Ejercicio de clase Calcule las derivadas de las siguientes funciones: a) f() = e ln( 5) b) g() c) h() = ( + 5 ) 6 + ln. (Propuesto PAU Andalucía ) a) f () e.. ln( 5) e. f () e ln( 5) ln()( ).ln(). ( ) b) g () g () ( ) ( ) 5 c) h () 6( 5) (6 5) Ejercicio de clase Halle la función derivada de la función resultado. (Propuesto PAU Andalucía ) f() L y simplifique el Usando propiedades del logaritmo : f() L() L( ) f () ( ) ( ) Sin usar propiedades del logaritmo : f () ( ) ( ) ( ) Hacer actividades a 8.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN. Para que una función f sea derivable en un punto se tienen que cumplir las siguientes condiciones: (C) f debe ser continua en (C) Debe eistir f ( ) - Página -

4 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Las funciones no definidas a trozos son derivables en todos los puntos donde sean continuas. Si la función es definida a trozos, hay que estudiar el punto donde cambia la epresión de la función. u(), si Por ejemplo, Si f(), siendo u, v funciones derivables es una función definida a v(), si trozos. Entonces f es derivable en = si se cumple: C) C) lim lim f() lim f() f( ). Luego, lim u() lim v() f( ) f () lim f () L (estos límites se llaman derivadas laterales en ) En tal caso, f ( ) = L. Luego, lim u () lim v () L Gráficamente, si una función f es derivable en un punto =, la gráfica en el punto P(, f( ) ) no tiene roturas (pues es continua) ni pico. Si una función es derivable en un punto, es continua en dicho punto., si Pero si la función es continua no tiene por qué ser derivable. Por ejemplo, f(), si continua en =, pero no es derivable en =. Pues, si,, si f () y lim lim ( ), si, si Ejercicio de clase 5 Sea la función f(), si, si Estudie la derivabilidad de la función en su dominio. (Propuesto PAU Andalucía 7) es para, pero f() 7 f(),. Luego, D(f) R Para y, f es derivable lim f() lim En : f no es continua en. Luego, no puede ser derivable lim f() lim ( ) lim f() lim () 5 En : lim f() lim ( ) 5 f es continua en. f() 5 lim f () lim () f no es derivable en lim f () lim () - Página -

5 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase 6 Sea la función f(), si 9, si derivabilidad. (Propuesto PAU Andalucía ). Estudie su continuidad y, si S i y, f es d eriva b le ( y p o r ta n to, c o n tin u a) y f () ( ) 9, si P a ra, f(). Lu eg o, n o es co n tin u a (n i d eriv a b le, p o r ta n to ) lim f() lim P a ra, lim f() lim ( 9 ) f es c o n tin u a f( ) lim f () lim ( ) co in cid en la s d eriva d a s la tera les. Lu eg o, f es d eriva b le en lim f () lim ( 9 ) e, si Ejercicio de clase 7 Sea la función f(), si ln(), si a) Estudie la derivabilidad, obteniendo la función derivada. b) Calcule, si es posible, f () y f (). (Propuesto PAU Andalucía 999) e, si a) P a ra y, f es d erivab le ( y, p o r tan to, tam b ién co n tinua). A d em á s, f ( ), si ( ), si lim f() lim e e En lim f() lim f es no es co ntinua en y, p o r tan to, tam p o co d erivable f( ) lim f() lim En lim f() lim ( ln( )) f es co ntin ua en f( ) lim f () lim ( ) n o co incid en la s d erivad a s la tera les en no es d erivable en lim f () lim c ) f ( ) f ( ) ( ) 9 - Página 5 -

6 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES, si Ejercicio de clase 8 Sean las funciones f(), si h(), si a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f en =., si b) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función h en =. c) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel. (Propuesto PAU Andalucía ) lim f() lim ( ) a) lim f() lim ( ) f es continua en f() lim f () lim ( ) Coinciden las derivadas laterales en. lim f () lim ( ) lim h() lim ( ) b) lim h() lim ( ) h es continua en h() lim h () lim ( ) No coinciden las derivadas laterales en. L lim h () lim ( ) Luego, f es derivable en. Además, f () uego, h es no es derivable en c) Como f es derivable en, su gráfica no tiene "pi cos".luego, f corresponde al arco redondeado de un túnel. Y, por tan to, h corresponde a la catedral Ejercicio de clase 9 En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de eponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por t, si t f(t) donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la, si t t luz en el ojo. Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función f. (Propuesto PAU Andalucía 7) t, si t Para t, f es derivable (y, por tan to, continua) y f (t), si t (t ) t t lim f(t) lim t En t : lim f(t) lim f es continua en t t t t f() lim f (t) lim ( t) t t no coinciden las derivadas laterales en t. Luego, f no es derivable en t. lim f (t) lim t t (t ) - Página 6 -

