x 2 Soluciones de la Ecuación de 2º Grado TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios FUNCIÓN CUADRÁTICA Forma general Donde, son coeficientes reales,.

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1 TIPO DE ACTIVIDAD: Ejercicios Título Actividad: Nombre Asignatura: Función Cuadrática Algebra Sigla MAT00 Semana Nº: 3 Actividad Nº 4 Lugar Sala de clases Otro Lugar (Donde desarrolle sus horas No Presenciales PEV) APRENDIZAJES ESPERADOS: Resuelve problemas relativos al cálculo de imágenes de la función cuadrática, Aprendizaje para resolver problemas en su contexto laboral Aprendizaje Aprendizaje 3 Resuelve problemas relativos al cálculo de pre imágenes de la función cuadrática, para resolver problemas en su contexto laboral Resuelve problemas utilizando la representación gráfica de la función cuadrática, para resolver problemas cotidianos su contexto laboral FUNCIÓN CUADRÁTICA Forma general y f ( x) ax bx c Donde, son coeficientes reales,. La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. El Dominio de la función cuadrática es todos los números reales ( ). ECUACIÓN CUADRÁTICA Soluciones de la Ecuación de º Grado Cuando y = 0, la función cuadrática, se transforma en ax bx c 0, que es la ecuación de segundo grado (o cuadrática). Para el cálculo de las soluciones o raíces de la ecuación de segundo grado, x y x, se utiliza la siguiente expresión: x b b 4 a c a Donde las dos soluciones están dadas, cada una por: x b b 4 a c a y x b b 4 a c a Y que gráficamente, representan los puntos en donde la curva interseca al eje X. Agosto 04 / Programa de Matemática.

2 Naturaleza de las Soluciones de la ecuación de º Grado Podemos ver la naturaleza de las raíces de la ecuación con el discriminante, Si 0, tiene dos soluciones reales iguales, es decir, x x. Si 0, las raíces son reales y distintas, es decir, x x. Si 0, no tiene solución real, es decir, x, x son números complejos. b 4ac El siguiente cuadro, muestra la relación entre a (el coeficiente de gráfico de la función cuadrática. x ), el discriminante y el a > 0 > 0 = 0 < 0 a < 0 > 0 = 0 < 0 Agosto 04 / Programa de Matemática.

3 Ejemplo Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. Después de transcurridos t minutos, la altura del proyectil, en metros, por sobre el suelo está dada por la función: h( t) 3t 9t. a) Qué altura alcanza el proyectil a los 4 minutos? b) En qué momento la altura del proyectil es de 78 metros? Desarrollo: a) Se quiere obtener la altura (imagen) a los 4 minutos, es decir, Reemplazamos t = 4 en la fórmula: h(4) h 4 56 Respuesta: La altura a los 4 minutos será de 56 metros. b) Se quiere conocer a que minuto (preimagen) la altura es de 78 metros. Igualamos la función a 78 y se tiene que: 3t 9t 78 Se obtiene una ecuación cuadrática a resolver 3t 9t 78 0, para encontrar dos soluciones t y t Las soluciones (preimágenes) de la ecuación se obtienen a través de la fórmula cuadrática: t ( 3) ( 78) ( 3) 9 45 t t 6 Separaando las soluciones t t t t Respuesta: Se tiene, en este caso, que ambas soluciones responde a la pregunta, pues un valor, (t =) corresponde al momento cuando el proyectil sube y el otro, (t = 6), cuando el proyectil va bajando. Agosto 04 / Programa de Matemática. 3

4 I. Resuelva los siguientes ejercicios. La propagación de cierto virus estival se modela por la función f ( t) 00t 00t 4000, donde (t) meses del año, t varía de hasta. f indica el número de contagiados y t índica los a) Cuántos contagiados se estima que habrá al finalizar marzo? b) En qué mes del segundo semestre del año se estima que habrá 800 contagiados?. La propagación de cierto virus computacional se modela con la función f ( t) t 8t, donde f (t) indica el número de computadores infectados (en miles) y t indica el número de días desde que se propagó el virus, t varía de hasta 8. a) Cuántos computadores se estima que habrán contagiados al quinto día? b) Cuál es la primera vez en que se tendrán mil computadores infectados? 3. La productividad de una parcela que cultiva frutales está dada por la función f ( t) t 800t, donde f (t) indica el número de kilogramos de fruta producidos y t indica el número de árboles que se plantaron en la parcela, t varía de 0 hasta 800. a) Cuántos kilogramos de fruta se estima que se producen con 00 árboles? b) Cuántos árboles como mínimo plantaría Usted si quisiera obtener kilogramos de fruta? 4. La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la función f ( t) t t 3, donde f (t) indica grados Celsius ( C) y t indica el mes del año, t varía de hasta. a) Cuántos grados celsius se estima que habrá en marzo? b) En qué mes comenzarán las heladas (0 C)? Agosto 04 / Programa de Matemática. 4

