Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

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1 EJERCICIOS DE ANÁLISIS FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD MATEMÁTICAS II LOGSE Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

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3 Índice Temático. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA OPERACIONES CON FUNCIONES..... COMPOSICIÓN DE FUNCIONES FUNCIONES SIMÉTRICAS FUNCIONES INVERSAS FUNCIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS FUNCIONES PERIÓDICAS FUNCIONES CONOCIDAS ACTIVIDADES DEL TEMA.... LÍMITES DE FUNCIONES LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO LÍMITES EN EL INFINITO CÁLCULO DE LÍMITES INFINITÉSIMOS E INFINITOS ASÍNTOTAS ACTIVIDADES DEL TEMA CONTINUIDAD DE FUNCIONES FUNCIÓN CONTINUA CONTINUIDAD DE FUNCIONES DISCONTINUIDADES TEOREMA DE BOLZANO Y VALORES INTERMEDIOS TEOREMA DE WEIERSTRASS ACTIVIDADES DEL TEMA LÍMITES Y CONTINUIDAD

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5 TEMA. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.. DEFINICIÓN Y TERMINOLOGÍA. Función Dados dos conjuntos D e I, se dice que f es una función definida en el conjunto D y tomando valores en el conjunto I cuando a cada elemento de D se le asigna uno y sólo un elemento de I. Se representa por: f: D I El conjunto D recibe indistintamente los nombres de conjunto origen, conjunto inicial, dominio de la función, o campo de eistencia de la función, y se representa por Dom(f ). Un elemento cualquiera del conjunto D se representa por la letra, es la variable independiente. Cada elemento de D tiene por imagen, mediante la función f, un elemento de I que se representa por y, es la variable dependiente. Esto se epresa escribiendo y f(). El conjunto I es el conjunto final y los elementos que son imagen de algún elemento de D forman el conjunto imagen (Im(f )) o recorrido de la función (f(d)). f: D I y f() Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar: El conjunto inicial o dominio de la función. El conjunto final de la función. La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.. Función real de variable real Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto de los números reales, tal que a cada elemento de D le corresponde uno y sólo un elemento y de : f: D y f (). Definición de una función. Una función se puede dar por medio de: Ley o fórmula algebraica: permite calcular la imagen conocida la variable independiente. f: D Tabla de valores. Establece epresamente la imagen de cada elemento del dominio. LÍMITES Y CONTINUIDAD 5

6 y Gráficas. Se emplea en ciencias eperimentales: Medicina, Sismografía, Física y Química. 4. Gráfica de una función. La representación gráfica de una función permite visualizar de un modo claro y preciso su comportamiento. Una función f asigna a cada número del conjunto origen, un número y f() del conjunto imagen. El conjunto de los pares de números (, y) determinados por la función recibe el nombre de grafo de la función, es decir: G {(, f()) / D} Para obtener los pares basta con dar valores a la variable independiente, y obtener los correspondientes de la variable dependiente y, formando así una tabla de valores de la función. Una vez obtenidos los pares de números, se representan en un sistema de ejes cartesianos, que consiste en dos ejes perpendiculares que se cortan en un punto, llamado origen de coordenadas, y representado por O. El eje horizontal recibe el nombre de eje de abscisas, y en él se representan los valores de la variable independiente. El eje vertical recibe el nombre de eje de ordenadas, y en él se representan los valores de la variable dependiente. Cada par de números corresponde a un punto del plano. Uniendo todos los puntos, se obtiene la gráfica de la función. LÍMITES Y CONTINUIDAD 6

7 EJEMPLOS. Comprueba si la función definida por: f: que asigna a cada número real su cuadrado, está correctamente definida. Resolución Tiene por conjunto origen o campo de eistencia todos los números reales, pues dado cualquier número real, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número real. Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de un número siempre es positivo: Im(f) R La regla de asignación es: «dado cualquier número real, calcular su cuadrado para obtener la imagen».. Halla el campo de eistencia de la función f definida por f() La función anterior asigna a cada número, el valor El dominio o campo de eistencia está formado por todos los números reales, para los que su imagen está definida mediante la función f. La epresión está definida para todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la epresión /0 no es un número real. El denominador se anula cuando. Por tanto, el dominio de definición es {} ó (, ) (, ). Halla el dominio de definición de la función f definida por f() 9 La epresión 9 está definida cuando el radicando es mayor o igual que cero, puesto que las raíces cuadradas de los números negativos no tienen sentido en el conjunto de los números reales. Por lo tanto se trata de hallar qué valores de hacen que ó o bien D(f) (, ] [, ). 4. Halla el campo de eistencia de la función f definida por f() 6 LÍMITES Y CONTINUIDAD 7

8 La epresión 6 está definida cuando el denominador no se anula Por lo tanto, al campo de eistencia es {,} ó (, ),) 5. Dada la función f() halla la imagen de los números, 0, y 5. Cuál es su dominio de definición? Hay algún número que se transforme en el 0? Las imágenes pedidas son: f() ( ) f(0) f() f(5) Dominio: El denominador nunca se anula, ya que > 0 para cualquier, pues ambos sumandos son siempre positivos. Por lo tanto el dominio de definición de esta función es toda la recta real. Para responder a la pregunta siguiente, hay que estudiar si eiste algún número, tal que f() 0. Si 0 0, que es un absurdo. Así pues el 0 no es imagen de ningún número. 6. Halla el dominio y recorrido de f() Dominio:, ya que está definido para todos ellos (es función polinómica). Recorrido: ya que todo número elevado al cuadrado es positivo o cero. 7. Halla el dominio de f() 4 Dominio: Valores de que no anulen el denominador. Como los valores que lo anulan son y el dominio es {,} LÍMITES Y CONTINUIDAD 8

9 8. Dada la función f() L, determina su dominio. Para que eista L es necesario que > 0 y > 0 > < 0 y < 0 < El dominio es D (, )(, ). > 0, que ocurre cuando: 9. Dada la función f() e, determina su dominio. El dominio es ya que es una eponencial siempre tiene dicho dominio cualquiera que sea su base y eponente. 0. Representa gráficamente la función definida por si 0 f() si 0 Esta función toma el valor para todos los puntos cuya abscisa sea negativa, y toma el valor para todos los puntos cuya abscisa sea positiva o nula. En este caso Im(f) {,}. Su gráfica es la de la figura adjunta.. Determina el dominio y recorrido de la función cuya gráfica es la de la siguiente figura. Observando atentamente la figura obtenemos que: El dominio es [, ). El recorrido es [0, ).. Halla el dominio y recorrido de la función de la figura adjunta. El dominio de definición es el subconjunto en el que se define la función. Como se observa en la gráfica, la función eiste para todos los valores reales. Dominio: Recorrido: es el subconjunto de valores que toma la función. Recorrido: {}(0, ) LÍMITES Y CONTINUIDAD 9

