Problemas de cálculo

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1 Problemas Estimació estadística Vicete Mazao-Arrodo, 2012,2013 Problemas de cálculo Ejercicio 1 resuelto Observamos e mometos al azar e ua cocurrida calle de la ciudad. Nos iteresa registrar cuátas persoas va cogidas de la mao e cada mometo de observació detro del campo visual acotado. Estos so los resultados aotados por el observador Queremos estimar cuátas persoas, por térmio medio, va cogidas de la mao e esa calle de la ciudad, si limitacioes de mometos de observació. Utiliza los riesgos del 1%, 2%, 3%, 4% y 5% para hacer la estimació. La població está compuesta por todos los mometos posibles de observació, mietras que la muestra cosiste e ua selecció al azar de esos mometos. El problema cosiste e estimar por itervalo el valor de ua media aritmética a partir de los datos de la muestra. Para ello, ecesitamos primero calcular los estadísticos implicados: , ,0 Media ,0 D.t. 2, ,0 Σ El cálculo del error drecisió se lleva a cabo mediate la expresió: = Z σ Z S 1 = Z 2,01 49 e la que habrá que ir sustituyedo el valor de la distacia estadarizada que represeta la cofiaza (o el riesgo) escogido para la estimació. Dado que la muestra es grade (=50, mayor que 30), podemos supoer que la distribució muestral sigue ua ley ormal y acudir a la tabla de la curva ormal para traducir los riesgos idicados (o sus valores de cofiaza o seguridad complemetarios) e valores Z. Al hacerlo, ecotramos: 1

2 Co esta iformació, icluyedo cada valor de Z e la expresió de cálculo del error drecisió y expresado los sucesivos itervalos de cofiaza mediate sus cotas de valores míimo y máximo esperados para el parámetro, etoces: Tabla de estimacioes del 1% al 5% ep 0,74 0,67 0,62 0,59 0,56 mí. 6,26 6,33 6,38 6,41 6,44 máx. 7,74 7,67 7,62 7,59 7,56 Observa que, coheretemete, coforme aumeta el riesgo (dismiuye la cofiaza o seguridad), dismiuye la precisió del itervalo (aumeta el error drecisió) y, por tato, el itervalo es más amplio. Ejercicio 2 resuelto Nos preocupa ahora estimar el porcetaje de ocasioes e las que este observador obtiee el resultado 10. Utiliza los mismos iveles de cofiaza que e el problema aterior. Además, co ua seguridad del 95% Cuatas veces observará a 10 persoas cogidas de la mao de etre 200 mometos de observació? Ua forma istructiva de solucioarlo es tomar el cojuto origial de datos y trasformarlo e otro dode se observa úicamete dos valores: 1 (si el origial era 10) y 0 (e el resto de los casos). El resto de las operacioes so las mismas. Este ejercicio permite afiazar la idea de que las proporcioes so u caso particular de media aritmética: , ,4 Media 0,2 Σ D.t. 0,4 Tabla de estimacioes del 1% al 5% ep 0,15 0,13 0,12 0,12 0,11 mí. 0,05 0,07 0,08 0,08 0,09 máx. 0,35 0,33 0,32 0,32 0,31 Estos mismos resultados se obtiee utilizado las expresioes de cálculo específicas para proporcioes (compruébalo): = Z π (1 π) Z p (1 p) 2 0,2 (1 0,2) = Z = 0,057 Z 50

3 Para resolver el segudo iterrogate, aplicamos las proporcioes obteidas para Z=1,96 al total de 200 itetos, co lo que: Z 1,96 ep 0,11 22,00 mí. 0,09 18,00 máx. 0,31 62,00 Es decir, co ua cofiaza del 95% podemos cosiderar que el úmero de mometos de observació dode este observador aotará u 10 se ecuetra etre 18 y 62, etre u total de 200 observacioes. Ejercicio 3 resuelto Queremos saber cuál es la opiió de los cirteos (habitates de la famosa ciudad de Cirte) respecto a las últimas declaracioes de su cocejal de urbaismo sobre cómo utilizar los terreos colidates al parque cetral. Para ello, hemos pedido a ua muestra aleatoria quutúe las declaracioes de 0 a 10 como si las calificara co ua ota. Los resultados so 3, 1, 7, 2, 3, 2, 7, 3, 4, 2, 3, 2, 1, 8, 3, 1, 4, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 8, 1, 3, 2, 1, 5, 3, 1, 2, 7, 1, 4 95%. Co estos datos, respode a la iquietud del problema mediate ua cofiaza del Los datos se ha recogido e ua muestra, mietras que el iterés es coocer qué opia la població. Por tato, hay que realizar ua estimació por itervalo. Es decir, respodemos a la ecesidad de dar forma cocreta a la expresió: μ { X ± } cof Para respoder a ello, ecesitamos calcular la media de la muestra y el error de precisió. Vamos a geerar ua tabla de frecuecias básica que os permita realizar los cálculos de forma más secilla (aprovechado las frecuecias): X = X i f i = = 3 3

4 Ya teemos el valor de la media aritmética. Para calcular el error drecisió: = Z σ Vamos a realizar ua estimació habitual co ua cofiaza del 95%. Dado que la muestra es grade ( = 39 30), podemos supoer que la distribució muestral de medias es ormal. E la curva ormal, u área cetrada del 95% se correspode co ua distacia estadarizada de 1,96. Luego, Z=1,96. Por otro lado, o cotamos co el valor de la desviació tipo poblacioal, así que acudimos a la cuasidesviació tipo de la muestra: Ŝ = (X i X ) 2 f i 1 = = 2 Co esta iformació podemos completar el problema: Por tato: = Z σ = 1, = 0,62 μ { X ± } cof μ {3 ± 0,62} 0,95 μ {2,38 ; 3,62} 0,95 E otras palabras: co ua cofiaza del 95% afirmamos que la ota que los cirteos otorga a las últimas declaracioes del cocejal de urbaismo se ecuetra etre 2,38 y 3,62 lo que implica u suspeso e cualquier caso. Ejercicios propuestos 1. Hemos pregutado a ua muestra aleatoria dersoas de la tercera edad por su valoració e toro a cómo ha cambiado las relacioes etre la geeració de los mayores y de los jóvees. Tras aalizar las respuestas, ua de las variables geeradas es si cada persoa etrevistada cosidera que las relacioes itergeeracioales va hoy mejor, igual o peor que ates. Los datos correspodietes a esa variable so mejor, igual, peor, peor, igual, igual, mejor, peor, mejor, peor, igual, peor, igual, peor, peor, peor, igual, mejor, igual, peor, igual, peor, mejor, mejor, mejor, peor, peor, igual, peor, mejor Cuátas persoas e la població de la tercera edad cosidera que las relacioes itergeeracioales so hoy diferetes a las que había ates? Utiliza u ivel de cofiaza del 97%. 4

5 2. Cuál es el tamaño de la muestra utilizado e ua ivestigació dode se ha registrado 50 persoas casadas y se ha estimado que el porcetaje dersoas casadas e la població se ecuetra etre 20% y 30%? 3. E la estimació de ua media aritmética se ha geerado el itervalo de cofiaza {12; 16}. Si la media de la muestra hubiera sido el doble, mietras que el error drecisió fuera la mitad, cuál sería el uevo itervalo de cofiaza? 4. Co los datos de la siguiete distribució, estima la media aritmética de la població (de la que sabemos que es ormal), el porcetaje de datos co u valor superior a 4 y e cuátas ocasioes se obtedría u 2 de u total de Para respoder a estas pregutas, utiliza u riesgo del 3%. Xi fi Σ 20 5