5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRATICA Relación entre las raíces y los coeficientes de la función cuadrática Si x y x son las soluciones (o raíces) de la ecuación ax bx c 0, entonces siempre se cumplen las siguientes igualdades: Gráfica x x b a La gráfica de la función cuadrática f ( x) ax bx c corresponde a una Parábola. Para esbozar la función cuadrática se necesita conocer la intersección con los ejes y las coordenadas del vértice. Intersección con los Ejes Eje Y: Para determinar la intersección de la parábola con el eje Y, se hace x = 0 y se tiene que: f (0) a 0 b 0 c y c y De esta forma, el término independiente (c) de la función cuadrática es el valor donde la gráfica interseca al eje Y. Luego, el punto de intersección de la parábola con el eje Y (0, c). x x c a Eje X: Para determinar la intersección de la curva con el eje X, se hace y = 0, obteniendo la ecuación cuadrática: ax ax bx c f ( x) 0 bx c 0 Al resolver la ecuación se obtienen las soluciones que son x y x, donde: b x b 4 a c a y x b b 4 a c a Los puntos x y x, corresponden a los puntos donde la parábola interseca al eje X. Agosto 04 / Programa de Matemática. 5

6 Coordenadas del Vértice: Las coordenadas del vértice corresponden al punto V= ( x, y) de la parábola, que pertenece al eje de simetría, es decir, la recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas. Se puede determinar con la siguiente expresión: Donde b V ; a b b x e y f a a f b a Gráfica de una parábola Agosto 04 / Programa de Matemática. 6

7 II. A TRAVÉS DE LA GRÁFICA CONSTRUYA EL MODELO CUADRÁTICO Y RESPONDA. 5. Durante un experimento se midió la temperatura de un líquido. Al hacer el análisis resultó que la variación de temperatura estaba dada por una función cuadrática, donde la variable x representa el tiempo en minutos. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. 6. Un cibercafé abre su local a las del día y cierra a las 0 de la noche. El número de clientes que hay en el cibercafé en función del número de horas x que lleva abierto el local está dado por una función cuadrática. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. Agosto 04 / Programa de Matemática. 7

8 7. La velocidad (m/seg) que posee una pelota de tenis al ser lanzada hacia el cielo está determinada por medio de una función de segundo grado. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. 8. Los ingresos mensuales (en cientos de dólares) de un empresario de máquinas electromecánicas están dados por una función donde x es la cantidad de máquinas que se fabrican en el mes. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. máquinas Agosto 04 / Programa de Matemática. 8

9 ANEXO DE EJERCICIOS GUIA N 4 CONOCIENDO LA FUNCION CUADRÁTICA Para tus horas NO Presenciales Agosto 04 / Programa de Matemática. 9

10 Con los siguientes ejercicios de Función Cuadrática, podrás seguir practicando, para abordar los Aprendizajes Esperados de la Guía, relacionados al cálculo de imagen, pre imagen y construcción de la función a partir de su gráfica. Si aún quieres aclarar los procedimientos numéricos para el cálculo de imagen y pre imagen de una función cuadrática, puedes trabajar con los siguientes ejercicios, antes de resolver los problemas de aplicación. Considere la función: f ( x) x x 3. Determine: a) b) c) f () f () f (0). Sea f ( x) x x. Determine las pre imágenes, de los siguientes números: a) b) III. Resuelva los siguientes ejercicios 9. Para la construcción de una escultura metálica se calcula que el porcentaje de hierro que contenga determinará su resistencia a sismos; si tiene muy poco quedará blando y frágil, y si tiene mucho quedará rígido y quebradizo. Una función que modela esta situación es f ( x) x x, donde (x) 50 5 (medida en grados Richter) y x indica el porcentaje de hierro. a) Qué intensidad soportará si contiene un 75% de hierro? f indica la intensidad del sismo que puede soportar b) Qué porcentaje mínimo de hierro debe contener para soportar un sismo de 8 grados Richter? 0. El funcionamiento de cierta máquina mezcladora depende de la temperatura ambiente, de acuerdo con la función f ( x) x x, donde (x) eficiencia y x indica la temperatura, medida en grados Celsius. a) Qué eficiencia tendrá a los 0 C? b) Qué temperatura máxima permite una eficiencia del 80%? f mide el porcentaje de Agosto 04 / Programa de Matemática. 0

