COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS. Apuntes de Matemáticas Financieras

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1 COLEGIO UNIVERSITARIO CARDENAL CISNEROS Apuntes de Matemáticas Financieras Manuel León Navarro

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3 Índice general 1. Conceptos Básicos Lección 1 - Introducción Actividad Económica vs Actividad Financiera Sistema Financiero Sistema Monetario Decisiones Financieras Lección 2 - Conceptos Básicos Capital Financiero Leyes Financieras Lección 3 - Leyes de Capitalización Capitalización Simple Capitalización Compuesta Producto financiero de las leyes de capitalización: Convenio Lineal Lección 4 - Leyes de Descuento El descuento comercial El descuento racional o matemático

4 ÍNDICE GENERAL El descuento compuesto Lección 5 - Comparación y Sustitución de capitales Comparación de Capitales Suma de Capitales Desdoblamiento de capitales Rentas Lección 6 - Rentas - Valoración: Introducción Concepto de Renta Comparación y propiedades de las rentas Clasificación de las rentas Valoración de Rentas: Constantes e Inmediatas Renta Temporal y Pospagable Renta Perpetua y Pospagable Renta Temporal y Prepagable Renta Perpetua y Prepagable Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación) Valoración de Rentas: Constantes y Diferidas Valoración de Rentas: Constantes y Anticipadas Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas Lección 8 - Valoración de Rentas - Variables Caso General Rentas en Progresión Geométrica Lección 9 - Valoración de Rentas - Variables (Continuación)

5 Apuntes: Matemáticas Financieras Rentas en Progresión Aritmética Ultimas consideraciones Operaciones Financieras - Préstamos Lección 10 - Operaciones Financieras - Introducción a los préstamos Clasificación de las operaciones Equivalencia financiera y Saldo financiero Tantos efectivos - TAE Introducción a los Préstamos Préstamo Simple Préstamo Francés Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Préstamo: Método de cuotas de amortización constantes Préstamo: Método americano simple Préstamo: Amortización con los intereses fraccionados Préstamo: Amortización con periodos de carencia

6 6 ÍNDICE GENERAL

7 Capítulo 1 Conceptos Básicos 1.1. Lección 1 - Introducción Actividad Económica vs Actividad Financiera La actividad económica se encamina en la producción de bienes y servicios. La realizan los agentes económicos que gestionan los recursos para satisfacer necesidades. Los agentes económicos son el conjuntos de personas físicas o jurídicas que intervienen en la actividad económica. Se agrupan en tres grandes bloques que son los individuos, las empresas y el estado. Los bienes económicos se les denomina activos reales y son ó bienes que se utilizan en la producción ó bienes de consumo. Los agentes económicos toman decisiones y, en ocasiones, tienen excedentes (positivos o negativos) en la cantidad de bienes siendo interesante poder cederlos o adquirirlos, recibiendo o pagando una compensación. La actividad financiera se encargar de materializar en el tiempo dicho trasvase de recursos de los agentes excedentarios (ahorradores) a los deficitarios (inversores). Dicho trasvase se realiza a través del activo financiero, que son unas compromisos de pago futuros, así el ahorrador le da una cantidad de bienes al inversor y éste le 7

8 1.1. LECCIÓN 1 - INTRODUCCIÓN da un activo financiero Sistema Financiero El sistema financiero son el conjunto de instituciones, activos y mercados cuya función es captar el excedente de los ahorradores y canalizarlo a los inversores. Instituciones Las instituciones realizan una labor de intermediación entre ambos tipo de agentes. La principal insitución financiera de nuestro país, el Banco Central, ha perdido gran parte de las atribuciones en favor de instituciones supranacionales: El Banco Central Europeo (BCE). Sistema Europeo de Bancos Centrales (SEBC). Conjunto de Bancos Centrales de países que han adoptado el euro. Eurosistema. Conjunto de Bancos Centrales de países que han adoptado el euro junto con los que no lo han hecho aún. Al Consejo de Gobierno del BCE le corresponde formular la política monetaria de la zona euro y tomar decisiones relativas a los objetivos monetarios intermediarios que son el tipo de interés y la cantidad de dinero. El objetivo final del BCE es mantener la estabilidad de precios. El Banco de España participa en las decisiones anteriores y además tiene como competencias: Poseer y gestionar las reservas de divisas y metales preciosos. Supervisar la solvencia y comportamiento de las entidades de crédito. Promover el buen funcionamiento y estabilidad del sistema financiero. 8

9 Apuntes: Matemáticas Financieras Poner en circulación la moneda metálica y desempeñar las demás funciones que el Estado le encomiende respecto a dicha moneda. Elaborar y publicar estadísticas Prestar servicios de tesorería y agente financiero de la deuda pública Asesorar al gobierno y realizar estudios e informes que resulten procedentes. Las instituciones financieras que dependen del BCE son: Las entidades de crédito como son los bancos privados y banca pública. Las sociedades mediadoras en el mercado de dinero (SMMD) Las entidades de financiación, de Leasing, de Factoring y de crédito hipotecario. Las sociedades de garantía recíproca (SGR) Activos Financieros Son los medios que permiten la transferencia de fondos entre agentes económicos. Los emiten las personas (físicas o jurídicas) que tienen un desequilibrio temporal entre ingresos y gastos (déficit) cubriendo esa diferencia con la financiación que le proporcionan otros agentes económicos. Pueden ser tanto economías domésticas (compra de un activo importante como un coche o una casa) como empresas o como el estado. Los activos financieros representan una obligación de pago para el emisor y un derecho de cobro para el receptor en el cual se incorpora una retribución complementaria. Cada activo financiero tiene una serie de carácteristicas: 1. Rentabilidad, remuneración adicional que percibe el poseedor del activo. 2. Riesgo, probabilidad de que el emisor realice los pagos futuros 9

10 1.1. LECCIÓN 1 - INTRODUCCIÓN 3. Liquidez, rapidez con que puede ser convertido en dinero sin pérdida de valor Los activos más arriesgados ofrecen una rentabilidad mayor. La liquidez depende del tamaño del mercado. Intermediarios Financieros Los activos financieros pueden ser primarios, si son emitidos por los agentes económicos que necesitan la financiación o secundarios, si los emiten intermediarios financieros. En la mayoría de los casos los ahorradores y los inversiones se relacionan a través de los intermediarios financieros. Éstos, pueden transformar los activos financieros con el objetivo de adecuarlos a las necesidades del mercado. Mercados Financieros Los mercados financieros son el lugar o mecanismo donde se produce el intercambio de activos. A partir de la demanda y oferta de activos se establece el precio. Las características de los mercados son: Amplitud, función del volumen de activos Transparencia, función de la mayor rapidez y menor coste con el que se pueden comunicar los agentes. Libertad, función de las limitaciones que haya para acceder al mercado. Profundidad, función del número de órdenes de compra y venta que se produzcan. Existen diversas formas de clasificar los mercados, así, en función de las características anteriores se tienen: Mercados monetarios, con plazos cortos, riesgos pequeños y gran liquidez Mercados de capitales, con plazos más largos. Dentro de este están los mercados de valores y el mercado de crédito. 10

11 Apuntes: Matemáticas Financieras También se puede distinguir entre: Mercados primarios, donde los activos se intercambian en el momento de la emisión Mercados secundarios, cuando se intercambian activos que ya estaban en circulación. Así, a modo de resumen, el sistema financiero debe canalizar, de forma eficiente, los recursos de los ahorradores a los inversores mediante los activos financieros Sistema Monetario El sistema monetario se puede definir como el conjunto de instituciones, mecanismos y procedimientos que regulan los mercados monetarios en relación a la emisión, circulación y transacciones que se realizan con dinero. El dinero sirve para la realización del intercambio de bienes y servicios siendo un medio general de pago. Además el dinero es un activo financiero mediante el cual se puede mantener riqueza. El sistema monetario internacional (SMI) ha ido evolucionando desde el patrón oro del siglo pasado hasta el momento actual en el que tiene como organismos más importantes el Fondo Monetario Internacional (FMI) y el Banco Mundial. El sistema monetario Europeo (SME) se crea como base para lograr en un futuro la unión europea que finalmente lleva a la unión monetaria con la adopción de una moneda única, el euro. El euro nace en 1999 mantiendo la convivencia con las monedas nacionales en una etapa transitoria hasta el año Se denominan divisas a las monedas extranjeras o cualquier medio de pago nominado en esas monedas (letras, cheques, etc). 11

12 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS BÁSICOS Decisiones Financieras Las decisiones financieras optimizan la asignación de recursos financieros a través del tiempo. Existen dos tipos de decisiones fundamentales: Decisiones de inversión Decisiones de financiación Se realiza una inversión cuando un agente adquiere un activo efectuando unos desembolsos iniciales esperando que en el futuro genere unos rendimientos mayores que el desembolso inicial. Se realiza una financiación cuando el agente obtiene recursos con el cubrir un déficit (gastos mayores que ingresos) y que posteriormente ha de devolver junto con una retribución pactada anteriormente. Son dos operaciones duales ya que en la inversión se hace un desembolso inicial mientras que en la financiación se obtiene dicho desembolso. Posteriormente en la inversión se van recuperando rendimientos que son justamente los pagos que se hacen en la financiación. Debido a que ambas operaciones se realizan a lo largo del tiempo, es fundamental tener un criterio que permita valorarlas y es ahí donde entra la valoración financiera Lección 2 - Conceptos Básicos Capital Financiero Se define capital financiero como la medida de cualquier activo, real o financiero, expresada por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad. Por lo tanto cualquier capital se representa mediante dos coordenadas (C,t) donde: 12

13 Apuntes: Matemáticas Financieras C mide la cuantía del capital expresada en unidades monetarias t es el momento de disponibilidad del capital o vencimiento. Como todo capital viene determinado por dos coordenadas, puede ser representado en un sistema de coordenadas donde el tiempo se sitúa en el eje de abcisas y la cuantía en el eje de ordenadas. Figura 1.1: Representación de capitales 1 A veces, por simplicidad se utiliza la forma de representación que aparece en el gráfico siguiente: Figura 1.2: Representación de capitales 2 Si observamos desde el punto de vista del activo (perspectiva objetiva), los capitales deben ser positivos (C > 0) ya que todo activo tiene un valor o 0 si carece de valor, pero nunca negativo. Si observamos desde el punto de vista de la persona en relación al activo (perspectiva subjetiva), el activo puede tener valor positivo (C > 0) si la posición es acreedora (se le debe) pero negativo (C < 0) si la posición es deudora (debe). 13

14 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS BÁSICOS Al conjunto de todos los capitales financieros se le denomina Espacio financiero E. Desde la perspectiva subjetiva dicho espacio toma la forma: E = {(C; t) C, t R} Leyes Financieras En el mundo real se comparan capitales constantemente. Es claro que si se quieren comparar capitales con el mismo vencimiento, se preferirá aquel que tenga una cuantía superior. Por otro lado, si se quieren comparar capitales con la misma cuantía, se preferirá aquel que tenga un vencimiento inferior, pero como se comparan capitales que tengan vencimientos y cuantías distintos? Por lo tanto, debido a que los activos financieros son funciones de dos variables, cuantía y vencimiento, no se pueden comparar de forma directa. Así, se definen las Leyes Financieras como las expresiones matemáticas que permiten comparar capitales, sustituir capitales por otros, etc. Dados dos capitales (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ), necesitamos una regla que, dado un momento del tiempo p, se pueda encontrar el valor equivalente V i. Así, si podemos establecer una relación de la forma (C 1, t 1 ) (V 1, p) y (C 2, t 2 ) (V 2, p), entonces el capital preferido será aquel que tenga un valor equivalente mayor, como se puede ver en el gráfico siguiente: Figura 1.3: Valores equivalentes Por lo tanto, una ley financiera es una expresión matemática que permite 14

15 Apuntes: Matemáticas Financieras encontrar V i. Dicha cuantía dependerá no sólo de C y t sino también de p: V = F (C, t, p) de leyes: En función de si el valor p es anterior o posterior a t se distinguen dos tipos Leyes de capitalización. Si p > t y se denota por L(t, p) 1 Figura 1.4: Capitalización Leyes de descuento. Si p < t y se denota por A(t, p) Figura 1.5: Descuento Ejemplo 1 En realidad la ley de capitalización depende también de C pero como veremos mas adelante, una propiedad que debe cumplir es que sea proporcional a C y por lo tanto se especifica la ley de capitalización unitaria 15

16 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS BÁSICOS Indicar el orden de preferencia de los capitales siguientes: ( ;2013), ( ;2015) y ( ;2016) si la ley utilizada es A(t, p) = 1 0,05(t p) y se utiliza p = Para determinar el orden de preferencia hay que encontrar las cuantías equivalentes en p = Así para el primero V 1 = 100,000 [1 0,05( )] = 95,000 Para el segundo V 2 = 110,000 [1 0,05( )] = 93,500 y para el tercero V 3 = 120,000 [1 0,05( )] = 96,000 Y por lo tanto, como V 3 > V 1 > V 2 el orden de preferencia de los capitales es (120,000; 2016) (100,000; 2013) (110,000; 2015) Ejercicio: Dados dos capitales (100;2016) y (200,2018). Se puede decir que hoy son equivalentes si se utiliza la ley financiera F (C, t, p) = Ce p t? 16

17 Apuntes: Matemáticas Financieras Leyes Financieras:Propiedades Para que una función pueda utilizarse como ley financiera debe cumplir una serie de propiedades: 1. Debe ser una función positiva para cualquier valor de C, t y p: V = F (C, t, p) > 0 2. Debe ser homogénea de grado 1 respecto a la cuantía F (λc, t, p) = λf (C, t, p). Si esto es así, y eligiendo λ = 1 la propiedad anterior implica que la función C puede expresarse como F (C, t, p) = C F (1, t, p) = C F (t, p). A la ley F (t, p) se le denomina ley financiera unitaria. En el caso más sencillo las leyes financieras deben ser funciones lineales respecto a la cuantía de tal forma que se puede operar con rentas unitarias para después de encontrar la cuantía por unidad, baste con multiplicar por la cuantía inicial del capital considerado para obtener la cuantía del capital 2. 2 Si en t euros tienen como equivalente en t 2 a 130 euros, entonces 1000 euros tendrán como equivalente 1300 euros 17

18 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS BÁSICOS 3. Debe cumplir que si p = t, entonces F (C, t, t) = F (C, p, p) = C (Propiedad reflexiva). 4. Las leyes financieras deben cumplir además la propiedad de subestimación de capitales futuros respecto a los actuales a igualdad de cuantía. Esto implica que debe ser creciente con p y decreciente con t. Además, si la ley es de descuento, debe cumplir que A(t, p) < 1 y si la ley es de capitalización, debe cumplir que L(t, p) > 1 5. Debe ser continua en p y en t Ejemplo Comprobar que la función matemática F (C, t, p) = C a b + d (t p) con t p Puede ser utilizada como ley de descuento para los valores positivos de a, b, d. En primer lugar debe ser una función positiva. Como t > p entonces t p > 0 y por lo tanto el denominador es positivo. Como tanto C como a son positivos, el numerador también es positivo y por tanto el cociente es positivo. En segundo lugar, se observa que dicha función es homogénea de grado 1 respecto a C ya que 1 ya que F (λc, t, p) = λc a b + d (t p) = λ C a b + d (t p) = λ F (C, t, p) Además, se comprueba también la implicación de la homogeneidad de grado F (C, t, p) = C a b + d (t p) = C a b + d (t p) 18 = C F (1, t, p) = C F (t, p)

19 Apuntes: Matemáticas Financieras En tercer lugar debemos ver si se cumple la propiedad reflexiva. En ese caso vemos cuante vale F (C, t, t): F (C, t, t) = C a b + d (t t) = C a b + d 0 = C a b Que será igual a C si a = b. Por lo tanto para que sea ley financiera debe cumplir que a = b. En cuarto lugar debemos ver si cumple la propiedad de subestimación de capitales futuros. Para ello debemos ver si la función es creciente en p y decreciente en t. Para ello calculamos las derivadas parciales (donde ya se ha impuesto la condición a = b): F (C, t, p) p = a d [a + d (t p)] 2 > 0 a d > 0 Que será positiva si se cumple que a d > 0. F (C, t, p) t a d = [a + d (t p)] < 0 a d > 0 2 Que será negativa si se cumple que a d > 0. Por lo tanto la función será creciente en p y decreciente en a si a d > 0. Además, como t > p entonces d (t p) > 0 y por lo tanto a a+>0 es siempre menor que 1, y por lo tanto se puede utilizar como una ley de descuento. Por último, dicha función es continua en todo el dominio salvo el que haga 0 el denominador. Pero como (t p) 0 entonces el denominador es mayor que a y nunca puede ser 0. Por lo tanto dicha función puede utilizarse como ley de descuento siempre y cuando a = b y el signo de a sea igual al signo de b. Ejercicio: Comprobar que la expresión matemática F (C, t, p) = C[a + b (p t)] puede ser utilizada como ley financiera, indicando en cualquier caso que propiedades se cumplen y cuales no. 19

20 1.2. LECCIÓN 2 - CONCEPTOS BÁSICOS Clasificación de las leyes Financieras Las leyes financieras se pueden agrupar entre ellas en función de la existencia de alguna característica común. Así por ejemplo se puede hablar de: Leyes estacionarias cuando solo se tiene en cuenta la diferencia del tiempo entre el que ocurre cada operación, es decir de z = p t, por lo que la ley financiera se especifica en términos de esa cantidad F (z). Posteriormente hablaremos de F (t) donde t mide la distancia. Leyes sumativas, cuando en el intervalo considerado no se acumulan los intereses para generar nuevos intereses. Ejemplos de este tipo de leyes son la 20

21 Apuntes: Matemáticas Financieras capitalización simple y el descuento comercial. Leyes multiplicativas, cuando en el intervalo se acumulan los intereses. Ejemplos de este tipo son la capitalización y el descuento compuestos. Magnitudes Derivadas A partir de los conceptos básicos de cuantía y vencimiento, surgen otros derivados de estos y que ayudan a operar con capitales financieros. El Factor es el número por el que hay que multiplicar a la cuantía en t 1 para obtener la cuantía en t 2. Sirve para encontrar la valoración de un capital en t 2 que, en general, será distinto de p. Dicho factor es una función que depende tan solo t 1, t 2 y p. En el caso de la capitalización, el factor de capitalización permite obtener C 2 multiplicando a C 1 por dicho factor. A la cuantía C 2 se la denomina montante. El inverso se llama factor de contracapitalización y permite obtener C 1 conocido C 2. En el caso del descuento, el factor de descuento permite obtener C 1 multiplicando a C 2 por dicho factor. A la cuantía C 1 se la denomina valor descontado. El inverso se llama factor de contradescuento y permite obtener C 2 conocido C 1 El Rédito es el incremento o disminución por unidad monetaria al pasar de t 1 a t 2 y, por tanto, coincide con el valor absoluto del factor menos uno. Para el caso de la capitalización toma la forma C 2 C 1 C 1 y para el descuento C 2 C 1 C 2 El Tanto es igual al Rédito pero dividido entre la amplitud del intervalo (t 1 ; t 2 ), y por lo tanto es el rédito por unidad de tiempo (se le suele denominar también tipo de interés) El Tanto instantáneo es el límite del tanto cuando el intervalo (t 1 ; t 2 ) tiende a 0. Mide la variación por unidad de cuantía en cada instante del tiempo. Conocida la función de tanto instantáneo se puede obtener la ley financiera integrando entre py t. El Interés y el Descuento son capitales que miden la diferencia entre la 21