10 . Una función y f() tiene la gráfica siguiente. Cuál es su dominio y recorrido? Dominio de definición: es el subconjunto de en el que se define la función, será: Dominio: (, )(, )(,) Recorrido: es el subconjunto de valores que toma la función. Recorrido: (, ](,) EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio de definición de f() 5 6 Solución: El dominio es {,}. Halla el dominio de definición y el recorrido f() 6 Solución: El dominio es (,4] [4, ) y el recorrido es. Dominio y recorrido de f() Solución: El dominio es y el recorrido es 4. Calcula el dominio de definición de la función f() 5 Solución: [5, ) 5. Halla el dominio de definición de la función f() Solución: [,] 6. Halla el dominio de definición de la función f() Solución: [,] 7. Halla el dominio de definición de la función f() Solución: {4,} 4 8. Halla el dominio de definición de la función f() Solución: {0} L 9. Halla el dominio de definición de la función f() Solución: * 0. Halla el dominio de definición de la función f() sen() Solución: LÍMITES Y CONTINUIDAD 0

11 .. OPERACIONES CON FUNCIONES. Suma de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f g, a la función definida por (f g)() f() g(); D(f)D(g). Diferencia de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la diferencia de dos funciones reales de variable real f y g, como la función (f g)() f() g() ; D(f)D(g). Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real. Se llama función producto de f y g a la función definida por (f. g)() f().g() ; D(f)D(g) 4. Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama función cociente de f y g a la función definida por f () g f() g() ; D(f)D(g) { /g()0} 5. Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por (a. f)() a. f() ; D(f) EJEMPLOS. Sean las funciones f(), y g() 4. Define la función fg y calcula las imágenes de los números, y 5. La función f g se define como (f g) () f() g() 4 5. (f g) () 5 7 (f g) () 5() 8 (f g) (/5) 5 /5 El resultado es el mismo que si se calculan las imágenes de f y g y se suman. Por ejemplo, para la imagen del, f(). 7 (f g)() g(). 4 0 LÍMITES Y CONTINUIDAD

12 . Dadas las funciones f (), y g(), define la función (fg). Calcula las imágenes de /, y 0 mediante la función f g. (fg)() f()g() () 6 (fg)(/) (/) /6 56/9 (fg)() () ()6 0 (fg)(0) (0) 06 6 Calculando las imágenes mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado.. Dadas las funciones f() y g(), define la función f. g. (f. g)() f().g() ( ) Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. 4. Dadas las funciones f() y g(), define f/g. Calcula las imágenes de los números, y / mediante g f f f() () g g() f La función está definida para todos los números reales, salvo para /, g donde la función g se anula. f 0 () 0 g f () g 7 f 5/ 5 g 6 Calculando por separado las imágenes mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados. 5. Dada la función f(), calcula.f y f. Obtén las imágenes de los números, y 0 mediante la función f. (f)().f().( ) 6 f() f() ( ) (f)().( ) LÍMITES Y CONTINUIDAD

13 (f)().( ) 0 (f)(0).(0 0) 6 6. Dadas las funciones f() / y g() 5. Hallar el cociente y su dominio f El cociente es () g ( 5) El dominio son todos los números reales, salvo los que anulan el denominador, es decir {5,0,5} 7. Determina el dominio de la función f() 4 El dominio de definición de f() 4 está formado por la intersección de los dominios de ambos sumandos, que serán los valores que hagan que los radicandos sean positivo o cero: f: 0 D(f) [,] f: 4 0 D(f) (,][, ) Siendo la intersección: D(f) D(f )D(f) EJERCICIOS PROPUESTOS. Dadas las funciones f (), y g(), define la función (fg). Calcula las imágenes de /, y 0 mediante la función f g. Solución: (f g)(), (fg)(/), (fg)(), (fg)(0).. Dadas las funciones f() y g(), define f/g. Calcula las imágenes de los números, y / mediante g f Solución: f () g, (f/g)(/) /4, (f/g)(), (f/g)(0).. Halla el dominio de definición de la función f() Solución: {,} 4. Halla el dominio de definición de la función y Solución: {,0,} 5. Halla el dominio de definición de la función Solución: {} y LÍMITES Y CONTINUIDAD

14 .. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida por (g o f )() g[f()]; D(f) Para que la composición esté bien definida es necesario que Im(f)D(g), en caso contrario no se pueden componer. La función ( g o f )() se lee «f compuesto con g aplicado a». R f f R g g R f() g f() Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(). Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número, se siguen estos pasos: Se calcula la imagen de mediante la función f, es decir f(). Se calcula la imagen mediante la función g de f(). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente. EJEMPLO. Sean las funciones f() y g(). Calcula g o f y la imagen mediante esta función de, 0 y. (gof) () g[f()] g() () La imagen de los números, 0,, mediante la función g o f es: (g o f)() g[f()] g() g(4) 4 6 (g o f)(0) g[f(0)] g(0) g() 9 (g o f)() g[f()] g() g(0) 0 0. Dadas las funciones f(), y g() calcula: a) (g o f ) () b) (f o g ) () c) (g o f ) () y (f o g ) () d ) El original de 49 para la función g o f. a) La función g o f está definida por: (gof) () g[f()] g( ) ( ) b) La función g o f está definida por: (fog) () f[g()] () 9 5 Observa que g o f f o g c) Aplicando los resultados de los apartados anteriores: (gof) (). 4 (fog) () 9() ()5 6 LÍMITES Y CONTINUIDAD 4

