APUNTES DE MATEMATICAS FINANCIERAS. C.P. CELIA GABRIELA CAMACHO MONTES.

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1 1 APUNTES DE MATEMATICAS FINANCIERAS. C.P. CELIA GABRIELA CAMACHO MONTES. GENERALIDADES. Las matemáticas Financieras es una rama de las matemáticas utilizada para el cálculo de los diferentes tipos de crédito, intereses, anualidades, así mismo, el análisis de aquellos factores que intervienen en el cambio del valor del dinero a través del tiempo. El estudio de las matemáticas financieras es básico para las negociaciones crediticias que en nuestros tiempos representa un gran porcentaje de las operaciones comerciales que se realizan en cualquier área económica del país. Contempla el estudio de dos grandes Ramas: Interés Simple y Compuesto. INTERES SIMPLE. El interés es la cantidad de dinero que se paga ó se cobra (según sea el caso) por el uso del dinero, considerando tres factores básicos: Capital, tiempo y tasa de interés. El interés simple es aquel que se calcula sobre el capital inicial, el cual permanecerá invariable ante el tiempo que se estipule en el contrato comercial. Si se invierte un Capital C, a una tasa de interés i, por un tiempo t, la cantidad de intereses generados, se calcula: I = CIT 1.- Que interés recibe una persona que invierte un capital de $ 23,800 a una tasa de interés del 33% anual en un tiempo de 4 meses? 2.- Que interés recibe una persona que invierte un capital de $ 34,500 a una tasa de interés del 13% semestral en un tiempo de 4 meses?. 3.- Que cantidad de Intereses pagará una persona que solicita un préstamo de $ 14,600 a una tasa del 8% mensual si este se solicito a un plazo de 6 meses.

2 2 4.- El señor Martínez hace un depósito en Banamex en enero por la cantidad de $ 45,600, la institución le otorga un rendimiento al finalizar el plazo de $ 4,350, que tasa de interés anual le rindió el plan, si el dinero lo retira en noviembre del mismo año? Si prestas atención en este problema la incógnita ya ni es el interés, sino la tasa de interés que le fue otorgada al depositante, la fórmula general de I = CIT, puede adecuarse para encontrar cualquiera de las incógnitas que se necesite, así, las diferentes variables que integran al cálculo del interés se calcularán a través de: Capital tiempo tasa de interés. 5.- Cuál es el capital que se invirtió para que un plan rindiera un interés de $ 5,600 si estuvo invertido durante 4 meses y medio a una tasa del 23.5% anual? 6.- Que tasa de interés anual le fue cobrada a Abraham si compró un mueble de $ 14,900 y después de una año siete meses pago un interés de $ 2, Que tiempo tuvo que haber pasado para que una inversión de $ 45,600 rindiera intereses de $ 4,700 a una tasa del 12.5 % anual, expresa el tiempo en años, meses y días. 8.- Que capital tuvo que haber invertido Raquel para que su inversión le rindiera $ 23,400 de interés a un plazo de 4 años 8 meses al 34% anual. 9.- En que fecha se retiró una inversión de $ 12,700 si estuvo contratada al 6% mensual y arrojó un interés de $ 3,400, calcula el vencimiento si el capital fue invertido el 15 de enero del 2006.

3 3 MONTO DE UNA CANTIDAD. Existen ocasiones en las que nos interesa saber la suma de el capital y los intereses generados, esta suma forma una cantidad aún mayor, denominada Monto de una cantidad. El monto esta definido domo la cantidad final más los intereses generados por un instrumento. Es la suma del capital más los intereses, su formula: M = C ( 1 + it) Y los despejes para obtener cualquiera de las variables son: Capital tiempo tasa de interés. 1.- Cuál es el monto que produce un capital de $ 75,000 a una tasa del 9% de interés durante 1 año y 3 meses? 2.- Encontrar el valor actual de un pagaré de $65,000 que incluye intereses que vence dentro de 90 días, si la tasa de interés es del 36% anual simple? 3.- Cuál es el monto que produce un Capital invertido durante 5 años 3 meses a una tasa del 14% TRIMESTRAL? 4.- Que tiempo tuvo que haber pasado para que un Capital de $ 12,560 generara un monto de $ 36,500 invertidos en una institución que cobra el 32% anual? 5.- Que tasa de interés semestral brindó un banco si fueron depositados $ 12,560 y al cabo de 2 años 3 meses acumuló un capital de $ 65,000?

4 4 6.- Cuál es el valor presente de un documento de $ 86,750 que incluye intereses a razón del 5.6% mensual y el cual estuvo invertido durante 1 año 5 meses? 7.- Que tiempo tendrá que pasar para que un Capital X se duplique, si se invierte al 12.5% semestral? 8.- Que interés mensual le cobraron a Raquel si realizo una compra por $ 11,350 y al cabo de 18 mensualidades terminó pagando por ella $ 23, Que monto se acumuló si al depositar $ 23,100 al cabo de 9 meses y medio, se otorgó un interés del 13% anual Que tasa de interés ofreció un banco para que un capital x se triplicará al cabo de 2 años 7 meses?