22 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN cuantías equivalentes C 1 y C 2 en los extremos t 1 y t 2. Se obtienen multiplicando la cuantía considerada por el rédito asociado a dicho intervalo Lección 3 - Leyes de Capitalización Capitalización Simple Expresión matemática La expresión matemática de la capitalización simple es: L 1 (t) = 1 + i t para t > 0 Dicha expresión indica que, cuando pasen t periodos, una unidad monetaria se convierte en 1 + i t unidades monetarias. El parámetro i es el Tanto y por lo tanto mide el incremento por unidad de cuantía y de tiempo. Para que se cumpla el principio de subestimación de capitales futuros el signo de i debe ser positivo. La variable t mide el tiempo durante el cual se está capitalizando. Cuando se aplica la ley financiera el tiempo debe venir expresado en la misma unidad temporal que el tanto i (por ejemplo, si el tanto es mensual, entonces t deben ser número de meses). La capitalización simple se usa en el corto plazo, es decir en periodos inferiores a un año. Montante e Interés Se denomina Montante al capital equivalente en t de las C unidades monetarias iniciales. La cuantía del montante (M) se obtiene como: M = C(1 + i t) = C + C i t Se denomina Interés al incremento que experimenta el capital de cuantía C 22

23 Apuntes: Matemáticas Financieras al colocarlo duante t periodos. La cuantía del interés (I) se obtiene como: I = M C = C i t Ejemplo Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 7 años a un tipo de interés simple del 5 % (o utilizando la ley de capitalización simple). El montante de la operación es M = C(1 + i t) con C = 500, i = 0,05 y t = 7, se convierte en M = 500(1 + 0,05 7) = 675 e Los intereses son I = M C con M = 675 y C = 500, que se convierte en I = = 175. Dicha cantidad coincide con la otra forma de calcular los intereses I = C i t con C = 500, i = 0,05 y t = 7 que se convierte en I = 500 0,05 7 = 175 e Ejercicio Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 700 e durante 2 años a un tipo de interés simple del 8 % (o utilizando la ley de capitalización simple). 23

24 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN Calculo de magnitudes derivadas En algunas ocasiones es necesario calcular las magnitudes básicas a partir de las magnitudes derivadas. Así, partiendo de la ecuación del montante: M = C(1 + i t) se puede obtener valor del capital inicial como C = M (1 + i t) Para calcular el tiempo, se despeja algebraicamente de la expresión anterior y se obtiene que: t = M C (C i) Para calcular el tipo de interés se despeja también de la ecuación del montante y se obtiene que: Ejemplo i = M C (C t) Cuanto tiempo debe pasar para que un capital de 1000 e al 7 % de interés anual simple se convierta en 1200 e? Utilizando la expresión anterior, el tiempo que debe pasar es 24

25 Apuntes: Matemáticas Financieras t = Es decir, deben pasar 2.85 años. Ejercicio (1000 0,07) = 2,85 Cual es el tipo de interés utilizado si la cuantía inicial de un capital es 2000 e, el montante es 2200 e después de pasar 2 años? Suponga que se utiliza la ley de capitalización simple. Fracciones de año Normalmente i mide el incremento anual sin embargo dicha ley se usa para operaciones de corto plazo, es decir, para operaciones menores a un año. En ese caso, el tiempo se usa como fracción de año (numero de periodos/numero de periodos totales del año). Así, en el caso mensual (numero de meses igual a k) se utiliza el 25

26 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN tiempo como k 12 y por lo tanto el montante y el interés toman la forma: M = C(1 + i k 12 ) I = C i k 12 Si la duración se expresa en días (n es el número de dias) entonces el tiempo toma la forma n 365 y si se usa el año comercial entonces n 360 Para encontrar la relación entre el interés civil que utiliza 365 días y el interés comercial que lo hace con 360 días, en primer lugar se obtiene ambos. El primero n es I ci = C i y el segundo I n 365 co = C i. Si se dividen ambas cantidades se 360 obtiene: I co = C i n n I ci C i Y por lo tanto se obtiene que = = I co = I ci civil. y como 73 es mayor que 1 entonces el interés comercial es mayor que el interés 72 Ejemplo Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 60 días a un tipo de interés simple del 5 % y utilizando el año comercial (o utilizando la ley de capitalización simple). El montante de la operación es M = C(1 + i t) con C = 500, i = 0,05 y t = 60, se convierte en M = 500(1 + 0,05 0,166) = 504,16 e 360 Los intereses son I = M C con M = 504,16 y C = 500, que se convierte en I = 504, = 4,16. 26

27 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejercicio Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 700 e durante 11 meses a un tipo de interés simple del 8 % (o utilizando la ley de capitalización simple). Tantos equivalentes Si se quiere cambiar la unidad de medida del tiempo (pasar de años a meses) entonces el tipo de interés debe ser cambiado también (pasar de tipo anual a tipo mensual) y para que la ley financiera no varíe, se debe multiplicar y dividir por el mismo factor de corrección (m): L 1 (t) = 1 + i 1 m m t = 1 + i m m t 27

28 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN Donde, si el tiempo inicial es en años, entonces si m = 2 pasamos a tiempo semestral, si m = 3 a cuatrimestral, si m = 4 a trimestral, si m = 12 pasamos a mensual, si m = 52 a semanal y si m = 365 a diario. Entonces, si llamamos a i m al tipo correspondiente a la fracción 1 m del año, la relación con el tipo anual es: i m = i m i = m i m Ejemplo Obtener los tantos equivalentes al 9 % anual para periodos 1) semestrales 2) trimestrales y 3) mensuales si se utiliza la ley de capitalización simple. Como hemos visto antes, el tanto equivalente se obtiene con la formula i m = i m y por lo tanto será: 1. Para el caso semestral m = 2 y por el tanto equivalente es i m = 9 2 = 4,5 % 2. Para el caso trimestral m = 4 y por el tanto equivalente es i m = 9 4 = 2,25 % 3. Para el caso mensual m = 2 y por el tanto equivalente es i m = 9 12 = 0,75 % Ejemplo Se colocan eal 2 % trimestral durante 9 meses. Obtener los intereses que produce tomando como unidad de tiempo el trimestre y como unidad de tiempo el año. 1. Si te utiliza como unidad de tiempo el trimestre, entonces el tipo que se debe utilizar es el trimestral y el tiempo que pasa es 9 meses entre 3 meses que tiene cada trimestre y por lo tanto 3 trimestres. Los intereses quedan: I = , = Si te utiliza como unidad de tiempo el año, entonces se debe encontrar el tipo anual equivalente. Así, como se ha visto anteriormente, el tanto anual se 28

29 Apuntes: Matemáticas Financieras obtiene como i = m i m que en este caso es i = 4 2 = 8 %. Ahora el tiempo que pasa es 9 12 años y por lo tanto I = , = 3000 Ejercicio Se colocan en el Banco eal 4 % trimestral durante 11 meses y en el Banco eal 0.5 % diario durante un año. Si se utiliza la ley de capitalización simple, en cual de los dos bancos se obtiene un interés mayor? Capitalización Compuesta Expresión matemática La expresión matemática de la capitalización compuesta es: 29

30 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN L 2 (t) = (1 + i) t = e kt para i, k, t > 0 y siendo k = ln(1 + i) Dicha expresión indica que, cuando pasen t periodos, una unidad monetaria se convierte en (1 + i) t unidades monetarias. El parámetro i es el rédito constante para periodos unitarios ya que si t = 1 entonces (1 + i) t (1 + i). De nuevo i > 0 para que se cumpla el principio de subestimación de capitales. El parámetro k es el tanto instantáneo. Los mismos comentarios sobre t e i son aplicables al caso de la capitalización compuesta. Montante e Interés forma: En este caso el montante M (capital equivalente en t de C u.m.) toma la M = C(1 + i) t y el interés I (incremento que se produce al pasar t periodos) toma la forma: I = M C = C(1 + i) t C = C[(1 + i) t 1] Ejemplo Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 7 años a un tipo de interés compuesto del 5 % (o utilizando la ley de capitalización compuesta). El montante de la operación es M = C(1 + i) t con C = 500, i = 0,05 y t = 7, se convierte en M = 500(1 + 0,05) 7 = 703,55 e Los intereses son I = M C con M = 703,55 y C = 500, que se convierte en I = 703, = 203,55. Dicha cantidad coincide con la otra forma de calcular 30

31 Apuntes: Matemáticas Financieras los intereses I = C[(1 + i) t 1] con C = 500, i = 0,05 y t = 7 que se convierte en I = 500 [(1 + 0,05) 7 1] = 203,55 e Ejercicio Calcular el montante y los intereses producidos de un capital de 500 e durante 7 años a un tipo de interés compuesto del 5 % (o utilizando la ley de capitalización compuesta). Al igual que en la capitalización simple, en algunas ocasiones es necesario calcular las magnitudes básicas a partir de las magnitudes derivadas. Así, partiendo de la ecuación del montante en la capitalización compuesta: M = C(1 + i) t se puede obtener valor del capital inicial como 31

32 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN C = M (1 + i) t Para calcular el tiempo, se despeja algebraicamente de la expresión anterior y se obtiene que: t = ln(m) ln(c) ln(1 + i) Para calcular el tipo, se despeja algebraicamente de la expresión anterior y se obtiene que: Ejemplo i = ( ) 1 M t 1 C Cuanto tiempo debe pasar para que un capital de 1000 e al 7 % de interés anual compuesto se convierta en 1200 e? Utilizando la expresión del tiempo para la ley de capitalización compuesta, el tiempo que debe pasar es t = ln(1200) ln(1000) ln(1 + 0,07) = 2,69 Es decir, deben pasar 2.69 años. Ejercicio Cual es el tipo de interés utilizado si la cuantía inicial de un capital es 2000 e, el montante es 2200 e después de pasar 2 años? Suponga que se utiliza la ley de capitalización compuesta. 32

33 Apuntes: Matemáticas Financieras Tantos equivalentes De nuevo, si se quiere cambiar la unidad de medida del tiempo (pasar de años a meses) entonces el tipo de interés debe ser cambiado también (pasar de tipo anual a tipo mensual) y para que la ley financiera no varíe, se debe encontrar i m de tal forma que: (1 + i) t = (1 + i m ) m t 1 + i = (1 + i m ) m Normalmente t se mide en años y en ese caso i recibe el nombre de tanto efectivo anual e i m es el rédito que corresponde a periodos de amplitud 1 de año. m Como i m hacer referencia a periodos de amplitud inferior a un año, para conseguir el tipo que sería al año se hace una proyección aritmética consiguiéndose el tanto nominal de frecuencia m o tanto nominal convertible. Dicho tanto, que se denota como j m se calcula como: j m = m i m i m = j m m La ley exige que en las operaciones financieras en las que el pago de intereses 33

34 1.3. LECCIÓN 3 - LEYES DE CAPITALIZACIÓN se realice con frecuencia distinta al año, se especifique el tanto nominal que se aplica a la operación. La ecuación que relaciona los tres tipos anteriores es: efectivo. (1 + i) = (1 + j m m )m = (1 + i m ) m Por lo que conocido uno de ellos, se pueden obtener los otros dos. Ejemplo Si el rédito trimestral es el 3 % (i 4 = 3 %) calcule el tanto nominal y el tanto El tanto nominal será j 4 = m i 4 con m = 4, por lo tanto j 4 = 4 3 = 12 % El tanto efectivo será i = (1 + i m ) m 1 = (1,03) 4 1 = 0, ,55 % Ejemplo Si el banco le ofrece un depósito a un tanto nominal del 6 % de frecuencia mensual. Calcule el rédito mensual y el tanto efectivo anual de dicho depósito. 6 = 0,5 % 12 El rédito mensual se obtiene a partir de la relación entre i 12 y j 1 2 i 12 = j 12 m = El tanto efectivo será i = (1 + i 1 2) = (1,005) 12 1 = 0, ,167 % Ejercicio Un capital de 100 euros se coloca durante 9 meses en capitalización compuesta a un tipo nominal de frecuencia mensual del 6 %. Obtener la cuantía de los intereses utilizando como unidad de medida: El año El trimestre El mes 34

35 Apuntes: Matemáticas Financieras Producto financiero de las leyes de capitalización: Convenio Lineal A veces hay que operar con productos financieros en un número entero de año más una fracción del mismo. En este caso, las partes suelen convenir utilizar la capitalización compuesta para el número de años y la simple para la fracción del año restante. Así, si la duración es t = n + k años, el montante que se obtiene es: m M = C(1 + i) n ( 1 + i k ) m Esta forma de proceder se denomina convenio lineal. Si no se dice nada, entonces se puede aplicar la capitalización compuesta a toda la operación, siendo el montante: 35

36 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO M = C(1 + i) n+ k m Ejemplo Si deposita 1000 een un deposito que promete pagar el 2 % anual durante 2 años y tres meses. Prefería que se lo retribuyan usando la capitalización compuesta o el convenio lineal? Si se utiliza la capitalización compuesta, entonces el periodo será de = meses y por lo tanto el montante final será M 1 = 1000 (1 + 0,02) = 1000 (1 + 0,02) 2,25 = ,04556 = 1045,56 si se utiliza el convenio lineal, los dos primeros años se utilizará la ley compuesta y el resto con la ley de capitalización simple y por lo tanto será: lineal. M 2 = 1000(1 + 0,02) 2 ( ) ,02 = 1000 (1,0404) (1,005) = 1045,60 12 Como el montante es superior en el segundo caso, preferiremos el convenio 1.4. Lección 4 - Leyes de Descuento El descuento comercial La expresión matemática del descuento comercial es: A 1 (t) = 1 d t para d > 0 Por lo que una u.m. en el instante t equivale a 1 d t u.m. en el instante inicial. 36

37 Apuntes: Matemáticas Financieras El parámetro d es el tanto de descuento y mide la disminución del valor por unidad de cuantía y de tiempo. Su valor es positivo para que se cumpla el principio de subestimación de capitales futuros. De nuevo, la referencia temporal de d y t ha de ser la misma. Valor descontado y descuento Se denomina Valor descontado (o efectivo) de un capital (C, t) al capital equivalente en el instante inicial (V 0, 0). Si el tiempo inicial coincide con el actual se le denomina Valor actual. V 0 = C (1 d t) = C C d t Se denomina descuento a la disminución que experimenta el capital de cuantía C al adelantar su disponibilidad en t períodos. D = C V 0 = C d t Normalmente d mide la disminución unitaria anual, pero esta ley financiera se utiliza en operaciones a corto plazo, por lo que el tiempo debe especificarse en fracciones del año. Si k son meses, entonces el tiempo será k y así sucesivamente. 12 Por ejemplo, el valor descontado y el descuento para k meses será: y V 0 = C ( 1 d k ) 12 Ejemplo D = C V 0 = C d k 12 37

38 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento comercial El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C ( ) k 1 d 360 Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y vale 0.06, k es el número de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 120. Por lo tanto: V 0 = ( 1 0, ) = El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = = 1500 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D = C d k 360 = , = 1500 Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento comercial y el tanto de descuento es el 5 %. 38

39 Apuntes: Matemáticas Financieras Tantos equivalentes Al igual que ocurría en el caso de la capitalización simple, el tanto de descuento debe cumplir: d m = d m d = m d m Con d el tanto anual y d m el tanto asociado a la unidad de tiempo 1 m Ejemplo Calcular el valor descontado de un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento mensual es del es el 0.5 %. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C (1 d t) Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y vale 0.005, t es el número de periodos (que en este caso se debe especificar en meses) y por lo tanto vale = 4. Por lo tanto: 39

40 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO V 0 = (1 0,005 4) = Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento comercial y el tanto de descuento trimestral es el 1 %. Haga los cálculos tomando como medida de referencia: El día. El trimestre. El año. 40

41 Apuntes: Matemáticas Financieras Relación entre los tantos d e i Los tantos d e i no tienen el mismo significado financiero y por lo tanto no son equiparables. Si tenemos una unidad monetaria en t y la descontamos se obtiene un valor descontado de 1 d t. si ahora cogemos esa cantidad y la capitalizamos a un tanto idéntico i = d no se obtiene la u.m. inicial sino que se obtiene la cantidad (1 d t)(1 + d t) = 1 d 2 t 2 < 1 Para que i y d sean equivalentes se tiene que cumplir que una unidad descontada y luego capitalizada coincida o lo que es lo mismo: (1 d t)(1 + i t) = 1 Despejando se obtiene que: o que i = d 1 d t Ejemplo d = i 1 + i t Suponga un capital que vence dentro de dos años y que se ha descontado a un tanto de descuento del 3 % utilizando el descuento comercial. Si, posteriormente se quiere capitalizar con la ley de capitalización simple para obtener el mismo capital, cual debe ser el tipo de interés al que debe hacerse? Utilizando la expresión para el tipo de interés anterior se obtiene que 41

42 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO i = 0,03 1 0,03 2 = 0,03 0,94 = 0, El descuento racional o matemático La expresión matemática del descuento racional es: A 2 (t) = d t para d > 0 El parámetro d es el tanto de descuento racional. Como en este caso, el descuento racional es el inverso de la capitalización simple, el tanto de descuento se denota como el tanto de la capitalización simple d = i y por lo tanto A 2 (t) = i t para i > 0 corto plazo. El descuento racional, al igual que el comercial, se utiliza en operaciones de Valor descontado y descuento El Valor descontado de un capital (C, t) es el capital (V 0, 0) cuya cuantía es: V 0 = C 1 + i t la cuantía del descuento (D r ) mide la disminución que experimenta el capital al adelantar su disponibilidad en t períodos: Ejemplo D r = C V 0 = C i t 1 + i t 42

43 Apuntes: Matemáticas Financieras Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 2 años si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento racional. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C 1 + i t Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, i = d es el tanto de descuento y vale 0.06, t es el número de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 2. Por lo tanto: V 0 = ,06 2 = 66964,28 El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = ,28 = 8035,72 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D r = C i t 1 + i t = , ,06 2 = ,12 = 8035,72 Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento racional y el tanto de descuento es el 5 %. 43

44 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO Normalmente i mide la disminución unitaria anual, pero esta ley financiera se utiliza en operaciones a corto plazo, por lo que el tiempo debe especificarse en fracciones del año. Si n son días, entonces el tiempo será n 365 Por ejemplo, el valor descontado y el descuento para n días será: y así sucesivamente. y V 0 = C 1 + i n 365 D r = C V 0 = C i n i n 365 = C i n i n Los tantos equivalentes cumplen todas las relaciones que se vieron para el caso de la capitalización simple. Ejemplo Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 días si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento racional. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C 1 + i n

45 Apuntes: Matemáticas Financieras Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, i = d es el tanto de descuento y vale 0.06, t es el número de periodos (de dias en este caso) y por lo tanto vale 120. Por lo tanto: V 0 = , = ,02 = 73529,41 El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = ,41 = 1470,59 o directamente a partir de la expresión del valor descontado: D = C i n i n = , , = ,2 = 1470,59 Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 120 dias si se utiliza la ley de descuento racional y el tanto de descuento es el 5 % mensual. 45

46 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO El descuento compuesto La expresión matemática del descuento compuesto es: A 3 (t) = (1 + i) t = (1 d) t = e k t con i, d, k > 0 Donde i es el parámetro constante de capitalización, d el parámetro de descuento y k es el tanto instantáneo que es constante en esta ley. k = ln(1 + i) = ln(1 d) El descuento compuesto se utiliza en operaciones de largo plazo. De nuevo, al igual que ocurría en el descuento racional, si se descuenta un capital a un tanto d y después se capitaliza al mismo tanto, no se encuentra el mismo capital. Para encontrar el tanto de capitalización que iguale dicha operación o tanto equivalente se parte de cuyas soluciones son (1 + i) t = (1 d) t i = 1 d e d = i 1 + i i = d 1 d 46

47 Apuntes: Matemáticas Financieras Valor descontado y descuento El Valor descontado de un capital (C, t) se puede obtener en términos de i o de d. En el primer caso es el capital (V 0, 0) cuya cuantía es: V 0 = C(1 + i) t y en el segundo, es el capital (V 0, 0) cuya cuantía es: V 0 = C(1 d) t la cuantía del descuento mide la disminución que experimenta el capital al adelantar su disponibilidad en t períodos, que en el primer caso toma el valor: D = C V 0 = C [ 1 (1 + i) t] y en el segundo caso: D = C V 0 = C C(1 d) t = C [ 1 (1 d) t] Ejemplo Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 2 años si se utiliza el año comercial y el tanto de descuento es el 6 % y se utiliza la ley de descuento compuesto. El valor descontado se obtiene de la expresión V 0 = C (1 d) t Donde C es el capital y por lo tanto vale 75000, d es el tanto de descuento y vale 0.06, t es el número de periodos y por lo tanto vale 2. Por lo tanto: 47

