Capítulo 3. Ubicación optima de sensores para la estimación de temperatura usando modelos de orden reducido

Transcripción

1 Capítulo 3. Ubicación optima de sensores para la estimación de temperatura usando modelos de orden reducido 67 (3.27) A partir de la Ecuación 3.27 es posible concluir que los estados más fáciles de observar (los que generan la mayor energía de observación) están en el subespacio generado por los vectores singulares de la matriz correspondientes a los valores singulares mas grandes ubicados en la matriz diagonal. Por lo tanto, en este trabajo se utilizó el máximo valor singular del gramiano de observabilidad como métrica de la bondad de cierta configuración de sensores. Para sistemas de parámetros distribuidos de gran escala, el cómputo del gramiano de observabilidad de horizonte infinito presenta los mismos problemas de capacidad de cómputo vistos a lo largo de este trabajo, por lo tanto se va a demostrar que el gramiano de observabilidad del modelo de orden reducido contiene información relevante sobre la observabilidad del sistema de gran escala. Retomando las ecuaciones del modelo de orden reducido (Ec.2.38): (3.28) El gramiano de observabilidad de horizonte infinito para el sistema de orden reducido en la Ecuación 3.28 es: (3.29) Dado que es un conjunto de bases ortonormales se tiene que: (3.3) Entonces: Por tanto, queda demostrado que es la proyección ortogonal del gramiano de observabilidad de horizonte infinito del sistema de orden completo sobre un subespacio de orden reducido generado por las columnas ortogonales de, es decir las bases POD seleccionadas. Este resultado permite el uso del gramiano de orden reducido en el algoritmo de ubicación óptima de sensores enfocado a estimación de estados.

2 68 Ubicación óptima de sensores y una técnica de reducción de modelos para el modelamiento de sistemas de parámetros distribuidos A continuación se presenta una variante del algoritmo presentado en la sección 1.2, pero ahora enfocado a la estimación de estados en sistemas de parámetros distribuidos usando modelos de orden reducido: NOTA: Inicialmente se discretiza el dominio espacio-temporal por medio de VOLUMENES FINITOS (o cualquier otro método numérico). Posteriormente se calcula la función para cada nodo de la barra, es decir, se supone que el sistema de medición tiene un solo sensor posicionado en el nodo, se reduce el modelo y se halla para dicho sistema, este paso se repite para todos los nodos de la discretización por volúmenes finitos (o cualquier otro método numérico). 1. Genere un diseño (ubicación) inicial de sensores. 2. Sea el conjunto de los puntos donde están ubicados los sensores en el experimento de la iteración k del algoritmo, y sea el complemento de, es decir los puntos del mallado que NO tienen sensores. Sea la posición del sensor que minimiza la posición del mallado que maximiza., y sea Si, en donde entonces PARE. De lo contrario, encuentre dos conjuntos y en donde y para y. tales que la densidad de sensores por unidad de área sea la misma Construya un nuevo experimento tal que, incremente k y diríjase al paso 2. Este algoritmo fue utilizado para ubicar los sensores para la estimación de la temperatura en la barra de silicio. La función se presenta a continuación:

3 max (Q red ) Capítulo 3. Ubicación optima de sensores para la estimación de temperatura usando modelos de orden reducido 69 Figura MAXIMO VALOR SINGULAR DEL GRAMIANO DE OBSERVABILIDAD A LO LARGO DE LA BARRA Longitud (mm) Los resultados presentados en la Figura 3.13 indican que la ubicación de los sensores que maximizan el valor singular del gramiano de orden reducido se encuentran cerca de las fronteras físicas de la barra. Este resultado es coherente si se tiene en cuenta que la métrica utilizada está basada en conceptos energéticos, y los sensores ubicados cerca de las fronteras generarían en teoría una mayor energía de observación. Para la simulación se definió como número de sensores de temperatura resultados del algoritmo descrito anteriormente se presentan a continuación:. Los

