Determinantes MATEMÁTICAS II 1

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1 Determinantes MATEMÁTICAS II 1 1 DEFINICIÓN DE DETERMINANTE Cnsiderams el cuerp de ls númers reales R y el cnjunt de matrices cuadradas sbre R, M n (R). Vams a asciar a cada matriz cuadrada un númer real, que se denmina el determinante de A y se denta pr det(a) A. R M n A A El determinante de una matriz cuadrada de rden n se llama determinante de rden n. Ls determinantes cnstituyen una herramienta muy ptente y eficaz en numerss prblemas gemétrics y algebraics. Determinantes de rden 2 Ejempls A a a = a21 a22 A = det(a) = a11a22 a12a21 = (-1) 3 2 (-4) = = = (-1) = 9 Determinantes de rden 3 Ls determinantes de rden tres se definen cm: a a a = A a a a a a a A = a11a 22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 a13a22a31 a11a 23a32 a33a12a21 Pierre Sarrus estableció una regla para calcular ls determinantes de rden 3. Ls términs cn sign + están frmads pr ls prducts de ls elements de la diagnal principal y ls de las diagnales paralelas cn su crrespndiente vértice puest a a a A = a a a a a a Ls términs cn sign están frmads pr ls prducts de ls elements de la diagnal secundaria y ls de las diagnales paralelas cn su crrespndiente vértice puest a a a A = a a a a a a Ejempls = (-1) (-1) (-1) 2 (-1) 0 1 = = = = = 13

2 Determinantes MATEMÁTICAS II 2 2 PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES 1. El determinante de una matriz cuadrada cincide cn el de su traspuesta: A = A t Ejempl: A = = = 5 A t = = = 5 2. Si permutams ds filas ( clumnas) de una matriz, el determinante cambia de sign. Ejempl: A = = = 13 B = = = Si multiplicams una fila ( clumn pr un númer k, el determinante de la matriz queda multiplicad pr dich númer. Cm cnsecuencia de esta prpiedad, si A M n y k R k A = k n A Ejempl: A = = 5 B = = = 10 2 A = = = El determinante de una matriz es cer si: Tiene ds filas ( clumnas) iguales. Tiene ds filas ( clumnas) prprcinales. Tiene alguna fila ( clumn de cers. Si una fila ( clumn es una cmbinación lineal de tras filas ( clumnas). El invers de esta prpiedad también se cumple, es decir, si un determinante es nul hay una cmbinación lineal en sus filas ( clumnas). Ejempl: A = B = =0; la 1ª fila es cmbinación lineal de las tras ds ( F = F + F ) = = =0 ; la 1ª y 2ª fila sn prprcinales ( F = 2 F ) El determinante de un prduct es igual al prduct de ls determinantes: Ejempl: A = = 5 B = = 6 A B = A B 4 6 A B = 11 9 = = 30

3 Determinantes MATEMÁTICAS II 3 6. Si una fila ( clumn de una matriz se pueden descmpner cm suma de ds sumands, el determinante es igual a la suma de ds determinantes de las matrices que se btienen de A sustituyend dicha fila ( clumn pr la fila frmada pr el primer sumand y pr el segund sumand, respectivamente. a + b a + b a + b a a a b b b a a a = a a a + a a a a a a a a a a a a Ejempl: A = = = 5 ; Descmpniend en ds: = B = = 3 ; Descmpniend en ds: = + = 6 9 = Si a una fila ( clumn le sumams una cmbinación lineal de tras filas ( clumnas), el determinante n varía. En la cmbinación lineal n tienen pr qué figurar tdas las restantes filas ( clumnas); de hech, n es habitual que ell curra. Ejempl: A = = = Sumams a la fila F 3 la cmbinación lineal F 1 F 2, es decir, sustituims F 3 pr F 3 + F 1 F = 9 F3 = F3 + F1 F Sumams a la clumna C 1 el dble de C 3, es decir, sustituims C 1 pr C C = 9 C1= C1 + 2 C Es imprtante tener en cuenta que la fila ( clumn a la que sumams ( restams) la cmbinación lineal n se puede ver multiplicada pr ningún númer, ni cambiada de sign, prque entnces sí que varía el determinante. Ejempl: A = = = 13 Si sustituims la fila F 1 pr la cmbinación 3 F 1 F 3 : = 39 A = F1 = 3 F1 F

