UNIDAD 6: FUNCIONES. Intuitivamente, una función real de variable real asigna a cada elemento x de D un elemento y de, y solo uno.

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1 . CONCEPTO DE FUNCIÓN UNIDAD 6: FUNCIONES Las unciones son las herramientas para la descripción matemática de una situación real. De hecho, todas las órmulas de la Física no son más que unciones, que epresan cómo ciertas magnitudes (por ejemplo, el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la presión). Una unción real de variable real es una aplicación de un conjunto D en el conjunto de los números reales, es decir, una ley que a cada valor del conjunto D asigna un único número real. Intuitivamente, una unción real de variable real asigna a cada elemento de D un elemento y de, y solo uno. Además, es importante tener en cuenta que una unción queda determinada siempre que conozcamos la manera de asociar a cada elemento de D un único elemento de, esto es, no es necesario que eista una órmula matemática que relacione dichos elementos, y, de hecho, una unción se puede dar mediante una epresión algebraica, una tabla de valores, una gráica La unción de D en se simboliza así: : D : y El conjunto D recibe el nombre de dominio de la unción, y se representa por Dom, y el conjunto de los transormados mediante recibe el nombre de recorrido o imagen de la unción (conjunto de valores que toma la unción), y se representa por Img o por Rec : Dom : tiene sentido y D y Img Rec / eiste al menos un : Las unciones también se suelen escribir en la orma independiente e y la variable dependiente o unción. y, y se dice que es la variable Una unción puede venir dada en orma eplícita o en orma implícita. Una unción dada en orma eplícita tiene la orma: y ya que permite calcular directamente el valor de y dado el valor de. Por el contrario, una unción está en orma implícita si la variable dependiente no está eplicitada respecto a la variable, y independiente, epresándose de la orma: Ejemplo: Las unciones y sen, y e y están dadas en orma eplícita, mientras que las 5 unciones y y y yy están dadas en orma implícita. ipri Departamento de Matemáticas

2 Ejercicio:. Indica en cada caso si la unción está epresada en orma implícita o eplícita, y pasa de una orma a otra: y a) y 3 b) y y c) 3 d) y e) Dos unciones y g son iguales, g, cuando a) Dom Domg y b) g Dom. y ) y Geométricamente, una correspondencia es una unción cuando la gráica de la correspondencia corta a cada recta vertical en un único punto. Correspondencia que es unción Correspondencia que no es unción Ejercicios:. Indica en cada una de las siguientes gráicas cuáles son representaciones de unciones y cuáles no: Matemáticas I

3 3. De las siguientes parejas de unciones, indica cuáles son iguales y cuáles no: a) y ; 33y3y b) y ; y c) y ; 33y 3 si si d) y ; y si si si si e) y ; y si si 4. Calcula el dominio de las siguientes unciones: ) y 3 ) ) y y ) ) 3) 3 si 5 4) 5 4) si 3 5 si 5) 5) 9 si 6) log 6) 7) y 3 7) 8) y 8) 9) 9) 4 ) ). FUNCIONES ALGEBRAICAS Funciones polinómicas Son del tipo A Dom n n donde n n A a a... aa es un polinomio. Funciones racionales A Son de la orma donde A y B son polinomios. B ipri Departamento de Matemáticas 3

4 Dom : B : B Funciones irracionales Son unciones en las que normalmente su epresión algebraica viene dada por una raíz. Si k g Dom g : g si el índice de la raíz es par Dom si el índice de la raíz es impar Funciones deinidas a trozos Cuando una unción se deine utilizando más de una epresión algebraica, se dice que está deinida a trozos. Su dominio variará dependiendo de las epresiones algebraicas de los trozos. La imagen o recorrido de una unción la estudiaremos teniendo en cuenta su representación gráica. y Recorrido y Dominio Ejercicio: 5. Dibuja una gráica que cumpla las condiciones dadas en cada uno de los siguientes casos: a) Dom e Img, Img b) Dom {3} e c) Dom,, e Img, d) Dom e Img 3. OPERACIONES CON FUNCIONES Función suma g g Dom Domg Función producto Función cociente g g Dom Domg g : g g Dom Dom Dom g : g g Matemáticas I 4