15 g será un número, tal que g f ( ) d) El original de 49 para la función f (g o f ) () 49. Basta con resolver esta ecuación. Sus soluciones son Efectúa la composición de las funciones f() sen y g() Las funciones compuestas son: (gf)() g[f()] g[sen ] sen (f g)() f[g()] f[ ] sen( ) EJERCICIOS PROPUESTOS. Sean s(), p(), t() sen, determina (s o p) () Solución: (s o p) (). Sean s(), p(), t() sen, determina (s o t) () Solución: (s o t) () sen.. Sean s(), p(), t() sen, determina (t o s) () Solución: (t o s) () sen( ). 4. Sean s(), p(), t() sen, epresa f() sen en términos de las funciones s(), p() y t(), operadas con "" y "o" Solución: sen (pt)(). 5. Sean s(), p(), t() sen, epresa f() sen en términos de las funciones s(), p() y t(), operadas con "" y "o" Solución: sen (tp)(). 6. Sean s(), p(), t() sen, epresa f() sen( ) en términos de las funciones s(), p() y t(), operadas con "" y "o" Solución: sen( ) (ts)(). 7. Sea la función f() determina la función f o f Solución: a) (f o f)() 8. Sea la función f() determina la función f o f Solución: a) (f o f)() 9. Sean la funciones f() y g() Ln() determina las funciones f o g y g o f Solución: a) (f o g)() Ln, (g o f)() Ln( ). 0. Sean la funciones f() y g() e determina las funciones f o g y g o f Solución: a) (f o g)() e, (g o f)() e. LÍMITES Y CONTINUIDAD 5

16 .4. FUNCIONES SIMÉTRICAS. Funciones pares Una función f es par cuando cumple f() f(), D(f) Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden f() f(), f() f(). Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y. El ejemplo más sencillo es y, cuya gráfica vemos en la figura. Funciones impares Una función f es impar si cumple f() f(), D(f) A valores opuestos de corresponden imágenes opuestas. (La imagen de es la opuesta de la imagen de ; la imagen de es la opuesta de la imagen de...). Por corresponder a valores opuestos de, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. El ejemplo más sencillo es y, cuya gráfica vemos en la figura EJEMPLO.Sea f la función definida por f () ( ) de f con respecto a algún punto?. Es simétrica la gráfica Redefinimos la función f de modo que no aparezca el valor absoluto: )( ) f() ( ( )( ) si ( ) si si < ( ) si < La gráfica de f es simétrica respecto a P (,0) tal como se ve en la figura: LÍMITES Y CONTINUIDAD 6

17 . Sea y f() la función cuya gráfica es la de la figura adjunta. Presenta f alguna simetría? La gráfica de f es simétrica respecto al eje de ordenadas, luego presenta simetría de tipo par.. Indica cuáles de estas funciones son pares: f(), g(), k() f() f() f() f() ( ) La función f es par. g() g() g() g() ( ) La función g no es par. k() k() k() k() k() es una función par. 4. Cuáles de estas funciones son impares?: f(), g(), h() f() f() f() f() Esta función es impar. g() g() g() g() ( ) Es una función impar. h() h() h(), h() h() h() Esta función no es par ni impar. EJERCICIOS PROPUESTOS. Estudia la simetría de las función f() 4 Solución: Es par. Estudia la simetría de las función f() Solución: Es impar LÍMITES Y CONTINUIDAD 7

18 . Estudia la simetría de la función f() 4 Solución: No es simétrica. 4. Estudia la simetría de la función f() 4 Solución: No es simétrica. 5. Estudia la simetría de la función f () Solución: Es par. 6. Estudia la simetría de la función f () Solución: No es simétrica. 7. Estudia la simetría de la función f() Solución: Es impar. 8. Estudia la simetría de la función cuya gráfica es la de la figura. Solución: No es simétrica 9. Estudia la simetría de la función cuya gráfica es la de la figura. Solución: Es impar. 0. Estudia la simetría de la función cuya gráfica es la de la figura. Solución: Es par LÍMITES Y CONTINUIDAD 8

19 .5. FUNCIONES INVERSAS Dada una función f inyectiva, su inversa o recíproca es otra función, designada por f de forma que se verifica: si f(a) b, entonces f (b) a, (f o f I, f o f I) Sólo se puede hallar la función inversa en los intervalos del dominio de definición en que la función sea inyectiva, ya que en caso contrario no es la función f. Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: Despejar la variable independiente. Intercambiar la por la y, y la y por la. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del er y del er cuadrante. EJEMPLOS. Halla la función inversa de y 5, y representa las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes. Se despeja: y 5 Se intercambian ambas variables: y 5. Halla la función inversa de y, y representa las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes. El dominio de definición de la función y es. Se despeja la variable: y Se intercambian ambas variables: y. Halla la función inversa de y 4, y representa las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes. Se despeja : y 4. Se intercambian ambas variables: y 4. La función es inversa de si misma. LÍMITES Y CONTINUIDAD 9

20 4. Calcula la función inversa de la función f() e Para calcular la función inversa cambiamos por y e y por y e despejamos la variable y: y e y L( ) y L[()] es decir: f () L[()] 5. Calcula la función recíproca de f() 5 e 5. Como f es una función eponencial de base e, su dominio será el del eponente, y como éste es una función irracional de índice dos, el dominio será el conjunto de valores de que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir: D(f) { /50} { /5} [5, ) Para calcular su función recíproca, permutamos "" e "y" y despejamos esta última, es decir: e y e y 5 tomando logaritmos neperianos en los dos miembros: y 5 L e L(5) y 5 L(5) elevando al cuadrado los dos miembros: y5 [L(5)] despejando "y" obtenemos la inversa: y [L(5)] 5 6. Representa la función f() 4. A partir de ella obtén razonadamente la gráfica de f (). Representamos la función y 4, cuya gráfica será la de pero desplazada 4 unidades hacia abajo. La gráfica de f se obtiene efectuando la simetría de la gráfica de f con respecto a la recta y. Como no es inyectiva en todo su dominio de definición deberemos considerar los intervalos (,0] y [0, ). En cada uno de los cuales serán las funciones: y 4 respectivamente las funciones inversas, como aparece en la figura. LÍMITES Y CONTINUIDAD 0

21 EJERCICIOS PROPUESTOS. Obtén la función inversa de y 5 Solución: f 5 (). Obtén la función inversa de y 4 Solución: f () () 4. Representa las funciones y e y log 4. Representa las funciones y e y log 5. Halla la función inversa de f() 5 Solución: f () [ log ( 5) ] 6. Calcula la función inversa de f() 5 Solución: f () () 5 7. Calcula la función inversa de 6 f() 6 Solución: f () 8. Señala cuáles de las siguientes funciones son inversas de si mismas y representa sus gráficas: a) y b) y, c) y, d) y, e) y. Solución: Son las funciones a), b), d) y e) 9. Qué se puede decir de una función que es recíproca de si misma?. Razona la respuesta. 0. Obtén la función inversa de y 7 7 Solución: f (). Obtén la función inversa de y Solución: f () () LÍMITES Y CONTINUIDAD