48 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO V 0 = (1 0,06) 2 = El descuento se puede obtener como diferencia entre el capital y el valor descontado D = C V 0 = = 8730 o directamente a partir de su formula: D = C [ 1 (1 d) t] = [ 1 (1 0,06) 2] = (0,1164) = 8730 forma Además se puede calcular el tanto de capitalización equivalente, que toma la obtiene: i = d 1 d = 0,06 1 0,06 = 0,06 0,94 = 0,0638 Ahora, si se calcula el descuento utilizando dicho tanto de capitalización se D = C [ 1 (1 + i) t] = [ 1 (1 + 0,0638) 2] = ,1163 = 8730 Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento compuesto y el tanto de descuento es el 5 %. 48

49 Apuntes: Matemáticas Financieras Tantos equivalentes Se dice que la ley de descuento compuesto a tanto d es equivalente a la misma ley pero usando el tanto d m para periodos de amplitud 1 m de año si se cumple: (1 d) = (1 d m ) m Dando que d y d m hacen referencia a amplitudes temporales distintas, para poder compararlos se proyecta el tanto d m de forma aritmética para obtener una amplitud igual obteniéndose el tanto de descuento nominal de frecuencia m (j m): j m = m d m d m = j m m Sin embargo lo más habitual es utilizar los tantos i m, j m e i estudiados en la capitalización compuesta. Ejemplo Encontrar el tanto de descuento anual equivalente a uno mensual del 2 %. Dicho tanto se obtiene de la expresión 49

50 1.4. LECCIÓN 4 - LEYES DE DESCUENTO (1 d) = (1 d m ) m con d = 1 (1 d m ) m = 1 (1 0,02) 12 = 1 (0,98) 12 = 0,21528 es decir un %. Es importante notar que dicho tanto de descuento es distinto al tanto de descuento nominal de frecuencia 12 que sería j12 = 12 0,02 = 0,24, es decir un 24 % Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de e que vence dentro de 3 meses si se utiliza a ley de descuento compuesto y el tanto de descuento trimestral es el 1 %. Haga los cálculos tomando como medida de referencia: El día. El trimestre. El año. 50

51 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejercicio Calcular el valor descontado y el descuento efectuados a un capital de 1000 euros que vence dentro de 2 años y tres meses si se utiliza la ley de descuento compuesto en los casos siguientes: Se descuenta a un tipo de interés trimestral del 3.5 % Se descuenta a un tipo de interés nominal de frecuencia semestral del 6 % Se descuenta a un tanto de descuento mensual del 2 % Se descuenta a un tanto de descuento nominal de frecuencia diaria del 15 % 51

52 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 1.5. Lección 5 - Comparación y Sustitución de capitales Comparación de Capitales Se dice que dos capitales son equivalentes cuando tienen el mismo valor en la fecha en la que se efectúa la comparación. Si se utiliza la ley financiera de descuento comercial o racional, la fecha es el momento presente (p = 0) y por lo tanto deben coincidir los momentos actuales. Si se utiliza la ley financiera de capitalización simple, la comparación se realiza en la fecha de acumulación de intereses. El esquema gráfico se presenta en el gráfico (1.6) Figura 1.6: Comparación de capitales: Descuento Así, dados dos capitales (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ) y una ley de descuento de tal forma que (C 1, t 1 ) V 1 0 y que (C 2, t 2 ) V 2 0, entonces dichos capitales serán equivalente si V 1 0 = V 2 0. Si la ley de descuento utilizada es el descuento comercial a tanto d, los valores actuales toman la forma V 1 0 = C 1 (1 d t 1 ) y V 2 0 = C 2 (1 d t 2 ). Si se utiliza el descuento racional los valores actuales toman la forma V 1 0 = C 1 1+i t 1 y V 2 0 = C 2 1+i t 2 y si se utiliza el descuento compuesto V 1 0 = C 1 (1 d) t 1 y V 2 0 = C 2 (1 d) t 2 Por otro lado, se pueden ordenar los capitales comparando los valores en 52

53 Apuntes: Matemáticas Financieras la fecha de comparación. Así, en el caso del descuento si V 1 0 > V 2 0 entonces se preferirá el capital (C 1, t 1 ), es decir: Ejemplo Si V 1 0 > V 2 0 = (C 1, t 1 ) (C 2, t 2 ) Se ha de pagar una letra de 7500 euros dentro de 60 días y se acuerda hoy sustituirla por otra de cuantía equivalente con vencimiento dentro de 120 días aplicando el descuento comercial a un tanto de descuento del 12 % anual. Si se utiliza el año comercial, determinar dicha cuantía. Hoy el valor actual de la letra de 7500 euros toma la forma (aplicando la ley de descuento comercial) ( ) V = C 1 (1 d t 1 ) = ,12 = Por otro lado, la otra letra tendrá un valor actual que dependerá de la cuantía y que toma la forma: ( V0 2 = C 2 (1 d t 2 ) = C 2 1 0, ) = C 2 0, Ambos capitales serán equivalentes si los valores actuales coinciden V 1 0 = V 2 0 y esto ocurre si 7350 = C 2 0,96 Y por lo tanto C 2 = ,96 = 7656,25 53

54 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejercicio: Se ha de pagar una letra de 1000 euros dentro de 2 años y se acuerda hoy sustituirla por otra de cuantía equivalente con vencimiento dentro de 3 años aplicando el descuento compuesto a un tanto de descuento del 3 % trimestral. Determinar dicha cuantía. En otros casos queremos comparar capitales en un instante p mayor a ambos vencimientos. Para ello, se utiliza la ley de capitalización siendo p es el momento de acumulación de capitales. Así se encuentra (C 1, t 1 ) Mp 1 y (C 2, t 2 ) Mp 2. Entonces ambos capitales serán equivalente si el montante de ambos coincide en p, es decir si Mp 1 = Mp 2. El esquema gráfico se presenta en el gráfico (1.7) 54

55 Apuntes: Matemáticas Financieras Figura 1.7: Comparación de capitales: Capitalización Si la ley de capitalización utilizada es la capitalización simple al tipo i, los montantes toman la forma M 1 = C 1 (1 + i t 1 ) y M 2 = C 2 (1 + i t 2 ). Si se utiliza la capitalización compuesta, los montantes son M 1 = C 1 (1 + i) t 1 y M 2 = C 2 (1 + i) t 2. Por último, al igual que ocurría con las leyes de descuento, con las leyes de capitalización no sólo sirven para encontrar capitales equivalente sino que también sirven para ordenar capitales. Para ello se comparan los montantes en el instante p y se observa si se cumple: Si Mp 1 > Mp 2 = (C 1, t 1 ) (C 2, t 2 ) Ejemplo El 14 de Junio se han colocado treinta mil euros en capitalización simple al 12 % anual. Sabiendo que los intereses se acumulan al final del año obtener el capital equivalente el día 2 de octubre (se utiliza el año comercial). En primer lugar, del 14 de junio al 31 de diciembre hay 200 días y del 2 de octubre al 31 de diciembre hay 90 días. Para encontrar el capital equivalente hay que igualar los montantes de la capitalización en el momento del devengo de intereses, es decir el 31 de diciembre. Para el primer capital, el montante toma la forma: M 1 = C 1 (1 + i t 1 ) = ( 1 + 0, ) = (1,066) = Para el segundo capital, el montante toma la forma: 55

56 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ambos capitales serán equivalentes si los montantes coinciden, cosa que ocurre si M 2 = C 2 (1 + i t 2 ) = C 2 ( ) ,12 = C 2 (1,03) 360 C 2 (1,03) = C 2 = ,03 = 31067,96 Ejercicio: Se ha colocado un depósito de 1000 euros a un tipo nominal (anual) del 8 % semestral que vence dentro de 3 años y se acuerda hoy sustituirlo por otro que empieza dentro de un año y tiene vencimiento 2 años, de cuantía equivalente a un tipo nominal (anual) del 4 % trimestral. Si para la valoración de capitales se utiliza la ley de capitalización compuesta, determinar dicha cuantía equivalente. Ejercicio: Se ha colocado un depósito de 1000 euros a un tipo nominal (anual) del 8 % semestral que vence dentro de 2 años y se acuerda hoy sustituirlo por otro de cuantía equivalente con vencimiento dentro de 3 años a un tipo nominal (anual) del 4 % trimestral. Si para la valoración de capitales se utiliza la ley de capitalización 56

57 Apuntes: Matemáticas Financieras compuesta y la fecha de valoración es dentro de 4 años, determinar dicha cuantía equivalente (Suponga que el tipo de interés anual de esta economía es el 4 %). Si se utiliza la ley de descuento compuesto o capitalización compuesta, la comparación se puede hacer en cualquier momento del tiempo. Problema: Si se utilizan leyes financieras simples, la equivalencia o comparación de capitales se modifica al variar la fecha en la que se efectúa la operación. Demostración para el descuento comercial: Se observa que dados capitales que están en dos momentos del tiempo, y un instante p, el descuento del primero será: C 1 [1 d (t 1 p)] y para el segundo C 2 [1 d (t 2 p)] Ambos serán equivalentes si coinciden los valores descontados en el instante 57

58 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES p, es decir si: C 1 [1 d (t 1 p)] = C 2 [1 d (t 2 p)] y despejando: C 1 = C 2 [1 d (t 2 p)] [1 d (t 1 p)] resultado que depende no solo de t 1 y t 2 sino también de p y por lo tanto variando p se puede variar la relación de equivalencia. Demostración para el descuento compuesto: En este caso la igualdad queda: C 1 (1 d) t 1 p = C 2 (1 d) t 2 p y despejando C 1 = C 2 (1 d)t 2 p (1 d) t 1 p = C 2 (1 d) t 2 p t 1 +p = C 2 (1 d) t 2 t 1 que no depende del momento p. Por lo tanto, cuando se comparan capitales con leyes simples se debe especificar el momento de la comparación mientras que si se utilizan leyes compuestas el resultado no depende de la fecha en la que se haga la comparación. Ejercicio: Demuestre que si se utiliza la ley de capitalización simple la comparación de capitales depende del momento en el que se hace la valoración pero si se utiliza la ley de capitalización compuesta no depende de dicho momento p. 58

59 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejemplo El 14 de Junio se han colocado treinta mil euros en capitalización simple al 12 % anual. Sabiendo que los intereses se acumulan el 1 de Diciembre obtener el capital equivalente el día 2 de octubre (se utiliza el año comercial). Comparar el resultado en el caso de que los capitales se acumularan a final de año. Ahora, en este caso, el número de dias que pasan del 14 de junio al 1 de diciembre es 170 y del 2 de octubre al 1 de diciembre es 60 días. Para encontrar el capital equivalente hay que igualar los montantes de la capitalización en el momento del devengo de intereses, es decir el 1 de diciembre. Para el primer capital, el montante toma la forma: M 1 = C 1 (1 + i t 1 ) = ( 1 + 0, ) = (1,056) = Para el segundo capital, el montante toma la forma: M 2 = C 2 (1 + i t 2 ) = C 2 ( ) ,12 = C 2 (1,02)

60 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ambos capitales serán equivalentes si los montantes coinciden, cosa que ocurre si C 2 (1,02) = C 2 = ,02 = 31078,43 Ahora el capital equivalente es e que es distinto a e que era el capital equivalente si se utilizaba como momento de valoración el 31 de diciembre. Por lo tanto la relación de equivalencia cambia si se modifica p, el momento de valoración. Ejercicio: 60

61 Apuntes: Matemáticas Financieras Suma de Capitales A veces, en la práctica, surge la necesidad de sustituir dos capitales por un único capital, o lo que es lo mismo, sumar ambos capitales. Así, dados (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ) y una ley financiera de valoración en p, el capital (C, t) es la suma de los capitales anteriores si se verifica que C 1 F (t 1, p) + C 2 F (t 2, p) = C F (t, p) Así, por ejemplo, para el descuento comercial con p = 0 debe cumplir la siguiente igualdad: C 1 (1 d t 1 ) + C 2 (1 d t 2 ) = C (1 d t) En la ecuación anterior hay dos incógnitas C y t por lo que se debe fijar una de ellas para encontrar la otra. Lo más usual es fijar t y calcular C. Si, por ejemplo, se quiere encontrar la suma a partir de la ley de capitalización simple dado un instante p, dicha expresión es: C 1 [1 + i (p t 1 )] + C 2 [1 + i (p t 2 )] = C [1 + i (p t)] En general, la fecha t en la que se efectúa la suma se denomina vencimiento común. Ejemplo 1 Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 días y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 días y se decide sustituirlas por una sola. Si la nueva letra se debe pagar en 70 días y se utiliza el descuento comercial al 15 % anual, Cual debe ser la cuantía de dicha letra? Para sumar ambos capitales (ambas letras) se deben valorar en el mismo 61

62 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES instante del tiempo, que en este caso es el momento actual. El valor actual de la primera letra será: [ ] V = C 1 [1 d (t 1 )] = ,15 = ,98125 = 9812,5 360 El valor actual de la segunda letra será: [ ] V = C 2 [1 d (t 2 )] = ,15 = ,9625 = El valor actual de la letra equivalente a ambas (o letra suma) será: [ ] V0 S 70 = C S [1 d (t S )] = C S 1 0,15 = C S 0, Ahora ya tenemos todos los capitales valorados en p = 0 y en dicho momento la suma de los capitales debe ser igual al capital suma y por lo tanto: o también V0 S = V0 1 + V0 2 C S 0,805 = 9812, = 29062,5 C S = 29062,5 0,805 = 36102,48 Y por lo tanto la letra será de euros a pagar en 70 días. Ejemplo 2 Una familia tiene dos depósitos en el banco, uno de euros y duración 3 meses y otro de euros y duración 5 meses. Ambos depósitos están retribuidos a un interés simple del 5 %. Si se quieren cambiar ambos por otro depósito, retribuido al mismo tipo, que venza dentro de 6 meses, encontrar la cuantía que resulta equivalente si se utiliza como momento de valoración un año a partir de este momento. 62

63 Apuntes: Matemáticas Financieras Para sumar ambos capitales se valoran dentro de un año y se suman. El montante del primer depósito valdrá una vez pasados los 3 meses: M 1 = C 1 [1 + i (t 1 )] = [ ] ,05 = ,0125 = Dicho montante valdrá al final del año su valor capitalizado durante los meses restantes (9 meses): M 1 = [ ] ,05 = ,0375 = 21009, El montante del segundo depósito valdrá una vez pasados los 5 meses: M 2 = C 2 [1 + i (t 2 )] = [ ] ,05 = ,021 = 15312,5 12 Dicho montante valdrá al final del año su valor capitalizado durante los meses restantes (7 meses): M 2 = 15312,5 [ ] ,05 = 15312,5 1,029 = 15759,11 12 Por otro lado, el montante del depósito suma con vencimiento 6 meses valdrá en dicho momento: M S = C S [ ] ,05 12 Donde C S es la cuantía equivalente para el capital suma y M S el montante para dicho capital al final de la duración del depósito. Dicho montante valdrá al final del año su valor capitalizado durante los meses restantes (6 meses): M S = M S [ 1 + 0,05 ] [ 6 = C S 1 + 0, ] [ ,05 12 ] 6 12

64 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES o también: M S = M S 1,025 = C S 1, Ahora ya tenemos todos los capitales valorados en p y en dicho momento la suma de los capitales debe ser igual al capital suma y por lo tanto: C S 1, = 21009, ,11 = 36768,485 C S = 36768,485 1, = 34996,77 Ejercicio: Una empresa tiene el acuerdo de pagar una letra de 20 mil euros dentro de 2 años en descuento compuesto a un tanto de descuento nominal anual de frecuencia trimestral del 8 % y otra letra de 10 mil euros a pagar dentro de 180 días en descuento comercial a un tanto de descuento trimestral del 2 %. Dicha empresa estudia la posibilidad de pagar ambas letras dentro de un año a un tanto de descuento mensual del 1 %. Cual debe ser la cuantía de dicha letra para que el cambio en los pagos sea equivalente? 64

65 Apuntes: Matemáticas Financieras Vencimiento Medio En la práctica a veces se exige que C = C 1 + C 2 siendo la incognita en ese caso t que se denomina vencimiento medio. Para obtenerlo, se sustituye la igualdad anterior en las ecuaciones de la suma. Por ejemplo, para la ley de descuento comercial sería: C 1 (1 d t 1 ) + C 2 (1 d t 2 ) = (C 1 + C 2 ) (1 d t) y simplificando se obtiene: t = C 1 t 1 + C 2 t 2 C 1 + C 2 Siendo el vencimiento medio la media ponderada de los vencimientos de cada activo y siendo los pesos de la ponderación las cuantías C 1 y C 2. n capitales: De forma intuitiva, la expresión del tipo medio se puede extender al caso de simple. Ejercicio t = C 1 t 1 + C 2 t C n t n C 1 + C C n Encuentre la expresión del vencimiento medio para la ley de capitalización 65

66 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Ejemplo Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 días y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 días y se decide sustituirlas por una sola. Si la letra tiene que ser la suma aritmética de las dos anteriores y se utiliza el descuento comercial al 15 % anual, Cual debe ser el vencimiento de dicha letra? El ejercicio está pidiendo el vencimiento medio, ya que la cuantía de la suma de ambos capitales es justamente la suma aritmética C = C 1 + C 2, que en este caso toma el valor C = = El vencimiento se obtiene a partir de la expresión del vencimiento medio: t = C 1 t 1 + C 2 t 2 C 1 + C 2 = = 75 días. Y por lo tanto la letra debe ser de treinta mil euros a pagar dentro de 75 Ejercicio 66

67 Apuntes: Matemáticas Financieras Una empresa tiene dos depósitos A y B. El depósito A se constituye con euros y duración 6 meses a un tipo anual del 6 %. El depósito B se constituye con euros y duración 12 meses a un tipo anual del 6 %. Si se quiere sustituir ambos depósitos por otro según el principio del vencimiento medio, deberá constituir la empresa un depósito por 9 meses? Razone su respuesta. Caso Compuesto Si la ley de capitalización fuese otra más compleja, como por ejemplo la compuesta (aunque es importante señalar que el vencimiento medio se aplica fundamentalmente en operaciones de corto plazo donde se utilizan leyes financieras simples), entonces la expresión del vencimiento medio se obtendría de forma análoga pero tendría una expresión más complicada. Así, en el caso del descuento compuesto, dicho vencimiento se obtiene de: 67

68 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES C 1 (1 + i) t 1 + C 2 (1 + i) t 2 = C (1 + i) t y de nuevo, al sustituir la condición C = C 1 + C 2 se obtiene que C 1 (1 + i) t 1 + C 2 (1 + i) t 2 = (C 1 + C 2 ) (1 + i) t o que compuesta. y tomando logaritmos o también Ejercicio (1 + i) t = C 1 (1 + i) t 1 + C 2 (1 + i) t 2 C 1 + C 2 ( C1 (1 + i) t 1 + C 2 (1 + i) t ) 2 t Ln(1 + i) = Ln C 1 + C 2 ( ) Ln C1 (1+i) t 1 +C 2 (1+i) t 2 C 1 +C 2 t = Ln(1 + i) Encuentre la expresión del vencimiento medio para la ley de capitalización 68