4 Determinantes MATEMÁTICAS II 4 3 CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN n 3.1. MÉTODO de GAUSS para calcular determinantes de cualquier rden: La prpiedad un determinante n varía si sumams a una línea tra paralela multiplicada pr un númer ns permite hacer cers para cnseguir el determinante de una matriz triangular. El determinante de una matriz triangular es igual al prduct de ls elements de la diagnal. Es imprtante tener en cuenta: La línea a la que sumams la cmbinación lineal n se puede ver multiplicada pr ningún númer, ni cambiada de sign, prque entnces varía el determinante. Al permutar ds líneas el determinante cambia de sign. Ejempls 1. Aplicar el métd de Gauss para calcular el determinante de cada matriz: A = F2: F2+ F1 1 F3:F3 F2 2 A = 0 B = F2 = F2 5F F3 = F3+ 2F F3 = F3+ F2 B = C = F2 = F2 F3 F1= F1 2F2 C = 16 D = F2= F2 2F1 F3= F3 2F1 F4 F2 F4= F4+ 2F2 F4= F4 F F4 F3 = F4= F4 2F F2= F2 2F1 F4F3 E = ( 7) F4= F4 2F1 F3 F F4= F4 4F2 F4= F4+ 10F3 = =

5 Determinantes MATEMÁTICAS II MÉTODO de LAPLACE para calcular determinantes de cualquier rden: Sea A M n, matriz cuadrada de rden n. Se llama menr cmplementari del element a ij de una matriz A al determinante de rden n 1 que resulta de suprimir la fila i y la clumna j de la matriz A. Se designa pr M ij. Se llama adjunt del element a ij de una matriz A al valr: Aij = ( 1) i + j M ij. + si i j es par Es decir, el adjunt de a ij es el menr cmplementari cn sign : + si i + j es impar Ejempls Sea El menr cmplementari del element a 23 es el determinante que la matriz de rden 2 que se btiene al eliminar de A la fila 2 y la clumna 3: Menr del element a 23 : M23 = = 1 6 = Adjunt del element a 23 : A 23 = ( 1) M 23 = ( 5) = 5 Ls restantes menres cn sus crrespndientes adjunts sn: M = = 2 4 = A 11 = ( 1) M 11 = M = = 4 12 = A 12 = ( 1) M 12 = M = = 2 3 = A 13 = ( 1) M 13 = M = = 4 1 = A 21 = ( 1) M 21 = M = = 2 3 = A 22 = ( 1) 2+ 2 M 22 = M31 = = 8 4 = A 31 = ( 1) M 31 = M32 = = 4 2 = A 32 = ( 1) M 32 = M33 = = 1 4 = A 33 = ( 1) M 33 = 3 MÉTODO de LAPLACE «El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de ls elements de una fila ( clumn cualquiera multiplicads pr sus adjunts crrespndientes». El determinante de una matriz A es igual a la suma de ls prducts de ls elements de cualquier fila ( clumn pr sus crrespndientes adjunts. En el cas de una matriz de rden 3, desarrlland su determinante pr ls elements de la primera fila es: A = a 11 A11 + a 12 A12 + a 13 A13