22 .6. FUNCIONES MONÓTONAS Y ACOTADAS. Monotonía en un intervalo Una función f es monótona creciente en un intervalo (a, b) si se cumple que:, (a, b) si < f( ) f( ) Una función f es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si se cumple que:, (a, b) si < f( ) < f( ) Una función f es monótona decreciente en un intervalo (a, b) si se cumple que:, (a, b) si < f( ) f( ) Una función f es estrictamente decreciente en un intervalo (a, b) si se cumple que:, (a, b) si < f( ) > f( ). Monotonía en un punto Una función f es monótona en un punto 0D(f) si, y sólo si, eiste un entorno de 0 donde f es monótona.. Acotación Una función está acotada inferiormente cuando eiste un número real K (cota inferior) tal que todos los valores que toma la función son mayores que K. Una función está acotada superiormente cuando eiste un número real K' (cota superior) tal que todos los valores que toma la función son menores que K'. Una función está acotada si lo está superior e inferiormente Etremo inferior es la mayor de las cotas inferiores. Si el etremo inferior se alcanza en un valor del dominio de definición de la función, a este valor se le llama mínimo. Etremo superior es la menor de las cotas superiores. Si el etremo superior se alcanza en una imagen de un valor del dominio de definición de la función, el valor es un máimo. EJEMPLOS. Halla los intervalos del dominio de definición en los que y es creciente o decreciente Si es creciente < que ocurre para > 0. Si es decreciente < que ocurre para < 0.. Dada la función y Dec() halla los etremos superior e inferior. Tiene máimo y mínimo absoluto? LÍMITES Y CONTINUIDAD

23 Tal como se ve en la figura el etremo inferior es 0 y el etremo superior es. No se alcanza el máimo puesto que si se alcanzara lo haría en los valores enteros y en estos vale 0. Sí se alcanza el mínimo en dichos valores enteros.. Dada la función y 6 8 estudia su acotación. Está acotada inferiormente con etremo inferior 0 que alcanza en y 4, dicho valor es un mínimo absoluto. No está acotada superiormente, alcanza un máimo relativo en de valor. 4. Dada la función y arc tg halla los etremos superior e inferior. Tiene máimo y mínimo absoluto? Está acotada superior e inferiormente, es decir está acotada. Tiene etremo superior e inferior de π π valores y, respectivamente. No se alcanzan los valores máimo ni mínimo para ningún valor de. EJERCICIOS PROPUESTOS. Dada la función y arc ctg halla los etremos superior e inferior. Tiene máimo y mínimo absoluto? Solución: Está acotada. Etremo superior e inferior. No se alcanzan máimo ni mínimo. Dada la función y halla los etremos superior e inferior. Tiene máimo y mínimo absoluto? Solución: Acotada inferiormente con mínimo absoluto en 0. No acotada superiormente, luego no posee máimo absoluto.. Puede una función tener etremo superior sin estar acotada superiormente?, y tener etremo inferior sin estar acotada inferiormente?, y tener etremo inferior sin estar acotada superiormente?, y tener etremo superior sin estar acotada inferiormente? 4. Qué diferencia eiste entre etremos superior y máimo absoluto de una función?. Pon un ejemplo de cada. Pueden coincidir? Solución: Si pueden coincidir. 5. Qué diferencia eiste entre etremo inferior y mínimo absoluto de una función?. Pon un ejemplo de cada. Pueden coincidir? Solución: Si pueden coincidir. LÍMITES Y CONTINUIDAD

24 .7. FUNCIONES PERIÓDICAS Una función se dice periódica de período T si se cumple f() f( T) D(f), luego: f( kt) f(), D(f) y k Los ejemplos mas simples de funciones periódicas son las funciones trigonométricas, entre las que consideramos: y sen con período y cos con período y tg con período y ctg con período Cuyas gráficas (en el caso de seno, coseno y tangente) se presentan en las figuras adjuntas. Otro ejemplo conocido es la función parte decimal y E(). Su período es, tal como se observa en la figura adjunta. EJEMPLOS. Determina el período de las funciones periódicas: a) y sen(), b) y cos a) El período es T radianes ya que: sen() sen[( )]. O bien, comparando, al ser la nueva variable igual a la antigua por el período es el mismo dividido por 4 b) El período es T 4 radianes ya que: cos cos O bien, comparando, al ser la nueva variable igual a la antigua dividido por el período es el mismo dividido por / (multiplicado por ). Dibuja la gráfica de una función periódica de período y cuyos valores estén comprendidos entre y. Hay muchas funciones que cumplen estas condiciones. Una de ellas es la de la figura, con epresión analítica: E LÍMITES Y CONTINUIDAD 4

25 EJERCICIOS PROPUESTOS. Dibuja una función periódica de período. Tiene límite esta función cuando tiende a? Justifica tu respuesta.. Dibuja una función periódica de período.. Estudia si es periódica la siguiente función y halla su período. Solución: Periódica de periodo. 4. Estudia si es periódica la siguiente función y halla su período. Solución: Periódica de período. 5. Estudia si es periódica la siguiente función y halla su período. Solución: Periódica de periodo 6. Estudia si son periódicas las siguientes funciones y halla su período: a) y cos, b) y sen 4 4 Solución: a) Periódica de periodo. b) Periódica de período Estudia si son periódicas las siguientes funciones y halla su período: a) y ( E()) b) y [ E()]() E() Solución: a) Periódica de periodo. b) Periódica de período. 8. Representa las siguientes funciones y di si son periódicas, hallando su período: a) y cos b) y sen c) y ( E()) d) y E() Solución: a) Periódica de periodo. b) Periódica de período. c) Periódica de periodo. d) Periódica de período /. LÍMITES Y CONTINUIDAD 5