7 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES b, si Ejercicio de clase Calcule los valores de a y b para que la función f() sea a, si derivable en el punto de abscisa =. (Propuesto PAU Andalucía 6) Para que sea derivable en =, debe ser continua y coincidir las derivadas laterales en dicho punto b b lim f( ) lim b b ; f() b lim f( ) lim ( a ) a..a Porsercontinuaen, debeser baab b b lim f ( ) lim b lim f ( ) lim (a) a.a ab Por coincidir las derivadas laterales, baab a, b ab Ejercicio de clase Sea la función f() (a ), si. Halle los valores de a y b b( ), si sabiendo que la función es derivable en =. (Propuesto PAU Andalucía 5) a lim f( ) lim (a) ( a) lim f( ) lim ( b( )) ( ) bb a f( ) b Por ser continua en, b a( b) abab a lim f ( ) lim. a lim f ( ) lim ( b.).( ) bb a ab Por coincidir las derivadas laterales, b a( b) ab ab a8, b7 a b Hacer actividades 9 a.- RECTA TANGENTE A UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Recuerda que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta. Cuando la gráfica de una función no es una recta y queremos medir la pendiente de la gráfica se utiliza la derivada. f ( ) representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(, f( )). Si no eiste, dijimos que la función no es derivable en Gráficamente significa que la gráfica en el punto P tiene un pico - Página 7 -

8 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES La recta tangente es la recta que pasa por P y la que más se aproima a la gráfica de la función en las proimidades del punto P. Ecuación de la recta tangente en un punto P(, f( )) Como la recta tangente a la gráfica de una función f pasa por el punto P(, f( )) y su pendiente es f ( ), la ecuación de la recta tangente es: rtg : y f ( ).( ) f( ) Para poder calcular dicha ecuación es necesario que eistan tanto f(a) como f ( ). Una vez calculados, sustituimos en la fórmula anterior los valores: " ", " f( ) " y " f ( ) " y después reducimos la epresión efectuando las operaciones. Ejercicio de clase Sea la función definida de la forma f(), si, si Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. (Propuesto PAU Andalucía 7) La ecuacióndelarecta tan genteen es: y f ( ).( ) f( ). ( ). Enestecaso,, f( ) f(). Como para ( ), f ( ), f ( ) f () ( ) ( ) La ecuacióndelarecta tan gentees: y.( ) r : y 56 Ejercicio de clase Se consideran las siguientes funciones f() y g() =. a) Determine la abscisa del punto donde se verifique que f () = g (). b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de cada función en el punto de abscisa = y determine el punto de corte de ambas rectas tangentes, si eiste. (Propuesto PAU Andalucía 7) 5. (5 6). 6 6 a) Com o f ( ) g ( ) f ( ) g () 6 b) * La ecuación de la recta tan gente a f en es : y f ( ).( ) f( ) tg En este caso,, f( ) f() ; f ( ) f () La ecuación de la recta tan gente a f en es : y.( ) r : y * La ecuación de la recta tan gente a g en es : y g ( ).( ) g( ) En este caso,, g( ) g() ; g ( ) g (). La ecuación de la recta tan gente a g en es : y.( ) r : y y El punto de corte se calcula resolviendo el sistema 7 (no tiene solución) y Luego, las rectas tan gentes no se cor tan tg tg - Página 8 -