11 IV. A TRAVÉS DE LA GRÁFICA CONSTRUYA EL MODELO CUADRÁTICO Y RESPONDA. Una empresa constructora arrienda una grúa para descargar material de un camión. La altura (medida en metros) que alcanza la plataforma de la grúa que recoge la carga depende del tiempo (medido en segundos) que demora esta. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación.. En el semáforo de la esquina de Concha y Toro con Trinidad, todos los días se ubica un malabarista. Un día lanzó una pelota hacia arriba, alcanzando una altura h medida en metros, según un tiempo x medido en segundos. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. Agosto 04 / Programa de Matemática.

12 LISTA DE COTEJO GUÍA N 4: A Continuación se te presenta una lista de actividades que debes llevar a cabo, para poder completar todos pasos del desarrollo de un ejercicio. Esta lista, te permitirá revisar si lo que estás generando como desarrollo tiene todos pasos que serán considerados en la evaluación: Calcular la imagen de una Función Cuadrática: Clasifica la variable dependiente (imagen) en la función cuadrática Clasifica la variable independiente (pre-imagen) en la función cuadrática Reemplaza los valores numéricos asignados en la función cuadrática Obtiene el valor de la imagen de la función para el valor dado Interpreta el valor de la imagen de la función en el contexto del ejercicio Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la imagen en el contexto de la función Calcular la pre imagen de una Función Cuadrática: Clasifica la variable dependiente (imagen) en la función cuadrática Clasifica la variable independiente (pre-imagen) en la función cuadrática Iguala la función al valor asignado, formando una ecuación cuadrática, para calcular la pre imagen de esta. Obtiene el valor de la pre imagen de la función para el valor dado Reemplaza los coeficientes numéricos en la expresión que permite calcular los valores de las soluciones Interpreta el valor de la pre imagen de la función en el contexto del ejercicio Redacta una respuesta verbal, que permita interpretar el valor de la pre imagen en el contexto de la función Construir la Función Cuadrática, a partir de su gráfica: Reconoce los puntos de intersección de la parábola (soluciones de la función cuadrática) con respecto al eje x Reconoce de la gráfica el valor de c, que el corte de la parábola con el eje y Reemplaza las soluciones de la función cuadrática en la expresión que permite calcular sus coeficientes numéricos que faltan. Platea algebraicamente la función cuadrática, a partir de los valores obtenidos en la forma general Agosto 04 / Programa de Matemática.

13 SOLUCIONES. a) Terminado marzo habrán.300 contagiados. b) En el mes de agosto, se tendrán 800 contagiados. a) Al quinto día habrán computadores contagiados. b) La primera vez que se tendrá a mil computadores infectados será el día. 3. a) Se estima que se produzcan kilogramos. b) Se deben plantar como mínimo 00 árboles. 4. a) Se estima que en marzo la temperatura mínima será de 5 C. b) Las heladas comenzarán en abril. 5. c 8, x, x 4, f ( x) x 6x 8 6. b 0, x 0, x 0, f ( x) x 0x 7. c 4, x 4, x 4, f ( x) x x b 00, x 0, x 50, f ( x) x 00x 9. a) Soportará una intensidad de hasta 9,5 grados Richter. b) Debe contener un mínimo de 8,38% aprox. de hierro. 0. a) A los 0ºC tendrá una eficiencia del 93,75%. b) Permite una temperatura máxima de 7,9 C aprox.. a, x 0, x 0, f ( x) x 0x. a, x 0, x, f ( x) x 4x Agosto 04 / Programa de Matemática. 3