26 .8. FUNCIONES CONOCIDAS. Funciones constantes Son funciones polinómicas de grado cero. Su epresión analítica es y k. Su dominio es. Su recorrido es {k}. Se representan mediante rectas paralelas al eje de abscisas. Su gráfica es la de la figura adjunta.. Funciones lineales Son funciones polinómicas de grado uno. Su epresión analítica es y ab. Su dominio es. Su recorrido es Se representan mediante rectas no paralelas al eje de abscisas Su gráfica es la de la figura adjunta.. Funciones cuadráticas. Son funciones polinómicas de grado dos. Su epresión analítica es ya bc. Su vértice está en el punto de abscisa b. a Su dominio es. Su recorrido es variable. Se representan mediante parábolas conveas o cóncavas según el valor de a Su gráfica es una parábola como la de la figura adjunta. 4. Funciones polinómicas Son funciones polinómicas aquellas cuya imagen es el valor numérico de un polinomio P(). Su epresión analítica es y P(). Su dominio es. Su recorrido es sin son impares u otro si son pares. Su representación es diversa Un ejemplo es y, cuyo dominio y recorrido son Su gráfica es la de la figura adjunta. LÍMITES Y CONTINUIDAD 6

27 5. Funciones definidas a trozos Son funciones que se definen mediante varias leyes o fórmulas aplicadas a las diferentes partes de su dominio. Como ejemplo tomamos: si < 0 f() si 0 Su dominio es. Su recorrido Su gráfica es la de la figura adjunta. 6. Funciones radicales Su epresión analítica es y f(). Su dominio es el que hace positivo o nulo el radicando. Su recorrido es variable. El ejemplo más sencillo es, cuya representación es una parábola cuyo eje de simetría es el eje de abscisas. Su dominio es Su gráfica es la de la figura adjunta. 7. Funciones eponenciales. Son funciones siempre positivas. Son crecientes si la base a es mayor que y decreciente en caso contrario. Su epresión analítica es y P(). Su dominio es. Su recorrido es. Su representación es diversa Su gráfica es la de la figura adjunta. 8. Funciones logarítmicas. Son funciones inversas de las eponenciales, y simétricas de ellas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Son crecientes (a > ) o decrecientes (a < ) y definidas para los valores positivos. Su dominio es Su recorrido es Su representación es diversa Su gráfica es la de la figura adjunta. LÍMITES Y CONTINUIDAD 7

28 9. Función seno. Es una función periódica de periodo cuyo valor oscila entre y. Su dominio es,. Su recorrido es [,] Su simetría es impar. Su gráfica es la de la figura adjunta. 0. Función coseno. Es una función periódica de periodo cuyo valor oscila entre y. Su dominio es,. Su recorrido es [,] Su simetría es par. Su gráfica es la de la figura adjunta..función tangente. Es una función periódica, de periodo. cuyo valor oscila entre y. Su dominio es,{(k)/}. Su recorrido es, Su simetría es impar. Su gráfica es la de la figura adjunta.. Función valor absoluto: y Es una función definida a trozos. Su dominio es. Su recorrido es Su simetría es par. Su representación son dos rectas, y, para los valores positivos e y para los valores negativos del dominio. Su gráfica es la de la figura adjunta.. Función parte entera: y E() Es una función escalonada que asigna a el entero más próimo por defecto. En los enteros eiste un salto o discontinuidad. Su dominio es todo. Su recorrido es (números enteros) Su gráfica es la de la figura adjunta. LÍMITES Y CONTINUIDAD 8

29 4.Función parte decimal: y Dec(). Es la función y E(), que asocia a cada número real su valor menos la parte entera. En todos los números enteros del dominio eiste una discontinuidad. Es periódica y oscila entre 0 y. Su dominio es. Su recorrido es [0,) Su gráfica es la de la figura adjunta. 5. Función de proporcionalidad inversa: y Su dominio es {0} ya que en 0 se anula el denominador. Su recorrido es {0} Su representación es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes de coordenadas y es siempre decreciente en su dominio. Su gráfica es la de la figura adjunta. EJEMPLOS. Calcula el dominio de la función f() e Como la función es la suma de una eponencial y una constante, para poder calcular f(), es necesario que eista, es decir que el radicando sea mayor ó igual que cero: D(f) { / 0} [0, ) 5. Calcula el dominio de la función f() e 5. Como f es una función eponencial de base e, su dominio será el del eponente, y como éste es una función irracional de índice dos, el dominio será el conjunto de valores de que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero, es decir: D(f) { /50} { /5} [5, ). Dada la función f() e ( ) estudia el dominio de definición Como es un cociente de funciones su dominio será la intersección de ambos dominios ecluyendo los valores que anulen el denominador. El numerador es una función eponencial de base e, su dominio será todo. El denominador es un polinomio su dominio será todo, como se anula en, queda: D(f) {} (, )(, ) LÍMITES Y CONTINUIDAD 9

30 4. Halla el dominio y recorrido de la función f() L Dominio de definición: es el subconjunto en el que se define la función, como la función es un logaritmo ha de ser positiva la epresión. Como el numerador es siempre positivo, la fracción será positiva cuando lo sea el denominador > 0 > ó <, es decir: Dominio: (,)(, ) Recorrido: es el subconjunto de valores que toma la función. La epresión es siempre mayor que luego L >0, Recorrido: (0, ) 5. Representa la función f() Escribimos la función como función definida a trozos. Se anula en: 0. Como la función pasa de negativa a positiva en queda: si si > siendo su representación la de la figura Sea f la función definida para cada,, por f(). Representa gráficamente la función f. Epresamos la función f, a partir de la definición de la función valor absoluto, como función definida a trozos, tendremos: si < si 4 si > 4 si < 4 f() si < 4 si > Quedando finalmente LÍMITES Y CONTINUIDAD 0

31 si < f() si < si > La representación gráfica es la de la figura adjunta 7. Representa la función y E(). Es una función escalonada, similar a ye() con la salvedad de que los valores de salto son los enteros y los enteros divididos por. Por lo demás el salto es de valor unidad. Su dominio es todo. Su recorrido es (números enteros) y su gráfica es la de la figura adjunta. 8. Representa y f( ) siendo f() 4. La función pedida es: f( ) 4. Tal como se ve en la figura su gráfica será similar a la de f(), desplazada cuatro unidades hacia arriba. EJERCICIOS PROPUESTOS. Halla el dominio de definición de f() ln( 4) Solución: (,)(, ). Halla el dominio de definición y el recorrido de f() e Solución: El dominio es y el recorrido es a e. Halla el valor de a para que f() tenga como dominio de definición. ln( a) Solución: No hay ningún valor de a que cumpla las condiciones 4. Representa y 5. Representa la parábola y 6. Representa la función y 5 hallando el eje y el vértices. A continuación representa otras similares a la primera con vértices en los puntos (, 0), (, 4) y (,0) respectivamente. 7. Representa gráficamente la función y 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD

32 .9. ACTIVIDADES DEL TEMA. Dada la función f() Solución: {}., determina su dominio.. Halla el dominio de definición de la función y L Solución: (,)(, ). Halla el dominio de definición de la función y L Solución: (,) (0, ) 4. Halla el dominio de definición de la función y L sen Solución: {k } 5. Halla el dominio de definición de la función y Solución: {0} 6. Halla el dominio de definición de la función y e Solución: {0} 7. Halla el dominio de definición de la función y L() Solución: (, ) 8. Halla el dominio de definición de la función y L Solución: (,) (, ) 9. Halla el dominio de definición de la función f() cos() Solución: 0. Halla el dominio de definición de la función f() tg() π Solución: kπ, k Z. Halla el dominio de definición de la función f() cos( ) Solución:. Halla el dominio de definición de la función f() L() L( ) Solución: (,). Halla el dominio de definición de la función f() e.() Solución: 4. Dada la función y sen, represéntala y a partir de ella la de y f() e y f(/) 5. Dada la función y, represéntala y a partir de ella la de y f() e y f(/) 6. Representa y cos(), y cos() a partir de y cos(). 7. Representa y cos(), y cos(/) a partir de y cos(). LÍMITES Y CONTINUIDAD

33 8. Representa y/f() siendo f() /. 9. Representa y/f() siendo f() e. 0. Representa y f() siendo f() 4.. Representa y f(/) siendo f() sen().. Dada la función y e, represéntala y a partir de ella la de y f() e y f(). Sea f(), representa f(), f(), f() y f(). 4. Sea f(), representa f(), f(), f() y f(). 5. Sea f() 5, representa f(), f(), f() y f(). 6. Este esquema representa la gráfica de la función y f(). a) Haz otro esquema que represente la gráfica de la función y f(). b) Haz otro esquema que represente conjuntamente las gráficas de y f() e yf(). Eplica los fundamentos para la construcción de estos esquemas. 7. A partir de la gráfica de la función f(), representa aproimadamente las gráficas de las siguientes funciones: f () (), f (), f () (). Argumenta brevemente el método que se ha utilizado. 8. A partir de la gráfica de la función f() e, obtén razonadamente las gráficas de las siguientes funciones: f () e, f () e, f () Ln(), f 4() Ln(). 9. A partir de la gráfica de la función f() ln(), obtener razonadamente las gráficas de las funciones: f ()e, f () Ln(), f () Ln( ), f 4() L 0. Representa la gráfica de las siguientes funciones ayudándote de la gráfica de f(). f (), f ()(), f (), f 4().. A partir de la gráfica de la función f() sen(), representa aproimadamente las gráficas de las siguientes funciones: f () sen(), f () sen(/), f () sen(), f 4() sen(). Argumenta brevemente el método que se ha utilizado.. A partir de la gráfica de la función y cos, dibujar las gráficas de f () cos(/), f () cos(), f () cos(), f 4() /cos.. Dada la gráfica de una función y f() dibuja razonadamente las gráficas de y f(), yf(), y f(), y f(). 4. Conocida la gráfica de y, dibuja las de f (), f () (), f (), f 4(). 5. Eisten etremos relativos en la función y [ E()]? Solución: No eisten máimos pero si infinitos mínimos relativos. 6. Cada paso de una llamada telefónica cuesta 5 pta. y cada uno de ellos dura minuto. Dibuja la gráfica que indica el coste de una llamada en función del tiempo. Señala cual es la variable independiente y cual la variable dependiente. Cuál es el dominio? Solución: variable independiente: tiempo, variable dependiente: coste, dominio: [0, ). LÍMITES Y CONTINUIDAD

34 7. Representa y, y, y, y, a partir de y. 8. Dibuja las gráficas de la funciones: si a) f() si < < si b) y L 9. Representa gráficamente la función 4 y 40. Representa gráficamente la función y cos 4 4. Representa gráficamente la función si < si < < f() si si < < 4 4. Representa gráficamente la función y. 4 Dada la función s() Solución: f(), g(), h(), calcula las funciones f, g y h tales que s()(hgf)() 44. Calcula la función inversa de f() e Solución: f () [L() ] 45. Estudia la simetría de la función cuya gráfica es la de la figura. Solución: Impar. 46. Estudia la simetría de la función cuya gráfica es la de la figura. Solución: Par. LÍMITES Y CONTINUIDAD 4

35 TEMA. LÍMITES DE FUNCIONES.. LIMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Definición de límite de una función en un punto. Una función y f() tiene límite L para a, si para todo número real > 0, eiste otro número real > 0, tal que si 0 < a < f() L < En tal caso se dice: f() L a El límite, caso de eistir, es único. Concepto de límite lateral. Una función y f() tiene límite L para a por la izquierda, si para todo número real > 0, eiste otro número real >0, tal que si 0 < a < f() L < En tal caso se cumple f() L a Una función y f() tiene límite L para a por la derecha, si para todo número real > 0, eiste otro número real >0, tal que si 0 < a < f() L < En tal caso se dice: f() L a La condición necesaria y suficiente para que una función tenga límite en un punto es que eistan los límites laterales a derecha e izquierda, y además sean iguales: f() f() f() L a a a. Operaciones con límites. Suma: [f() g()] f() g() a a a a Diferencia: [f() g()] f() g() a a Producto: [f(). g()] f(). g() a a a f() f() a Cociente:, con g() 0 a g() g() a a LÍMITES Y CONTINUIDAD 5

36 EJEMPLOS. Sea la función si f() si A qué valor se aproima la función cuando se aproima a? Para hallar el valor al que se aproima f cuando se aproima a, hallamos los límites laterales tanto por la izquierda como por la derecha: f() f() ( ) la función se aproima al valor. Por lo tanto, f() f() f() El límite de la función en el punto es y, sin embargo, la función ni siquiera está definida en él.. Sea f la función definida para cada,, por 4 f(). a) Determina si eisten y, en ese caso, el valor de los límites f() y f() () b) Representa gráficamente la función f. a) Epresamos la función y f(), a partir de la definición de la función valor absoluto, como función definida a trozos, tendremos: 4 si < si si > Luego: 4 4 f() 4 si < si < si > f() si < si < si > y calculamos los límites laterales tanto en como en, es decir: f() ( ) 4 () () f() () ( ) () () 4 por lo tanto no eiste el límite en. LÍMITES Y CONTINUIDAD 6