9 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 6 Ejercicio de clase Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función h() en el punto de abscisa = y determine, si eisten, las ecuaciones de sus asíntotas. (Propuesto PAU Andalucía 6) ( ) ( 6). 9 Para, h () y la ecuación de la recta tangente a h en es ( ) ( ) y h ( ).( ) h( ). En este caso,, h( ) h() ; h ( ) h () La ecuación de la recta tangente a h en es : y.( ) r tg : y 6 6 lim h() lim lim La A.H. en es la recta y,5 lim h(),5 lim h() La A.V. es la recta,5 lim h() Ejercicio de clase 5 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() = e en el punto de abscisa =. (Propuesto PAU Andalucía ) La ecuación de la recta tangente a g en es : y g ( ).( ) g( ) g() e, g () e.6e.. En este caso,, g( ) g() e ; g ( ) g () 6e 6 La ecuación de la recta tangente a g en es : y6.( ) r : y6 tg Ejercicio de clase 6 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() el punto (, ). (Propuesto PAU Andalucía 9) ( ) (). f (). La ecuación de la recta tangente a f en es : () () y f ( ).( ) f( ). En este caso,, f( ) f() ; f ( ) f () La ecuación de la recta tangente a f en (, ) es : y.( ) r : y tg en Ejercicio de clase 7 En qué punto de la gráfica de la función f() = + +, la recta tangente es paralela a y = 5? (Propuesto PAU Andalucía ) Sea P(, y) el punto donde la recta tangente es paralela a la recta y 5. Entonces, lapendiente de la recta tangente a f en P es igual a la pendiente de la recta y 5 Luego, f (). Por tanto, y f(). El punto es P(, ) - Página 9 -

10 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase 8 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = en cada uno de los puntos en los que su pendiente sea igual a. (Propuesto PAU Andalucía ) Hallemos los puntos en los que la pendiente es : f () La ecuación de la recta tangente a f en es : y f ( ).( ) f( ) Recta tangente en : en este caso,, f( ) f() ; f ( ) f () La ecuación de la recta tangente a f en es : y.() r : y tg Recta tangente en : en este caso,, f( ) f( ) ; f ( ) f ( ) La ecuación de la recta tangente a f en es : y.() r : y Ejercicio de clase 9 Sea la función definida para todo número real por f() = a + b. Determine a y b sabiendo que su gráfica pasa por el punto (, ) y que en ese punto la pendiente de la recta tangente es. (Propuesto PAU Andalucía 7) La gráfica pasa por (, ) f() a b f () a b La pendiente de la recta tangente en es f () a b a b Luego, a b a b Ejercicio de clase Halle los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de f() = a b en el punto (, 5) sea la recta y = +. (Propuesto PAU Andalucía 7) La gráfica pasa por (, 5) f() 5 a b 5 f () a La pendiente de la recta tangente en es f () a a b 5 7 Luego, a b a Hacer actividades a 8 tg.- APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES Monotonía y etremos de una función Estudiar la monotonía de una función f es averiguar los intervalos de la recta real donde f es creciente, decreciente o constante. Como la derivada representa la pendiente de la recta tangente: Si f tiene un etremo relativo en f, pues la recta tangente es horizontal Si f f es creciente en, pues la recta tangente tiene pendiente positiva Si f f es decreciente en, pues la recta tangente tiene pendiente negativa Ten en cuenta: Puede que f ( ) = y en = no haya máimo ni mínimo pues puede que f sea creciente o decreciente Por ejemplo, la función f() = (f () = ) es creciente en = y f () = - Página -

11 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Si queremos estudiar la monotonía de una función f ten en cuenta que: Si f, en un intervalo pendiente de lartg f es creciente en dicho intervalo Si f, en un intervalo pendiente de lartg f es decreciente en dicho intervalo Si f, en un intervalo pendientedelartg f es constante en dicho intervalo Una vez determinada la monotonía se pueden deducir cuales son los etremos relativos (máimos y mínimos relativos) recordando que: Si la función pasa de ser creciente a decreciente y es continua, entonces hay un máimo relativo Si la función pasa de ser decreciente a creciente y es continua, entonces hay un mínimo relativo Si sólo queremos calcular los etremos relativos de una función f podemos usar el siguiente procedimiento: º) Calculamos f () y resolvemos la ecuación f () =. Si no tuviese solución es porque no hay etremos relativos En otro caso, supongamos que una solución es = º) Calculamos f () (que es la derivada de f ()). Entonces: Si f, entonces en sealcanzaunmínimorelativo Si f, entonces en sealcanzaunmáimorelativo Esto mismo hacemos para todas las soluciones de la ecuación f () = Si f ( ) = entonces no podemos deducir si = es o no etremo relativo. En este caso, usamos el primer método descrito en este apartado Curvatura y puntos de infleión de una función Estudiar la curvatura de una función es averiguar los intervalos de la recta donde es convea (forma de U) ó cóncava (forma de ). La derivada segunda, f (), nos permite averiguarlo: Si f, en un intervalo, entonces f es convea en dicho intervalo Si f, en un intervalo, entonces f es cóncava en dicho intervalo Si f, en un intervalo, entonces f es unalínearectaendichointervalo Una vez determinada la curvatura se pueden deducir los puntos de infleión - Página -