5 5 TAREA. 1.- Cuál es el Interés que pagará Luis si compro un artículo en $34,600 a una tasa del 26.5% cuatrimestral, pactado a un plazo de 18 meses? 2.- Cuál es el capital que tuvo que haber invertido Magdalena, para que al cabo de 9 meses y medio generará un interés de $ $ al 22.5% de interés. 3.- Cuál es la tasa de interés que cobró Mario si al cabo de 2 años tres meses, una inversión de $24,300 generó un interés de $2,500 durante 3 trimestres. 4.- Cuál es el interés que generó una inversión de $ 18,500 al cabo de 1 año 7 meses, la cuál estuvo pactada en un plan que rinde el 4.5% mensual. 5.- Que Interés generó una deuda contraída el 2 de marzo del 2008 con vencimiento al 13 de diciembre del mismo año, si el importe es de $ 22,500 y estuvo pactada al 35% de interés. 6.- Que tiempo tuvo que haber pasado para que una deuda generará un interés de $ 4,580 a una tasa del 12.5% semestral si se invirtieron $14, Que tiempo tuvo que haber pasado para que una deuda de $ 15,200 generará unos intereses de $ 1,350 al 2.8% mensual. 8.- Que capital tuvo que haberse invertido en un plan que rinde el 9.5% bimestral, para que al cabo de 1 año 2 meses generara un interés de $ 45,670? 9.- Calcula la tasa de interés que generó una deuda de $ 23,750 durante 2 años y medio si al finalizar el plazo genero intereses de $ 7, Que interés pago Luis por un préstamo de $67,450 si estuvo invertido 2 años 3 meses al 7.5%cuatrimestral.

6 6 SERIE DE EJERCICIOS: 1.- Que interés deberá pagar Paco por un préstamo de $ 123,500 a un plazo de 4 años 8 meses, si la tasa de interés que le fue cobrada es del 13% semestral? a) 14,984.6 b) 149,846.6 c) 194, De que cantidad fue el préstamo adquirido por Ana si pago de intereses la cantidad de a una tasa del 12.5% durante un plazo de año y medio? a) b) c) Que tasa de interés esta pagando Pedro por un préstamo de $ 11,000 a un plazo de 9 meses y medio y el cuál genero intereses de $ 650? a) 7.46% anual b) 5.8% anual c) 1.22% mensual d) 2 % trimestral 4.-Que tiempo debió haber pasado para que un capital de $ 10,500 generara unos intereses de $ 2,600 a una tasa del 6% bimestral? a) 2 años 1 mes b) 9 meses 4 días c) 2 años 2 meses d) 8 meses 7 días 5.- Cuál es el monto que genero un préstamo de $ 125,000 invertido durante 2 años 4 meses a una tasa del 7% a) 145,416.6 b) 14,541.6 c) 1, d) 23, Que Cantidad invirtió Julio en una institución para que al cabo de 1 año 6 meses y a una tasa de interés del 5.5% trimestral, arrojará un monto de $ 37,500 a) 28,195.4 b) 2,829.5 c) d) 112, Que tiempo tuvo que haber pasado para que un capital de $ 13,800 acumulará un monto de $ 56,700 en un plan que rinde 32.5%. a) 2 años y medio b) 3 años 4 meses 5 días c) 9 años 6 meses 9 días d) 2 años 1 mes 4 días.

7 7 8.- Que tasa de interés le ofrecieron a Juan si deposito $ 35,700 y al cabo de 12 meses logro acumular $42,100 a) 11.79% Anual. b) 4.5 % semestral. c) 3.8% mensual. 9.- Que interés pago Soraya por un préstamo de $ 4,790 si el plazo estipulado fue de 9 meses y la tasa de interés cobrada fue del 6.3% semestral? a) b) c) Cuál es el precio de Contado que pago Manuel por un aparato si a una tasa de interés del 32% pago intereses de $ 1,750 de una compra realizada el 2 de enero y pagada el 2 de diciembre del mismo año? a) b) c) d) Que tasa de interés pago Denisse por un préstamo de $ 97,000 a un tiempo de 1 año 5 meses y el cual genero unos intereses de $ 24,200? a) 2.8% mensual b) 3.5% trimestral c) 17.61% anual d) 5% bimestral 12.- Que tiempo paso para que sobre un préstamo de $ 8,400 a una tasa del 9% cuatrimestral se cobraron intereses de $ 350? a) 2 meses b) 1 año 2 meses c) 6 meses y medio d) 1 mes 20 días 13.- Que monto genero un capital de $ 36,800 invertido el 2 de mayo del 2003 y retirado el 2 de julio del Si el plan ofrecía una tasa de rendimiento del 12.5%? a) 33, b) 41, c) 31, d) 42, Que capital se invirtió en una plaza que da el 4% mensual para que al cabo de 8 meses y medio arrojará un monto de $ 15,650? a) 11, b) 10,511.9 c) d) 11,670.10