6 Determinantes MATEMÁTICAS II 6 Ejempls Calcular Desarrlland el determinante pr ls elements de la primera fila, btenems: = = (2 4) 2(4 12) + (2 3) = = Calcular: Cnviene desarrllar pr una línea que cntenga el mayr númer de cers psibles. Desarrlland el determinante pr la segunda clumna, btenems: = + = + = ( 1) ( 1) ( 35) MÉTODO PRÁCTICO ( Métd mixt) para calcular determinantes de cualquier rden: Antes de desarrllar pr una fila ( clumn pr Laplace cnviene hacer el mayr númer psible de cers en ella. Si tds ls elements de una fila sn cers salv un de ells, el determinante es igual al prduct de dich element pr su adjunt. Aplicand reiteradamente esta prpiedad para cnseguir una matriz triangular se demuestra fácilmente el siguiente resultad: El determinante de una matriz triangular cincide cn el prduct de ls elements de su diagnal principal. Ejempls Calcular Empleand el métd de Gauss para hacer cer: F3:2F2+ F F3:F1 F = ( 1) = F4:2F3+ F4 F4:F1 F = 3 ( 1) 1 7 = 3 (56 5) = 153

7 Determinantes MATEMÁTICAS II 7 4 RANGO DE UNA MATRIZ Definición: Un cnjunt de vectres es linealmente dependiente (se suele abreviar cm l.d.) cuand un de ells puede expresarse cm cmbinación lineal de ls restantes. En cas cntrari, sn linealmente independientes (l.i.). Sea A M m x n, matriz de rden m x n Definición: Se llama rang característica de una matriz, se denta rg(a), al nº de filas clumnas linealmente independientes. El rang pr filas es el mism que el rang pr clumnas. A = 0 Ls vectres fila clumna sn linealmente dependientes. Definición: Dada una matriz, un menr de rden k es cualquier determinante de rden k que pdems btener suprimiend filas y/ clumnas. Ejempls Dada la matriz Suprimiend la fila 1 y la clumna 1 btenems el menr de rden 2: = = 12 Suprimiend la fila 1 y la clumna 2 btenems el menr de rden 2: = 8 4 = 4 Suprimiend la fila 2 y la clumna 3 btenems el menr de rden 2: = -2 3 = -5 IMPORTANTE: El rang de una matriz A M m x n, es el rden del mayr menr n nul de dicha matriz. Ejempls 1) Dada la matriz 1 3 0, calcular su rang: A = = 0 rg(a) 2 Suprimiend F3 y C3 btenems el menr de rden 2: = = rg(a) = 2 2) Dada la matriz A = 0 1 4, calcular su rang: Calculams A desarrlland pr ls elements de la 1ª clumna: 1 4 A = ( ) = + = rg(a) = 3

8 Determinantes MATEMÁTICAS II Cálcul del rang de una matriz pr determinantes Sea A una matriz de rden m x n. Vams a ver un prcedimient rdenad para hallar el rang de una matriz rland menres: Antes de empezar pdems descartar una fila clumna si: Tds sus elements sn cers. Hay ds filas ( clumnas iguales) Una fila ( clumn es prprcinal a tra. Una fila ( clumn es cmbinación lineal de tras. Prcedimient: 1) Empezams eligiend un menr de rden 2 n nul rg (A) 2 Si tds ls menres de rden 2 que pudiérams frmar cubriend rdenadamente tda la matriz fueran nuls, cncluiríams que rg (A) = 1. 2) Al menr anterir le vams rland sucesivamente la siguiente fila y el rest de clumnas, es decir, vams calculand sucesivamente cada un de ls menres de rden 3 psibles. Si encntrems un de ests menres n nul rg (A) 3 Si tds ls menres de rden 3 que pudiérams frmar cubriend rdenadamente tda la matriz fueran nuls, cncluiríams que rg (A) = 2. 3) Así sucesivamente, direms que el rang de una matriz de rden m x n es k si tds ls menres de rden k + 1 sn nuls. 4) Observación: Si A es una matriz de rden m x n rg (A) mín (m, n) Ejempls 1) Si 1 3 A = 2 4 rg (A) = 2 ya que A = 4 6 = ) Determinar el rang de = rg(a) = = rg(a) = 3 3) Determinar el rang de A = = rg(a) 2 A = 0 ya que F3 = F2 + F1