12 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Los puntos de infleión son puntos donde la función es continua y pasa de ser convea a ser cóncava o al revés. Si sólo queremos calcular los puntos de infleión de una función f, podemos usar el siguiente procedimiento: º) Calculamos f () y f () y resolvemos la ecuación f () =. Si la ecuación no tuviese solución entonces no hay puntos de infleión En otro caso, supongamos que una solución es = º) Calculamos f () (que es la derivada de f ()). Si f ( ), entonces en = hay un punto de infleión Esto mismo hacemos para todas las soluciones de la ecuación f () = Si f ( ) = entonces no podemos decidir si es o no punto de infleión. En este caso, hay que usar el primer método descrito en este apartado a b, si Ejercicio de clase Sea la función f definida mediante f(), si Determine a y b sabiendo que f es continua y tiene un mínimo en =. (Propuesto PAU Andalucía 7) lim f() ab Como para f es continua. Para que sea continua debe ser continua en lim f() ab f() a, si Observamos que f (), si ab Como debetener un mínimo en f ( ).( ) a a a b a Ejercicio de clase Sea la función f()= + a + b. Halle a y b sabiendo que la función tiene un mínimo en el punto de abscisa = y un punto de infleión en el punto de abscisa =. (Propuesto PAU Andalucía 7) Observamos que f () a b f () 6 a Como debetener un mínimo en f ( ) a b a b a b a 6 b 9 Como debetener un punto de infleión en f ( ) a a 6 a 6 - Página -

13 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase Calcule los valores de los parámetros a y b para que la gráfica de la función f() = + a + b presente un etremo relativo en el punto (,6). (Propuesto PAU Andalucía 7) La gráfica pasa por (, 6) f() 6 8 a b 6 Si f presenta un etremo relativo en (, 6) como f () a f () a a b Luego, a, b a Hacer actividades 9 a 6 Ejercicio de clase Sea la función, si f(). Estudie la monotonía y calcule las, si ecuaciones de las asíntotas, si eisten. (Propuesto PAU Andalucía 6), si Para, f () f (). Luego, f es decreciente, si ( ) lim f() lim A.H. en : y lim f() lim ( ) No hay A.H. en lim f() lim ( ) Como para, f es continua y en f no tiene A.V. lim f() lim Ejercicio de clase 5 Se considera la función f() = +. Halle el máimo, el mínimo y el punto de infleión de la función. (Propuesto PAU Andalucía 5) f (), ; f () 6 f () en se alcanza un mínimo (y f() ) M(, ) f ( ) en se alcanza un máimo (y f( ) ) N(, ) 7 7 ) f () 6 f ( f () en hay un punto de inf leión (y f( ) N(, ) Página -

14 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 8, si Ejercicio de clase 6 Sea la función f definida por f() 6., si Estudie la monotonía de f() y calcule sus etremos. (Propuesto PAU Andalucía ) 6, si Para, f () 6 ; f () f (), si f() ր máimo ց ց Luego, f es creciente en (, ) y decreciente en (, ). Además, f tiene un máimo en M(, ) y f( ) ( ) ( ) 8 Ejercicio de clase 7 Sea la función f() = + Halle los intervalos de concavidad y conveidad y los puntos de infleión. (Propuesto PAU Andalucía ) f () 8 ; f () 68 8 f () f() inf leión 8 Luego, f es cóncava en (, 8) y convea en (8, ). El punto de inf leión es I(8, 99) y f(8) 99, si Ejercicio de clase 8 Se considera la función f(), si a) Obtenga los etremos de la función. b) Estudie su curvatura. (Propuesto PAU Andalucía ), si, a) f () ; f (), si, f () El máimo es M(, ) y f() f() ր ր ր (máimo) ց 6, si b) f () ;f () 6 f (), si f() inf leión Luego, f es cóncava en (, ) (, ) y convea en (, ) - Página -