8 Que tasa de interés se le cobro a una persona que invirtió un capital de $ 56,890 y por el cual al cabo de 3 años 5 meses obtuvo un monto de $ 101,000? a) 12.5% anual b) 17% anual c) 22.69% anual 16.- Que tasa de interés se le cobro a X por un préstamo de $ 38,900, si al cabo de 9 meses se le cobraron intereses de $ 1,790? a) 1.53% trimestral b) 1.08 % mensual c) 2.9% semestral d) 4% anual 17.- Que monto genero una cuenta por $ 15,800 invertida durante 2 años y medio a una tasa de interés del 6% semestral? a) 12,540 b) 20,540 c) 205,400 d) 40, Cuál es el valor presente de un documento con valor nominal de $ 91,500 que incluye intereses del 21% y cuyo plazo de pago es de 2 años 3 meses? a) 73, b) 63, c) 64, d) 62, Que tasa de interés cobra Banamex si los préstamos solicitados ahí se duplican cada 10 meses? a) 102% anual b) 120% anual c) 10.2 % anual d) 130.5% anual 20.- Que tiempo paso para que al 4.5% bimestral un capital de $ 23,600 se duplicará en un plan? a) 3 años 8 meses 13 días b) 3 años 2 meses 5 días c) 3 años d) 2 años 3 meses 15 días. SUERTE!!!!!!!!!!!!!!!!!

9 9 INTERES ORDINARIO Y EXACTO. Es cada vez más frecuente el uso de plazos más pequeños, en el mundo de las finanzas existen plazos hasta de 24 horas, esto por la necesidad que representa invertir fuertes cantidades de dinero en plazos cortos. Por el uso de plazos muy pequeños se utiliza el interés denominado exacto, el cual toma como base el año natural de 365 días para su cálculo, a diferencia del interés que hasta ahora hemos utilizado el cual se denomina ordinario y toma como base al año comercial de 12 meses con 30 días cada uno, es decir 360 días. Sin embargo, el interés exacto se calcula de la misma forma y con la misma fórmula hasta ahora utilizada, solo con la modificación de el uso de 365 días como base para la conversión de la tasa de interés correspondiente. Ejemplo: 1.- Que interés recibe una persona que invierte un capital de $ 23,800 a una tasa de interés del 33% anual invertido el 3 de febrero del 2008 y retirado el 14 de diciembre del mismo año?. 2.- Que interés recibe una persona que invierte un capital de $ 34,500 a una tasa de interés del 13% semestral invertido el 4 de noviembre del 2007 y retirado el 6 de agosto del 2008? 3.- El señor Martínez hace un depósito en Banamex el 3 de enero del 2008 por la cantidad de $ 45,600, la institución le otorga un rendimiento al finalizar el plazo de $ 4,350, que tasa de interés anual le rindió el plan, si el dinero lo retira el 15 de noviembre del mismo año? 4.- Cuál es el capital que se invirtió para que un plan rindiera un interés de $ 5,600 si se deposito el 3 de abril del 2004 a una tasa del 23.5% anual y se retiro el 28 de septiembre del mismo año? 5.- Que tasa de interés anual le fue cobrada a Abraham si compró un mueble de $ 14,900 el día 12 de febrero del 2007 y al 15 de octubre del mismo año, pago un interés de $ 2, En que fecha exacta se recibieron intereses de $ 4,700 a una tasa del 12.5 % anual, si se deposito en el banco el día 3 de junio del 2008 una inversión de $ 2,350.

10 En que fecha se retiró una inversión de $ 12,700 si estuvo contratada al 6% mensual y arrojó un interés de $ 3,400, calcula el vencimiento si el capital fue invertido el 15 de enero del Cuál es el monto que produce un capital de $ 75,000 a una tasa del 9% de interés invertida el 15 de abril del 2007 y retirada el 6 de noviembre del mismo año? 9.- Encontrar el valor actual de un pagaré de $65,000 que incluye intereses que vence dentro de 90 días, si la tasa de interés es del 36% anual simple? 10.- El siguiente cuadro muestra los movimientos hechos por una tarjeta de crédito, que cobra una tasa del 36.5% anual. fecha concepto cargos abonos Intereses Saldo al corte 2 enero 2009 $ 11, marzo 2009 compras $ 4, mayo 2009 pagos $ 6, julio 2009 Compras/ pagos 2,310 3,050

