UNIDAD 8.- Determinantes (tema 2 del libro)

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Montserrat Clara Vidal Lozano
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1 UNIDD 8.- Determinntes (tem del libro). DETERMINNTES DE ORDEN Y Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ) Definición: Pr un mtriz cudrd de orden, not por det( ) ó, l siguiente nº rel: det( ), se define el determinnte de y se not, se define el determinnte de y se ( + ) (sin préntesis) Regl de Srrus: Pr recordr con myor fcilidd el desrrollo del determinnte de orden, podemos usr est regl: + + Ejemplo.- Clculr los siguientes determinntes: ) ( ) () + b) UNIDD 8.- Determinntes

2 c) + + ( ) ( ) + Ejemplo.- Clculr el vlor de x en l siguiente iguldd con determinntes: x det x 7 x (hcemos el determinnte por l regl de Srrus) x ( x ) x x x x x x x + x VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de l págin. PROPIEDDES DE LOS DETERMINNTES.- El determinnte de un mtriz cudrd es igul l determinnte de su mtriz trspuest t.- Si los elementos de un fil o column de un mtriz se multiplicn por un nº, el determinnte de l mtriz qued multiplicdo por dicho nº. Esto tmbién nos permite extrer fctor común por fils o columns pr hcer un determinnte más simple. 7 (metemos el en l Fil ) 7 (metemos el en l column ) 7 esos determinntes d el mismo resultdo, -) (culquier de Vemos un ejemplo de scr fctor: (l Column tiene como fctor común, podemos extrerlo) (demás l Fil tiene como fctor común, y lo extremos) ( y plicmos Srrus) ( + + 8) OJO: Si tenemos un mtriz cudrd de orden n, y l multiplicmos por un nº k, entonces el determinnte n qued multiplicdo por k, pues k multiplic cd fil. Es decir, k k n.- Si los elementos de un fil o column de un mtriz se pueden descomponer en dos sumndos, su determinnte es igul l sum de dos determinntes que tienen igules tods ls fils o columns excepto dich column o fil cuyos sumndos psn respectivmente cd uno de los determinntes. det( F,..., Fi + Fi ',..., Fn ) det( F,..., Fi,..., Fn ) + det( F,..., Fi ',..., F Ejemplo : + + n + ) [ + + ] + [ + + ] + ( 8) UNIDD 8.- Determinntes

3 .- El determinnte del producto de dos mtrices cudrds es igul l producto de los determinntes de mbs mtrices B B y de ello tmbién se tiene que Ejemplo n.- Si en un mtriz permutmos (cmbimos) dos fils entre si (o dos columns entre si), el determinnte cmbi de signo. det( F,..., Fi,..., F j,..., Fn ) det( F,..., F Ejemplo.- n,..., F,..., F j i n + +. Si cmbimos l column con l column, el determinnte cmbi de signo, veámoslo: + +. Sólo se puede hcer fils con fils o columns con columns, y si hcemos vris permutciones, si el número es pr, el determinnte no vrí, pero si el número es impr el determinnte cmbi de signo..- Si un determinnte tiene dos fils igules o proporcionles (o columns igules o proporcionles), entonces el determinnte vle. Ejemplo.- pues si nos dmos cuent l fil es veces l fil : F F 7. Si un fil o column es combinción linel de ls restntes fils o columns, entonces el determinnte vle Ejemplo 7.- pues si nos dmos cuent C C + C, es decir, l column es combinción linel de l column y de l column.ç 8.- Si un fil o column se le sum un combinción linel de ls restntes fils o columns, el determinnte no vrí. Es decir, podemos sumr fils con fils o columns con columns, y el determinnte no vrí. Ejemplo 8.- ) (vmos sumr l fil l fil, esto se denot por F F + F ) UNIDD 8.- Determinntes

4 -9 (hor en este determinnte l fil le restmos dos veces l fil, esto se denot F F F ) NOT: Un determinnte con tod un fil o column de ceros, su vlor es VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de l págin 9. DESRROLLO DE UN DETERMINNTE POR DJUNTOS Definición: Dd un mtriz ( ij ) cudrd de orden n, se llm menor complementrio del elemento ij y se represent por ij, l determinnte de l mtriz que result de suprimir l fil i y l column j Ejemplo 9.- En l mtriz, clculmos lgunos de sus 9 menores complementrios + 7 Definición: Dd un mtriz ( ij ) cudrd de orden n, se llm djunto del elemento ij y se represent por ij, producto del menor complementrio Es decir, i j ij ( ) + ij L mtriz cuyos elementos son los djuntos de un mtriz ( ) djunt de y se represent por dj () ij por el signo correspondiente l pridd de l sum cudrd de orden n, se llm mtriz ij i + j. Ejemplo : Clculr l mtriz djunt de Clculmos los djuntos: ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + Luego: dj () Ejemplo.- Ver ejemplo del libro en mrgen izquierdo de l págin Propiedd: Se tiene que dj ( t ) [ dj( ) ] t UNIDD 8.- Determinntes