9 Determinantes MATEMÁTICAS II Cálcul del rang de una matriz pr el métd de Gauss. Las transfrmacines que pdems realizar a una matriz sin que su rang varíe sn: Permutar ds filas clumnas. Multiplicar dividir tds ls elements de una fila clumna pr un númer n nul. Sumar a una fila ( clumn tra fila ( clumn multiplicada ( dividid pr un númer real. Suprimir filas clumnas cuys elements sn tds cers. Suprimir fila ( clumn prprcinal a tra fila ( clumn Suprimir fila ( clumn que sea cmbinación lineal de tras filas ( clumnas) Calcular el rang de una matriz mediante el métd de Gauss cnsiste en aplicar estas transfrmacines elementales a dicha matriz cn bjet de cnseguir una matriz triangular. Una vez aplicad este prces, el rang de la matriz es el númer de filas n nulas de la matriz btenida. Este prces se puede realizar también perand cn las clumnas. Ejempls Aplicar el métd de Gauss para calcular el rang de cada matriz: A = F2:F1 + F Pr tant, rang(a) = 2 B = F2 = 5F1 F2 F3 = 2F1 + F F3 = F3 F Pr tant, rang(b) = C = F1= F1+ 3F F3= F3 2F2 Pr tant, rang(c) = D = F2= F2 3F F3= F3 2F1 F3= 7F3 F rang(d) = 3 Observación: La desventaja del métd de Gauss es que a veces se hace labris cnseguir la matriz triangular. Pr ell se recmienda calcular el rang pr menres, per aplicand cuand prceda alguna de las transfrmacines permitidas en el métd de Gauss.

10 Determinantes MATEMÁTICAS II 10 5 MATRIZ INVERSA Definición: Sea A M n matriz cuadrada de rden n. La matriz inversa de A, se designa cm aquella que verifica: 1 1 A A = A A = I Si una matriz tiene inversa se denmina regular inversible, en cas cntrari, se llama singular. Terema: Una matriz A psee inversa A 0 1 A, es 1 1 A tiene inversa A A = A A = I 1 A A 1 = A = si A 0 A 1 1 Prpiedades de la matriz inversa 1.- (A B) 1 = B 1 A 1 A,B M n cuadradas y regulares 2.- (A 1 ) 1 = A 3.- Si una matriz A tiene inversa, ésta es única Cálcul de la inversa de una matriz pr determinantes Definición: Llamams matriz adjunta de A, se denta pr Adj A, cm la matriz cuys elements sn ls adjunts de ls elements de la matriz A. Es decir: Adj A A A A A A A A A A n n = n1 n2 nn, siend A ij el adjunt del element a ij de la matriz A Terema: Dada la matriz A M n tiene inversa si y sól si A 0. En tal cas, se verifica: Ejempls A = 1 1 A ( ) t Adj A 1. Calcular la matriz inversa de 4 6 A = 1 2 A = 8 6 = 2 Existe A Adj A = = = A 1 Cmprbación: = = A A ) Calcular la matriz inversa de A = A = 15 2 = Calculams ls elements de la matriz adjunta: Adj A = A = A =

11 Determinantes MATEMÁTICAS II Cálcul de la matriz inversa empleand el métd de Gauss 1º. Cnstruir una matriz del tip M = (A I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha. 2º. Utilizand el métd Gauss vams a transfrmar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahra está a la derecha, y la matriz que resulte en el lad derech será la matriz inversa: A -1. Ejempls 1. Dada la matriz A = 2 3, determinar su inversa. 1 2 Cnstruims la matriz M = F1 = F F2 = F2 F F1 1 1 = F1 3F F2 = 2F Pr tant, la matriz inversa es: A -1 = Dada la matriz A = 2 4, determinar su inversa F = 3F1 2F F1 = F F2 = F F1 = F1+ 2F Pr tant, la matriz inversa es: A -1 =