69 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejemplo Se han de pagar dos letras, la primera de diez mil euros dentro de 45 días y la segunda de veinte mil euros dentro de 90 días y se decide sustituirlas por una sola. Si la letra tiene que ser la suma aritmética de las dos anteriores y se utiliza el descuento compuesto al tanto de descuento 15 % anual, Cual debe ser el vencimiento de dicha letra? En primer lugar, el tanto de descuento implica un tipo de interés de: i = 0,15 1 0,15 = 0,176 El ejercicio está pidiendo el vencimiento medio, ya que la cuantía de la suma de ambos capitales es justamente la suma aritmética C = C 1 + C 2, que en este caso toma el valor C = = El vencimiento se obtiene a partir de la expresión del vencimiento medio: ( ) Ln C1 (1+i) t 1 +C 2 (1+i) t 2 C 1 +C 2 t = Ln(1 + i) Ln = ( (1+0,176) (1+0,176) Ln(1 + 0,176) ) = 52 días. Y por lo tanto la letra debe ser de treinta mil euros a pagar dentro de 52 Ejercicio 69

70 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES Una empresa tiene dos depósitos A y B. El depósito A se constituye con euros y duración 2 años a un tipo anual del 7 %. El depósito B se constituye con euros y duración 4 años a un tipo anual del 7 %. Si se quiere sustituir ambos depósitos por otro según el principio del vencimiento medio, deberá constituir la empresa un depósito por 2 años? Razone su respuesta Desdoblamiento de capitales El desdoblamiento de capitales es la operación inversa a la suma de capitales, ya que en este caso se tiene un capital suma y se pretende descomponer entre varios capitales. Se suele utilizar cuando el deudor debe realizar un pago grande en t y quiere sustituirlo por pagos más pequeños en diversos momentos del tiempo. El planteamiento general del problema es el siguiente: Si el capital (C, t) se 70

71 Apuntes: Matemáticas Financieras quiere desdoblar en capitales (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ), a partir de la relación de equivalencia de capitales se deben encontrar los valores C 1, t 1, C 2 y t 2. C 1 F (t 1, p) + C 2 F (t 2, p) = C F (t, p) El problema es que a partir de una ecuación se deben resolver cuatro incógnitas. Para resolver esto se deben imponer otras condiciones entre dichas variables (C 1, t 1, C 2 y t 2 ). Así, por ejemplo, en operaciones de corto plazo si se quiere desdoblar (C, t) en capitales (C 1, t 1 ) y (C 2, t 2 ) y se utiliza el método del vencimiento medio (nueva condición) en descuento comercial, se obtiene el siguiente sistema: C = C 1 + C 2 t = C 1 t 1 +C 2 t 2 C 1 +C 2 Donde ahora ya se pueden obtener las soluciones para t 1 y t 2 dados C 1 y C 2 o las soluciones para C 1 y C 2 dados t 1 y t 2. Por ejemplo, para el segundo caso se obtiene que: C 1 = C (t 2 t) t 2 t 1 y C 2 = C (t t 1) t 2 t 1 Ejemplo Se ha de pagar una letra de diez mil euros dentro de 2 meses. Debido a que la empresa tiene dificultades para pagar dicha letra, negocia la posibilidad de pagar una letra dentro de 1 mes y otra dentro de 4 meses.si se utiliza el descuento comercial al tanto de descuento del 15 % anual, Cual deben ser las cuantías de las nuevas letras? Aplicando las expresiones anteriores, las cuantías toman la forma: 71

72 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES C 1 = C (t 2 t) t 2 t 1 = (4 2) 4 1 = = 6666,66 y C 2 = C (t t 1) t 2 t 1 = (2 1) 4 1 = = 3333,33 Ejercicio Un depósito de 50 mil euros en capitalización simple a 6 meses con un tipo anual del 4 % se quiere descomponer en dos, uno a 4 meses y otro a 8 meses (ambos al mismo tipo de interes). Cuales deben ser las cuantías de cada depósito? Un caso especial de desdoblamiento de capitales se denomina prórroga de vencimiento. En ese caso el capital suma (C, t) se desdobla en dos capitales de tal forma que en un momento del tiempo se paga una parte (C 1, t 1 ) y hay que determinar en que momento se paga el resto (t 2 ). En ese caso el sistema que hay 72

73 Apuntes: Matemáticas Financieras que resolver es el que aparece arriba pero ahora la incógnita es t 2 : C 2 = C C 1 y la solución es t = C 1 t 1 +C 2 t 2 C 1 +C 2 Ejemplo t 2 = C t + C 1 t 1 C 2 Se ha de pagar una letra de diez mil euros dentro de 2 meses. Debido a que la empresa tiene dificultades para pagar dicha letra, negocia la posibilidad de pagar una letra de dos mil euros dentro de 1 mes y el resto en otro momento del tiempo. Si se utiliza el descuento comercial al tanto de descuento del 15 % anual, Cual debe ser el vencimiento para la letra restante de ocho mil euros? Lo que se pretende encontrar es la prórroga de vencimiento cuya solución, como se ha visto antes, es: t 2 = C t + C 1 t 1 C 2 = = = 2,75 Debe pagarse a los 2.75 meses. Ejercicio Una empresa constituye un depósito con euros y duración 6 meses a un tipo de interés anual del 5 %. El Banco le ofrece la posibilidad de dividir dicho depósito en dos depósitos al mismo tipo de interés: A y B. En el depósito A, que tiene una duración de 2 meses, se depositan Si se utiliza la capitalización compuesta y se sigue el principio del vencimiento medio Cual debe ser la duración del depósito B? Razone su respuesta (Aunque no es necesario, si lo considera más sencillo puede utilizar un momento de valoración (a los 6 meses)). 73

74 1.5. LECCIÓN 5 - COMPARACIÓN Y SUSTITUCIÓN DE CAPITALES 74

75 Capítulo 2 Rentas 2.1. Lección 6 - Rentas - Valoración: Introducción Concepto de Renta Dados un conjunto de capitales (C 1, t 1 ), (C 2, t 2 )... (C n, t n ) y un intervalo de tiempo total [t 0, t n ] dividido en subintervalos o periodos de maduración [t 0, t 1 ],(t 1, t 2 ],...,(t n 1, t n ], se denomina renta a la aplicación biyectiva que se establece entre el conjunto de capitales y el conjunto de intervalos o períodos de maduración: Capitales Intervalos (C 1, t 1 ) [t 0, t 1 ] (C 2, t 2 ) (t 1, t 2 ]... (C n, t n ) (t n 1, t n ] Gráficamente la renta se puede representar como: 75

76 2.1. LECCIÓN 6 - RENTAS - VALORACIÓN: INTRODUCCIÓN Figura 2.1: Representación de una Renta A los capitales se les denomina también términos de la renta El origen de la renta es el instante t 0 y el final de la renta es t n. La duración de la renta es el tiempo que pasa entre el origen y el final de la misma. El valor financiero o valor capital de una renta en un momento α es un capital cuya cuantía es la suma financiera de la renta (donde se debe utilizar alguna ley financiera de valoración). Para los capitales con vencimiento anterior a α se utiliza alguna ley de capitalización y para los que tengan un vencimiento posterior se utiliza alguna ley de descuento. Si los plazos son superiores a un año se utilizan las leyes compuestas. Figura 2.2: Valoración de una Renta Hay dos casos particulares: 1. α = t 0. En ese caso el valor capital se llama valor actual 2. α = t n. En ese caso el valor capital se llama valor final Comparación y propiedades de las rentas Se dice que dos rentas R 1 y R 2 son equivalentes cuando, valoradas con la misma ley financiera, se obtiene el mismo valor capital independientemente del momento de la valoración: 76

77 Apuntes: Matemáticas Financieras R 1 R 2 V (1 α = V (2 α α Propiedades de la valoración de rentas 1. El valor capital es linealmente proporcional a las cuantías: Si C s = k 1 C s + k 2 C s = V α = k 1 V α (1 + k 2 V α (2 Por lo tanto, con k 2 = C s = 0 se obtiene que si C s = k 1 C s = V α = k 1 V α (1 y con k 1 = k 2 = 1 se obtiene que si C s = C s + C s = V α = V (1 α + V (2 α. 2. Propiedad aditiva respecto al tiempo. El valor capital de una renta se puede obtener como la suma de dos valores capitales en intervalos consecutivos. Si [t 0, t n ] = [t 0, t s ] + (t s, t n ] = V α = V s α + V n s α 3. Sustitución de una renta por otra equivalente con menor número de términos Clasificación de las rentas Por las cuantías de los capitales Se distinguen dos tipos de rentas, constantes si C 1 = C 2 =... = C n = C y variables en caso contrario. Las variables pueden seguir alguna ley de formación (aritmética o geométrica) Por la duración Se distinguen dos tipos de rentas, temporales si la duración es finita [t 0, t 1 ] y perpetuas si la duración es inifinita 77

78 2.1. LECCIÓN 6 - RENTAS - VALORACIÓN: INTRODUCCIÓN Por la amplitud de los periodos de maduración Se distinguen dos tipos de rentas, discretas cuando los periodos de maduración son finitos (mensuales, trimestrales, anuales etc) y continuas cuando los periodos son infinitesimales. En el caso de las discretas, si todos los periodos de maduración son iguales se llaman periódicas Por el momento en que vencen los términos de la renta Se distinguen dos tipos de rentas, pospagables cuando los capitales vencen al final de cada periodo y prepagables cuando lo hacen al principio de cada periodo. Por el momento de valoración Se distingues tres tipos de rentas, inmediatas cuando el momento de valoración está dentro del intervalo α [t 0, t n ], diferidas cuando la renta se valora en algún momento anterior al instante inicial α < t 0 y anticipadas cuando se valora en algún momento posterior al final α > t n Por la aleatoriedad Se distinguen dos tipos de rentas, ciertas cuando son conocidos con certeza todos los elementos de la renta y aleatorias cuando no se conoce con certeza o el valor de los capitales o los periodos origen y final de la renta pero se conoce la función de distribución. 78

79 Apuntes: Matemáticas Financieras 2.2. Valoración de Rentas: Constantes e Inmediatas Renta Temporal y Pospagable Renta unitaria Se paga una unidad monetaria al final de cada periodo durante n periodos. La valoración se puede hacer a través de su valor actual o de su valor final. Valor actual Figura 2.3: Valor actual renta pospagable Al final del primer periodo (en 1) se abona 1 unidad y su valor descontado en el origen es 1 (1 + i) 1. De nuevo al final del segundo periodo (en 2) se abona 1 u.m. cuyo valor descontado en el origen es 1 (1 + i) 2 y si se repite el mismo calculo para los n pagos se obtiene que el valor actual de la renta es: a n i = 1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) n Que consiste en una suma de términos en progresión geométrica de razón (1 + i) 1. Al efectuar la suma 1 se obtiene: a n i = (1 + i) 1 Valor Final 1 (1 + i) n 1 (1 + i) = (1 + 1 (1 + i) n 1 i) 1 = i(1 + i) 1 1 (1 + i) n i 1 La suma de términos en progresión geométrica con razón q es S = a+a q+ +a q n 1 = a 1 qn 1 q 79

80 2.2. VALORACIÓN DE RENTAS: CONSTANTES E INMEDIATAS Figura 2.4: Valor final renta pospagable Para encontrar el valor final se deben capitalizar todos los pagos. Si el primer pago se hace al final del primer periodo, entonces quedan n 1 periodos por delante y el valor capitalizado de dicho pago será 1 (1 + i) n 1. Para el segundo pago, que se hace al final del periodo 2, quedan n 2 periodos hasta el final y por lo tanto capitalizando dicho el valor será 1 (1+i) n 2. El último pago se hace al final del último periodo y por lo tanto quedan 0 periodos hasta el final siendo el valor capitalizado del mismo igual a la unidad. Sumando todas las cuantías capitalizadas se obtiene el valor final de la renta: S n i = (1 + i) (1 + i) (1 + i) n 1 suma es 2 Que, de nuevo, es una suma geométrica pero de razón 1 + i y por lo tanto la Ejemplo S n i = (1 + i)n 1 i Una persona tiene derecho a percibir una renta unitaria anual (que se recibe al final del año) durante 10 años. Si dicha renta se valora en capitalización compuesta al 9 % anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta. Al recibirse los pagos al final del año, la renta es pospagable. Por lo tanto, el valor actual toma la forma, con i = 0,09 y n = 10: 2 Para obtener el valor de esta suma se parte de la anterior pero se multiplica denominador y numerador por 1 obteniéndose que S = a qn 1 q 1 para el valor final de la renta y sustituyendo q por (1+i) se obtiene la expresión 80

81 Apuntes: Matemáticas Financieras a 10 9 % = 1 (1 + i) n i = 1 (1 + 0,09) 10 0,09 = 6,4176 El valor final toma la forma, con i = 0,09 y n = 10: S 10 9 % = 1 (1 + i) n i = (1 + 0,09) ,09 = 15,1929 Ejercicio Una persona tiene derecho a percibir una renta unitaria anual (que se recibe al final del año) durante 15 años. Si dicha renta se valora en capitalización compuesta al 8 % anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta. Es importante notar que el valor actual y el valor final son dos capitales equivalentes ya que miden lo mismo. Además conocido uno se puede obtener el otro: S n i = (1 + i) n a n i (a n i, 0) (S n i, n) a n i = (1 + i) n S n i Ejemplo Sabiendo que el valor actual de una renta unitaria anual pospagable valorada en capitalización compuesta al 9 % durante 10 años es , encontrar el valor 81

82 2.2. VALORACIÓN DE RENTAS: CONSTANTES E INMEDIATAS final. Como hemos visto antes, para encontrar el valor final a partir del valor inicial se debe capitalizar dicha renta: S 10 9 % = (1 + i) n a 10 9 % = (1 + 0,09) 10 6,4176 = 2,3673 6,4176 = 15,1928 Renta constante Si en vez de pagar una renta unitaria (1 u.m.) se abona una cuantía constante C para todos los periodos, entonces el valor actual de la renta será: V 0 = C (1 + i) 1 + C (1 + i) C (1 + i) n y sacando factor común C es fácil ver que V 0 = C a n i De forma análoga, el valor final de la renta será V n = C S n i Ejemplo Una persona tiene derecho a percibir una renta de euros anuales (que se reciben al final del año) durante 10 años. Si dicha renta se valora en capitalización compuesta al 9 % anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta. Como ya se ha calculado el valor actual y final de la renta unitaria, para encontrar el valor de esta renta sólamente hay que multiplicar por la cuantía constante C = Así, V 0 = C a 10 9 % = ,4176 = 64176, 58 82

83 Apuntes: Matemáticas Financieras y lo mismo para el valor final de la renta: V n = C S 10 9 % = ,1929 = , 30 Ejercicio Una persona tiene derecho a percibir una renta de 500 euros al final de cada año durante 12 años. Si dicha renta se valora en capitalización compuesta al 9 % anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta Renta Perpetua y Pospagable El esquema gráfico de la renta perpetua es igual al de la renta temporal pero se alarga hasta el infinito. Por eso el valor actual de esta renta es: a i = 1 (1 + i) (1 + i) (1 + i) n + = (1 + i) 1 1 (1 + i) = 1 1 i Donde se ha utilizado la propiedad matemática que dice que una suma geométrica infinita de razón r, si tiene suma, la suma vale (n ): r. 1 r Otra manera de obtenerla es a partir de la renta temporal y llevarla al infinito 83

84 2.2. VALORACIÓN DE RENTAS: CONSTANTES E INMEDIATAS a i = lím n a n i = lím n 1 (1 + i) n i Y por lo tanto 1 i es el capital que habría que entregar en el instante 0, para cobrar una unidad monetaria al final de cada periodo de forma indefinida. = 1 i será: Si en vez de ser unitaria, la renta es de cuantía C constante, el valor actual V 0 = C a i = C i Ejemplo Cuanto vale un premio que promete pagar de forma indefinida 100 euros al final de cada año si el tipo de interés es un 5 % y si el tipo es un 10 %? Como lo paga al final de cada año se trata de una renta pospagable y como es de forma indefinida es una renta perpetua. Por lo tanto, el valor actual de dicha renta es, si el tipo es el 5 %: y si el tipo es el 10 %: V 0 = C i = 100 0,05 = 2000 Ejercicio V 0 = C i = 100 0,10 = 1000 Le ha tocado un premio en el cual le abonarán al final de cada año 1500 euros para toda la vida. Si considera que el tipo de interés permanecerá en el 0.5 % en cuanto puede valorar hoy dicho premio? 84

85 Apuntes: Matemáticas Financieras Renta Temporal y Prepagable Renta unitaria En el caso de la renta prepagable, cada u.m. vence al principio del periodo. Figura 2.5: Valor actual renta prepagable El valor actual de dicha renta, que se denota ä i, se obtiene sumando las cuantías descontadas al instante 0: ä n i = (1 + i) (1 + i) (1 + i) (n 1) = 1 (1 + i) n 1 (1 + i) 1 Que consiste en una suma geométrica de razón (1 + i) 1. Simplificando el cociente se obtiene que: ä n i = (1 + i) 1 (1 + i) n i = (1 + i) a n i donde se puede ver la relación entre una renta prepagable y otra pospagable. 85

86 2.2. VALORACIÓN DE RENTAS: CONSTANTES E INMEDIATAS Figura 2.6: Valor final renta prepagable El valor final, que se denota por S n i se obtiene como: S n i = (1 + i) + (1 + i) (1 + i) n = (1 + i) (1 + i)n 1 i y, de nuevo: S n i = (1 + i)s n i Y por lo tanto, si se tiene el valor (actual o final) de una renta pospagable, se puede obtener el valor de la misma renta prepagable y viceversa. Ejemplo Una persona tiene derecho a percibir una renta unitaria anual (que se recibe al principio del año) durante 10 años. Si dicha renta se valora en capitalización compuesta al 9 % anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta. Al recibirse los pagos al principio del año, la renta es prepagable. Por lo tanto, el valor actual toma la forma, con i = 0,09 y n = 10: ä 10 9 % = 1 (1 + i) n 1 (1 + 0,09) ,4224 = = 1 (1 + i) 1 1 (1 + 0,09) 1 1 0,9174 = 6,9952 Además, sabiendo que la renta pospagable toma el valor , se puede obtener el valor de la renta prepagable utilizando dicho valor: ä 10 9 % = (1 + i) a 10 9 % = (1 + 0,09) 6,4176 = 1,09 6,4176 = 6,

87 Apuntes: Matemáticas Financieras y n = 10: Por otro lado, el valor final de la renta prepagable toma la forma, con i = 0,09 S 10 9 % = (1 + i) (1 + i)n 1 i = (1 + 0,09) (1 + 0,09) ,09 = 16,5603 y, al igual que ocurría con el valor actual, el valor final de una renta prepagable se puede obtener también a partir de la renta pospagable (En este caso la renta pospagable toma el valor ): S 10 9 % = (1 + 0,09)S 10 9 % = (1,09) 15,1929 = 16,5602 Ejercicio Una persona tiene derecho a percibir una renta unitaria anual (que se recibe al principio del año) durante 12 años. Si dicha renta se valora en capitalización compuesta al 12 % anual, encontrar el valor actual y final de dicha renta. Renta constante Si en las formulas de los valores actuales y finales de las rentas prepagables se sustituye la unidad monetaria por una cantidad constante C (cuantía) se obtiene 87

88 2.2. VALORACIÓN DE RENTAS: CONSTANTES E INMEDIATAS los valores actuales y finales siguientes: V 0 = C ä n i V n = C S n i Renta Perpetua y Prepagable Si la renta es unitaria, prepagable y perpetua, es decir, que paga una unidad monetaria al final de cada vencimiento de forma indefinida, su valor actual es: ä i = (1 + i) (1 + i) (1 + i) (n 1) + = y operando 1 1 (1 + i) 1 ä i = 1 + i i si en vez de pagos unitarios, la renta es de cuantía constante C, entonces el valor actual es V 0 = C ä i = C (1 + i) i Ejemplo Cuanto vale un premio que promete pagar de forma indefinida 100 euros al principio de cada año si el tipo de interés es un 5 % y si el tipo es un 10 %? Como lo paga al principio de cada año se trata de una renta prepagable y como es de forma indefinida es una renta perpetua. Por lo tanto, el valor actual de dicha renta es, si el tipo es el 5 %: 88