4 7 Ubicación óptima de sensores y una técnica de reducción de modelos para el modelamiento de sistemas de parámetros distribuidos Figura 3.14 Ubicación óptima de sensores para estimación de temperatura en la barra de silicio RESULTADO DEL ALGORITMO PARA UBICACION OPTIMA DE SENSORES PARA ESTIMACION DE ESTADOS SENSOR 1 SENSOR 2 SENSOR 3 Discretización del dominio espacial Longitud (mm) Los resultados son coherentes con la función objetivo de la Figura Para comprobar la optimalidad de la configuración de sensores encontrada, se realizó un análisis del máximo valor singular de para diferentes configuraciones de sensores tal como se muestra en la Tabla 3.3: Tabla 3.3 Configuraciones de sensores y Configuración de Sensores CONFIGURACIÓN 1: Ubicación en nodos (1,2,98) 1.16 CONFIGURACIÓN 2: Ubicación en nodos (4,5,6).7733 CONFIGURACIÓN 3: Ubicación en nodos (1,5,1).7589 CONFIGURACIÓN 4: Ubicación en nodos (5,94,95).276

5 Capítulo 3. Ubicación optima de sensores para la estimación de temperatura usando modelos de orden reducido 71 La Configuración 1 de la Tabla 3.3 es la generada por el algoritmo de ubicación óptima de sensores para estimación de estados y maximiza la función. Los sensores de la Configuración 4 de la Tabla 3.3 fueron ubicados en las posiciones que marcaban el mínimo global de la función objetivo presentada en la Figura 3.13 y presenta el menor valor de para las configuraciones analizadas. Los resultados de ésta sección serán utilizados para el diseño de estimadores de temperatura basados en modelo de orden reducido para la transferencia de calor en la barra de silicio. 3.7 Estimación de estados basada en modelo de orden reducido En esta sección se estudiará la ventaja que tiene una adecuada selección de la ubicación de sensores en la estimación de temperatura para un sistema de parámetros distribuidos. Para el análisis se considerarán la Configuración 1 (diseño óptimo) y la Configuración 4 de ubicación de sensores definidas en la Tabla 3.3, la cual registró los peores índices de desempeño respecto a la métrica usada en la sección anterior. Diseño óptimo (Configuración 1): Se diseñó un Filtro de Kalman basado en el modelo de orden reducido para estimar la temperatura a lo largo de toda la barra de silicio usando únicamente 3 sensores ubicados en las posiciones definidas en la Configuración 1, la cual es el resultado de un proceso de optimización basado también en el modelo de orden reducido. La matriz de ganancias óptima del Filtro de Kalman para éste caso es: Se simuló el estimador de estados de orden 5 con las señales de control de validación presentadas en la Figura 3.1, y la estimación de la temperatura en la barra se la comparó con la respuesta del modelo no lineal. A continuación se presenta la diferencia de la temperatura estimada a partir de los 3 sensores y la del modelo no lineal durante los primeros 29 segundos:

6 Temperatura (K) 72 Ubicación óptima de sensores y una técnica de reducción de modelos para el modelamiento de sistemas de parámetros distribuidos Figura 3.15 Error de estimación t [s,29s] ERROR DE ESTIMACION (t=s a t=29s) Tiempo (s) Longitud (mm) 2 1 En la Figura 3.15 se puede apreciar la convergencia del estimador de estados. A continuación se presenta la diferencia de temperatura estimada a partir de los 3 sensores y la del modelo no lineal desde t=3s hasta t=1s:

7 Capítulo 3. Ubicación optima de sensores para la estimación de temperatura 73 usando modelos de orden reducido Figura 3.16 Error de estimación t [3s,1s] ERROR DE ESTIMACION (t=3s a t=1s) Temperatura (K) Tiempo (s) Longitud (mm) 1 Caso 2 (Configuración 4): Se diseñó un Filtro de Kalman basado en el modelo de orden reducido para estimar la temperatura a lo largo de toda la barra de silicio usando únicamente 3 sensores ubicados en las posiciones definidas en la Configuración 4. La matriz de ganancias óptima del Filtro de Kalman para éste caso es: Se simuló el estimador de estados de orden 5 con las señales de control de validación presentadas en la Figura 3.1, y la estimación de la temperatura en la barra se la comparó con la respuesta del modelo no lineal. A continuación se presenta la diferencia de la temperatura estimada a partir de los 3 sensores y la del modelo no lineal durante los primeros 29 segundos: -15

