a) en [0, 2] ; b) en [-1, 1]

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA SAN JUAN BOSCO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES CATEDRA: Maemáica I CURSO: 04 TRABAJO PRACTICO Nº -Tercera Pare Pare III. Aplicaciones de la derivada TEOREMA DE ROLLE ) Eplicar porque el T. de Rolle no se puede aplicar en las siguiene funciones, cuando eisen a y b ales que Graficar. a) en [0, ] ; b) en [-, ] ) Deerminar si es posible aplicar el T. de Rolle a f en el inervalo cerrado [a, b]. Si se puede aplicar el T. de Rolle deerminar odos los valores de c en el inervalo abiero (a, b ), ales que a) en [, ] b) en [ -, ] c) en [-, ] TEOREMA DE LAGRANGE ) Dada la función. a) Enconrar la ecuación de la reca secane que une los punos ( -, 4 ) y (, 0), b) Emplear el T. del Valor Medio para deerminar un puno c en el inervalo ( -, ) al que la reca angene en c sea paralela a la reca secane, c) Deerminar la ecuación de la reca angene que pasa por c y es paralela a la reca secane, d) Graficar en la compuadora f la reca secane y la reca angene empleando el WinFun. 4) Deerminar si se puede aplicar el T del Valor Medio sobre el inervalo cerrado [a, b]. Si el T. del Valor Medio se puede aplicar enconrar odos los valor de c del inervalo abiero ( a, b) al que a) en [-, ] b) en [ 0, ] c ) en [ ½, ] 5) Dos parullas esacionadas equipadas con radar se encuenran a 5 millas de disancia sobre una auopisa. Cuando pasa un camión del lado de la primera parulla, la velocidad de ese se regisra en un valor de 55 millas por hora. Cuaro minuos después, cuando el camión pasa por la segunda parulla el regisro de velocidad corresponde a 50 millas por hora. Demosrar que el camión a ecedido el límie de velocidad (de 55 millas por hora) en algún momeno denro del inervalo de 4 minuos señalado. 6) Hallar los siguienes límies, aplicando la Regla de L Hôpial TP N Pare ercera Maemáica I Pág.

2 a) b) c) d) a a a sen 0 0 e e 4 sen Ln 4 Ln( sen) e) 0 Ln( g) f). Ln 0 g) Ln. Ln( ) h) i) 0 sen 4 4 j) k) l) 0 sen 0 sen 7) Para las funciones graficadas: a) Analizar si son coninuas en los valores del dominio indicados. Jusificar. b) Analizar si eise la derivada para dichos valores. Indicarlos en la gráfica, mediane recas angenes. c) eniendo en cuena los incisos aneriores, responder: Todas las funciones que son coninua en un puno, Son derivables en ese puno?... Todas las funciones que ienen derivada en los punos analizados Son coninuas?... Escriba su conclusión: d) Deerminar para cada gráfico el conjuno: - { / f `() = 0} - { / f `() > 0} - { / f `() < 0} e) Con los daos obenidos, analizar los inervalos de crecimieno y decrecimieno de la función en su dominio. f) Deerminar, si eisen, los máimos y mínimos relaivos de cada función / / - 8) Enconrar los eremos relaivos de cada una de las siguienes funciones, uilizando lo que se conoce como crierio de la derivada primera. a) f() = - b) f() = e c) f() =. e d) f() = e) f() = 4 f) f ()= / TP N Pare ercera Maemáica I Pág.

3 g) f() = ( )/ h) f() = ( ) 9) Uilizar el sofware WinFun para graficar las funciones del puno y verificar inervalos de crecimieno, decrecimieno y punos eremos. 0) Dada la gráfica de la derivada f de una función coninua f, Deerminar los inervalos de crecimieno y de decrecimieno de f. En qué valores de la función f iene un máimo o un mínimo relaivo? Jusifique su respuesa. ) Deermine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera, eplique por qué. Si es falsa, eplique por qué o dé un ejemplo que refue la proposición. a) Si f (c) = 0, f iene un máimo o un mínimo relaivo en c. b) Si la función f iene un máimo o un mínimo relaivo en c, enonces f (c) = 0. c) La función g() = 4 iene un máimo relaivo en = 0. ) Trazar la gráfica de una función que saisfaga las condiciones dadas: a) f (-) = f () = 0 f () < 0 si < f () > 0 si > f(-) = 4 f() = 0 b) f () = 0 f() = - f(0) = 0 f () < 0 si 0 < < f () > 0 si > f(-) = f() dmf. lim f ( ) = c) Aproimar el gráfico de una función f : R R que cumpla con odas las condiciones siguienes. I) f es coninua en R II) f es derivable en R - { } lim III)f () = y f (-) = 4 IV) f ) = y f ( ) = V) f `() > 0 > y f es decreciene en ( -, ) ( lim ) Deerminar los inervalos de concavidad y los punos de infleión, si eisen, de las siguienes funciones: a) f () = 4-4 b) f () = 5. c) f () =. 6 ( - ) 4) Dibujar el gráfico de una función que verifique las condiciones dadas en cada inciso: a) f ()<0 si <0, f ()>0 si >0 TP N Pare ercera Maemáica I Pág.