11 11 ECUACIONES DE VALOR. Herramienta de las matemáticas financieras utilizada para reestructurar deudas. Esto es, cuando una persona tiene varías deudas contraídas en distintos tiempos y con diferentes condiciones, decide replantear sus compromisos en uno solo, la herramienta pretende encontrar el pago final que liquidará todos sus compromisos. Los pasos para llevar a cabo las ecuaciones de valor son: 1.- Graficar los diferentes compromisos, estableciendo condiciones en la parte superior de la línea de tiempo. 2.- Establecimiento de la fecha focal (Normalmente proporcionada por el texto). En teoría es la fecha en la que se pacta el nuevo compromiso. 3.- Calcular los montos de las diferentes deudas, tal y como fueron pactadas. 4.- Calcular nuevo monto ó capital de las deudas tomando la fecha focal como referencia, así como, la nueva tasa de interés establecida en la reestructuración. De igual manera deberá calcularse el valor del pago hecho de acuerdo a la fecha focal. 5.- Establecer la ecuación y darle solución. Deudas = Pagos. Ejemplo: 1.-María contrajo una deuda en enero del 2008 por $ 13,560 al 12% semestral con vencimiento a 9 meses. Tres meses antes a esta había contraído una por $ 23,000 al 32.5% con vencimiento en abril, El día de hoy (Marzo) decide reestructurar sus compromisos planteando un pago al día de hoy por $ 19,800 y otro pago a 5 meses al 2.3% mensual. De cuánto debe ser el último pago que termine con sus problemas?

12 2.- José Luis contrajo una deuda en marzo por $ 23,680 al 6.5% bimestral con vencimiento en 6 meses, tres meses antes había contraído otra por $ 15,750 al 11% cuatrimestral con vencimiento a 5 meses. Dos meses después de la primera contrae otra por $ 4,790 al 3% mensual con vencimiento en 5 meses. (el día de hoy), Agosto decide reestructurar su deuda, haciendo un pago de $ 7,600 y comprometiéndose a liquidar el resta en 6 meses a partir de hoy a una tasa del 6.4% bimestral. De cuánto deberá ser este último pago? 12

13 13 INTERES SIMPLE Y ECUACIONES DE VALOR ( aplicaciones). 1.- Si una persona deposita hoy $ 50,000 a plazo fijo con interés del 5.3% de interés trimestral, durante 6 meses y llegado el plazo decide reinvertir el depósito inicial más los intereses generados. Cuánto tendrá 9 meses después? 2.- Maru desea adquirir una casa dentro de dos años. Supone que el enganche que habría de pagar a esas fechas es de $ 350,000, Si desea tener esta cantidad dentro de dos años, Qué cantidad debe depositar hoy a una renta fija del 4.5% semestral? 3.- Cuánto debe pagar por concepto de intereses una persona que adeuda $ 17,500 si le cobran 17% de intereses, cuatro meses y medio después? 4.- Los movimientos de la cuenta de crédito de un cliente en un almacén fueron: Saldo registrado el día 14 de febrero $ 4,500 Cargo el 27 de febrero 1950 Abono el 31 de marzo 2,300 Cargo 15 de abril 10,000 Abono 30 abril 5,630 Calcula el saldo de la cuenta al 30 de abril. fecha concepto cargos abonos Intereses Saldo al corte 5.- En qué tiempo $ 2,300 se convirtieron en $ 7,900 al 34% de interés simple anual?

14 El Sr. Martínez obtiene un préstamo de $ 2,000 y paga después de 8 meses $ 2940 que tasa de interés anual le cobraron? 7.- Cuál era la fecha de vencimiento de un pagaré nominal de $ 170,000 el cual tiene incluidos intereses del 34% anual, el cual se firmo el 3 de noviembre del 2008 y que ampara el préstamo de $ 145, Un usuario del Monte de piedad empeño una alhaja el 18 de diciembre y la recuperó el 20 de marzo del año siguiente con un pago de $ 4,980. Si esta institución cobra un 3.8% de interés mensual, cuánto recibió por su alhaja. 9.- el 16 de Junio una persona contrajo una deuda por $ 16,400 para pagar el 14 de octubre con intereses del 45%, Previamente había contraído otra el día 14 de mayo por $ 13,500 a pagar el 15 de septiembre del mismo año, al 12% de interés. El día de hoy 4 de julio decide pagar $ 12,400 de su deuda total y promete realizar otro pago al día 25 de diciembre del mismo año, de cuánto deberá ser este pago, si se compromete a cubrir una tasa del 30% anual.

15 15 MATEMATICAS FINANCIERAS GUIA EXAMEN PARCIAL 1.- Un comerciante adquiere un lote de mercancía con valor de $ 350,000 que acuerda liquidar haciendo un pago inmediato de 123,500 y un pago final 5 meses después, aceptando pagar un interés a razón del 23% semestral? De cuánto debe ser dicho pago? 2.- Una persona participa en un tanda y le toca el décimo octavo numero (mes). Si dentro de 18 meses recibirá $ 30,000, cuál es el valor actual de su tanda, a una tasa del 1.75% mensual. 3.- Una persona compró un auto por el cuál pago $ 9500 en 1 de enero y lo vende el 1 de junio del siguiente año en $ 16,700, Cuál fue el rendimiento en % que dio. 4.- Se obtiene crédito por $ 1,800 a 165 días al 5% bimestral. Que cantidad debe pagarse para liquidar la deuda. 5.-Tres meses después de haber obtenido un préstamo, Carlos debe pagar exactamente $ 1,950, este pago ya incluye intereses al 40%, Cuánto obtuvo en préstamo. 6.- Los movimientos de una cuenta de crédito son: saldo 15 marzo 2008 $4,500 cargo 27 abril 15,600 abono 31 mayo 12,300 cargo de $6,200 y abono $ 5, junio fecha concepto cargos abonos Intereses Saldo al corte