8 Temperatura (K) 74 Ubicación óptima de sensores y una técnica de reducción de modelos para el modelamiento de sistemas de parámetros distribuidos Figura 3.17 Error de estimación t [s,29s] ERROR DE ESTIMACION (t=s a t=29s) Tiempo (s) Longitud (mm) 4 En la Figura 3.17 se puede apreciar la convergencia del estimador de estados para el caso en el que los sensores están ubicados de acuerdo a la Configuración 4. A continuación se presenta la diferencia de temperatura estimada a partir de los 3 sensores y la del modelo no lineal desde t=3s hasta t=1s:

9 Capítulo 3. Ubicación optima de sensores para la estimación de temperatura 75 usando modelos de orden reducido Figura 3.18 Error de estimación t [3s,1s] ERROR DE ESTIMACION (t=3s a t=1s) Temperatura (K) Tiempo (s) Longitud (mm) 1 De los resultados del diseño óptimo y del segundo caso es posible concluir que efectivamente la ubicación de los sensores incide directamente en el resultado de la estimación de variables en sistemas de parámetros distribuidos. Se pudo comprobar que para el caso del diseño óptimo (Configuración 1) la diferencia entre la estimación y la temperatura del modelo no lineal se encuentra en un rango de -5K y +2K y se concluye que el estimador basado en modelo lineal de orden reducido es un buen estimador del modelo no lineal. Para el segundo caso en el que los sensores están ubicados de acuerdo a la Configuración 4, la diferencia entre la temperatura estimada y la del modelo no lineal se encuentra en un rango de -1K y +1K. Evidentemente este estimador de estados tiene un desempeño menor al del diseño óptimo. Teniendo en cuenta que los estimadores de estados fueron diseñados usando el mismo modelo de orden reducido, se concluye que el método propuesto en este trabajo para la ubicación óptima de sensores enfocado a estimación de variables mejora la calidad de la estimación incluso si la planta es no lineal respecto a ubicaciones aleatorias de sensores. -3

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11 4. Conclusiones y trabajos futuros En esta tesis se abordaron dos problemas presentes en modelamiento de sistemas de parámetros distribuidos descritos por ecuaciones diferenciales parciales. El primero consiste en cómo determinar la ubicación óptima de un número determinado de sensores para la identificación de sistemas de parámetros distribuidos. Uno de los puntos cruciales en el modelamiento de SPDs es la identificación de los parámetros desconocidos de su estructura matemática y que dada la imposibilidad de tomar mediciones en todo el dominio espacial se aplicó una metodología sistemática basada en la teoría de experimentos sobre cómo mejorar la eficiencia de los algoritmos de identificación por medio del diseño de experimentos óptimos para el muestreo de datos. En la actualidad, la ubicación de los sensores en sistemas industriales se realiza empíricamente, sin tener en cuenta el conocimiento matemático que se tiene del proceso. La solución del problema de ubicación óptima de sensores para la identificación de sistemas de parámetros distribuidos establece inicialmente una medida de optimalidad que represente de manera cuantitativa la bondad de la configuración de un sistema de medición respecto a otro. Esta medida se basó en el concepto de la Matriz de Información de Fisher, la cual representa las covarianzas de los coeficientes de sensibilidad de las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales parciales respecto a los parámetros desconocidos y que a su vez refleja la variabilidad en los estimados de los parámetros desconocidos inducida por la variabilidad estocástica de las muestras tomadas. Por lo tanto, en esta tesis se buscaron configuraciones que maximizan una función escalar basada en la Matriz de Información de Fisher. Se comprobó que la ubicación de los sensores incide directamente en el resultado de la identificación de sistemas de parámetros distribuidos, y que la aplicación de una metodología basada en modelo permite formalizar la práctica de la ubicación de sensores en sistemas de parámetros distribuidos. Una de las principales líneas de investigación futura se centra en la extensión de estas técnicas a sistemas de parámetros distribuidos multivariables. El segundo problema tratado en esta tesis consistió en la reducción del orden de un sistema descrito por ecuaciones diferenciales parciales. Inicialmente, esta clase de sistemas son discretizados en el tiempo y el espacio por medio de técnicas numéricas como las diferencias, volúmenes o elementos finitos, las cuales pueden ser vistas como una proyección de Galerkin de un espacio infinito-dimensional de ecuaciones diferenciales ordinarias sobre un espacio finito-dimensional. Estas técnicas numéricas

