Catedrático: I.S.C. Iván de J. Moscoso Navarro Contenido:

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1 Materia: Matemáticas I Catedrático: I.S.C. Iván de J. Moscoso Navarro Contenido: UNIDAD TEMATICA II.- SISTEMAS NUMÉRICOS 2.1 Números Naturales ( N )... Introducción Propiedades de la adición de los números naturales Propiedades de la multiplicación de los números naturales Potenciación de exponente natural Factorización de un número natural Números Primos Mínimo común múltiplo (m.c.m) 2.2 Números Enteros ( Z )... Introducción Valor Absoluto Suma de números enteros Multiplicación de números enteros Resta de números enteros Potencias de exponentes enteros 2.3 Números Racionales ( Q )... Introducción Suma de números racionales Multiplicación de números racionales Inversa de una fracción División de números racionales Potencias de exponente fraccionario 2.4 Números Irracionales... Definición Ejemplos 2.5 Números Reales... Definición Recta Real Pag Página 1 de 14

2 Número natural (N) INTRODUCCIÓN Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,, 10, 11, 12, } El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),, 16º (decimosexto), Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro. Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a + b) + c = a + (b + c) Página 2 de 14

3 Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = = (4 + 5) = = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5) Conmutativa Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a + b = b + a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: = Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. Elemento neutro El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma. Asociativa Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: (a b) c = a (b c) Página 3 de 14

4 Por ejemplo: (3 5) 2 = 15 2 = 30 3 (5 2) = 3 10 = 30 Los resultados coinciden, es decir, Conmutativa (3 5) 2 = 3 (5 2) Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a b = b a Por ejemplo: 5 8 = 8 5 = 40 Elemento neutro El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a 1 = a Distributiva del producto respecto de la suma Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: a (b + c) = a b + a c Por ejemplo: 5 (3 + 8) = 5 11 = = = 55 Página 4 de 14

5 Los resultados coinciden, es decir, 5 (3 + 8) = POTENCIACIÓN Potencia, producto formado mediante sucesivas multiplicaciones de un número, letra o expresión algebraica por sí misma. En la potencia a n, a es la base y n el exponente. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL Si el exponente es un número entero mayor que 1, se define: a n = a a (n factores) En especial, a 1 = a. Las propiedades de las potencias de exponente natural son las siguientes: 1. a m a n = a m + n Por ejemplo, = (a b) n = a n b n Por ejemplo, (2 5) 3 = (a m ) n = a m n Por ejemplo, (3 2 ) 5 = Si m > n, Página 5 de 14

6 Por ejemplo, Si m < n, Por ejemplo, 5. Por ejemplo, Factorización de un número natural Descomposición factorial, de un número natural, es el proceso por el cual se obtiene un conjunto de números primos cuyo producto es el número dado. También se llama descomposición factorial al resultado final de dicho proceso. Se dice que el número se ha descompuesto factorialmente o que se ha descompuesto en factores primos. Número primo Número primo, número natural mayor que 1 cuyos únicos divisores son él mismo y el 1. Los números primos menores que 100 son: Los números no primos se llaman compuestos. El 40 es un número compuesto porque tiene divisores que no son 1 ni 40, como el 5. Cualquier número compuesto se puede expresar como producto de números primos. Por ejemplo, 40 = = Se dice que ha sido descompuesto en factores primos, o bien que es la descomposición factorial de 40. Para descomponer factorialmente un número grande se debe proceder de forma sistemática dividiendo por los sucesivos números primos. Página 6 de 14