5 Ejercicios: 6. Calcula g, Dom g y g 5 a) y g -5 b) si,5 y 8 en cada uno de los siguientes casos: g 7. Dadas las unciones 9 y g g y la unción g. 4, comprueba si eiste la unción 8. Halla las unciones g y g si si 4 si 4 4, siendo: y g si si 9. Considera las unciones 3, g y h a) g h c) g b) g h d) Dom g, y calcula:. Dadas y g a) Halla g b) Determina Dom g : c) Es cierta la igualdad g?. Calcula: 3 g, siendo si si y g si. 3 4 si. Dadas las unciones halla: si si y g a) g c) g 3 b) Dom g d) g si 3 4 si ipri Departamento de Matemáticas 5

6 3. Sabiendo que g g b) Dom g a) y 4 calcula: g c) 3 Función compuesta g g (se lee g compuesta con ) Para determinar el dominio de g hay que determinar los valores de que cumplen:. Domg. Dom g En general, g g Ejercicios: 4. Dadas y g, determina: a) g b) g c) Dom g y 5. Si 3 g, halla g y g, calcula: 6. Dadas y g a) g b) Domg 7. Considera las unciones y determina: g., g a) b) g h Propiedad: Elemento simétrico: se representa por y veriica y h, está deinido por y y 3 donde I es la unción identidad y está deinida por I. La unción recibe el nombre de unción inversa de. Se lee al revés de cómo se escribe, ya que primero aplicamos g y luego. Alerta! (la unción recibe el nombre de unción recíproca de, aunque también es usual en la bibliograía que llamen unción recíproca a ) I Matemáticas I 6

7 Función inversa o Cálculo de la unción inversa: a) Epresar la variable y en unción de la variable. b) Despejar la variable de la igualdad anterior con el in de hallar la epresión de en unción de y. c) Intercambiar las variables, ya que cualquier unción se suele epresar siempre a partir de la variable. d) Realizar la comprobación. Geométricamente, si eiste la unción inversa, su gráica se obtiene tomando la simétrica de la gráica de la unción respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Ejercicios: 8. Halla la unción inversa de las siguientes unciones, caso de eistir: a) y3 ) y 3 b) y g) y 3 c) y h) y 3 d) y i) y 5 con 5 e) y j) y con 3 9. Sabiendo que si si halla, si es posible,. 4. CARACTERÍSTICAS DE LAS FUNCIONES 4.. MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máimos y mínimos relativos. Sea : D e I D un intervalo abierto. Se dice que es: a) estrictamente creciente en sii, I: se tiene que I I I b) creciente en sii, I: se tiene que c) estrictamente decreciente en sii, I: se tiene que ipri Departamento de Matemáticas 7

8 d) decreciente en e) constante en I sii, I : se tiene que I sii, I : se tiene que Estrictamente creciente Estrictamente decreciente Función constante Una unción es estrictamente monótona sii es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y es monótona si es creciente o decreciente. Diremos que tiene un máimo relativo en D sii eiste un entorno abierto 3 de, E tal que D E. y M y Diremos que tiene un mínimo relativo en D sii eiste un entorno abierto de, E tal que D E. y y m Geométricamente una unción (continua) tiene un máimo relativo cuando en ese punto la unción pasa de ser creciente a ser decreciente y tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente. 4.. SIMETRÍAS (unciones pares e impares) Sea : D una unción. Se dice que es, 3 Un entorno abierto de es un intervalo de la orma para algún. Lo representaremos por E o E, si necesitamos precisar el radio,, que tiene. Matemáticas I 8

9 D a) par o simétrica respecto del eje OY cuando D D b) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas sii D Función par Función impar Geométricamente una unción es: a) par si al doblar la gráica respecto del eje OY las ramas positiva y negativa de la unción coinciden. b) es impar si al girarla 8º vuelve a coincidir con ella misma. Ejercicio:. Estudia la simetría de las siguientes unciones: a) 5 b) 4 4 c) 4.3. PERIODICIDAD Una unción : D es periódica de período T sii se cumplen las siguientes dos condiciones: ) T D ) T es el menor de los números que cumple ). Se estudiarán con más detalle en la unidad Funciones eponenciales, logarítmicas y trigonométricas CONTINUIDAD (unciones continuas) Deinición no rigurosa 4 : Diremos que una unción : D es continua en un punto D sii en un entorno de dicho punto los puntos próimos a tienen imágenes próimas a en otro entorno de dicho punto. En el caso de que sea continua en todos los puntos de un subconjunto continua en S. S D, se dice que es Cuando una unción no sea continua en un punto, se dice que es discontinua en dicho punto ACOTACIÓN (unciones acotadas). Máimo y mínimo absoluto. Una unción : D está: 4 En la unidad de Límites y Continuidad daremos una deinición rigurosa de unción continua, que involucra límites. ipri Departamento de Matemáticas 9