15 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES e, si Ejercicio de clase 9 Dada la función f(), si a) Es continua en =? b) Calcule su máimo y su mínimo, absolutos, en su dominio de definición. (Propuesto PAU Andalucía 998) lim f() lim e a) lim f() lim( ) f es continua en f() e e, si b) D(f) [, ]; Para, f () ; f (), si f () f() e ր ր (máimo) ց Por tanto, el mínimo absoluto es y se alcanza en ; el máimo absoluto es y se alcanza en Hacer actividades 7 a Ejercicio de clase De una función continua y derivable, f, se sabe que la gráfica de la función derivada, f, es una parábola que pasa por los puntos (, ) y (, ) y que tiene su vértice en el punto (, ). a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f, así como la eistencia de etremos. b) Si f() =, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa =. (Propuesto PAU Andalucía 6) a) Monotonía y etrem os : f () f() ր m áim o ց m ínim o ր Creciente en (, ) (, ) decreciente en (,) ; Máim o en y m ínim o en b) La ecuación de la recta tangente a f en es : y f ( ).( ) f( ) Recta tangente en : en este caso,, f( ) f() Mirando la gráfica de f () f ( ) f () La ecuación de la recta tangente a f en es : y.() r tg : y - Página 5 -

16 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase Estudie el crecimiento y decrecimiento de una función g cuya derivada tiene por gráfica la recta que pasa por los puntos (, ) y (, ). (Propuesto PAU Andalucía ) g () g () decreciente en (, ), creciente en (, ) g() ց Mínimo ր Ejercicio de clase La derivada de una función f definida de R en R es: f () = + 6. a) Determine, si es posible, para qué valores de alcanza f su máimo y su mínimo relativos. b) Calcule un punto de infleión de esta función y determine si es único o pueden eistir otros. c) Sabiendo que f() =, deduzca razonadamente si es f() < o es f() >. (Propuesto PAU Andalucía ) a) f () 6, f () Máimo en ; mínimo en f() ր Máimo ց Mínimo ր b) f () f () f() inf leión El punto de infleión es. No hay ningún otro porque si f es cóncava o convea c) Como en el intervalo (, ) f es decreciente (pues f () ) f() f() f() - Página 6 -

17 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase Sean dos funciones, f y g, tales que las epresiones de sus funciones derivadas son, respectivamente, f () = + y g () = a) Estudie la monotonía de las funciones f y g. b) De las dos funciones f y g, indique, razonadamente, cuál de ellas tiene algún punto en el que su derivada es nula. c) Cuál de las funciones f y g es una función polinómica de primer grado? Por qué? (Propuesto PAU Andalucía ) a) f () f () ; g () g es creciente f() mínimo Creciente en (, ) decreciente en (, ) b) Como f ( ), la respuesta es f c) como g () cte, g() es una función polinómica de primer grado ց ր Hacer actividades a 5 Ejercicio de clase Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = t 6t + 6t 6, t a) Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo (t = ) y al final del décimo año (t = ) b) En qué momentos se obtiene el máimo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías? (Propuesto PAU Andalucía ) a) t B() 6 (6 de pérdida) t B() ( de beneficio) b) B (t) 6t 7t 6 t, t 9 t t t t 9 t 9 9 t t B (t) B(t) 6 ր ր (máimo) ց 6 (mínimo) ր 55ր En el tercer año tuvo su beneficio máimo de. Al inicio y en el noveno año el mínimo (pérdidas de 6 ) Ejercicio de clase 5 La mosca común solamente vive si la temperatura media de su entorno está comprendida entre ºC y 6ºC. La vida en días, en función de la temperatura media T, medida en grados centígrados, viene dada por la función: V(t) (T T 6), T [, 6] 6 a) Determine la vida máima que puede alcanzar la mosca común. b) Calcule la vida mínima e indique la temperatura media a la que se alcanza. c) Si sabemos que una mosca ha vivido 5 días, a qué temperatura media ha estado el entorno donde ha habitado? (Propuesto PAU Andalucía 5) T T T T 6 T 6 V (T) (T ) T V (T) 6 V(T) 8 ր ր (máimo) ց 8 (mínimo) a) días b) 8 días a una temperatura media º C ó 6 º C 5.6 c) Como ha vivido 5 días, V(T) 5 (T T 6) 5 T T 6 6 ( ) T T 6 T T 56 T 8, T Ha estado a 8 º C ó a º C - Página 7 -