89 Apuntes: Matemáticas Financieras V 0 = C i y si el tipo es el 10 %: = 100 (1 + 0,05) 0,05 = 2100 Ejercicio V 0 = C i = 100 (1 + 0,10) 0,10 = 1100 Le ha tocado un premio en el cual le abonarán al principio de cada año 1500 euros para toda la vida. Si considera que el tipo de interés permanecerá en el 0.5 % en cuanto puede valorar hoy dicho premio? 2.3. Lección 7 - Rentas - Valoración (Continuación) Valoración de Rentas: Constantes y Diferidas Renta Temporal y Pospagable En este caso, el origen de la renta es un momento d distinto al instante 0, por lo que el diferimiento se produce desde 0 hasta d. En d + 1 se produce el primer 89

90 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) pago y el último en d + n (gráfico 2.7). Figura 2.7: Valor final renta diferida pospagable El valor actual, que se denota por d /a n i se obtiene sumando los capitales unitarios en el momento 0. Otra forma de encontrar el valor, es a partir del valor de la renta en d y trasladarla a 0 (multiplicando por (1 + i) d ): d/a n i = (1 + i) d a n i El valor final de la renta no se ve modificado por el diferimiento. Si en vez de pagar una cantidad unitaria, en cada momento del tiempo se paga una cuantía constante C, el valor actual se obtiene como: V 0 = C d /a n i = C (1 + i) d a n i Ejemplo Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al final de cada año a partir del cuarto año y durante 10 años, si se utiliza el tipo del 10 %. En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantías se abonan al final de cada año), de cuantía constante y con un diferimiento de 4 años. Por lo tanto el valor actual de la renta se obtendrá a partir del valor de la renta en d para luego encontrar el valor en 0. El valor en d es: a = 1 (1 + i) n i = 1 (1 + 0,1) 10 0,1 = 6,

91 Apuntes: Matemáticas Financieras 0: Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en 4/a = (1 + i) d a = (1 + 0,1) 4 6,1445 = 4,1968 Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuantía C multiplicando por dicha cuantía: V 0 = C 4/a = C (1+i) d a = ,1968 = 5000 (1+0,1) 4 6,1445 = 20984,11 Ejercicio Su compañero de clase le pide hoy 100 euros y le dice que le va a devolver el dinero de la forma siguiente: Durante tres años no le pagará nada y desde el final del cuarto año le pagara 30 euros al final de cada año durante 4 años. Si usted piensa que el tipo de interés en los próximos años será el 1 %, Cree que el cambio será justo? 91

92 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Renta Perpetua y Pospagable En este caso los pagos no acaban en d + n sino que continúan de forma indefinida. El valor actual de dicha renta se puede calcular de tres formas distintas: 1. A partir de la suma de todos los capitales llevados al instante 0: d/a i = 1 (1+i) (d+1) +1 (1+i) (d+2) + = (1+i) d [ (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + ] El término del corchete es justamente la suma infinita vista en el caso de l renta perpetua, pospagable pero inmediata y cuya suma vale 1 i y por lo tanto d/a i = (1 + i) d i 2. Como límite de la renta temporal d/a i = lím n (1 + i) d a n i = (1 + i) d i 3. A partir del traslado de la renta permanente en el instante d (a i ) al instante 0 ( d /a i = (1 + i) d a i ) Por último, si la renta no es unitaria sino que paga una cuantía constante C entonces el valor de la renta permanente es: V 0 = C d /a i = C (1 + i) d i Ejemplo Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio de cada año a partir del cuarto año y de forma indefinida, si se utiliza el tipo del 10 %. 92

93 Apuntes: Matemáticas Financieras En este caso es una renta pospagable (ya que las cuantías se abonan al principio de cada año), de cuantía constante y con un diferimiento de 4 años. Además es una renta permanente ya que el pago de las cuantías se produce de forma indefinida. Una de las formas para obtener el valor actual de la renta es valorar la renta indefinida en el instante d y valorarla después en 0. El valor de la renta permanente en d es: a 10 = 1 i = 1 0,1 = 10 d: y ahora, multiplicando por (1 + i) d se encuentra el valor de dicha renta en d/a 10 = (1 + 0,1) 4 1 0,1 = 0, = 6,830 Y por último, se multiplica por C para tener la renta de cuantía C = 5000: V 0 = 5000 d /a 10 = ,830 = 34150,67 Ejercicio Su compañero de clase le pide hoy 100 euros y le dice que le va a devolver el dinero de la forma siguiente: Durante tres años no le pagará nada y desde el final del cuarto año y de forma indefinida le pagará 2 euros al final de cada año. Si usted piensa que el tipo de interés en los próximos años será el 1 %, Cree que el cambio será justo? 93

94 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Renta Temporal y Prepagable En este caso los capitales se pagan al principio del periodo pero existiendo un diferimiento entre 0 y el periodo d. Por lo tanto, el primer pago se hace en d. Figura 2.8: Valor final renta diferida prepagable El valor actual se puede obtener como la suma de todos los capitales trasladados al isntante 0 o como el valor actual en 0 de la renta sin diferimiento d/ä n i = (1 + i) d ä n i y finalmente, a partir de la relación entre la renta pospagable y prepagable 3 se obtiene que d/ä n i = (1 + i) d+1 a n i Si en vez de ser una renta unitaria, es una renta constante de cuantía C, entonces el valor actual es: V 0 = C d /ä n i = C (1 + i) d+1 a n i = C (1 + i) d+1 a n i 3 Como recordatorio ä n i = (1 + i) 1 a n i 94

95 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejemplo Obtener el valor actual de una renta que promete pagar 5000 euros al principio de cada año a partir del cuarto año y durante 10 años, si se utiliza el tipo del 10 %. En este caso es una renta prepagable (ya que las cuantías se abonan al principio de cada año), de cuantía constante y con un diferimiento de 4 años. Por lo tanto el valor actual de la renta se obtendrá a partir del valor de la renta en d para luego encontrar el valor en 0. El valor en d es: ä = 1 (1 + i) n 1 (1 + 0,1) 10 = = 6, (1 + i) 1 1 (1 + 0,1) 1 0: Ahora, a partir del valor de la renta en d encontramos el valor de la renta en 4/ä = (1 + i) d ä = (1 + 0,1) 4 6,7590 = 4,6165 Ahora, a partir de la renta unitaria, se obtiene el valor de la renta de cuantía C multiplicando por dicha cuantía: V 0 = C 4/ä = C (1+i) d ä = C (1+0,1) 4 6,7590 = ,6165 = 23082,52 También se puede resolver el ejercicio a partir de la relación entre la renta diferida pospagable y la renta diferida prepagable. Así, sabiendo que: ä = (1 + i) a y sustituyendo en la expresión para la renta diferida y prepagable: 4/ä = (1 + i) d (1 + i) a = (1 + i) d+1 a y como se ha visto antes a = 6,1445 por lo que 95

96 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) 4/ä = (1 + i) d+1 a = (1 + 0,1) 4+1 6,1445 = 4,6165 Y, finalmente multiplicando por C se obtiene la renta pedida en el ejercicio: V 0 = ,6165 = 23082,52 Ejercicio Su compañero de clase le pide hoy 100 euros y le dice que le va a devolver el dinero de la forma siguiente: Durante tres años no le pagará nada y desde el final del cuarto año le pagara 30 euros al principio de cada año durante 4 años. Si usted piensa que el tipo de interés en los próximos años será el 1 %, Cree que el cambio será justo? Renta Perpetua y Prepagable De forma análoga a la renta pospagable, se obtiene la renta permanente prepagable como: d/ä i = (1 + i) d ä i = (1 + i) d+1 i 96

97 Apuntes: Matemáticas Financieras y si la cuantía es constante: V 0 = C d /ä i = C (1 + i) d ä i = C (1 + i) d+1 i Ejercicio Su compañero de clase le pide hoy 100 euros y le dice que le va a devolver el dinero de la forma siguiente: Durante tres años no le pagará nada y desde el final del cuarto año y de forma indefinida le pagará 2 euros al principio de cada año. Si usted piensa que el tipo de interés en los próximos años será el 1 %, Cree que el cambio será justo? Valoración de Rentas: Constantes y Anticipadas En estos casos la renta finaliza en el periodo n pero se valora en un instante posterior n + k por lo que la renta está anticipada k periodos en el momento de la valoración. El valor actual de dichas rentas no se ve afectado ya que en el momento 0 la renta es inmediata. Además no pueden existir rentas perpetuas y anticipadas ya que dichas rentas no terminan nunca y por lo tanto no se pueden valorar en un instante posterior al de su finalización. El problema radica en encontrar el valor final, que dependerá de si la renta 97

98 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) es pospagable o prepagable. Renta pospagable Figura 2.9: Valor final renta anticipada y pospagable formas: El valor final en este tipo de rentas se denota por k /S n i y se obtiene de dos 1. trasladando todas las cuantías al instante n + k. 2. trasladando el valor final de la renta en n (ya calculado en apartados anteriores) y trasladar dicho valor a n + k multiplicando por el factor de capitalización (1 + i) k : k/s n i = (1 + i) k S n i Si la renta es de cuantía constante C entonces el valor final será V n+k = C k/s n i = C (1 + i) k S n i Ejemplo Valore un Bono que se compró hace 15 años, que paga unas cuantías anuales de 1000 euros al final de cada año durante 10 años si el tipo de interés para su valoración es el 8 %. Como el bono tiene una duración de 10 años y se valora 5 años después, se trata de una renta anticipada. Para su valoración, se puede encontrar el valor 98

99 Apuntes: Matemáticas Financieras del bono a los 10 años a través de la expresión para la valoración de una renta pospagable y luego valorarla cinco años después. Así, el valor de la renta a los 10 años será: V 10 = C S 10 8 = 1000 (1 + 0,08)10 1 0,08 = ,4865 = 14486,56 Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta V 10 5 años adelante: V 10+5 = /S 10 8 = 1000 (1 + 0,08) 5 S n i = , ,4865 = 21285,51 Ejercicio Hace 5 años constituyó un depósito en un Banco donde se debían aportar 250 euros al final de cada año durante 3 años. Si el tipo de interés es el 5 %, cual es el valor hoy de dicho depósito? Renta prepagable En este caso, como los capitales se pagan al principio del periodo, el último capital se paga en n 1. 99

100 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Figura 2.10: Valor final renta anticipada y prepagable De nuevo, se puede valorar la renta sumando todos los capitales una vez trasladados a n + k o trasladando el valor de la renta en n a n + k. En ese caso, y denotando el valor de la renta por k / S n i : k/ S n i = (1 + i) k S n i y a partir de la relación entre el valor final de una renta pospagable y prepagable 4 se obtiene que: k/ S n i = (1 + i) k+1 S n i Si la renta es de cuantía constante C entonces el valor final será V n+k = C k / S n i = C (1 + i) k S n i = (1 + i) k+1 S n i Ejemplo Valore un Bono que se compró hace 15 años, que paga unas cuantías anuales de 1000 euros al principio de cada año durante 10 años si el tipo de interés para su valoración es el 8 %. Como el bono tiene una duración de 10 años y se valora 5 años después, se trata de una renta anticipada. Para su valoración, se puede encontrar el valor del bono a los 10 años a través de la expresión para la valoración de una renta prepagable (ya que las cuantías se abonan al principio de cada año) y luego valorarla cinco años 4 A modo de recordatorio S n i = (1 + i) S n i 100

101 Apuntes: Matemáticas Financieras después. Además, se puede obtener el valor de la renta prepagable a partir de su expresión o a partir de la renta pospagable. Así, una vez obtenido S 10 0,08 en el apartado anterior, la renta prepagable se obtiene como: S 10 0,08 = (1 + 0,08)S 10 0,08 = (1,08) 14,4865 = 15,6455 Así, el valor de la renta a los 10 años será: V 10 = 1000 S 10 8 = ,6455 = ,4865 = 15645,49 Y, para encontrar el valor final del bono, se debe llevar el valor de la renta V 10 5 años adelante: V 10+5 = / S 10 8 = 1000 (1+0,08) 5 S 10 0,08 = , ,6455 = 22988,35 Ejercicio Hace 5 años constituyó un depósito en un Banco donde se debían aportar 250 euros al principio de cada año durante 3 años. Si el tipo de interés es el 5 %, cual es el valor hoy de dicho depósito? 101

102 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Valoración de Rentas: Rentas Fraccionadas Se dice que una renta es fraccionada cuando se divide cada cuantía y cada periodo en m partes iguales y en cada periodo de tiempo de amplitud 1 m le corresponde un capital de cuantía C S m 5 Renta temporal y pospagable En cada periodo de tiempo, la distribución de los capitales es idéntica y por lo tanto se puede sustituir por un capital equivalente a los m capitales en cada periodo. De esta forma pasamos de una renta fraccionada a una que no lo está. Figura 2.11: Valor final renta fraccionada Si pensamos en la renta unitaria, en cada periodo hay m cuantías y por tanto al final del periodo se puede encontrar el valor final de la renta compuesta de las m cuantías que será S m im es decir, el valor final de una renta pospagable con m periodos y con un tipo en cada periodo de i m. Como la cuantía no es unitaria sino que toma el valor 1 entonces el valor final de la renta en cada periodo es: m 1 m S m i m Por otro lado, utilizando la expresión para el valor final de una renta pospa- 5 Es importante tener claro las relaciones entre los tantos efectivo (i), tantos nominal de frecuencia m (j m ) y rédito asocidado a subperiodos de amplitud 1 m. Dicha relación es 1 + i = (1 + i m) m = ( 1 + j mm ) m 102

103 Apuntes: Matemáticas Financieras gable se obtiene que: S m im = (1 + i m) m 1 i m y teniendo en cuenta la relación de los tipos anuales y el rédito de frecuencia m, i = (1 + i m ) m 1 y i m = j m m se obtiene que: 1 m S m i m = 1 m (1 + i m) m 1 i m = i j m De tal forma que en cada periodo el capital que se abona es i j m y por lo tanto, utilizando la valoración de las rentas pospagables no fraccionadas se obtiene el valor de las fraccionadas, que se denotan por a (m) n i la cuantía anual C = i j m : y S (m) n i simplemente multiplicando por a (m) n i = i j m a n i S (m) n i = i j m S n i Siendo el operador que no lo está. i j m el que permite pasar de una renta fraccionada a una Si la renta es constante, en cada momento 1 el capital es C. El valor de las m m m cuantías al final del periodo se obtienen como: C m S m i m = C m (1 + i m) m 1 = C i m m i = C i m y por lo tanto los valores actual final son i j m V (m) 0 = C a (m) i n i = C a n i j m V (m) n = C S (m) i n i = C S n i j m 103

104 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Es importante darse cuenta que la cuantía que aparece en el cálculo es la cuantía anual y por lo tanto si tenemos la cuantía de frecuencia m (C m ), habrá que multiplicarla por m, C = m C m. Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantía trimestral 300 euros, pospagable y que se alarga durante 10 periodos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. Para encontrar tanto el valor actual como el final es necesario encontrar previamente el tanto nominal de frecuencia 4, que en ese caso toma el valor j 4 = 4 (1, ) = 0,1149 Posteriormente se encuentra el valor actual de la renta fraccionada unitaria: a (4) = i j m a n i Para lo cual hace falta calcular la renta pospagable no fraccionada: a n i = 1 (1 + i) n i = 1 (1 + 0,12) 10 0,12 = 5,6502 Y sustituyendo en la expresión de la renta fraccionada se obtiene que: a (4) = i a n i = 0,12 5,6502 = 5,9010 j m 0,1149 Finalmente, para obtener el valor actual de la renta de cuantía trimestral 300 euros, con C = = 1200 se obtiene que V (12) 0 = C a (4) = ,9010 = 7081,2 104

105 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejercicio Obtener el valor actual y valor final de una renta fraccionada cuya cuantía es 300 euros mensuales pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 8 %. La duración de esta renta son 7 periodos. Existe otra forma de valorar las rentas fraccionadas. Este segundo método consiste en valorarlas como no fraccionadas pero tomando como medida del tiempo un emésimo periodo (pensar en meses, trimestres, etc). En ese caso, el número de periodos consiste en el número de años multiplicado por el número de periodos al año n m, el tipo de interés será el rédito de frecuencia m y la cuantía será C. Así, m se obtienen los valores actuales y finales de una renta de n m como: V 0 = C m a n m i m o también con C m = C m : 105

106 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) V 0 = C m a n m im y V n = C m S n m i m o también cumple que: V n = C m S n m im lógicamente, la valoración de las rentas debe ser la misma, por lo que se Ejemplo C a (m) n i = C m a n m im Obtener, con el método anterior, el valor actual de una renta fraccionada de cuantía trimestral 300 euros, pospagable y que se alarga durante 10 periodos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. En este caso se encontrará el valor actual de la renta fraccionada como si no fuera fraccionada. Para ello será necesario encontrar el rédito trimestral. Para encontrar el rédito mensual se puede partir del tanto nominal de frecuencia trimestral obtenido anteriormente: j 4 = 4 (1, ) = 0,1149 la renta es i 4 = j 4 4 = 0,1149 = 0, Ahora, sabiendo que el número de periodos es n m = 10 4 = 40, el valor de 106

107 Apuntes: Matemáticas Financieras 1 m a n m i m = 1 4 [ ] 1 (1 + im ) (n+m) = 1 [ ] 1 (1 + 0,0288) 40 4 = 5,90 0,0288 i m Ejercicio Obtener, por el método anterior, el valor actual y valor final de una renta fraccionada cuya cuantía es 300 euros mensuales pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 8 %. La duración de esta renta son 7 periodos. Renta perpetua y pospagable temporal, así: El valor actual de la renta perpetua se puede obtener como límite de la renta a (m) i = lím i n a(m) n i = lím a n i = i lím a n i = i 1 n j m j m n j m i 107

108 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) y por lo tanto y si la cuantía es constante C: a (m) i = 1 j m Ejemplo V (m) 0 = C a (m) i = C j m Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantías trimestrales unitarias perpetuas y pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. forma Como se ha visto anteriormente el valor actual de la renta perpetua toma la a (m) i = 1 j m donde, para su valoración, se necesita j m. Como hemos visto en el apartado anterior, j 4 = 4 (1, ) = 0,1149 y por lo tanto: Ejercicio a (4) 12 = 1 0,1149 = 8,7032 Obtener el valor actual de una renta fraccionada indefinida cuya cuantía es 300 euros mensuales pospagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 8 %. 108

109 Apuntes: Matemáticas Financieras Renta temporal y prepagable De nuevo, para cada periodo se construye una renta equivalente no fraccionada y pospagable desplazando todas las cuantías 1 m multiplicándolas por (1 + i) 1 m fraccionada es: un periodo a la derecha = 1 + i m y así la cuantía de la renta pospagable y no (1 + i) 1 m 1 m y los valores actuales y finales se obtienen a partir de la valoración de la renta temporal pospagable no fraccionada: ä (m) n i = (1 + i) 1 (m) m a n i = (1 + i) 1 i m a n i j m S (m) n i = (1 + i) 1 (m) m S n i = (1 + i) 1 i m S n i j m De nuevo, es importante observar que el operador que permite pasar de una renta prepagable y fraccionada a una renta pospagable y fraccionada es (1 +i) frac1m final son: Cuando la cuantía es constante, C m en cada subperiodo, los valores actual y V (m) 0 = C ä (m) n i V n (m) (m) = C S n i 109

110 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantías mensuales prepagables, de duración 10 años, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. Para encontrar el valor de la renta fraccionada prepagable se necesita el valor de la renta no fraccionada y pospagable. Así, en primer lugar se obtiene a n i = 1 (1 + i) n i = 1 (1 + 0,12) 10 0,12 = 5,6502 Para encontrar la renta fraccionada pospagable se multiplica la cantidad anterior por i j m, por lo que, previamente, se debe encontrar j 12 : j 12 = 12 (1, ) = 0,1139 Ahora, la renta fraccionada pospagable es: a (m) n i = i a n i = 0,12 5,6502 = 5,9546 j m 0,1139 Y por último, la renta prepagable se encuentra a partir de la pospagable a multiplicando por (1 + i) 1 m : ä (m) n i = (1 + i) 1 m a (m) n i = (1 + 0,12) ,9546 = 1,009 5,9546 = 6,0111 Ejercicio Obtener el valor actual y valor final de una renta fraccionada cuya cuantía es 300 euros mensuales prepagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 8 %. La duración de esta renta son 7 periodos. 110

