Límites en el infinito y límites infinitos de funciones.
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- Sara Villalobos Casado
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1 Límites e el ifiito y límites ifiitos de fucioes. 1
2 Calcula 2
3 Límite e el ifiito Cuado se calcula el límite de ua fució e el ifiito se trata de determiar la tedecia que tedrá la fució (los valores que toma) cuado la variable se hace muy muy grade y positiva ( +) o muy muy pequeña y egativa ( ) Si etoces la gráfica de f se aproima a la recta horizotal y cuado ±. Dicha recta se deomia asítota horizotal de f. Como orma geeral para el cálculo de u límite e el ifiito se sustituye la variable por y se calcula el límite. Se verifica las siguietes relacioes etre, y u úmero real : si < ± si +++ > El valor del límite es el resultado de tal sustitució salvo que aparezca INDETERMINACIONES: 1.- Los límites fudametales so: 1 > ± > Si es u POLINOMIO de grado : a + a a1 + a etoces 1 ( a + a a1 + a) a ± y o tiee asítotas horizotales. Se dice que la fució preseta ua rama parabólica. Esto se aplica etre otras fucioes a las rectas, parábolas y cúbicas. 3.- Si f es ua fució de tipo HIPÉRBOLA y tiee asítota horizotal e la recta y (el eje OX). 4.- Si f es ua fució de tipo RACIONAL f a+ b ( etoces: P( etoces: Q ( si gradoumerador < grado deomiador si gradoumerador > grado deomiador a si gradoumerador grado deomiador bm Siedo a el coeficiete de mayor grado de P y b m el coeficiete de mayor grado de Q m m 3
4 La fució tiee asítota horizotal e la recta y e el primer caso y a la recta a y b e el tercer caso. E el segudo caso puede suceder dos situacioes que veremos después. m 5.- Si es ua fució RADICAL co radicado u poliomio de cualquier grado 1 a + a a1 + a etoces se cumple: a + a a1 + a a + a a1 + a ± ± (o o eiste) Si ( l( ) f etoces se cumple l( ) l Y basta teer e cueta que l( + + l( 7.- Si o eiste f ( e etoces se cumple Y basta teer e cueta que + e + e e e 8.- Geeralizado el caso aterior se tiee que si Y basta teer e cueta que > 1 < < f ( etoces se cumple Si P( ± Qm( Puede darse dos circustacias: (a) La curva adopta ua rama parabólica e ±. E este caso P( ± ± Qm( (b) La curva crece (o decrece) pero se ajusta a ua recta oblicua. E este caso se ha de calcular los límites: 4
5 P( Q ( ± m ) m P( ( m m h Qm ± ± ( ) Si m y h so úmeros fiitos etoces la curva se ajusta a la recta de ecuació y m +h, que se llamará ua asítota oblicua de f. e Estudio de alguos casos importates El úmero e. se obtiee como límite de toda epresió siguiete: e - Siempre que Este límite suele proceder: (a) De la suma (o resta) de dos fraccioes algebraicas. La operació habitual es operar las fraccioes hasta obteer ua fució racioal y aplicar los límites del puto 4. (b) De la resta de dos radicales. La operació habitual es multiplicar y dividir por el cojugado de la epresió radical. Si el límite se covierte e ua idetermiació del tipo se ha de dividir por el térmio de mayor grado de. 1 Estos límites procede de ua epresió epoecial y su valor está relacioado co el úmero e. El límite o ha de ser ecesariamete e el ifiito. Supogamos que: 1 Etoces g ( ) ) 1 El límite se calcula co la siguiete regla: l f ( e dóde l se obtiee como: l ( 1) 5
6 Ejercicios de gráficas de fucioes A Dadas las siguietes gráficas de fucioes se pide: (a) Domiio (b) Cortes co OX (c) Cortes co OY (d) Itervalos de crecimieto y decrecimieto (e) Putos de discotiuidad (si los hubiera). (f) Máimos y míimos si los hubiera. (g) Limites e los putos de discotiuidad. (h) Limites e el ifiito. (i) Asítotas horizotales, verticales y oblicuas (si las hubiera) B 6
7 C D E 7
8 F G 8
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