18 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase 6 El porcentaje de personas que sintonizan un programa de radio que se emite entre las 6 y las horas viene dado, según la hora t, mediante la función f(t) = 66 t + 7t t, 6 t a) Qué porcentaje de personas sintonizan el programa al comenzar la emisión? Y al cierre? b) A qué hora tiene máima y mínima audiencia? Qué porcentaje de personas sintonizan el programa a dichas horas? (Propuesto PAU Andalucía ) a) Al comenzar : f(6) % Al cierre : f() 8% b) f (t) 5tt t 7, t f (7) en t 7 hay un mínimo relativo. Además, f(7) f (t) 5 6t f () en t hay un máimo relativo. Además, f() 55 Luego, la máima audiencia es a las h con 55% y la mínima a las 7 h con un % Ejercicio de clase 7 Una persona está aprendiendo a nadar. Después de t horas de prácticas es capaz de nadar, en un minuto, una distancia f(t) metros, dada por la función f(t) = (5/) ( e t ) a) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función. b) Calcule, si eisten, las asíntotas horizontales y verticales de la función f. c) Con los resultados de las cuestiones anteriores qué conclusiones obtiene sobre la influencia del número de horas de práctica en la distancia que recorre el nadador por minuto (Propuesto PAU Andalucía 998) 5,t,t a) f (t), e e. Luego, f es creciente b) Como f es continua, no hay A.V lim f() ( e ) la A.H. en es la recta de ecuación y 5 lim f() ( e ) no hay A.H. en 5 c) Que al aumentar el nº de horas de práctica nada más rápido. El límite de la distancia es 6,7 m / min Hacer actividades a REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Como la derivada nos permite determinar la monotonía, etremos, curvatura y puntos de infleión de una función, esta herramienta junto con el cálculo de límites nos va a servir para dibujar la gráfica, de forma aproimada, de una función. Para representar gráficamente una función es conveniente analizar: ) El dominio de definición ) La continuidad y las asíntotas verticales (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) ) Las asíntotas horizontales y oblicuas (posición de la gráfica respecto de las asíntotas) ) La monotonía y los etremos relativos. 5) La curvatura y los puntos de infleión Si además, calculamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas tendremos más elementos para su representación. - Página 8 -

19 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase 8 Sea la función f()= Halle los puntos de corte con los ejes, estudie la monotonía y etremos y esboce la gráfica de la función. (Propuesto PAU Andalucía 7) Eje X : 6 9 ( 6 9). (,) y (, ) Puntos de corte con los ejes Eje Y : Punto (, f()) (, ) Monotonía y etremos : f () 9, f () f() ր (máimo) ց (mínimo) Creciente en (, ) (, ) decreciente en (, ) Máimo : M(, ) Mínimo :N(, ) ր Ejercicio de clase 9 La gráfica de la función derivada de una función f() es una parábola de vértice (, ) que corta al eje de abscisas en los puntos (, ) y (, ). A partir de la gráfica de f : a) Estudie el crecimiento y el decrecimiento de f. Para qué valores de se alcanzan los máimos y mínimos relativos? b) Esboce la forma de la gráfica de una función cuya derivada sea la parábola dada. (Propuesto PAU Andalucía ) a) f ( ), f ( ) f( ) ր m áim o ց m ínim o ր creciente en (, ) (, ), decreciente en (, ); m áim o en, m ínim o en - Página 9 -

20 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase Sea la función f() a) Determine sus máimos y mínimos relativos. b) Consideremos la función g() = f (). Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función g() en el punto de abscisa = c) Dibuje la gráfica de g() y de la recta tangente calculada en b). (Propuesto PAU Andalucía ) a) f (), f () f() ր máimo ց mínimo ր 9 El máimo es 9 M(, ) El mínimo es N(, ) y f( ) y f() 6 6 b) g() f (). La ecuación de la recta tangente a g en es : y g ( ).( ) g( ). como g () f () En este caso,, g( ) f () ; g ( ) g (). 5 La ecuación de la recta tangente a g en es : y 5.( ) r tg : y Página -