37 f() ( ) 0 f() ( ) 0 luego eiste f() 0 b) La representación gráfica es la de la figura adjunta. Prueba que eiste, siendo su valor. Debemos probar que: > 0, > 0 / 0< < < Como ( ).(). < Si tomamos (h) con h<, tenemos que: h h Es decir:. < < ε Luego basta tomar ε para que se verifique la definición de límite. EJERCICIOS PROPUESTOS. Prueba que eiste f(), para f(), siendo su valor.. Prueba que 4.. Prueba que una función que tiene límite para a, está acotada en un entorno reducido de a. 4. Si una función toma siempre valores positivos y otra toma solo valores negativos, pueden tener el mismo límite en un punto?. Si es así, di cual es el límite. Solución: Sí, Dibuja la gráfica de una función cuyo límite en 0 es y que toma sólo valores mayores que. Si no es posible eplica porqué. 6. Calcula (f g)(), (f g)() f() y g(), (f. g)() f, () g siendo las funciones Solución: (f g)() 4, g)() (f, (f. g)() f, () g. LÍMITES Y CONTINUIDAD 7

38 .. LÍMITES INFINITOS EN UN PUNTO.. Definición de límites infinitos en un punto. Una función y f() tiene límite infinito para a por la izquierda, si para todo número real K > 0, eiste otro número real > 0, tal que si a < < a f() > K En tal caso se cumple f() a De manera similar se define f() a Si coinciden ambos límites laterales decimos que a f() Una función y f() tiene límite infinito para a por la izquierda, si para todo número real K > 0, eiste otro número real > 0, tal que si a < < a f() < K En tal caso se cumple f() a De manera similar se define f() a Si coinciden ambos límites laterales decimos que a f(). Asíntota vertical Cuando eiste alguno de los límites: una asíntota vertical, la recta a. a f() o f() decimos que eiste a EJEMPLOS. Halla los límites laterales cuando tiende a de la función f definida para por f() Eiste el límite en dicho punto? Hallamos el límite por la izquierda: LÍMITES Y CONTINUIDAD 8

39 f() ( )( ) h0 h h0 h Hallamos el límite por la derecha: f() ( )( ) h0 h h0 h Como los límites laterales son diferentes y no finitos la función no tiene límite en.. Calcula Hallamos los límites laterales: h 0 ( h) h0 ( h) h 0 ( h) h 0 (h) Como ambos límites laterales coinciden eiste el ite no finito: EJERCICIOS PROPUESTOS Calcula los límites siguientes:. 0 Solución: No tiene, a la derecha, a la izquierda.. Solución: No tiene, a la derecha, a la izquierda.. 0 Solución: 4. Solución: No tiene, a la derecha, a la izquierda. 5. Tiene ite la función f() en? Solución: No tiene ya que son distintos los límites laterales LÍMITES Y CONTINUIDAD 9

40 .. LÍMITES EN EL INFINITO.. Definición de límite finito en el infinito Una función y f() tiene límite L para, si para todo número real >0, eiste otro número real K>0, tal que si > K f() L < En tal caso se dice que: f() L Una función f() tiene límite L para, si para todo número real > 0, eiste otro número real K > 0, tal que si < K f() L < En tal caso se dice que : f() L En ambos casos la recta y L es una asíntota horizontal de la función.. Definición de límites infinitos en el infinito. Una función y f() tiene límite para, si para todo número real K>0, eiste otro número real M>0, tal que si >M f() > K En tal caso se dice que: f() Una función y f() tiene límite para, si para todo número real K>0, eiste otro número real M>0, tal que si >M f() < K En tal caso se dice que: f() De modo similar se definen f() y f() A veces se dice que la función presenta una rama parabólica. LÍMITES Y CONTINUIDAD 40

41 EJEMPLOS. Calcula ( 5) Como es una función polinómica debemos fijarnos en el coeficiente del monomio de mayor grado, como es positivo y tiende a, el límite es basta observar la gráfica adjunta ( 5). Calcula 5 Como es el cociente de un número dividido por una función polinómica, dicho cociente se hará cada vez más pequeño, el límite es Una función y f() tiene la gráfica siguiente, halla: a) f() b) f() c) f() e) f() 4 4 d) f() Tal como se ve en la figura: a) f() 0 b) f() 4 c) f() 0 d) f() e) No eiste ya que los límites laterales son distintos: f() f() Una función y f() tiene la gráfica siguiente, halla: a) f() b) f() c) f() d) f() e) f() f) f() Tal como se ve en la figura: LÍMITES Y CONTINUIDAD 4

42 a) f() b) f() c) f() d) f() e) f() f) f() 5. Dada una función f cuya gráfica es: a) f() b) f() c) f() Tal como se ve en la figura: a) f() b) f() c) f() d) f() d) f() EJERCICIOS PROPUESTOS. Solución: 0. ( 7) Solución:. Solución: 0 4. ( 4) Solución: 5. ( ) Solución: 6. ( 7) Solución: LÍMITES Y CONTINUIDAD 4

43 .4. CÁLCULO DE LÍMITES.. Propiedades algebraicas del cálculo de límites f() L g() L' f() g() L' f() L g() f() g() 0 f() 0 g() f() g() f() g() f() g() f() g() [f() g()] [f() g()] LL' LL' L.L' f() [f(). g()] g() (depende del signo de L') (depende del signo de L') L/L' si L 0 si L0, L'0 (0/0) si L0, L'0 (depende del signo de L') (.0) (0. ) 0 () (/) () (/) ( ) (/) () (/) 0 donde los valores comprendidos entre () indican indeterminaciones. Indeterminaciones Una indeterminación se produce cuando el límite no es posible hallarlo al aplicar las propiedades algebraicas de los límites y debemos resolverlo utilizando distintas técnicas. A continuación estudiamos los tipos de indeterminaciones. 0 Tipo 0 Se obtiene al dividir dos funciones cuyo valor tiende a cero en el punto. Se resuelven: En el caso de funciones racionales desaparecen descomponiendo los polinomios que lo forman en factores y simplificando los factores comunes. En el caso de funciones irracionales se multiplica el numerador y denominador por la conjugada de la epresión en que aparece el radical. LÍMITES Y CONTINUIDAD 4