16 Ema compro un artículo en $ 12,300, pago al final del plazo 21,500, que tiempo paso si la tasa de interés cobrada fue del 6.8% trimestral. 8.- Una persona adquiere una licuadora que cuesta $ 1,900 el 14 de agosto y paga el 26 de enero $1, por ella, que tasa de interés exacta pago. 9.- Que cantidad de acumuló en una cuenta que ofrece el 21% semestral, durante 2 años 7 meses si se invirtieron $6, Una persona descuenta un documento por el cual recibe $ 8, si el valor nominal del documento es $ 12,360 y la tasa del 5.5% mensual, calcula el tiempo que faltaba para que se venciera el documento Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por 34,650 con 40% de interés y que vence dentro de dos meses. Además debe pagar otra de 15,000 contraída hace dos meses con el 35% de interés y que vence dentro de 4 meses. Considerando una tasa de interés del 42% que pago deberá hacer dentro de 7 meses, si hace un pago el día de hoy (junio) de $ 9,730.

17 Calcular el interés que generan$ durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10% Calcular el capital final que tendríamos si invertimos $32,500 durante 6 meses al 12%. 15.-Recibimos 45,500 dentro de 6 meses y dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15% cuatrimestral. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año Que Interés generó una deuda contraída el 2 de marzo del 2008 con vencimiento al 13 de diciembre del mismo año, si el importe es de $ 22,500 y estuvo pactada al 35% de interés Que tiempo tuvo que haber pasado para que una deuda de $63,510, generará un interés de $ 4,580 a una tasa del 12.5% semestral Que tiempo tuvo que haber pasado para que una deuda de $ 15,200 generará unos intereses de $ 1,350 al 2.8% mensual.

18 18 INTERES COMPUESTO. A diferencia del interés simple, el compuesto parte de la base de que los intereses capitalizan, es decir, se agregan al capital invertido y generan a su vez nuevos intereses, la fórmula base del interés compuesto es: 1.- Una persona obtiene un préstamo de $ 122,500 para pagarlo en 16 meses a una tasa de interés del 7% capitalizable trimestralmente, cuál es el monto que recibe al vencimiento? 2.- Juan lego al estado de Michoacán la cantidad de $ 500,000 ( en enero de 1998) si esta cantidad se hubiera invertido en un plan que rinde el 3.5% capitalizable anualmente, cuánto se hubiera acumulado a enero del 2008? 3.- Cuando murió el Sr. Gómez, su albacea descubrió que 21 años atrás había hecho un depósito $ 12,600 en dos bancos diferentes. Uno de ellos pago el 15%capitalizable trimestralmente, el otro el 12% capitalizable semestralmente, en cuál de los dos bancos se acumulo mayor cantidad? 4.- Que monto ofrece una inversión de $ 43,300 a 9 años 4 meses si el banco paga el 13.6% capitalizable bimestralmente, en un tiempo de 2 años 9 meses? 5.- Cuál es el monto exacto de una cuenta de $ 234,500 invertida el 1 de enero del 2002 y retirada el 1 de marzo del 2006, si ofrece una tasa del 4.6% trimestralmente? 6.- Mario invirtió $ 17,650 al 4.3% capitalizable cuatrimestralmente, cuánto logro acumular 3 años y medio después?

19 Iván deposito $ 23,125 en una institución que brinda el 4.5% acumulable bimestralmente, cuánto acumulo un año 4 meses después? Al igual que en el interés simple la fórmula básica nos da la oportunidad de calcular todas las variables que intervienen en el problema, las fórmulas: Capital ó valor presente: Tiempo ó np = Tasa de interés= Capital o valor presente: 1.- Cuánto dinero debe depositarse en una cuenta para que al cabo de 2 años 3 meses acumule $13,000 a una tasa del 5.6% capitalizable semestralmente? 2.- Cuál es la cantidad que María recibió en préstamo si después de 36 meses termino pagando $6,750 a una tasa del 12.5% capitalizable bimestralmente? 3.- Que cantidad se recibió en préstamo si el pagaré que se firmo para garantizarlo asciende a 67,800 e incluye intereses a razón del 23.5% capitalizable cuatrimestralmente, y ampara un tiempo de 1 año 2 meses?