7 En este proceso desempeñan un importante papel los criterios de divisibilidad que permiten efectuar la división sólo cuando se tiene la certeza de que el número es divisible. El resultado final de una descomposición factorial es de la forma: N = a α b c γ l en donde a, b, c,, l son números primos. Esta descomposición es única, es decir, no hay dos descomposiciones de este tipo, esencialmente distintas, que correspondan al mismo número N. (Esta afirmación es el teorema fundamental de la aritmética, que fue demostrado por primera vez por el matemático alemán Carl Friederich Gauss.) Por ejemplo, la descomposición factorial del número sería: Se ha dividido por el primer número primo, el 2, tantas veces como ha sido posible. Después por el 3, y así sucesivamente. A la izquierda de la raya vertical se colocan los sucesivos cocientes. El resultado de la descomposición es = Mínimo común múltiplo Mínimo común múltiplo, de dos o más números naturales, es el menor de sus múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, se designa abreviadamente así: m.c.m.(a, b, c). Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números se puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las descomposiciones de los distintos números elevado a la máxima potencia con que aparezca. Por ejemplo, para hallar M = m.c.m.(500, 420, 880) se procede como se explica a continuación. Se empieza descomponiendo los tres números en factores primos: Página 7 de 14

8 500 = = = Ahora, para hallar M se toman todos los factores primos que intervienen, 2, 5, 3, 7 y 11, elevados a la máxima potencia con la que aparecen: M = m.c.m.(500, 420, 880) = = Por tanto, el menor de los múltiplos comunes a 500, 420 y 880 es Número entero (Z) INTRODUCCIÓN Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {, -11, -10,, -2, -1, -0, 1, 2,, 10, 11, } Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo ). Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa a y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir: si a > 0, a = a ; por ejemplo, 5 = 5; si a < 0, a = -a ; por ejemplo, -5 = -(-5) = 5. El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los Página 8 de 14

9 sumandos: = = -18 Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: 7 + (-5) = 7-5 = = - (7-5) = (-14) = 0 La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto a, a + (-a) = 0 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo: + + = = = = + La multiplicación de números enteros tiene las propiedades siguientes: Asociativa: (a b) c = a (b c) Conmutativa: a b = b a Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a 1 = a Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a (b + c) = a b + a c Página 9 de 14

10 RESTA DE NÚMEROS ENTEROS Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: a - b = a + (-b) Por ejemplo: 5 - (-3) = = = (-2) + (-5) = -7 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Si n >0, se define Por ejemplo, Para n = 0, a 0 = 1; por ejemplo, 17 0 = 1. Las propiedades de las potencias de exponente entero son las mismas que las de exponente natural. Es decir, aunque el exponente sea un entero negativo, las propiedades siguen siendo las mismas. Sólo la propiedad 4 se puede poner de forma más sencilla y general: 4. Si m y n son dos números enteros cualesquiera, y a 0, Por ejemplo, Número racional (Q) INTRODUCCIÓN Número racional, el que se puede expresar como cociente de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: a = a/1. Página 10 de 14

11 Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números. Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico. Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo: SUMA DE NÚMEROS RACIONALES Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo: La suma de dos números racionales es otro número racional, Cumple las siguiente propiedades: Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) Conmutativa: a + b = b + a Página 11 de 14

12 Elemento neutro: el cero es un número racional que hace de elemento neutro en la suma, a + 0 = a Elemento opuesto: el opuesto de un número racional a, es otro número racional a, a + (-a) = 0 MULTIPLICACION DE NÚMEROS RACIONALES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores: El producto de dos números racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades: Asociativa: (a b) c = a (b c) Conmutativa: a b = b a Elemento neutro: el 1 es un número racional que hace de elemento neutro del producto, a 1 = a Elemento inverso: el inverso de un número racional a 0 es otro número racional que multiplicado por a da 1: Página 12 de 14

13 Distributiva respecto a la suma: a (b + c) = a b + a c INVERSA DE UNA FRACCIÓN La inversa de una fracción es otra fracción,, que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1: DIVISIÓN DE NUMEROS RACIONALES El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda: POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO Si m y n son enteros, n 2, se define Por ejemplo, Las propiedades de las potencias de exponente fraccionario son las mismas que las de exponente entero. Número irracional Número irracional, número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros. La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es ; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional llamado número áureo ( es Página 13 de 14

14 aproximadamente igual a 1,6818); la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional (pi). La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas. Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, forman el conjunto de los números reales. Número real Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros. Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real. Página 14 de 14