12 Determinantes MATEMÁTICAS II 12 EJERCICIOS 1. Cálcul de determinantes de rden 2 y Calcula el valr de ls determinantes de estas matrices: f) g) Slución: -31 ; 0 ; 1 ; -12 ; 19 ; f) 30 ; g) Calcular el valr de ls siguientes determinantes, aplicand la regla de Sarrus: f) Slución: 11 ; 0 ; 11 ; 0 ; 12 ; f) 3 2. Prpiedades de ls determinantes 2.1. Calcular el determinante de la matriz traspuesta de estas matrices A = B = a b 2.2. Sea la matriz A =. Si A = 1, calcula aplicand las prpiedades de ls determinantes: c d c d a c 2a 2b c a 3c 3d a b b d c d d b 2a 2b Slución: 1 ; -1 ; 2 ; 1 ; Si a b c A = d e f = 4, utilizar las prpiedades de ls determinantes para hallar raznadamente: g h i a b c 2d 2e 2f g h i t 2A g h i a b c d e f a d 3g b e 3h c f 3i 2a 2b 2c d e f g h i f) 2g 2h 2i a b c d + 2a e + 2b f + 2c g) b 3a c h 3g i 2e 6d 2f h) 2a + 3d 4c + 6f 2b + 3e d 2f e i) g 2i h a b 2a a c d e 2d d f g h 2g g i Slución: -8 ; 32 ; 4 ; 12 ; -4 ; f) 8 ; g) 24 ; h) 16 ; i) Sin desarrllar ls determinantes, demstrar la identidad: 1 a a bc a a b b = ca b b c c ab c c (Ayuda: Multiplica pr abc la 1ª clumna del 1º determinant

13 Determinantes MATEMÁTICAS II Si el valr del determinante de la matriz A es 5 calcular raznadamente el determinante de la matriz B: a b c A = p q r = 5 u v w Slución: B = 40 2a 2c 2b B = 2u 2w 2v 2p 2r 2q 2.6. Demstrar, sin desarrllar, que el siguiente determinante vale 0: 1 a b + c A = 1 b a + c 1 c a + b (Ayuda: Prpiedad 7: C 3 = C 2 + C 3) 2.7. Justifica sin desarrllar que ls determinantes sn nuls: Aplicand prpiedades de ls determinantes, cmprueba que: a b c = ( b ( c ( c b a b = ( a 3 a b c a a + b b 2a 3a a + b 2.9. Sean las matrices: 3 5 A = B = 3 1 C = Cmprueba si se verifican las siguientes igualdades. Si alguna se verifica, decide si se trata de alguna prpiedad general de ls determinantes. En cas cntrari, busca un ejempl que n l cumpla: 2 A = 2 A A + B = A + B C 2 B = C 2 B A B = A B 3. Cálcul de determinantes de rden superir a Calcular pr el métd de Gauss (i.e., haciend cers baj la diagnal) ls siguientes determinantes: Slución: 8 ; 0 ; -72 ; -2 ; Calcular pr el métd de Laplace: Slución: 41 ; -8 ; 3 ; 34 ; 0

14 Determinantes MATEMÁTICAS II Calcular pr el métd más cnveniente (preferentemente pr Laplace, haciend cers previament: Slución: -92 ; 12 ; -55 ; 1 ; Hallar el valr de a que hace que la matriz sea singular, es decir, A = a a a a a 1 a 1 a Slución: a = ± 1 ; a = ± 1,a = 0 ; a = 6; a = a a 3.5. Calcular el valr de ls siguientes determinantes: a + 1 a a a a a + 1 a a 1+ a a a a + 1 a 1 1+ b 1 1 a a a a c 1 Slución: 4a + 1 ; -abc ; (a + 1) 3 a a a Rang de una matriz 4.1. Calcular el rang de las siguientes matrices: A= B = C = D = E = f) F = g) G = h) H = i) I = Slución: rg(a) = 2, rg(b) = 1, rg(c) = 2, rg(d) = 3, rg(e) = 2, rg(f) = 2, rg(g) = 3, rg(h) = 4, rg(i) = Para qué valr de m el rang de la matrices 2? A = 4 m m Slución: m = -2 ; m = -1; m = ± 1; m = 0, m = 1/ m m m m Calcular el rang de cada matriz según ls valres de ls parámetrs: 2x 6 x 1 x x x 4 1 x x x 1 x x a a 1 1 a a x 1 0 x 2x x 0 x 3x Slución: rg A = 2 si x = 2, x = 6; rg A = 2 si x = 2; rg A = 2 si x 0,x 1/ 2 = = ; rg A = 2 si a = -1, rg A = 1 si x = 0, rg A = 2 si x = 3/5