20 Cuál es el valor presente de un pagaré por $ 45,750, que incluye intereses del 6.5% capitalizable mensualmente firmado en enero del 2001 y con vencimiento en abril del 2004? 5.- Cuál es la cantidad que ha de depositarse el día de hoy (octubre del 2009) para que en tu graduación tengas acumulado $ 12,350 ( noviembre del 2011) a una tasa del 6.4% capitalizable trimestralmente? Tiempo: 1.- Una persona obtiene un préstamo de $ 122,500 a una tasa de interés del 11% capitalizable bimestralmente, que tiempo debió haber pasado para recibir $ 210,000 a su vencimiento? 2.- Si se hace un depósito de $ 32,750 al 5.8% capitalizable bimestralmente, que tiempo se requiere para acumular la cantidad de $ 63,520? 3- Si se recibe un monto de $ 43,380 al 9.7% capitalizable bimestralmente, que tiempo debió pasar si se invirtieron $ 17,350? 4.- Que tiempo se necesita para que un capital de $ 22,310 se duplique a una tasa del 12.8% capitalizable mensualmente? 5- Mario invirtió $ 17,650 al 4.3% capitalizable cuatrimestralmente, en que tiempo logrará acumular la cantidad de $ 42,310?

21 21 6- Iván deposito $ 23,125 en una institución que brinda el 4.5% acumulable bimestralmente, que tiempo paso para acumular el triple? Tasa de interés. La tasa de interés es uno de los factores más importantes en el interés compuesto, ya que en este tipo de interés no se considera la tasa nominal (establecida en el pacto) sino que se debe transformar a una tasa efectiva utilizada por periodo de capitalización, la cuál se identifica como i, la cuál se obtiene dividiendo la nominal entre los periodos de capitalización. Se puede hablar entonces de tres diferentes tasas: a) Nominal.- Aquella que se ofrece en un contrato a fin de llamar la atención del cliente, engancharlo, representa ser una tasa atractiva y es la que se ofrece en cualquier contrato. b) Efectiva.- Aquella que realmente se cobra en un contrato u operación crediticia. c) Equivalente.- Aquella que aunque se encuentre expresada de forma diferente, representa se la misma que se cobra al cliente. 1.- Cuál es la tasa nominal compuesta bimestralmente que se esta cobrando a Joaquín si por la compra de $ 38,500 al cabo de 1 año tres meses, acumula una deuda de $ 46,780? 2.- Cuál es la tasa efectiva que se le cobro a esta persona, al realizar su compra? 3.- Cuál es la tasa compuesta semestralmente que es equivalente a la que esta pagando Joaquín?

22 Cuál es la tasa efectiva que se paga por un contrato cuya tasa nominal es del 18% compuesto mensualmente? R= 19.56% 5.- Una persona obtiene un préstamo hipotecario de $ 150,000 al 16% compuesto bimestralmente, cuál es la tasa efectiva que se le esta cobrando? R= 17.10% 6.- Para invertir $ 13,000 una persona tiene las siguientes opciones: a) Plazo fijo con rendimiento del 14.5% capitalizable mensualmente? 15.5% b) Cetes con un rendimiento del 15.8% capitalizable trimestralmente? 16.76% c) Petrobonos.- con rendimiento del 13.9% capitalizable semestralmente? 14.38% Cuál es la opción que más le conviene? 7.- Andrea desea saber cuál es la tasa de interés compuesta bimestralmente que es equivalente a una tasa de interés que paga el banco que es del 30% capitalizable cuatrimestralmente? R= 29.28% 8.- Cuál es la tasa nominal compuesta trimestralmente que necesita ofrecer un banco para cobrar una efectiva del 26.5% anual? 9.- Que tasa de interés efectiva le fue cobrada a Néstor si su deuda de $ 14,500 acumuló en 7 meses y medio un monto de $ 33,400 (tasa capitalizable trimestral)?

23 Cuál es la tasa de interés efectiva que esta pagando Laura si el pagaré que firmo tiene una nominal del 23.3% capitalizable cuatrimestralmente? 11.- Que tasa nominal capitalizable cuatrimestralmente debe ofrecer una institución para cobrar efectivamente una tasa del 25.5% anual? SERIE DE EJERCICIOS INTERES COMPUESTO 1.- Que interés deberá pagar una persona por un préstamo de $ 63,500 al 30% capitalizable trimestralmente, durante 8 meses y medio? 2.- Que tiempo en años, meses y días tardara una inversión de $ 120,000 en producir un monto de $ 235,600 si se invierte al 16% capitalizable semestralmente? 3.- Que tasa de interés capitalizable cuatrimestralmente paga un banco en una cuenta que produce un monto de $ 67,850, si se invierten $ 32,000 durante 1 año 1 mes? 4.- Cuánto recibe por concepto de Capital más intereses una persona que invirtió $ 23,600 durante 2 años tres meses a una tasa del 6.9% capitalizable bimestralmente? 5.- Cuál es el monto exacto de una cuenta en la que se invirtieron $ 136,700 colocados al 21% capitalizable cuatrimestralmente durante 3 años 2 meses?