12 78 Ubicación óptima de sensores y una técnica de reducción de modelos para el modelamiento de sistemas de parámetros distribuidos generan sistemas enormes de ecuaciones diferenciales ordinarias, cuyas soluciones requieren de capacidades de cómputo considerables. Una vez se cuenta con el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias generado por las técnicas de discretización, se generan soluciones (snapshots) que permitan construir una matriz de información que contiene las correlaciones espacio-temporales de las soluciones. Esta matriz de información se puede descomponer mediante la SVD o la EVD con el fin de determinar las correlaciones espaciales dadas por las funciones base POD. Se sabe que cualquier función que pertenezca a un espacio de Hilbert se puede representar como una sumatoria de funciones base (dinámicas espaciales) multiplicadas por sus coeficientes de Fourier (dinámicas temporales). Si se trunca esta sumatoria en un valor de índice finito, es posible aproximar una función por medio de esta sumatoria finita de funciones base y coeficientes de Fourier. Si se aplica este concepto a la aproximación de sistemas dinámicos, se puede remplazar el vector de estados del sistema por su aproximación POD finita para después proyectarlo sobre el espacio generado por las funciones base seleccionadas. Se pudo comprobar mediante un caso de aplicación que las dinámicas del modelo de orden reducido se siguen a las dinámicas del modelo de orden completo en los puntos de medición seleccionados, que el error máximo de temperatura registrado en el modelo reducido es de alrededor de los 4 C para un modelo de orden 6 que aproxima a uno de orden Este tipo de modelos de orden reducido son utilizados para el control de sistemas de parámetros distribuidos. Una de las líneas de investigación futuras se centra en la aplicación de técnicas de reducción de modelos a sistemas altamente no lineales, por ejemplo sistemas físicos de dinámica de fluidos descritos por las ecuaciones de Navier-Stokes y sus modelos turbulentos. Adicionalmente se presentó un caso de integración de las técnicas consolidadas en ubicación óptima de sensores para identificación de sistemas en el área de estimación de estados usando modelos de orden reducido ahora con el objetivo de maximizar la observabilidad en el diseño de esquemas de control robustos para sistemas de parámetros distribuidos. Se modeló la transferencia de calor no lineal en una barra de silicio y se reconstruyó la variable temperatura a lo largo de toda la barra usando únicamente las mediciones generadas por 3 sensores y Filtros de Kalman basados en modelos de orden reducido. La variante del algoritmo usado para ubicación óptima de sensores enfocados a identificación de sistemas demostró ser eficiente para encontrar configuraciones de sensores que permiten maximizar índices de observabilidad para mejorar la estimación de sistemas de parámetros distribuidos. Esta variante tiene como métrica el máximo valor singular del gramiano de observabilidad de los modelos de orden reducido. Los resultados de este trabajo muestran las ventajas de utilizar esquemas de ubicación óptima de sensores cuando se planean diseñar estimadores de estados basados en modelo de orden reducido para sistemas de parámetros distribuidos. Este trabajo deja algunas bases para estudios formales en el diseño integrado de plantas en el que se incluye estudios de ubicación óptima de sensores y actuadores basados en modelo enfocados a control y optimización del proceso desde la etapa inicial de diseño.

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