21 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase Sea la función f(). Determine su dominio, los puntos de corte con los ejes, sus asíntotas, y represéntela gráficamente. (Propuesto PAU Andalucía ) Como. Entonces, D(f) R. Eje X : punto (,) Puntos de corte con los ejes Eje Y : punto (, f()) (, ) lim f() lim lim La A.H. en es la recta y lim f() lim f( ) La A.V. es la recta lim f() - Página -

22 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES, si Ejercicio de clase Sea la función f(). 9, si Represente gráficamente la función y determine máimos y mínimos relativos, si los hubiere, así como el crecimiento y decrecimiento. (Propuesto PAU Andalucía ), si (imposible) ( ) f () 9 9, si f () f() ց ց ց mínimo ր Luego, f es creciente en, y decreciente en el resto. Mínimo M, 9 y f - Página -

23 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES 5, si Ejercicio de clase Siendo f: R R la función dada por la epresión: f(), si, si a) Represente la gráfica de esta función e indique los intervalos de crecimiento de dicha gráfica. b) Justifique si la función presenta, en el intervalo (, + ) algún punto de tangente horizontal. (Propuesto PAU Andalucía 999), si a) f ( ), si. C om o f ( ) en (, ), es en dicho int ervalo donde es creciente, si b) En el int ervalo (, ), f() f () en dicho inte rvalo es decreciente. Luego, no puede presentar ningún punto de tan gente horizontal, si Ejercicio de clase Dada la función f(), si a) Calcule la función derivada de f(). b) Represente gráficamente la función. (Propuesto PAU Andalucía 998) ( ) a) Si, f (), si, si lim f() lim En f no es continua en y, por tan to, tam poco derivable lim f() lim Hacer actividades a 55 - Página -

24 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase 5 La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por f() = , a) Determine la inversión que maimiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo. b) Calcule f (7) e interprete el signo del resultado. c) Dibuje la función de beneficios f(). Para qué valor o valores de la inversión,, el beneficio es de 8 mil euros? (Propuesto PAU Andalucía ) a) f () f () f() 8 ր ր (máimo) Para una inversión de 9 se obtiene el beneficio máimo de. b ) f (7 ) P a ra u n a in v e rsió n d e 7 e l b e n e fic io ib a c re c ie n d o c) f() , 8 Luego, para una inversión nula ó de 8 el beneficio es de 8 m il euros ց Ejercicio de clase 6 El número medio de clientes que visitan un hipermercado entre las y las horas está dado por f() = , en función de la hora, siendo. a) Halle los etremos relativos de esta función. b) Represente esta función y determine las horas en las que crece el número medio de clientes. c) Halle los valores máimos y mínimos del número medio de clientes que visitan el hipermercado entre las y las horas. (Propuesto PAU Andalucía ) a ) f ( ) , f ( ) f( ) 8 9 ր ր 9 6 (m á im o ) ց 6 (m ín im o ) ր ր 6 M á im o : (, 9 6 ) M ín im o : y f ( ) 9 6 y f ( 6 ) 6 b ) f e s c re c ie n te e n (, ) ( 6, ) E l n ú m e ro m e d io d e c lie n te s c re c e d e la s h a la s h y d e sd e la s 6 h a la s h c) El máimo número de clientes es 96 y el mínimo 6 - Página -

25 º BACHILLERATO MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II TEMAS 6 y 7.- DERIVADAS. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Ejercicio de clase 7 En una especie animal la contracción del iris, en décimas de milímetro, después de eponer el ojo a una luz brillante durante un determinado tiempo, viene dada por t, si t f(t) donde t es el tiempo, en segundos, que transcurre desde que se concentra la, si t t luz en el ojo. a) Represente gráficamente la función f, determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus asíntotas, en caso de que eistan. b) Determine en qué instante se obtiene la máima contracción y su valor. (Propuesto PAU Andalucía 7) t, si t a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento : f (t) t, si t (t ) t t f (t) f(t) ր ց Creciente en (, ) decreciente en (, ) Como es continua, no hay A.V. ; lim f(t) lim A.H. : y t t t b) Como el máimo de la función es (, ), la máima contracción se produce a los sg y es de, mm Hacer actividades 56 a 6 - Página 5 -