24 Cuál es el valor actual de un pagaré de $ 35,000 que incluye intereses al 18% capitalizable mensualmente firmado a un año y medio? 7.- Una persona invierte ahora $ 56,000 en una institución que paga el 32% capitalizable semestralmente. a) Cuanto acumulo diez meses después? b) Cuanto acumuló 1 año 4 meses después? c) En cuanto tiempo acumulara $ 96,500? 8.- Se adquiere un certificado de deposito por $ 65,000 y se conserva durante 4 años y medio si el certificado obtiene un 8.3% compuesto trimestralmente, Cuál es su valor final? 9.- Cuál será el monto de $ 23,400 después de 8 años en una cuenta que paga el 60 % capitalizable semestralmente Que cantidad se tendría que depositar en una cuenta que paga el 6% capitalizable semestral, si se pretende reunir dentro de siete años la cantidad de $ 4,537.18? 11.- Una empresa sabe que para dentro 3º meses necesitará la cantidad de $ 172,000, si la empresa invierte en una cuenta que paga el 18% anual compuesto trimestral, de cuánto debe ser la inversión al día de hoy?

25 Considera que $ 700,000 se convirtieron en $ 801,000, en una cuenta de ahorros después de 2 años tres meses, encuentra la tasa nominal anual compuesta cuatrimestral que se cobró? a) Encuentra la tasa efectiva anual que se cobro? b) Encuentra la tasa equivalente en periodos de capitalización mensual a la que ofreció el contrato? 13.- Cuántos años se requieren para que $ 62,400 se conviertan en $ 90,000 a una tasa del 14% compuesto trimestral? 14.- A que tasa de interés compuesta semestral se deben colocar $ 67,000 para que al cabo de 3 años 6 meses se conviertan en $ 83,540? 15.- Cuánto tiempo en años, meses y días se requiere para triplicar un capital X si se invierten a una tasa del 28.5 % compuesto mensualmente?

26 26 ANUALIDADES. El término de anualidad se aplica a aquella situación en la que para cumplir con el contrato se pagan pagos constantes en plazos constantes, es decir mensualidades, pagos trimestrales, quincenales, etc. El nombre de anualidad no implica que el pago deba hacerse cada año. La característica de las anualidades es precisamente la aparición del elemento renta, el cuál se refiere al pago que se hace de forma constante. Fórmula de una anualidad. CAPITAL MONTO El capital se refiere al préstamo obtenido al día de hoy o valor presente. El monto al valor que se generara en un tiempo a futuro. Ejercicios. 1.- Calcula el valor presente de una deuda pactada a 6 pagos mensuales de $ 3,650 cada uno de ellos, al 14% capitalizable mensualmente? 2.- Que deuda se acumulará en un contrato que pacta 12 pagos quincenales de $ 1,230 cada uno de ellos al 8.5% capitalizable quincenalmente? 3.- Que monto se acumulará si se depositan de forma cuatrimestral $ 1,350 durante 2 años y medio a una tasa del 23.4% capitalizable mensualmente?

27 Si José debe la cantidad de $ 25,360 y debe hacer 7 pagos mensuales a una tasa del 16.3% capitalizable mensualmente, de cuánto deberán ser dichos pagos? 5.- Si se desea acumular para dentro de 6 años y medio la cantidad de $ 83,700 que cantidad se tendrá que depositar de forma constante (bimestralmente) en una cuenta que paga el 18.6% capitalizable bimestral? TABLAS DE AMORTIZACIÓN. Es una herramienta que muestra de forma visual la manera en que una deuda se va agotando, es decir se va cumpliendo con ella y se va amortizando, consta de un tabular con columnas que muestran la renta, los intereses y el saldo insoluto de una deuda a medida de que el tiempo transcurre, es muy útil para la toma de decisiones. Ejemplo: 1.- Los Sres. Milán adquieren una deuda por $123,500 la cual se comprometen a pagar mediante 5 pagos bimestrales, los cuales estarán tasados al 23.5% capitalizable bimestralmente, Calcula el pago (bimestral) que deberán hacer, y construye la tabla de amortización correspondiente al contrato. PAGO RENTA INTERESES AMORTIZACIÓN SALDO INSOLUTO

28 Laura tiene una deuda de $ 85,650 a pagar en 5 mensualidades cargadas al 11.3% convertible mensualmente, calcula la renta correspondiente y elabora la tabla de amortización de pagos correspondiente. PAGO RENTA INTERESES AMORTIZACIÓN SALDO INSOLUTO Al contrario de la tabla de amortización existe un recurso que nos permite ver la acumulación de un capital a través del tiempo: La tabla de acumulación. Ejemplo: 1.- Mario deposita de forma trimestral $ 12,300 en una cuenta que brinda el 23.5% capitalizable trimestralmente, cuánto acumulara en 1 año y medio? DEPOSITO RENTA INTERESES ACUMULACIÓN SALDO INSOLUTO

