Sistemas de ecuaciones lineales (2)

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1 Matemática 1 - CPA Unidad 4: Sistema de Ecuaciones Contenidos Sistemas de ecuaciones lineales (2) Sistemas de ec lineales con coef. reales, en tres variables x, y, z Con tres ecuaciones: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2, a 3, b 3, c 3 : coeficientes del sistema. d 1, d 2, d 3 : constantes del sistema. Observaciones. Nota. 1. La terna ordenada (x 0, y 0, z 0 ) es una solución del sistema a j x 0 + b j y 0 + c j z 0 = d j j = 1, 2, 3 2. Resolver el sistema, significa: determinar todos los pares ordenados (x, y, z) R 3, que satisfacen simultáneamente cada una de las ecuaciones del sistema. 3. Conjunto solución del sistema: S = {(x, y, z) R 3 / a j x + b j y + c j z = d j } 4. Gráficamente, resolver el sistema de tres ec. lineales con tres variables con coef reales en R 3, significa determinar el o los puntos de intersección de dos rectas del plano. 1. Dos sistemas de ec en la misma cantidad de variables son equivalentes tienen exactamente el mismo conjunto solución. 2. Métodos más usuales para resolver sistemas de ecuaciones lineales: a) Por Sustitución b) Por Igualación c) Por reducción. Observaciones Considerar el sistema (*) y sea S su conjunto solución. a) El sistema es consistente (o compatible) S Φ. (*) consistente con exactamente una solución El sistema puede ser: o (*) consistente con infinitas soluciones b) El sistema es inconsistente (o incompatible) S = Φ Ejemplo. Resolver el sistema: Ejercicios. Resolver los sistemas: a) x + 2y + z = 3 2x + 5y z = 4 3x 2y z = 2 b) 5x + 3y 2z = 3 x + 4y + 4x + y 2z = 4 9x y = 8 x + 9y y + 9. c) x + y 2z = 5 2x + 2y 3z = 3 3x + 3y 4 Ejercicio. Hallar todos los valores de a, b, c R, si es que existen, tal que (1, 2, 1) es solución del sistema: ax + by + cz = 2 (a + 1)x + by cz = 5 bx ay c 1

2 Sistema de Ecuaciones Contenido 2 Matriz aumentada de un SEL 1. SEL de dos ecuaciones y dos variables Forma usual Forma matricial a 1 x + b 1 y = c 1 a 2 x + b 2 y = c 2 Matriz aumentada: ( a1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 ) 2. Ejemplos. Hallar la matriz aumentada de cada SEL: a) x + 4y = 5 2x + 4y = 3 3x 6y = 5 b) c) 2x + y = 1 x + y = 7 x + 2y = SEL de tres ecuaciones y tres variables Forma usual a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 Matriz aumentada: a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 Forma matricial a 1 b 1 c 1 d 1 a 2 b 2 c 2 d 2 a 3 b 3 c 3 d 3 4. Ejemplos. Hallar la matriz aumentada de cada SEL: a) x + 2y 2 b) x + 2y 2 x + y + z = 1 x y + 3z = 5 c) x + 2y 2 x y + 3z = 3

3 Sistema de Ecuaciones Contenido 3 Método de eliminación para resolver SEL Ejemplo. Resolver el sistema: 3x + y 2 Solución: 1. Determinar un sistema equivalente al sistema dado. Ec(1) Ec(2) 3x + y 2 Ec(3) 0x 5y 5z = 5 0x 11y 5z = 5 0x + y + 0x 11y 5z = 5 0x + y + 0x + 0y + 6z = 6 0x + y + 0x + 0y + Sumar a la Ec(2), -3 veces la Ec(1) Sumar a la Ec(3), -4 veces la Ec(1) Multiplicar la nueva Ec(2) por (-1/5) Sumar a la Ec(3), 11 veces la Ec(2) Multiplicar la nueva Ec(3) por (1/6) Así se obtiene el sistema: y + equivalente al sistema 3x + y 2 2. Se resuelve el sistema: y + De la ec(3) se obtiene: ; Sustituyendo en la ec(2) se obtiene: y + 1 = 1. Luego y = 0. Sustituyendo e y = 0 en la ec(1) se obtiene: x = 2. De donde x = Luego, el conjunto solución del sistema original es: S = {(1, 0, 1)}.

4 Sistema de Ecuaciones Contenido 4 Forma matricial de un SEL Ejemplo. Dado el sistema: Matriz aumentada del sistema: 3x + y Operaciones elementales filas Las operaciones elementales filas permiten transformar un SEL en otro equivalente. Se aplicar sobre la matriz aumentada del SEL. Ellas son: Operación Intercambiar dos filas, i y k, de la matriz F ik : F ila i F ila k Multiplicar una fila, i, de la matriz por un numero λ 0 F i (λ): Sumar a la fila p de la matriz, α veces la fila i F ip (α): α F ila i + F ila p F ila p Ejemplo F 1 2 F 2 (5) F 1 2 (3) Nota. Realizando operaciones elementales filas sobre la matriz aumentada (A b) de un SEL, siempre se puede obtener una matriz escalonada ( ˆb) tal que el sietema de ecuaciones lineales  X = ˆb, es equivalente al SEL original. Resolución de SEL: Método de eliminación de Gauss Ejemplo. Resolver el sistema: 3x + y Paso 1. Matriz aumentada del sistema:

5 Sistema de Ecuaciones Contenido 5 Paso 2. Determinar una matriz escalonada equivalente a la matriz aumentada F ( 3) F 13 ( 4) F 2 ( 1/5) F 23 (11) F 3 (1/6) Paso 3. Formar el SEL asociado a la matriz escalonada (U): y + Este sistema es equivalente al sistema original. Paso 4. Resolviendo este sistema se obtiene:, y = 0, x = 1. Luego, el conj solución del sistema dado es S = {(1, 0, 1)}. (U)