111 Apuntes: Matemáticas Financieras Renta perpetua y prepagable tanto: De nuevo, la renta perpetua se obtiene como límite de la temporal. Por lo ä (m) i = lím S (m) n i = (1 + i) 1 i m lím a n i = n j m n y si la cuantía es constante (1 + i) 1 m j m Ejercicio V (m) 0 = C ä (m) i = C (1 + i) 1 m j m Obtener el valor actual de una renta fraccionada indefinida cuya cuantía es 300 euros mensuales prespagables sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 8 %. 111

112 2.3. LECCIÓN 7 - RENTAS - VALORACIÓN (CONTINUACIÓN) Rentas Fraccionadas, Diferidas y Anticipadas Para valorar las rentas fraccionadas diferidas, se obtiene el valor de la renta sin tener en cuenta el diferimiento y luego se aplica el operador para las rentas diferidas, (1 + i) d. De la misma forma, si se quiere valorar una renta fraccionada anticipada, se valora la renta sin tener en cuenta los años anticipados y luego se aplica el operador de las rentas anticipadas, (1 + i) k. Ejemplo Obtener el valor actual de una renta fraccionada de cuantías mensuales prepagables, diferida 3 años, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 12 %. En el ejemplo anterior se ha calculado la renta anterior para el caso en el que no hay diferimiento: ä (m) n i = (1 + i) 1 m a (m) n i = 6,0111 Para encontrar la renta diferida, tan solo hay que multiplicar por (1 + i) d d/ä (m) n i = (1 + i) d ä (m) n i y en este ejercicio Ejercicio 3/ä (m) n i = (1 + i) 3 6,0111 = 0,7118 6,0111 = 4,

113 Apuntes: Matemáticas Financieras Obtener el valor actual de una renta fraccionada cuya cuantía es 300 euros mensuales pospagables diferida 4 periodos, sabiendo que se valora a un tanto efectivo anual del 8 %. La duración de esta renta son 7 periodos Lección 8 - Valoración de Rentas - Variables Caso General En este tipo de rentas los términos son distintos entre sí y no tienen porque seguir ningún tipo de ley conocida, es decir: C 1 C 2 C s C n Rentas pospagables El valor actual es la suma de todos los capitales pero llevados al instante 0: V 0 = C 1 (1 + i) 1 + C 2 (1 + i) C n (1 + i) n = n C s (1 + i) s s=1 El valor final es la suma de todos los capitales pero llevados al instante n: 113

114 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES V n = C 1 (1 + i) n 1 + C 2 (1 + i) n C n = n C s (1 + i) n s s=1 Figura 2.12: Rentas Variables Estas expresiones no pueden simplificarse ya que no hay ninguna relación matemática entre los términos de la renta. Para obtener el valor de la renta se deben calcular los valores actuales o finales de cada término y sumarse. Ejemplo Suponga una renta que promete pagar 1000 euros al finalizar el primer año, 500 euros al finalizar el segundo y 1200 al finalizar el tercero. Cuanto vale hoy esa renta si utiliza como tipo de valoración el 5 % compuesto? El valor actual de la renta en este caso toma la forma: V 0 = 1000 (1 + 0,05) (1 + 0,05) (1 + 0,05) 3 = , , ,864 = 952, , ,61 = 2442,50 Y por lo tanto la renta vale hoy euros. Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros al finalizar el primer año, 1000 euros al finalizar el segundo y tercer periodo y 1200 al finalizar el cuarto. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) 114

115 Apuntes: Matemáticas Financieras Rentas prepagables En este caso cada capital que se paga al inicio del periodo se lleva al final multiplicando por (1+i) y por lo tanto al final del primer periodo se paga (1+i) C 1, al final del segundo (1 + i) C 2 y así sucesivamente y por lo tanto el valor actual y final de la renta prepagable se obtiene en función de la pospagable ya que se puede sacar factor común de todos los capitales (1 + i): V 0 = (1 + i) V 0 V n = (1 + i) V n Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros al inicio del primer año, 1000 euros al inicio del segundo y del tercer periodo y 1200 al inicio del cuarto. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) 115

116 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES Rentas diferidas En este caso se valora la renta en el instante d y por lo tanto se utiliza la expresión de la renta inmediata visto anteriormente (V d ) y se traslada el valor al instante 0 y por lo tanto se tiene que: V 0 = (1 + i) d V d Y lo mismo con la renta prepagable V 0 = (1 + i) d V d Ejercicio Valore una renta que promete pagar 500 euros al finalizar el tercer año, 1000 euros al finalizar el cuarto y quinto periodo y 1200 al finalizar el sexto periodo. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) Rentas anticipadas Se valoran las rentas en el instante n y se trasladan al momento n + k multiplicando por (1 + i) k. Así, para las rentas pospagables: 116

117 Apuntes: Matemáticas Financieras V n+k = (1 + i) k V n Y para las rentas prepagables V n+k = (1 + i) k V n Rentas fraccionadas En este caso cada cuantía se divide en m partes y por lo tanto en el primer periodo se abona en cada uno de los m subperiodos C 1, en el segundo periodo se m abona en cada uno de los m subperiodos C 2 m en donde se abona en cada uno de los subperiodos C n m. y así sucesivamente hasta el periodo n Se sigue la estrategia vista en la lección anterior de sustituir la renta de cada periodo (suma de los m capitales) por otra equivalente al final del periodo y por lo tanto pasamos de una renta fraccionada a una que no lo es. Siguiendo la misma expresión para cada C s se obtiene que: C s m S m i m = C s m (1 + i m) m 1 i m = C s y por lo tanto se observa que la diferencia entre una renta fraccionada y otra que no lo está es el factor fraccionada como: el valor actual i j m. Por lo tanto se puede obtener el valor de la renta i j m y el valor final V (m) 0 = i j m V 0 V (m) n = i j m V n 117

118 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES y de una forma análoga se obtiene la relación entre el valor fraccionado y el no fraccionado en el caso de la renta prepagable: el valor actual y el valor final V (m) 0 = i j m V 0 Ejercicio V n (m) = i j V n m Valore una renta que promete pagar 500 euros de forma trimestral al final del periodo en el primer año, 1000 euros de forma trimestral al final del periodo en el segundo y tercer periodo y 1200 de forma trimestral al final del periodo en el sexto periodo. (Se utiliza como tipo de valoración el 4 % compuesto) Rentas en Progresión Geométrica En este tipo de rentas, cada capital se obtiene multiplicando al anterior por una razón que se denota q. Así en el primer periodo el capital es C, en el segundo es C q, en el tercero C q 2 y en el n C q n 1 118

119 Apuntes: Matemáticas Financieras crecen. Dicho valor siempre es positivo y si q < 1 los capitales decrecen y si q > 1 Figura 2.13: Rentas Variables - Prog. Geométrica Renta temporal y pospagable El valor actual (A(C, q) n i ) se obtiene sumando los capitales valorados en el instante inicial A(C, q) n i = C (1 + i) 1 + C q (1 + i) C q n 1 (1 + i) n y operando A(C, q) n i = C (1 + i) 1 [ 1 + q (1 + i) q n 1 (1 + i) n 1] dentro del corchete hay una suma geométrica de razón q (1 + i) 1 = aplicando las propiedades de las sumas geométricas se obtiene que [ 1 ( q ] A(C, q) n i = C (1 + i) 1 1+i )n 1 q (1 + i) 1 q 1+i y El denominador es 1 q 1+i = 1+i q 1+i = (1 + i) 1 (1 + i q) y por lo tanto se simplifican los (1 + i) 1 y el valor presente toma el valor A(C, q) n i = C 1 ( ) q n 1+i 1 + i q Para obtener el valor final se capitaliza el valor final hasta el momento n 119

120 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES S(C, q) n i = (1 + i) n A(C, q) n i = C (1 + i)n q n 1 + i q Ejemplo Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. En primer lugar, si la renta crece cada año al 5 % de forma acumulativa (se van acumulando los intereses para generar nuevos intereses), entonces se trata de una progresión geométrica de razón 1,05. Como se ha visto anteriormente, si las cuantía crece en progresión geométrica de razón q, el valor actual toma la forma: A(C, q) n i = C 1 ( ) q n 1+i 1 + i q con C = 10000, i = 0,10, q = 1,05 ya que es la tasa a la que crece la cuantía y por lo tanto periodos: ( 1 0, ,1) 5 A(10000, 1,05) 15 0,1 = ,1 0,05 = ,22 Por otro lado, el valor final se puede obtener capitalizando el valor actual 15 S(C, q) n i = (1 + i) n A(C, q) n i y sustituyendo en este caso S(10000, 1,05) 15 0,1 = (1+0,1) 1 5 A(10000, 1,05) 15 0,1 = (1+0,1) ,22 = O también se puede calcular directamente a partir de su expresión: 120

121 Apuntes: Matemáticas Financieras S(C, q) n i = C (1 + i)n q n 1 + i q y en este caso: S(10000, 1,05) 15 0,1 = 1000 (1 + 0,1)1 5 (1,05) ,1 1,05 = Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual. La duración es de 8 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. Caso particular q = 1 + i 121

122 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES En el caso particular en el que q = 1 + i las expresiones para el valor actual y el valor final nos llevan a una indeterminación del tipo 0 0 En ese caso, si se observa el valor actual de la renta A(C, q) n i = C (1 + i) 1 [ 1 + q (1 + i) q n 1 (1 + i) n 1] con q = (1 + i) se traduce en A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 [ 1 + (1 + i) (1 + i) (1 + i) n 1 (1 + i) n 1] y operando A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 [ ] y por lo tanto A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 n Y con dicho valor, capitalizado, se obtiene el valor final S(C, 1 + i) n i = (1 + i) n A(C, 1 + i) n i = (1 + i) n C (1 + i) 1 n = C (1 + i) n 1 n Ejemplo Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 10 % anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. En este caso se trata de una renta con un capital que crece de forma geométrica con q = 1 + i y por lo tanto, la expresión para el valor actual toma la forma: 122

123 Apuntes: Matemáticas Financieras A(C, 1 + i) n i = C (1 + i) 1 n y sustituyendo en los valores del ejemplo: A(1000, 1,1) 15 0,1 = 1000 (1 + 0,1) 1 15 = 13636,3636 El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual 15 periodos: S(C, 1 + i) n i = C (1 + i) n 1 n y sustituyendo en este caso S(10000, 1,1) 15 0,1 = 1000 (1 + 0,1) = 4, ,3636 = 56962,4749 Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual. La duración es de 8 años y el tanto de valoración es el 7 % anual. 123

124 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES Renta perpetua y pospagable Se obtiene llevando al límite el valor n en la renta temporal dicho valor: A(C, q) i = lím A(C, q) n i = lím C 1 ( q ) n 1+i n n 1 + i q El único término que depende de n es ( q 1+i) n y por lo tanto dependerá de 1. Si q < 1 + i, entonces q < 1 y por lo tanto lím ( q n 1+i n 1+i) = 0 2. Si q = 1+i, entonces el valor de la renta perpetua es A(C, q) i = lím n A(C, q) n i = lím n C (1 + i) 1 n = 3. Si q > 1 + i, entonces lím n ( q 1+i) n = Por lo tanto, el valor actual de la renta permanente tendrá un valor finito solamente si q < 1 + i, no teniendo sentido financiero en los demás casos. En el caso de que q < 1 + i, como lím n ( q 1+i) n = 0 el valor actual de renta sigue la expresión siguiente: Ejemplo A(C, q) i = 124 C 1 + i q

125 Apuntes: Matemáticas Financieras Obtener el valor actual de una renta pospagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. En este caso, estamos de nuevo ante una renta que crece de forma geométrica pero, de forma indefinida. El valor actual de dicha renta tiene sentido económico ya que q < 1 + i con q = 1,05 y 1 + i = 1,1. Por lo tanto el valor actual toma la forma: y en este caso A(C, q) i = C 1 + i q Ejercicio A(1000, 1,05) 10 % = ,1 1,05 = ,05 = Obtener el valor actual y final de una renta pospagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. 125

126 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES Renta temporal y prepagable En este caso se van abonando los capitales C, C q, C q 2, al inicio de los periodos 0, 1, 2 y así sucesivamente. Para encontrar el valor actual de esta renta, se pasan todos los capitales con valor final del periodo convirtiéndola en una renta pospagable donde los capitales son (1 + i) C, (1 + i) C q, (1 + i) C q 2 y por lo tanto el valor actual será Ä(C, q) n i = (1+i) C (1+i) 1 +(1+i) C q (1+i) 2 n + +(1+i) C q n 1 (1+i) y simplificando Ä(C, q) n i = C + C q (1 + i) C q n 1 (1 + i) (n 1) Sacando factor común C se obtiene un suma geométrica de razón lo tanto la suma toma el valor q 1+i y por y simplificando matemáticamente Ä(C, q) n i = C 1 ( ) q n 1+i 1 q 1+i Ä(C, q) n i = C (1 + i) 1 ( ) q n 1+i 1 + i q También se puede observar como, de nuevo el factor que permite pasar de una renta pospagable a una renta prepagable es (1 + i): Ä(C, q) n i = (1 + i) A(C, q) n i actual Por último, el valor final se obtiene capitalizando hasta el periodo n el valor 126

127 Apuntes: Matemáticas Financieras S(C, q) n i = (1 + i) n Ä(C, q) n i = C (1 + i) 1 ( ) q n 1+i 1 + i q o también, a partir del valor final de la renta pospagable S(C, q) n i = (1 + i) S(C, q) n i Ejemplo Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual. La duración es de 15 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. Este ejemplo se puede resolver a partir del ejemplo de la renta pospagable donde ya se vio que A(1000, 1,05) % = ,22 y que S(1000, 1,05) % = Como hemos visto antes, para pasar del valor actual de la renta pospagable al valor actual de la renta prepagable hay que multiplicar por (1 + i), por lo que: Ä(1000, 1,05) % = (1 + i) A(1000, 1,05) % = (1,1) ,22 = ,64 y lo mismo para el valor final S(1000, 1,05) % = (1 + i) S(1000, 1,05) % = (1,1) = ,4 Caso particular q = 1 + i En el caso particular en el que q = 1 + i las expresiones para el valor actual y el valor final nos vuelven a llevar a una indeterminación del tipo 0 0. Nuevamente, se observa que la cantidad de la renta queda: q 1+i es unitaria si q = 1 + i y por lo tanto el valor actual 127

128 2.4. LECCIÓN 8 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES Ä(C, q) n i = C n Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual. La duración es de 8 años y el tanto de valoración es el 10 % anual. Renta perpetua y prepagable Para obtener la renta perpetua se lleva al infinito el valor de n (dicho valor solo es finito si q < 1 + i): Ä(C, q) i = lím n Ä(C, q) n i = C (1 + i) 1 + i q ya que si q < 1 + i se cumple que lím n ( q 1+i) n = 0. Ejemplo Obtener el valor actual de una renta prepagable cuyo primer término es euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 5 % anual de forma indefinida 128

129 Apuntes: Matemáticas Financieras si el tanto de valoración es el 10 % anual. En este caso, estamos de nuevo ante una renta que crece de forma geométrica pero, de forma indefinida. El valor actual de dicha renta tiene sentido económico ya que q < 1 + i con q = 1,05 y 1 + i = 1,1. El valor actual de dicha renta prepagable toma la forma Por lo tanto el valor actual toma la forma: A(C, q) i = C (1 + i) 1 + i q y en este caso Ä(1000, 1,05) 10 % = 1000 (1 + 0,1) 1 + 0,1 1,05 = ,05 = Que, lógicamente, coincide multiplicando por (1 + i) a la renta perpetua pospagable Ä(1000, 1,05) 10 % = (1+i) A(1000, 1,05) 10 %. susituyendo se obtiene que Ä(1000, 1,05) 10 % = (1,1) = Ejercicio Obtener el valor actual y final de una renta prepagable cuyo primer término es 500 euros y que crece de forma acumulativa a razón de un 7 % anual de forma indefinida si el tanto de valoración es el 10 % anual. 129

130 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) Por último, si se quieren valorar rentas de progresión geométrica diferidas, anticipadas o fraccionadas se utilizarán los factores ya vistos en apartados anteriores, es decir (1 + i) d, (1 + i) k y i j m Lección 9 - Valoración de Rentas - Variables (Continuación) Rentas en Progresión Aritmética En este caso, cada capital se obtiene a partir del anterior sumándole una cantidad constante d, de tal forma que en el primer periodo se abona C, en el segundo C + d, en el tercero C + 2 d y en el enésimo C + (n 1) d Figura 2.14: Rentas variables - Prog Aritmética Renta temporal y pospagable Para encontrar el valor actual de dicha renta (A(C, d) n i ) se descompone la renta en varias rentas: Una primera renta (R 1 ) que paga una cuantía constante C en todos los periodos. Una segunda renta (R 2 ), que paga una cuantía d desde el segundo periodo hasta el final. Una tercera renta (R 3 ), que paga una cuantía d desde el tercer periodo hasta el final y así sucesivamente hasta una renta enésima (R n ),que paga una 130

131 Apuntes: Matemáticas Financieras cuantía d en el periodo n. El valor actual de la renta del apartado será la suma de los valores actuales de todas las rentas anteriores: R = R 1 + R R n Y por lo tanto A(C, d) n i = C a n i +d [(1 + i) 1 a n 1 i + (1 + i) 2 a n 2 i + + (1 + i) (n 1) a 1 i ] y con los valores para las expresiones de los valores actuales de cada renta (a j i ) se obtiene que A(C, d) n i = C a n i + d [(1 + i) 1 1 (1+i) (n 1) + (1 + i) 2 1 (1+i) (n 2) + i i ] +(1 + i) (n 1) 1 (1+i) 1 i = C a n i + d [ 1 [(1 + i i) 1 + (1 + i) (1 + i) (n 1) (n 1) (1 + i) n ] ] Por otro lado, de la lección 7, se sabe que a n i = (1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) (n 1) + (1 + i) n que y sumando y restando dentro del corchete la cantidad (1 + i) n se obtiene [(1 + i) 1 + (1 + i) (1 + i) (n 1) { }} { +(1 + i) n (1 + i) n (n 1) (1 + i) n ] = y simplificando = [a n i (1 + i) n (n 1) (1 + i) n ] [a n i (1 + i) n (n 1) (1 + i) n ] = [a n i n (1 + i) n ] 131

132 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) y sustituyendo el valor del corchete en el calculo de la renta actual Y operando A(C, d) n i = C a n i + d 1 i [a n i n (1 + i) n ] A(C, d) n i = En la práctica se utiliza la expresión ( C + d ) d n (1 + i) n a n i i i A(C, d) n i = (C + di ) + d n a n i d n i que se obtiene de la anterior sumando y restando d n i El valor final se obtiene a partir del valor actual capitalizando éste: S(C, d) n i = (1 + i) n A(C, d) n i = ( C + d ) S n i d n i i con (1 + i) n a n i = S n i Ejemplo Se ha de pagar una renta pospagable anual cuya primera cuantía es de euros y las demás cuantías crecen linealmente en 500 euros cada año. Si se valora al 8 % anual, obtener el valor actual y final de la renta cuya duración es 12 años. Al crecer de forma lineal en una cuantía de 500 euros, estamos ante una renta aritmética con d = 500. El valor actual de dicha renta se obtiene a partir de la expresión: A(C, d) n i = (C + di ) + d n a n i d n i Con C = 10000, d = 500, i = 0,08 y n = 12. En primer lugar se debe calcular 132