29 Ana deposita de forma mensual $ 12,350 en una institución que otorga el 23% capitalizable mensualmente, cuánto acumula 5 meses después? Construye la tabla de acumulación. PAGO RENTA INTERESES AMORTIZACIÓN SALDO INSOLUTO GUIA PARA EXAMEN FINAL. MATERIA MATEMATICAS FINANCIERAS. GABRIELA CAMACHO MONTES- 1.-Que monto acumulará un capital de $136,890 invertido a un plazo de 3 años 5 meses a una tasa del 14.8% capitalizable cuatrimestralmente? 2.- Cuál es la tasa de interés nominal que brindó un instrumento en un tiempo de 26 meses, si se depositó $43,500 y acumuló una cantidad de $ 123, Cuál es el monto que se acumulará si Jorge deposita cada mes $ 4,560 durante un tiempo de 1 año 6 meses en un banco que rinde una tasa del 16.48% capitalizable mensualmente?

30 Cuál es la tasa de interés efectiva que cobra una institución, que ofrece una del 14.8% capitalizable trimestralmente? 5.- Que tiempo tuvo que haber pasado para que un Capital de 23,600 se duplicará en un banco que ofrece el 9.67% capitalizable bimestralmente? 6.- Cuál es la cantidad que se deposito en una institución para que al cabo de 3 años 2 meses rindiera un Monto de $ 235,600 al 45.6% capitalizable semestralmente? 7.- Se tienen las siguientes opciones de inversión, elige la más conveniente para que Alejandra invierta su dinero. a) 12.36% capitalizable mensualmente b) Capitalizable bimestralmente c) Capitalizable cuatrimestralmente 8.- Mario compra un auto cuyo costo es de $98,500, si da un enganche del 15% y el resto promete pagarlo a través de 24 mensualidades al 14.5% capitalizable mensualmente. De cuánto deberán ser los pagos que tendrá que realizar? 9.- Manuel requiere para dentro de 30 meses la cantidad de $96,500 para el pago de su casa, si empieza a depositar ahora una cantidad (IGUAL) bimestral, de cuánto deberá ser el deposito si el banco le rinde el 24.6% capitalizable bimestralmente.

31 Los Sres. Méndez deben pagar una deuda al día de hoy de $67,350, si tienen que hacer 5 pagos, de cuánto deberán ser los pagos, si se les cobra una tasa de interés del 14.3% capitalizable trimestralmente, construye la tabla de amortización correspondiente. No. PAGO RENTA INTERESES AMORTIZACIÓN CAPITAL SALDO INSOLUTO 11.- Que tiempo en años, meses y días, tardará una inversión de $120,000 en producir un monto de $ 235,600, si se invierte al 16% capitalizable semestralmente? 12.- Que tasa de interés capitalizable cuatrimestral paga un banco en una cuenta que cobra una del 27.6% efectiva Cuál es el monto exacto de una cuenta en la que se invirtieron $136,700 colocados al 21% capitalizable cuatrimestralmente durante 3 años 2 meses? 14.- Cuál es el valor actual de un pagaré de 35,000 que incluye intereses al 18% capitalizable mensualmente firmado a 1 año y medio?

32 Que cantidad se tendría que depositar en una cuenta que paga el 6% capitalizable semestral, si se requiere reunir dentro de siete años $ 4,537.18? 16.- Una empresa sabe que dentro de 30 meses se requerirá una máquina que tendría un costo de $ 172,000. Si la empresa invierte en una cuenta que paga una tasa del 18% anual compuesto trimestral, de cuánto debe ser la inversión el día de hoy? 17.- A que tasa de interés compuesto semestral se deben colocar $ 67,000 para que después de dos años 6 meses se conviertan en $78,300? - Que tasa de interés efectiva representa: - Calcula la tasa capitalizable cuatrimestral a la que es equivalente 18.- Una persona obtiene un préstamo hipotecario de $150,000 al 19% anual convertible trimestralmente, cual es la tasa efectiva que le están cobrando? 19.- Cuál es la tasa nominal convertible semestral que deberá fijar una institución si desea cobrar una tasa efectiva del 18.5% anual?

33 El señor Zarate quiere saber cuál es la tasa nominal compuesta bimestral que es equivalente a la tasa de interés que le paga el banco que es del 12.8 % convertible cuatrimestralmente? 21.- Andrea desea saber cual es la tasa de interés nominal compuesta bimestral que es equivalente a una tasa de interés que paga el banco X que es del 19 % capitalizable semestralmente 22.- Si María se ha propuesto ahorrar para dentro de 2 años y medio la cantidad de $235,000 y quiere hacer depósitos bancarios semestrales en un banco que le brinda el 12.6% capitalizable semestralmente. De cuánto deben ser estos depósitos, para acumular dicha cantidad? Construye la tabla de acumulación correspondiente. No. deposito deposito INTERESES Acumulación SALDO SUERTE EN TU EXAMEN. GRACIAS. ATTE. GABY CAMACHO.

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