44 Tipo Se obtiene al dividir dos funciones que tienden a infinito en el punto. Se resuelven: En el caso de funciones racionales cuando, dividiendo numerador y denominador por el monomio de mayor grado: a) Si grado numerador > grado denominador, el resultado es b) Si grado numerador > grado denominador, el resultado es 0 c) Si grado numerador grado denominador, el resultado es el cociente entre los coeficientes principales. Es similar el caso de cocientes con radicales. Tipo (). Se obtiene al restar dos funciones, que tienden a infinito en el punto. Se resuelven: En el caso de funciones racionales operando las epresiones. En el caso de funciones irracionales se multiplica el numerador y denominador por la conjugada de la epresión en que aparece el radical. Tipo ( ) Se obtiene al efectuar la potencia de dos funciones, una de las cuales tiende a uno y otra que tiende a infinito en el punto. Se resuelve utilizando la fórmula f( ) g() ].g() elím [f() lím Tipo (0. ). Se obtiene al efectuar al potencia de dos funciones, una de las cuales tiende a cero y otra que tiende a infinito en el punto. Se resuelve: operando ya que da lugar a indeterminaciones de las anteriores. Tipo ( 0 ) Se obtiene al efectuar la potencia de dos funciones, una de las cuales tiende a cero y otra que tiende a infinito en el punto. Se resuelve: Tomando logaritmos para reducirlas a alguna de las indeterminaciones anteriores. EJEMPLOS. Calcula lím LÍMITES Y CONTINUIDAD 44

45 lím lím 0 Para calcular el límite se estudian los límites laterales de la función en 0. lím 0 lím 0 Como los límites laterales coinciden lím. Calcula lím lím lím 0 Se estudian los límites laterales: lím 0 lím 0 Como los dos límites laterales no coinciden, la función f() límite cuando tiende a. no tiene. Calcula 4 lím 5 0 Es una indeterminación del tipo polinomios en factores. 0, lo resolvemos descomponiendo los 0 lím lím ( )( ) ( )( 5) lím Calcula LÍMITES Y CONTINUIDAD 45

46 0 Es una indeterminación del tipo, siendo su límite: 0 ( )( ) ( )( ) 5. Halla 0 0 Es una indeterminación del tipo, que se resuelve multiplicando por la 0 conjugada, y efectuando las operaciones aritméticas comunes.: 0 ( ) ( ) ( 0 ) ( 0 ( ) )( ) ( ) 0 0 ( ) 6. Calcula 5 4 lím Es una indeterminación del tipo, En este caso, el grado del numerador,, es mayor que el grado del denominador,, por tanto el límite es. 5 5 lím lím Calcula 5 lím 4 Es una indeterminación del tipo. El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto: 5 lím lím lím 4 8. Calcula 5 lím 4 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD 46

47 Es una indeterminación del tipo. El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto: 5 lím lím Calcula lím 4 Es una indeterminación del tipo. El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto: lím lím lím Calcula 4 4 Es una indeterminación del tipo (), siendo su límite: Calcula lím 9 Es una indeterminación del tipo (), que vamos a resolver multiplicando por la conjugada: lím 9 lím ( 9 ).( 9 9 ) lím. Calcula lím / 4 / lím lím ( ) Es una indeterminación del tipo ( ). El límite será de la forma L e siendo lím [f() ].g() Luego: LÍMITES Y CONTINUIDAD 47

48 lím. lím. 4 4 es decir que L e / e lím Calcular el valor de a para que 4 lím 4 lím 4 a π Para hallar el valor de a efectuamos ambos límites, se igualan y se despeja en la ecuación resultante. Hallamos el primer límite: / 4 / lím lím ( ) El límite será de la forma e siendo lím [f() ].g(), llamando a este límite L tenemos: lím. lím. 4 4 es decir que L e / lím 4 Hallamos el segundo límite: a a 4 4 / lím 4 π lím ( ) 4 π/ El límite será de la forma e siendo lím [f() ].g(), llamando a este límite L tenemos: 4 lím. a 4 π 4 4 π lím. a 4 π (π)a a( ) lím 4 π 4 a( ) es decir que L e 4 a( ) Para obtener a basta igualar ambos límites: e / e 4 como ambos términos de la ecuación son potencias de base e para que sean iguales tiene que serlo los eponentes: a( ) a 4 ( ) 4. Halla ( ) ( ) Es una indeterminación de la forma ( ) que resolvemos aplicando la fórmula L f( ) g() e [f() ].g() a a LÍMITES Y CONTINUIDAD 48

49 Los límites por la izquierda y la derecha son diferentes: () ( ) e [()]. () e (). () e () e 0 donde hemos utilizado la fórmula anterior y el hecho de que al tender el denominador a por la izquierda es negativo y el numerador positivo. () ( ) e [()]. () e (). () e () e donde hemos utilizado la fórmula anterior y el hecho de que al tender el denominador a por la izquierda es positivo y el numerador también. 5. Calcula Es una indeterminación del tipo ( ), siendo su límite: e e e 4 e 6. Halla.( ) Es una indeterminación del tipo (0. ), que se transforma en el tipo.( ) : Dividiendo por el monomio de mayor grado (), queda: 0 ya que el numerador y denominador son positivos. 7. Calcula.L Resolución Es una indeterminación del tipo (0. ), que resolveremos transformándola en una del tipo :.L L L LÍMITES Y CONTINUIDAD 49

50 Hallamos el valor del límite e e Finalmente:.L L(e ) e () e EJERCICIOS PROPUESTOS. Calcula Solución:. Calcula Solución:. Calcula Solución: lím lím 4 e 4. Calcula Solución: 4 lím Calcula razonadamente Solución: 4 lím 6. Calcular razonadamente Solución: e 7. Dada la función lím 4 f() halla su límite al tender hacia. Solución: e 8 Calcula los siguientes límites: 8. ( ) Solución: LÍMITES Y CONTINUIDAD 50

51 9. 0 Solución: 0. ( 5 6) Solución: 0. Solución:. Solución: No eiste, por la izda., por la dcha Solución: Calcula los siguientes límites: o 5. ( ) Solución: No eiste, 0 por la izda., por la dcha. 6..( ) Solución: Solución: 4 8. Solución:. Solución: Solución: 6 0. Solución: No eiste, por la izda., por la dcha. LÍMITES Y CONTINUIDAD 5