133 Apuntes: Matemáticas Financieras a 12 0,08 = 1 (1 + 0,08) 12 0,08 = 7,5361 Una vez calculado el valor actual de la renta pospagable constante unitaria, se calcula el de la renta arítmetica sustituyendo en la expresión anterior: A(10000, 500) 12 8 % = ( ) ,5361 0,08 0,08 El valor final se obtiene capitalizando el valor actual = 92678,2250 S(10000, 500) 12 8 % = (1+0,08) 12 A(10000, 500) 12 8 % = (2,5182) 92678,2250 = ,5367 o directamente a partir de su expresión: S(10000, 500) 12 8 % = Ejercicio ( ) S 12 8 % 0,08 0,08 = ,5367 Se ha de pagar una renta pospagable anual cuya primera cuantía es de 500 euros y las demás cuantías crecen linealmente en 100 euros cada año. Si se valora al 6 % anual, obtener el valor actual y final de la renta cuya duración es 7 años. 133

134 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) Renta perpetua y pospagable El valor actual de dicha renta se obtiene como límite cuando n tiende a infinito [( A(C, d) i = lím A(C, d) n i = lím C + d ) a n i n n i ] d n (1 + i) n i Como ya se ha visto en apartados anteriores lím n a n i = 1. Por otro lado, i aplicando L Hopital: lím n (1 + n i) n = lím n n (1 + i) n = lím n 1 (1 + i) n Ln(1 + i) = 0 y por lo tanto Ejemplo A(C, d) i = ( C + d ) 1 i i Se ha de pagar una renta pospagable anual cuya primera cuantía es de euros y las demás cuantías crecen linealmente en 500 euros cada año para siempre. Si se valora al 8 % anual, obtener el valor actual y final de dicha renta. Al crecer de forma lineal en una cuantía de 500 euros, estamos ante una renta aritmética con d = 500 y, al crecer para siempre, estamos ante una renta perpetua. El valor actual de dicha renta se obtiene a partir de la expresión: 134

135 Apuntes: Matemáticas Financieras A(C, d) i = ( C + d ) 1 i i Con C = 10000, d = 500, i = 0,08 se obtiene que Ejercicio A(10000, 500) 8 % = ( ) 1 0,08 0,08 = Se ha de pagar una renta pospagable anual cuya primera cuantía es de 500 euros y las demás cuantías crecen linealmente en 100 euros de forma indefinida. Si se valora al 6 % anual, obtener el valor actual y final de la renta. Renta temporal y prepagable Los valores actual y final se obtienen a partir de la renta pospagable como: Ä(C, d) n i = (1 + i) A(C, d) n i 135

136 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) S(C, d) n i = (1 + i) S(C, d) n i Renta perpetua y prepagable De la misma forma que en el caso anterior, se pasa del valor actual la renta perpetua pospagable a la prepagable multiplicando por (1 + i) Ejemplo Ä(C, d) i = (1 + i) A(C, d) i = ( C + d ) (1 + i) i i Se ha de pagar una renta prepagable anual cuya primera cuantía es de euros y las demás cuantías crecen linealmente en 500 euros cada año para siempre. Si se valora al 8 % anual, obtener el valor actual y final de dicha renta. Estamos ante una renta que crece en progresión aritmética de manera indefinida pero prepagable. Para valorar dicha renta, obtenemos el valor de la renta pospagable y multiplicamos por (1 + i). Hemos visto antes que el valor de la renta pospagable es A(10000, 500) 8 % = y por lo tanto, el valor actual de la renta prepagable será: Ä(10000, 500) 8 % = (1 + 0,08) A(10000, 500) 8 % = (1 + 0,08) = También se puede obtener directamente a partir de la expresión: Ä(C, d) i = ( C + d ) (1 + i) i i Con C = 10000, d = 500, i = 0,08 se obtiene que Ä(10000, 500) 8 % = ( ) (1 + 0,08) 0,08 0, =

137 Apuntes: Matemáticas Financieras Ejercicio Se ha de pagar una renta prepagable anual cuya primera cuantía es de 500 euros y las demás cuantías crecen linealmente en 100 euros cada año de forma indefinida. Si se valora al 6 % anual, obtener el valor actual y final de la renta. Rentas diferidas, anticipadas y fraccionadas Al igual que ocurría con las rentas que crecían en progresión geométrica, para obtener el valor actual de una renta aritmética diferida se debe calcular el valor actual de la renta aritmética no diferida y multiplicar por el factor (1+i) d. Si se quiere calcular el valor final de una renta aritmética anticipada, se debe calcular el valor de la renta no anticipada y multiplicar por el factor (1 + i) k. Por último, si se quiere calcular el valor de una renta fraccionada, se calcula el valor de la renta no fraccionada y después se multiplica por el factor i j m. Ejemplo Se ha de pagar una renta pospagable anual cuya primera cuantía es de

138 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) euros y las demás cuantías crecen linealmente en 500 euros cada año. Si se valora al 8 % anual y existe un diferimiento de 3 años, obtener el valor actual de la renta cuya duración es 12 años. El valor actual de la renta diferida se obtiene a partir del valor actual de la renta inmediata que, como se ha visto en apartados anteriores, toma el valor A(10000, 500) 12 8 % = 92678,2250 Así, d/a(c, d) n i = (1 + i) d A(C, d) n i y por lo tanto 3/A(10000, 500) 12 8 % = (1 + 0,08) ,2250 = 73570,9630 Ejercicio Se ha de pagar una renta prepagable anual cuya primera cuantía es de 500 euros y las demás cuantías crecen linealmente en 100 euros cada año. Si se valora al 6 % anual y existe un diferimiento de 5 años, obtener el valor actual y final de la renta cuya duración es 7 años. 138

139 Apuntes: Matemáticas Financieras Ultimas consideraciones Rentas que se valoran con más de un tanto A veces se necesita valorar una renta en la que en los primeros s periodos se aplica un tanto i 1 y a partir del periodo s + 1 se aplica un tanto i 2. Para encontrar el valor actual de dicha renta se aplica la propiedad de aditividad de las rentas, así, si las cuantías son C 1,, C s, C s+1,, C n el valor actual será: V 0 = s n C r (1 + i 1 ) r + (1 + i 1 ) s C r (1 + i 2 ) (r s) r=1 r=s+1 y si las cuantías son constantes C 1 = = C s = C s+1 = = C n = C V 0 = C [a s i1 + (1 + i 1 ) s a n s i2 ] Es importante darse cuenta que la parte diferida de la valoración a n s i2 no se debe utilizar la notación de las rentas diferidas s /a n s i2 ya que indicaría que al diferimiento se aplica el tanto i 2 en vez del tanto que, correctamente, se debe aplicar i 1. Ejemplo Encuentre el valor actual de una renta pospagable de duración 12 años que paga cuantías constantes de 100 euros si los primeros cuatro años el tanto de valoración es el 4 % y después se valora al 7 %. En este caso, se trata de valorar una renta con más de un tanto de valoración. En primer lugar se debe valorar la renta pospagable de los primeros cuatro años, que se valora al 4 %. 139

140 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) a 4 4 % = 1 (1 + 0,04) 4 0,04 = 3,6299 Posteriormente se valora la parte de la renta en la que el tanto es el 7 % (son 8 periodos ya que los 4 primeros se valoran a otro tanto): a 8 7 % = 1 (1 + 0,07) 8 0,07 = 5,9713 Una vez que tenemos las dos rentas, se debe descontar la segunda utilizando el tanto del 4 % ya que es el que existe en los primeros cuatro periodos. Por lo tanto el valor actual de la renta es: V 0 = 100 [3, (1 + 0,04) 4 5,9713 ] = 8,7342 Ejercicio Encuentre el valor actual de una renta prepagable de duración 8 años que paga cuantías constantes de 350 euros si los primeros cuatro años el tanto de valoración es el 3 % y después se valora al 6 %. 140

141 Apuntes: Matemáticas Financieras Aplicación a las inversiones - VAN y TIR Las operaciones de inversión y las operaciones de financiación son duales ya que, normalmente, para acometer una inversión se necesita financiación. De hecho en una inversión se desembolsa el capital y se va recuperando a lo largo del tiempo y en una operación de financiación se recibe el capital y se va devolviendo. El esquema de una inversión tiene un pago inicial negativo ( C 0 ) y una serie de rendimientos netos en los periodos, 1, 2 etc (R 1, R 2,, R n ) siendo n la duración de la inversión. Para decidir entre varias inversiones posibles existen diversos métodos, siendo los más completos desde la óptica de la matemática financiera el valor actual neto (VAN) y el tanto interno de rentabilidad (TIR). VAN El VAN es el valor actual de la renta que forman los rendimientos menos el capital inicial, es decir V AN = n R s (1 + i) s C 0 s=1 Si los rendimientos son constantes (R 1 = = R s = = R n = R), entonces V AN = R a n i1 C 0 Donde el tanto i lo establece el inversor como la rentabilidad mínima que desea obtener. TIR El TIR es el tanto que iguala financieramente los rendimientos netos de la inversión con el desembolso inicial o lo que es lo mismo, es el tanto que hace que el 141

142 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) V AN = 0 C 0 = n R s (1 + i) s = r s=1 La representación gráfica del VAN con el tanto i es la siguiente: Donde si i = 0 entonces V AN = n s=1 R s C 0 a partir de ese momento (y para todos los valores de i) la función es decreciente. Corta al eje de abscisas en el punto i = r (TIR) ya que en ese momento V AN(r) = 0. Con inversiones mixtas (se abonan y se recuperar capitales en varios momentos) la función V AN puede ser no monótona e incluso cortar el eje de abcisas en varios momentos. Ejemplo En el cuadro siguiente se presentan tres inversiones: la A, la B y la C. En las tres inversiones el desembolso inicial es el mismo (100 euros) y la duración es la misma (5 años). Los rendimientos anuales de cada una de las inversiones son R i donde i es el año del rendimiento en cuestión. Inversión Desembolso R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 A B C Se pide: Si el tanto de valoración es el 15 %, establecer el orden de preferencia mediante el VAN y mediante el TIR. En primer lugar, si queremos clasificar las inversiones respecto al VAN, debemos calcular el VAN para todas ellas y quedarnos con la inversión que tenga un VAN mayor. En el caso de la inversión A, como los rendimientos son constantes, el VAN se calcula como V AN A = 40 a 5 15 % 100. Por otro lado, a 5 15 % = 1 (1+0,15) 5 0,15 para finalmente V AN A = 40 a 5 15 % 100 = 34086,20 euros. 142

143 Apuntes: Matemáticas Financieras En el caso de la inversion B, los rendimientos netos forman una renta de cuantía creciente en progresión aritmética (ya vista en esta lección) y por lo tanto ( ) V AN B = A(20, 10) 5 15 % 100 = a 0, % = 24794,53 0,15 euros Por último,en la inversión C los rendimientos forman una renta de cuantía creciente en progresión aritmética pero negativa (-10) y por lo tanato V AN C = ( ) A(60, 10) 5 15 % 100 = ( 10) 5 a 0, % ( 10) = 43377,88 0,15 euros Como V AN C es mayor que V AN A y, a su vez, que V AN B, entonces el orden de preferencias es C A B En segundo lugar, si queremos clasificar las inversiones respecto al TIR, debemos calcularlo para todas las inversiones y quedarnos con la inversión que tenga un TIR mayor. En el caso de la inversión A, el TIR es el que cumpla que V AN A que 40 a 5 15 % = 100. Como ya se ha visto antes, a 5 r = 1 (1+r) 5 r = 0 o y por lo tanto será aquel r que cumpla que 40 1 (1+r) 5 r = 100. Dicho tipo es r a = 28,65 % En el caso de la inversión B, el TIR es el que cumpla que A(20, 10) 5 r = 100 cuya solución es r b = 23,29 % En el caso de la inversión C, el TIR es el que cumpla que A(60, 10) 5 r = 100 cuya solución es r c = 36,08 % Como el TIR de la inversión C es mayor que el TIR de A y mayor que el T IR de B, entonces el orden de preferencias es C A B Ejercicio En el cuadro siguiente se presentan los rendimientos anuales de dos inversiones: la A y la B: 143

144 2.5. LECCIÓN 9 - VALORACIÓN DE RENTAS - VARIABLES (CONTINUACIÓN) Inversión Desembolso R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 A B Determine cual de las dos inversiones es mas interesante 144

145 Capítulo 3 Operaciones Financieras - Préstamos 3.1. Lección 10 - Operaciones Financieras - Introducción a los préstamos Las operaciones financieras son intercambios no simultáneos de capitales financieros entre las partes de tal forma que ambos compromisos sean equivalentes. Por lo tanto, hay una serie de factores que ocurren en las operaciones financieras: No simultaneidad de los intercambios. Esto quiere decir que en toda operación una un factor que es el tiempo. Existencia de dos personas (físicas o jurídicas) que son los que llevan a cabo el intercambio. Este es el componente subjetivo de la operación. Existencia de dos compromisos de entrega de capitales. El primer compromiso se denomina prestación y el segundo se denomina contraprestación. Existe un componente objetivo de la operación que son los capitales. 145

146 3.1. LECCIÓN 10 - OPERACIONES FINANCIERAS - INTRODUCCIÓN A LOS PRÉSTAMOS Hay un principio básico en toda operación financiera y es que los compromisos de las partes han de ser financieramente equivalentes. En toda operación hay un origen, que es el momento en el que se entrega el primer capital, un final, que es el momento en el que se entrega el último capital y una duración que es el tiempo que transcurre entre ambos Clasificación de las operaciones Por su duración A corto plazo A largo plazo Por la ley financiera que utiliza Operaciones de capitalización Operaciones de descuento Por el número de capitales Operaciones simples, cuando se entrega un solo capital. Operaciones compuestas, cuando se entrega más de un capital. Por el objetivo Operaciones de financiación, cuando se reciben los capitales y luego se devuelven Operaciones de inversión, cuando se desembolsan los capitales y luego se recuperan (reales y financieras). 146

147 Apuntes: Matemáticas Financieras Operaciones mixtas, cuando en algún momento se tiene una posición deudora y en otro momento una posición acreedora. Por la situación crediticia de las partes Crédito unilateral, cuando la prestación mantiene su posición acreedora a lo largo de todo el tiempo. Crédito recíproco, cuando la contraprestación pasa a tener una posición acreedora en algún momento (cuentas corrientes) Por el sujeto que interviene Operaciones bancarias, cuando uno de los sujetos es una entidad bancaria. Operaciones Pasivas, (pasivo del balance) como cuentas corrientes, de ahorro, imposiciones a largo plazo Operaciones Activas, (activo del balance) como créditos, préstamos o descuentos bancarios. Operaciones de mediación o servicios, como transferencias, órdenes de pago, domiciliación de recibos etc. Operaciones no bancarias, cuando ninguna de las partes es una entidad bancaria. Como las letras entre empresas, letras del tesoro, ventas a plazos, etc Equivalencia financiera y Saldo financiero Dada una operación financiera, los compromisos de las partes deben ser financieramente equivalentes. Esto quiere decir que una vez determinada una ley, la suma financiera debe ser igual en cualquier momento de valoración t. 147

148 3.1. LECCIÓN 10 - OPERACIONES FINANCIERAS - INTRODUCCIÓN A LOS PRÉSTAMOS Así, por ejemplo, si una prestación está compuesta por los capitales (C 1, t 1 ),, (C n, t n ) y la contraprestación por los capitales (C 1, t 1),, (C m, t m) y elegida como ley el descuento compuesto, se debe cumplir que C 1 (1+i) t 1 +C 2 (1+i) t 2 + +C n (1+i) t n = C 1 (1+i) t 1 +C 2 (1+i) t 2 + +C m (1+i) t m o también n m C s (1 + i) t s = C s (1 + i) t s s=1 s=1 De forma análoga se hace para otro conjunto de capitales u otra ley financiera distinta. Lógicamente, la equivalencia financiera no se dará en cada momento del tiempo habiendo unos momentos del tiempo en que una parte gane y otros en que pueda ganar la otra. Así, se define saldo financiero en un momento t al capital que mide la diferencia entre los compromisos ya cumplidos y los que faltan por cumplir. Así, dado un momento t, (S 1, t) es la suma financiera de los capitales de la prestación anteriores a t, siendo (S 2, t) la suma financiera de los capitales de la contraprestación anteriores a t. Por otro lado, (S 1, t) es la suma financiera de los capitales de la prestación posteriores a t y (S 2, t) la suma financiera de los capitales de la contraprestación posteriores a t. La equivalencia financiera se produce cuando S 1 + S 2 = S 1 + S 2, que no implica que S 1 = S 1 o que S 2 = S 2. El saldo financiero es es el capital (R t, t) que cumple: R t = S 1 S 1 = S 2 S 2 y que por lo tanto se puede obtener de dos formas: Método retrospectivo. Como diferencia entre los compromisos pasados S 1 S 1 148

149 Apuntes: Matemáticas Financieras Método prospectivo. Como diferencia entre los compromisos futuros S 2 S 2 Si el signo es positivo entonces S 1 > S 1 o también S 2 < S 2 y por lo tanto es a favor de la prestación mientras que si es negativo el saldo es a favor de la contraprestación Tantos efectivos - TAE En las operaciones financieras suelen producirse otros desembolsos adicionales a la propia operación. Dichos desembolsos pueden ser: Unilaterales, si los entrega una de las partes y son para pagar a terceros (comisiones, corretajes, gastos de notaría, etc) Bilaterales, cuando los entrega una parte y los recibe la otra (comisiones bancarias, primas de emisión y amortización, etc) El tanto efectivo es aquel que equilibra financieramente los capitales de ambas partes una vez incluidos todos los desembolsos. Para obtener dicho tanto se puede utilizar cualquier ley financiera aunque se suele utilizar la capitalización compuesta. El tanto efectivo en capitalización compuesta se denomina tanto interno de rentabilidad (TIR) y, en función depende de los gastos y desembolsos incluidos. TAE El TAE o tanto anual equivalente se calcula como el TIR, pero incluyendo las normas de la circular 8/90 del Banco de España Introducción a los Préstamos Los préstamos son operaciones en las que una de las partes (el prestamista) entrega un capital a otra parte (prestatario) y ésta se compromete a devolver su equivalente mediante uno o varios pagos a lo largo de la duración de la operación. 149

150 3.1. LECCIÓN 10 - OPERACIONES FINANCIERAS - INTRODUCCIÓN A LOS PRÉSTAMOS Por lo tanto los préstamos suelen ser operaciones compuestas de prestación única y contraprestación múltiple. Los préstamos se documentan en un contrato en el que, por ley, debe incluir: El tipo de interés nominal La periocidad con que se producirá el devengo de intereses, fórmula o método para obtenerlos a partir del tipo nominal y el importe absoluto de los intereses devengados. Las comisiones que sean de aplicación. Los devengos que contractualmente correspondan a la entidad de crédito en orden a la modificación del tipo de interés pactado. Como en toda operación, debe haber equivalencia financiera entre las partes, utilizándose la ley de capitalización-descuento compuesto ya que es una operación de largo plazo. El origen de la operación es el momento en que el prestamista entrega el primer capital y el final, el momento en que el prestatario entrega el último y salda la deuda. Los capitales que entrega la contraprestación se denominan cuotas a pagar o términos amortizativos El esquema gráfico del préstamo es: [Incluir gráfico aquí] Donde C 0 es el capital prestado, a 1, a 2,, a n son los términos amortizativos y C 1, C 2,, C n son los saldos de la operación. En cada tipo de préstamo se aplicará el esquema siguiente: 1. La ecuación de equivalencia a partir de la cual se encuentra la magnitud desconocida n C 0 = a s (1 + i) s s=1 150