4 f ()<0 si <0, f ()>0 si >0 f (0) = 0 f(0) = f ()>0 si > y f ()<0si < f () =0 f ()>0 para odo. b) 5) Realizar el esudio compleo de las siguienes funciones analizando: Dominio, Paridad, Ceros, Polos, Ordenada al Origen, Crecimieno y Decrecimieno, Eremos, Concavidad, Punos de Infleión, Asínoas. Realizar el gráfico aproimado de la función. a) y = - b) y = / c) y = 4 d) y = e) y = f) y = e / g) y = ln 6) ) Hallar dos números posiivos de produco 00 y suma mínima. ) Si se cuena con.00 cm de maerial para hacer una caja con base cuadrada y la pare superior abiera, encuenre el volumen máimo posible de la caja. ) Las reacciones de dos drogas en función del iempo medida en horas, esán dadas por las funciones: f ( ) =. e y g( ) =. e a) Cuál de las dos drogas iene mayor reacción máima? b) Cuál alcanza la reacción máima en el menor iempo? Resolver Trabajo Pracico Inegrador Nº EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ) Hallar los siguienes límies, aplicando la Regla de L Hospial a) ( 4) Ln( ) b) g 0 sen c) ( ) g d) π 0 ( sen) e) ( ) Ln f) Ln g g) 0 Ln h) 0 (cog) 6 i) j) ( ) Ln ) Hallar si eisen los máimos y mínimos de las siguienes funciones: c) f() = 4 a) f() = e) f() = b) f() = - 4 d) f() = TP N Pare ercera Maemáica I Pág. 4

5 )a) Dada la grafica de f () y suponiendo que f() es coninua para odo que perenece a (a,b) y y=f '() Indicar si eisen, eremos relaivos de f(). Jusificar. a b b) Sea f : [, 6 ] R derivable en (,6) al que el gráfico de la función derivada es el siguiene: y y=f '() I) Deerminar los inervalos de crecimieno y de decrecimieno de f. II) Hallar los máimos y mínimos locales de f. III) a) Qué puede informar sobre f() y f(5)? b) En qué inervalos f es cóncava y en 4) a) La rapidez R con la que un umor crece esá relacionada con su amaño por la ecuación: R () = r.. ln ( k / ), donde r y k son consanes posiivas. Demuesre que el umor crece más rápidamene cuando = k / e b) Aníbal realiza un régimen de comidas para adelgazar. Ha podido esablecer que la canidad de los que 4. e adelgaza esá en función del iempo durane el cual hace régimen según la siguiene fórmula: f ( ) =. e con 0. i) Probar que cuano más iempo persise, más adelgaza. ii) Probar que aunque única deje el régimen, no podrá adelgazar más de 6 kilos. 5) Hallar las asínoas de las siguienes funciones a) f () =. b) f () = - c) f () = ) Dibujar el gráfico de una función derivable que saisfaga simuláneamene las siguienes condiciones: f esá definida en [-,6]. f(-) es máimo absoluo y f(6) es mínimo absoluo., y f ''() > 0,6 f ()<0 ( ) ( ) 7) Dibujar el gráfico de una función que verifique las condiciones dadas : f ()=0, f ()>0 si <, y f ()<0 si > f ()<0 si >0, f ()>0 si <0 8) Teniendo en cuena el gráfico de f(): TP N Pare ercera Maemáica I Pág. 5

6 a)jusificar el crecimieno o decrecimieno de f uilizando la derivada primera de f b)cuáles son los eremos relaivos de f? f : [,8] R Y c)hallar lo/s inervalo/s donde f () < X ) Realizar el esudio compleo de las siguienes funciones analizando: Dominio, Paridad, Ceros, Polos, Ordenada al Orígen, Crecimieno y Decrecimieno, Eremos, Concavidad, Punos de Infleión, Asínoas. Realizar el gráfico aproimado de la función. a) y = - b) y= PROBLEMAS c) y= d) y= e) y = ( ) / f) y= e g) y= ln ) Hallar la proporción en que deben enconrarse en el agua los iones H y OH - de manera que la suma oal de conenidos en la unidad de volumen sea mínima ( Noa: Por la ley de acción de masas se sabe que [H ] [OH - ]= K, siendo K =0-4 la consane de disociación del agua ) ) El área ocupada por una infección cuánea se desarrolla a parir del insane = 0 según la función f ( ) = 0. a) Calcular la superficie ocupada por la infección al principio- b) Hallar el insane en que es máima el área infecada y calcular dicha área- c) Esudiar qué ocurre con el ranscurso del iempo. Se esabiliza o desaparece la infección? ) a) Probar que la función f () = iene un mínimo en el puno = - b) Demosrar que la razón r enre el logarimo naural de un número y el mismo número es máima cuando = e c) Deerminar la mínima ordenada de la función f () =.ln TP N Pare ercera Maemáica I Pág. 6