5 Desrrollo de un determinnte por djuntos: El determinnte de un mtriz cudrd culquier es igul l sum de los productos de los elementos de un fil o column culquier por sus djuntos correspondientes. sí, si tenemos que clculr de sus fils o columns, por ejemplo:, podemos hcerlo por Srrus o bien desrrollndo por un Si desrrollmos por l fil : + + Si desrrollmos por l column : + + Este método se suele utilizr en combinción con l propiedd 8 del punto nterior pr hcer ceros en un determind fil o column y después proceder l desrrollo por djuntos respecto de dich fil o column. Este método se suele usr en determinntes de orden myor. Ejemplo.- Dd l mtriz ) Por Srrus: , vmos clculr su determinnte de diferentes mners: b) Desrrollndo por l column (se puede hcer por l que quermos): + + ( ) Clculmos los djuntos: 9, ( ), Por tnto: ( 9) + ( ) c) Hciendo ceros: (hcemos F F + F y F F F pr hcer ceros en l primer column) (desrrollmos hor por l primer column, y como vemos sólo UNIDD 8.- Determinntes

6 tenemos que clculr, pues los demás están multiplicdos por ) Este último determinnte de orden tmbién se podí hber hecho hciendo ceros De esto podemos concluir que: - El determinnte de un mtriz tringulr o digonl es el producto es igul l producto de los elementos de l digonl principl - El determinnte de l mtriz unidd es - El deteminnte de l mtriz nul es VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de l págin. MTRIZ INVERS USNDO DETERMINNTES Recordemos que l mtriz invers de un mtriz cudrd es quell mtriz I Ls mtrices que tienen invers se llmn regulres Ls mtrices que no tienen invers se llmn singulres Propiedd: Un mtriz es regulr (es decir, tiene invers) si y sólo si que verific: Teorem.- Dd un mtriz regulr, entonces su invers es: [ dj ( ) ] t Ejemplo : Clculr l mtriz invers de t [ dj ( )] o bien 8 Clculmos el determinnte: es regulr y por tnto plicmos culquier de ls dos fórmuls del teorem, por ejemplo l primer [ dj( ) ] t Clculmos l mtriz djunt de (lo hcéis vosotros, es muy fácil) dj (). hor l t trsponemos: [ dj ( ) ] y por último multiplicmos por Comprobción: Efectumos (fácil de ver que es I) Ejemplo : Clculr l mtriz invers de UNIDD 8.- Determinntes

7 Clculmos el determinnte: es regulr y por tnto Clculmos los djuntos: 7 L mtriz djunt nos qued: dj (). Clculmos l trspuest y l multiplicmos por 7, obteniendo que 7 Propieddes de l invers:.- Si existe.- ( ).- ( B) B, ést es únic.-. RNGO DE UN MTRIZ POR DETERMINNTES Como y sbemos el rngo de un mtriz es el número de fils o columns linelmente independientes. Vemos como clculr lo con determinntes. Definición: Se llm menor de orden k de un mtriz de dimensión m n l determinnte de orden k formdo por los elementos que pertenecen k fils y k columns de l mtriz. Es decir, son los determinntes de culquier submtriz cudrd de Ejemplo.- Dd l mtriz, tenemos que es de dimensión y por ello podemos tomr submtrices cudrds de orden y orden Menores de orden : Son los elementos de l mtriz,,,, y 7 UNIDD 8.- Determinntes

8 Menores de orden : Sólo hy menores de orden que son: pues no podemos tomr letorimente los elementos del menor, este determinnte no es un submtriz de Ojo l tomr los menores no es un menor pues Ejemplo.- Se l mtriz 7 que es cudrd de orden. Tiene menores de orden, de orden y de orden. Menores de orden : Son los 9 elementos de l mtriz Menores de orden : Hy 9 menores de orden, como,,,.. 7 Menores de orden : Sólo hy uno y es el determinnte de l mtriz Propiedd: El rngo de un mtriz es el orden del myor menor no nulo Ejemplo.- Se l mtriz 7 que es cudrd de orden. Vmos clculr su rngo. Empezmos con los de myor orden, en este cso, el único es El rngo es pues y no hy menores de myor orden tiene ls fils o ls columns linelmente independientes 7 VER: Ejercicios resueltos del libro de texto de l págin,, y EJERCICIOS: De l págin, los ejercicios,,,, 7, 8, 9 De l págin, los ejercicios,,,,, 7, 8,,,,,,,. 8 UNIDD 8.- Determinntes

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