151 Apuntes: Matemáticas Financieras 2. La obtención del saldo en un momento del tiempo s (s < n) que se denomina capital vivo o capital pendiente de amortizar que se denota por C s. El saldo se podrá obtener de tres formas alternativas: Método retrospectivo. Se valora el saldo en el tiempo s la diferencia entre el capital y las cuotas de amortización ya abonadas, por lo que se tendrá que llevar C 0 a s y todos los términos amortizativos. Por lo tanto C s = C 0 (1 + i) s [ s 1 r=1 a r (1 + i) s + a s ]. Método prospectivo. Se valora el saldo en el tiempo s como la suma de todas las cuotas de amortización que quedan por pagar. Y por lo tanto toma la forma C s = n r=s+1 a r (1 + i) (n r) Método recurrente. En este caso se calcula a través de la relación que tienen los saldos a los largo del tiempo C s = f(c s 1 ). Así, C s = C s 1 (1 + i) a s ya que el saldo que queda será el que había antes más los intereses que ha generado el saldo anterior, menos el término amortizativo del periodo. 3. A partir del saldo, se analiza la estructura de cada término amortizativo, compuesto de dos partes Los intereses que se han de pagar en el periodo al que se refiere dicho término. Se denomina cuota de intereses I s = C s 1 i s. La amortización parcial que se efectúa en ese periodo. Se denomina cuota de amortización A s = C s 1 C s y mide la disminución de la deuda en el periodo s. 4. Para calcular todas las variables anteriores se utilizan las relaciones siguientes: Se parte de la ecuación: a s = C s 1 i + (C s 1 C s ) = I s + A s 151

152 3.1. LECCIÓN 10 - OPERACIONES FINANCIERAS - INTRODUCCIÓN A LOS PRÉSTAMOS Lógicamente, se deben cumplir las igualdades siguientes: C 0 = A 1 + A A n = n 1 A k C s = A s+1 + A s A s+n = n s+1 A k Y por la definición de cuota de amortización se verifica: Paras = 1 C 0 C 1 = A 1 Paras = 2 C 1 C 2 = A 2 Paras = n C n 1 C n = A n obtenido después de sumar, simplificar y con C n = 0 5. Por último, se calcula el total amortizado después de cada periodo s (denotado por M s ) y se presentan todos los resultados en el cuadro de amortización. El total amortizado después de s periodos se denota por M s y toma el valor M s = A 1 + A A s = C 0 C s Finalmente, el cuadro de amortización es que el se presenta en la tabla siguiente: Periodo T. Amortizativos C. Intereses C. Amortización Cap. Amort. Cap. vivo 0 C 0 1 a 1 I 1 A 1 M 1 C 1 s a s I s A s M s C s n a n I n A n M n = C 0 C n = 0 152

153 Apuntes: Matemáticas Financieras A continuación se analizarán los conceptos anteriores para los distintos métodos de amortización de préstamos. En todos los casos se supone que en los préstamos se utiliza la ley de capitalización compuesta a tanto i Préstamo Simple El prestamista entrega en el instante inicial C 0 y el prestatario debe devolver en el periodo n, C n. La ecuación de equivalencia en este caso es C n = C 0 (1 + i) n Los intereses del préstamo son C n C 0 : I = C n C 0 = C 0 [(1 + i) n 1] El saldo en un momento s < n se puede obtener de tres maneras alternativas: C s = C 0 (1 + i) s método retrospectivo C s = C n (1 + i) (n s) método prospectivo C s = C s 1 (1 + i) método recurrente Y despejando de la última forma de encontrar el saldo se obtiene que C s C s 1 = C s 1 i indicando que el incremento del saldo en el período s es igual a los intereses que se generan en dicho periodo. Ejemplo Sea un préstamo en el que un prestamista le presta al prestatario euros a un tipo compuesto del 5 % durante 8 años. Dicho prestatario debe devolver el préstamo al finalizar los 8 años. Encuentre los intereses generados por dicho préstamo y el saldo del préstamo al pasar 4 años. 153

154 3.1. LECCIÓN 10 - OPERACIONES FINANCIERAS - INTRODUCCIÓN A LOS PRÉSTAMOS La relación de equivalencia indica que C 8 = (1+0,05) 8 = ,0888. Por lo tanto, los intereses serán I = C 8 C 0 = , = 95491,0888 El saldo al pasar 4 periodos será, utilizando el método retrospectivo, C 4 = (1 + 0,05) 4 = , Préstamo Francés El método francés o progresivo se caracteriza porque los términos amortizativos son constantes a 1 = a 2 = = a n = a El esquema de la operación es [Incluir gráfico aquí] y por lo tanto, la ecuación de equivalencia C 0 = a a n i a = C 0 a n i Siendo la contraprestación una renta de cuantía constante, temporal y pospagable. Por otra parte, tanto n como i están referidos a la periocidad con que se pagan los términos amortizativos. Así, si se pagan con periocidad 1 m con el rédito i m y n será el número total de pagos que se realizan. de año, se opera Capital vivo El capital vivo transcurridos s periodos se halla una vez entregado el término amortizativo de lugar s y por lo tanto se hace al inicio del periodo s 1: C s = a a n s i método prospectivo C s = C 0 (1 + i) s a S s i método retrospectivo C s = C s 1 (1 + i) a método recurrente 154

155 Apuntes: Matemáticas Financieras Si se mira al futuro, situados en s la contraprestación es una renta constante, pospagable, temporal con n s capitales. Si se mira al pasado, la prestación ha entregado el capital C(C 0, 0) y la contraprestación los s primeros términos amortizativos Estructura del término amortizativo Al despejar a en el método recurrente se obtiene que a = C s 1 i + (C s 1 C s ) = I s + A s componentes: Esta expresión indica que el término amortizativo en el periodo s tiene dos 1. C s 1 i = I s + A s es la cuota de intereses 2. C s 1 C s = A s es la cuota de amortización Relación entre las cuotas de amortización A partir del método recurrente se obtiene que C s = C s 1 (1 + i) a y lógicamente, en s + 1 seguirá la misma relación C s+1 = C s (1 + i) a restando ambas ecuaciones (C s C s+1 ) se obtiene que (sabiendo que por definición C s C s+1 = A 1 y que C s 1 C s = A s ): A s=1 = A s (1 + i) = = A 1 (1 + i) s 155

156 3.1. LECCIÓN 10 - OPERACIONES FINANCIERAS - INTRODUCCIÓN A LOS PRÉSTAMOS Así, cada cuota de amortización se obtiene a partir de la anterior multiplicando por (1 + i). De esta forma se pueden obtener todas las cuotas una vez obtenida la primera A 1. Para obtener dicha cuota hay dos casos: Si se conoce el término amortizativo, entonces a partir de la cuota de equivalencia en el primer periodo, se cumple que a = C 0 i + A 1 y por lo tanto A 1 = a C 0 i Si no se conoce el término amortizativo, sabiendo que C 0 = A 1 +A 2 + +A n = n 1 A k y con las expresiones para A k obtenidas anteriormente se obtiene que C 0 = A 1 + A A n = A 1 [1 + (1 + i) + + (1 + i) n 1] Siendo la expresión del corchete el valor final de una renta unitaria, temporal y pospagable, por lo que Capital amortizado A 1 = C 0 S n i El capital amortizado una vez pasados s periodos (M s ) es la suma de las primeras s cuotas de amortización: M s = A 1 + A A s = A 1 [1 + (1 + i) + + (1 + i) s 1] = A 1 S s i = C 0 Ss i S n i Cuadro de amortización El cuadro de amortización es una tabla en la que se recogen los valores de las magnitudes anteriores. Suele haber seis columnas que son: 1. El tiempo al que corresponde las cantidades 2. La cuantía de los términos amortizativos 3. Las cuotas de intereses 156

157 Apuntes: Matemáticas Financieras 4. Las cuotas de amortización 5. Los totales amortizados hasta la fecha 6. Los capitales vivos Ejemplo Un préstamo de un millón de euros se va a amortizar en cinco años utilizando el método francés. El tanto de valoración se fija en el 12 %. Obtener la cuantía de los términos amortizativos y el cuadro de amortización del préstamo. En primer lugar, al ser un préstamo francés, se obtiene la cuantía de cada término (que es constante) aplicando la relación de equivalencia Y por lo tanto C 0 = a a n i a = C 0 a n i a = = = , 7319 a 5 12 % 3,6048 Una vez que tenemos el término amortizativo, se puede obtener A 1 e I 1 de dos formas alternativas. En primer lugar obtenemos A 1 como a C 0 i = , ,12 = ,7319 y después se obtiene I 1 como a A 1 = , ,7319 = En segundo lugar podemos obtener I 1 como C 0 i = ,12 = y después A 1 como a I 1 = , = ,7319. Para obtener M 1 se aplica que M 1 = A 1 = ,7319 y finalmente que C 1 = C 0 A 1 = ,7319 = ,2681. Para obtener el resto de filas, se puede seguir por el segundo método y así, se obtiene que I s = C s 1 0,12. Después se obtiene la cuota de amortización como 157

158 3.2. LECCIÓN 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO - PRÉSTAMOS (CONTINUACIÓN) A s = a I s. El capital amortizado como M s = M s 1 +A s y finalmente el capital vivo como C s = C s 1 A s. Con el nuevo capital vivo se vuelven a calcular los intereses y así sucesivamente... Los resultados se presentan en la tabla siguiente: Periodo T. Amortizativos C. Intereses C. Amortización Cap. Amort. Cap. vivo Lección 11 - Operaciones Financieras a largo plazo - Préstamos (Continuación) Préstamo: Método de cuotas de amortización constantes En este caso se verifica A 1 = A 2 = = A n = A Si se supone que se conoce el capital prestado C 0, la duración n y el tanto i, el problema consiste en encontrar la cuota de amortización, el capital vivo y el capital amortizado. Cuota de amortización En este caso, la igualdad C 0 = A 1 + A A n se traduce en: 158

159 Apuntes: Matemáticas Financieras C 0 = n A A = C 0 n Capital vivo En este caso la expresión C s = A s+1 + A s A s+n se traduce en: Capital amortizado C s = (n s) A = n s n C 0 Por último, la expresión para el capital amortizado M s = A 1 +A 2 + +A s = C 0 C s se traduce en M s = s A = s n C 0 Cuota de intereses La cuota de intereses general se obtiene como I s = C s 1 i. A partir de la expresión anterior para C s se obtiene que I s = C s 1 i = n s + 1 n y por lo tanto la couta en s + 1 es C 0 i Términos amortizativos I s+1 = C s i = n s n C 0 i Cada término amortizativo es la suma de la cuota de intereses y la cuota de amortización (a s = I s + A s ). Con la expresión para I s y con A s = A se obtiene a s = C s 1 i + A = C 0 n [1 + (n s + 1) i] 159

160 3.2. LECCIÓN 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO - PRÉSTAMOS (CONTINUACIÓN) y debido a que los intereses decrecen y la amortización es constante las cuotas irán decreciendo con el tiempo. Para encontrar la relación entre los términos amortizativos, a partir de la expresión para a s se obtiene a s+1 y se restan ambas a s a s+1 = (C s 1 C s ) = A i a s+1 = a s A i = = a 1 s A i Expresión que permite conocer todos los términos a s una vez conocido a 1. Como a 1 = I 1 + A 1 y lógicamente en el primer periodo los intereses son C 0 i junto con que en este préstamo A es constante, se obtiene que a 1 = C 0 i+a = A n i+a = A (n i + 1) Los términos amortizativos se obtienen restando la cantidad A i al inicial y por lo tanto son decrecientes. Ejemplo Un préstamo de un millón de euros se va a amortizar en cinco años utilizando el método de cuotas de amortización constantes. El tanto de valoración se fija en el 12 %. Obtener la cuantía de los términos amortizativos y el cuadro de amortización del préstamo. En primer lugar, al ser un préstamo de cuotas de amortización, se obtiene la cuantía de cada cuota de amortización aplicando la relación de equivalencia Y por lo tanto C 0 = n A A = C 0 n A = = = Una vez que tenemos la cuota de amortización, se puede obtener el saldo del préstamo en cada periodo como 160

161 Apuntes: Matemáticas Financieras C s = (n s) A = n s n C 0 Y por lo tanto para s = 1 será C 1 = (5 1) = 80000, y de forma sucesiva se calcula C 2 = 60000, C 3 = 40000, C 4 = Una vez que se tienen los saldos de cada periodo se obtienen las cuotas de intereses como I s = C s 1 i = n s + 1 n C 0 i Y por lo tanto I 1 = C 0 i = ,12 = , I 2 = ,12 = y sucesivamente I 3, I 4 etc se puede obtener A 1 e I 1 de dos formas alternativas. Para obtener los términos amortizativos se utiliza la expresión a k = A k + I k. Así, por ejemplo, para a 1 = A 1 +I 1 = = , para a 2 = A 2 +I 2 = = y así sucesivamente. Finalmente el capital amortizado se calcula sumando las cuotas de amortización hasta el periodo s. Una vez que se hacen los cálculos para todos los periodos se obtiene el cuadro de amortización. Los resultados se presentan en la tabla siguiente: Periodo T. Amortizativos C. Intereses C. Amortización Cap. Amort. Cap. vivo

162 3.2. LECCIÓN 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO - PRÉSTAMOS (CONTINUACIÓN) Préstamo: Método americano simple En este caso particular, en los n 1 primeros periodos se pagan únicamente intereses y se efectúa la amortización total del préstamo en el último periodo. Es decir: A 1 = A 2 = = A n 1 = 0 ya n = C 0 Como siempre queda el mismo capital pendiente de amortizar, las cuotas de intereses son siempre iguales I 1 = I 2 = = I n = C 0 i y por lo tanto los términos amortizativos de los n 1 periodos sólo tiene intereses. El término amortizativo del último periodo tiene los intereses más el capital total a 1 = a 2 = = a n 1 = C 0 i ya n = C 0 i + C 0 El capital vivo de cada periodo es C 0 ya que no se amortiza nada hasta el final. Por lo tanto el capital amortizado de cada periodo es 0. Ejemplo Un préstamo de un millón de euros se va a amortizar en cinco años utilizando el método americano. El tanto de valoración se fija en el 12 %. Obtener la cuantía de los términos amortizativos y el cuadro de amortización del préstamo. En primer lugar, al ser un préstamo americano, las cuotas de amortización son 0 y las cuotas de intereses son siempre iguales según la expresión: I k = C 0 i = ,12 =

163 Apuntes: Matemáticas Financieras Así todos los términos amortizativos tiene el mismo valor a k = I k = salvo el último en el cual la cuota de amortización es el préstamo total A 5 = C 0 = y por lo tanto a 5 = I 5 + A 5 = = A continuación se presenta el cuadro de amortización Periodo T. Amortizativos C. Intereses C. Amortización Cap. Amort. Cap. vivo Préstamo: Amortización con los intereses fraccionados En algunos prestamos los intereses del préstamo se pagan de forma fraccionada a lo largo del año mientras que la amortización se hace forma anual. En estos casos, en el contrato figura el tanto nominal de frecuencia m (j m ) con el que se valora la operación y a partir de ahí se obtienen el rédito (i m ) y el tanto efectivo anual (i) como i m = j m m y i = (1 + i m) m 1 En cada periodo (año) los intereses se pagan m veces al año y cada uno con cuantía I s,m = C s 1 i m. La cuota de amortización se paga una sola vez en cada periodo (al final del mismo) con cuantía A s. Por lo tanto, en cada periodo hay m términos amortizativos con cuantías de: I s,h conh = 1, 2,, m 1 a s,h = I s,m + A s h = m Para obtener la ecuación equivalente se puede operar con el rédito i m o bien 163

164 3.2. LECCIÓN 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO - PRÉSTAMOS (CONTINUACIÓN) con el tanto efectivo i. En este segundo caso se sustituyen los m pagos de un periodo por uno solo que sea equivalente C s 1 i m S m im + A s = C s 1 i m (1 + i m) m 1 i m + A s = C s 1 i + A s y por lo tanto se sustituye una contraprestación de n m capitales por otra de n capitales, siendo ahora la ecuación de equivalencia n C 0 = (C s 1 i + A s ) (1 + i) s s=1 El caso particular más famoso es el Método Francés Intereses fraccionados - Método Frances En este caso la anualidad constante se descompone en m pagos cada uno de ellos al final del subperiodo m con intereses y otro al final de año con intereses y amortización. Al final del año se debe verificar: a = C s 1 i + A s Siendo las cuotas de intereses en cada periodo m iguales a I s,m = C s 1 i m. Las cuotas de amortización siguen la ley recurrente vista en el apartado del método francés A s+1 = A s (1 + i) = A 1 (1 + i) s cona 1 = C 0 S n i siendo i el tanto efectivo equivalente a j m. Los capitales vivos se obtiene de forma recurrente como C s = C s 1 A s 164

165 Apuntes: Matemáticas Financieras al igual que los capitales amortizados M s = M s 1 + A s y por último se puede hallar las cuotas de intereses como I s,h = C s 1 i m Ejemplo Un préstamo de un millón de euros se va a amortizar en cinco años utilizando el método francés pagándose los intereses de forma trimestral. El tanto de valoración nominal anual se fija en el % (tanto anual efectivo del 12 %). Obtener la cuantía de los términos amortizativos y el cuadro de amortización del préstamo. Para resolver el ejercicio se deben encontrar los tipos efectivos y el rédito de frecuencia 4. El tipo efectivo ya viene en el enunciado, y el rédito de frecuencia 4 se obtiene como i 4 = j 4 4 = 0, = 0, Los intereses de cada trimestre del primer año se obtienen como I s,h = C s 1 i m = , = 28737,34472 Al final del primer año (último trimestre) se debe pagar la cuota de intereses más la cuota de amortización. La cuota de amortización se obtiene a partir de la expresión A 1 = C 0 S n i = , = ,7319 A partir de dicho valor se obtienen los demás a partir de la expresión A s = 165

166 3.2. LECCIÓN 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO - PRÉSTAMOS (CONTINUACIÓN) (1 + i) s 1 A 1. Así, para obtener A 2 = (1 + 0,12) ,7319 = ,8998 y así sucesivamente. Por último, para obtener los términos amortizativos al final de cada año se utiliza que a s = I s,h + A s. Por ejemplo, para s = 1 se obtiene que a 1 = 28737, ,7319 = ,0767 Las relaciones entre los capitales pendientes son iguales que los casos anteriores. Por último, el cuadro amortizativo se presenta a continuación: 166

167 Apuntes: Matemáticas Financieras Periodo trim. T. Amortizativos C. Intereses C. Amortización Cap. Amort. Cap. vivo Préstamo: Amortización con periodos de carencia En algunas ocasiones, especialmente cuando el crédito se utiliza para financiar una inversión física concreta, es necesario un periodo de carencia. La carencia puede afectar a las cuotas de amortización y por lo tanto sólo se pagan intereses o al término amortizativo completo. 167

168 3.2. LECCIÓN 11 - OPERACIONES FINANCIERAS A LARGO PLAZO - PRÉSTAMOS (CONTINUACIÓN) Carencia en las cuotas de amortización En los primeros s periodos de carencia sólo se pagan intereses (C 0 i) y por lo tanto en el periodo s el capital vivo es C 0 (como un préstamo americano simple). A partir del periodo s + 1 se empieza también a amortizar el préstamo (a s+1, a s+2,, a n ). La ecuación de equivalencia financiera es n C 0 = a r (1 + i) (r s) r=s+1 En función de cada tipo de préstamo, dicha ecuación tiene una forma concreta. Para el caso del método frances es C 0 = a a n s i (obteniéndose a) y para el caso del método de cuotas de amortización constantes es C 0 = (n s) A (obteniéndose A) Carencia total En este caso en los primeros s periodos no se debe abonar ninguna cantidad. Como no se han abonado los intereses en el periodo s el capital vivo no es C 0, sino C s = C 0 (1 + i) s donde se han acumulado los intereses no pagados. Por lo tanto la ecuación de equivalencia es n C s = C 0 (1 + i) s = a r (1 + i) (r s) r=s+1 En el caso del método francés dicha ecuación se traduce en C 0 (1 + i) s = a a n s i que coincide con el planteamiento de la ecuación en el origen (renta anticipada) C 0 = a s /a n s i = a (1 + i) s a n s i. En el caso del método de cuotas constantes la ecuación de equivalencia es C 0 (1 + i) s = (n s) A 168

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