15 Determinantes MATEMÁTICAS II Calcular el rang de cada matriz según ls valres de ls parámetrs: a a b b a a a 0 b 2 1 a b a b a a a 4 4 a a a b 0 a 2 b Slución: rg A = 2 b = 0 (a = 0,a = -1); rg A = 0 a = b = 0 ; rg A = 2 a = b 0, b = 2a 0 ; rg A = 1 si a = 0, b = 2, rg A = 2 si a = 0 b 2, a 0, b = 2 5. Inversa de una matriz 5.1. Calcular la matriz inversa cuand exista de las siguientes matrices: Calcular la matriz inversa cuand exista de las siguientes matrices: Slución: A -1 = 0 1/ 2 2 ; A -1 = A -1 = ; N tiene inversa; A -1 = Determinar para qué valres del parámetr a existe la inversa de la matriz: a a a 0 a a 1 0 a a a 1 a 1 1 Slución: a 5, a 1, a 3 ; Siempre ; a 1 ; a 0 6. Ecuacines matriciales Hallar la matriz A que haga que = A Slución: Sean las matrices A = y B = ; hallar una matriz X tal que A X + B = A Slución: Dada la matriz A = 2 3, hallar una matriz X tal que A X A = Slución: Reslver la siguiente ecuación matricial X A = B + C, dnde: A = B = C = Slución:

16 Determinantes MATEMÁTICAS II Repas a 1 2 a 1 PAU.7.1. Dad el númer real a se cnsidera la matriz A = 0 a a 1 1 a Halle ls valres de a para ls cuales la matriz A tiene inversa. Busque, si es psible, la matriz inversa de A en el cas a = 0. x b c 4 PAU Dads ls númers reales a, b, c, x, se cnsiderems la matriz A = a x 3 b c x Halle ls valres de a, b, c, x, para ls cuales A es antisimétrica. (A es antisimétrica si A t = -A). Si a = b = c = 1, halle el rang de A según ls valres de x. Si a = b = c = 0, resuelva la ecuación A + A t = PAU.7.3. Sean las matrices A = y B = Calcule, si es psible, la matriz inversa de la matriz A. Resuelva, si es psible, la ecuación matricial X A = B. a a + 1 PAU.7.4. Se cnsidera la matriz: A = 0 a 1 1 a 1 1 a Obtenga ls valres del númer real a para ls que A tiene matriz inversa. Halle, si es psible, la matriz inversa de A en el cas a = 0. PAU.7.5. Dad el númer real a se cnsidera la matriz 1 a 1 A = a 0 Halle ls valres de de a para ls cuales la matriz A tiene inversa. Obtenga la matriz inversa de A en ls cass en que exista PAU.7.6. Se cnsideran las matrices A = y B = Resuelva, si es psible, la ecuación matricial A X = B PAU.7.7. Dada la matriz: M = Halle, si existe, la matriz inversa de M. Calcule la matriz X que cumple X M + M = 2M 2. PAU.7.8. Sea cnsideran las matrices P = 2 a 1 a y 3 3 a Según ls valres de a R, estudie el rang de P. Para el cas a = 1, halle X tal que P X = Q Q =