10 a) acotada sii b) acotada superiormente sii c) acotada ineriormente sii M : M D K : K D k : k D Función acotada Función acotada superiormente Función acotada ineriormente Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente caracterización: acotada acotada superior e ineriormente Geométricamente, el hecho de que una unción esté acotada (por un número que su gráica está entre las rectas y M e y M y M y M ), se traduce en a b M Si está acotada superiormente, el número M recibe el nombre de cota superior. A la menor de las cotas superiores se le llama supremo de en D. Si el supremo es alcanzado por la unción, es decir, D: es el supremo, entonces el número recibe el nombre de máimo absoluto de en D. Si está acotada ineriormente el número m recibe el nombre de cota inerior. A la mayor de las cotas ineriores se le llama ínimo de en D. Si el ínimo es alcanzado por la unción, es decir, D: es el ínimo, entonces el número recibe el nombre de mínimo absoluto de en D. Teorema de Weierstrass: Si : a, b es continua, entonces tiene máimo y mínimo absolutos, es decir,, a, b : a, b Este resultado lo que nos dice es que la unción tiene etremos absolutos, pero no nos dice dónde están ni cómo calcularlos. Matemáticas I

11 4.6. CURVATURA (unciones conveas y cóncavas). Puntos de inleión Daremos una deinición 5 basada en la interpretación geométrica: Una unción : I, donde I es un intervalo, es convea sii para cualesquiera ab, I con a b la gráica de restringida al intervalo ab, se halla situada por debajo del segmento de etremos a, a, b, b. Así, una unción es convea cuando el recinto del plano que queda por encima de su gráica es un conjunto conveo (visto de arriba hacia abajo), esto es, cuando las rectas tangentes a la gráica de la unción quedan por debajo de ésta. Diremos que : I, donde I es un intervalo, es cóncava cuando sea convea. Una unción tiene un punto de inleión, cuando en dicho punto la unción pasa de ser convea a ser cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inleión conveo-cóncavo y en el segundo de punto de inleión cóncavo-conveo. Ejercicio:. Indica las características (dominio, imagen, monotonía, simetrías, etremos relativos y acotación) de las siguientes unciones: 5 Ojo!! Al consultar la bibliograía es posible encontrar libros donde llaman unción cóncava a lo que nosotros llamamos unción convea. También se usa la nomenclatura cóncava hacia arriba para las unciones conveas y cóncava hacia abajo para las cóncavas. Lo importante no es el nombre que se le dé, sino el concepto. Pero lo cierto es que no he encontrado un solo libro que no sea de Bachillerato donde la parábola y sea cóncava. ipri Departamento de Matemáticas

12 4.7. TENDENCIAS Asíntotas verticales Decir que cuando a, signiica que cuando tiende a a (se acerca cada vez más al punto a), con a, toma valores cada vez mayores. Análogamente, decir que a, signiica que cuando tiende a a, con a, toma valores cada vez más pequeños. Llamamos asíntotas de una unción a las rectas que se aproima la unción en el ininito. La recta = a es una asíntota vertical de si se da alguna de las siguientes situaciones: Asíntotas horizontales Decir que bcuando, signiica que cuando se hace tan grande como queramos, la unción toma valores cada vez más próimos al número b. Análogamente, decir que b, signiica que cuando se hace tan pequeño como queramos, la unción toma valores cada vez más próimos al número b. La recta y = k es una asíntota horizontal de Ejercicios:. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: - Creciente: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Acotación: - Decreciente: - Máimos relativos: - Mínimos relativos: cuando cuando a cuando cuando a cuando - Cotas, supremo (ínimo) y etremos absolutos en, a k cuando o cuando si se da alguna de las siguientes situaciones: k : Curvatura: Matemáticas I

13 - Cóncava: - Convea: Tendencias: Cuando. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: - Creciente: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: - Decreciente: - Máimos relativos: - Mínimos relativos: Acotación: - Cotas, supremo (ínimo) y etremos absolutos: Curvatura: - Cóncava: Tendencias: - Convea: Cuando ipri Departamento de Matemáticas 3

14 3. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: - Creciente: - Decreciente: - Máimos relativos: - Mínimos relativos: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: Acotación: - Cotas, supremo (ínimo) y etremos absolutos: Curvatura: - Cóncava: - Convea: Tendencias: 3 Cuando 3 Matemáticas I 4

15 4. Indica las características de la siguiente unción: Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: - Creciente: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: - Decreciente: - Máimos relativos: - Mínimos relativos: Acotación: - Cotas, supremo (ínimo) y etremos absolutos: Curvatura: - Cóncava: Tendencias: - Convea: Cuando 5. Indica las características de la siguiente unción: ipri Departamento de Matemáticas 5

16 Dominio: Imagen o recorrido: Monotonía: - Creciente: Simetrías: Continuidad: Periodicidad: - Decreciente: - Máimos relativos: - Mínimos relativos: Acotación: - Cotas, supremo (ínimo) y etremos absolutos: Curvatura: - Cóncava: Tendencias: - Convea: Cuando 6. Una determinada empresa nos ormula la siguiente oerta para conectarnos a Internet: Cuota mensual de abono: 6 Cada hora de coneión: a) Encuentra la unción que nos indique el precio a pagar mensualmente, según las horas que se haya establecido coneión. b) Representa gráicamente esta unción. c) La empresa carga un 8 % de IVA. Cómo aecta esto a la unción anterior y a su gráica? 7. Queremos encuadernar todos los libros de la biblioteca de nuestro centro y nos cobran 7 por cada libro si el número de páginas no supera las. A partir de páginas, por cada página más se incrementa el precio en,. Responde a las siguientes cuestiones: a) Encuentra la unción que nos da el precio a pagar por la encuadernación de un libro dependiendo del número de páginas de este. b) Representa gráicamente esta unción. c) Es continua dicha unción? 8. Los costes de producción (en euros) de una empresa vienen dados por: Cq 4 q q donde q es el número de unidades producidas. El precio de venta de cada unidad producida es de 5 euros. a) Epresa en unción de q el beneicio de la empresa y represéntalo gráicamente. b) Cuántas unidades hay que producir para que el beneicio sea máimo? Matemáticas I 6

17 Indicaciones: () Recuerda que para representar una parábola a b c, hay que b b calcular el vértice ( V, a a ) y los puntos de corte con el eje OX, si los tiene, o construir una tabla de valores con dos valores a la izquierda del vértice y otros dos a la derecha del mismo. () Las unciones cuadráticas alcanzan su máimo o su mínimo en el vértice. 9. La dosis de un ármaco comienza con mg y cada día debe aumentar mg hasta llegar a mg. Debe seguir 5 días con esa cantidad y a partir de entonces ir disminuyendo 4 mg cada día. a) Representa gráicamente la unción que describe el enunciado y determina su epresión algebraica. b) Indica su dominio y su recorrido.. De un cuadrado de 4 cm de lado, se cortan en las esquinas triángulos rectángulos isósceles cuyos lados iguales miden. a) Escribe el área del octógono que resulta en unción de. b) Cuál es el dominio de esa unción? Y su recorrido?. Una empresa abrica envases con orma de prisma de dimensiones, y cm. a) Escribe la unción que da el volumen del envase en unción de. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene l de volumen. c) Cuál es su recorrido? 4.8. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una unción : D es inyectiva sii, yd si y y o equivalentemente, yd si y y. Es decir, si elementos distintos de D tienen imágenes distintas en. Geométricamente, una unción es inyectiva si cualquier recta paralela al eje OX sólo corta a la gráica de la unción en un único punto. Algunas propiedades importantes son las siguientes: ) Si : D es estrictamente monótona, entonces es inyectiva. ) Si : D es inyectiva, entonces : D D. 3) Si : D es continua e inyectiva, entonces es estrictamente monótona. ipri Departamento de Matemáticas 7

18 Una unción : D R es sobreyectiva sii R y D tal que y, es decir, cuando Img R. Es decir, si todo elemento de R es imagen de alguno de D. Diremos que : D es biyectiva sii es inyectiva y sobreyectiva. Matemáticas I 8