4 Longitud, superficie. y volumen

Transcripción

1 4 Longitud, superficie y volumen

2 Matemáticas 1º ESO 1. Longitud, perímetro y tiempo 2. Superficie y cálculo de áreas 3. Volumen 148

3 Longitud, superficie y volumen 1. Longitud, perímetro y tiempo LONGITUDES Cuál es la más larga?. Explica tus respuestas. a) b) c) ALTURAS Cómo medirías la altura en cada uno de los casos siguientes?. a) De objetos pequeños. b) De objetos grandes. c) De objetos cercanos. d) De objetos alejados. UNIDADES DE LONGITUD Como sabes, la unidad principal de medida de longitud es el metro. Vamos a recordar sus múltiplos y submúltiplos: También hay unidades inferiores: km hm dam m dm cm mm 1000 m 100 m 10 m 0 1 m 0 01 m m 1 micra = 1 m = mm (milésima de milímetro) 1 nanómetro = 1 nm = mm (millonésima de milímetro) 149

4 Matemáticas 1º ESO Y otras unidades superiores al kilómetro, para medidas astronómicas: 1 UA (unidad astronómica) = 150 millones de kilómetros. Es la distancia media de la Tierra al Sol. 1 año luz (distancia que recorre la luz en un año) = 9 5 billones de km. Otras unidades de longitud que se emplean son las inglesas. Las más usadas son: pulgada = 1 = 2 54 cm yarda = 1 yarda = cm milla = 1 milla = 1609,34 m 1) Añade la unidad en la que crees que están expresadas las siguientes medidas: distancia entre León y Salamanca grosor de una hoja de papel dimensiones del Guernica x diámetro del electrón distancia mínima de Venus a Marte distancia del Sol a la estrella Sirio ) Los padres de Sergio estuvieron en Estados Unidos y alquilaron un coche con el que recorrieron 2050 millas. Cuántos kilómetros hicieron?. 3) Expresa las dimensiones de esta hoja de papel. Cuáles son dichas dimensiones expresadas en pulgadas?. 4) Mide la longitud de la pantalla de tu televisor. Pásala a pulgadas. Observa que coincide con lo que se anuncia en el aparato. 5) Expresa en kilómetros la distancia de un año-luz. Expresa un año-luz en unidades astronómicas. SISTEMA SOLAR Calcula, en millones de kilómetros, el diámetro medio del Sistema Solar, sabiendo que la luz lo recorre en 12 horas. Expresa esta distancia en UA. Qué fracción de un año-luz supone esta distancia?. 150

5 Longitud, superficie y volumen CALCULO MENTAL 1) Expresa en centímetros: a) 3 m 5 dm b) 0 3 m 0 4 dm c) 6 m 8 dm d) 0 6 m 0 3 dm e) 7 m 4 dm f) 0 7 m 0 2 dm 2) Expresa en metros: a) 4 km 3 hm b) 0 5 km 2 hm c) 8 km 6 hm d) 0 3 km 6 hm e) 9 km 5 hm f) 0 4 km 4 hm 3) Expresa en kilómetros: a) 3500 m b) 450 m c) 9750 m d) 755 mm e) m f) 200 m MICRAS Y KILÓMETROS a) Expresa en micras: cm; 453 m; dm. b) Expresa en kilómetros: 0 5 UA; 0 01 años luz; 0 02 UA; 5 años luz LONGITUDES GRANDES Sabes que 1000 metros son 1 kilómetro. Es una distancia apreciable pero pequeña como unidad de medida en muchos casos, como verás a continuación. En estos casos es más apropiado tomar unidades mayores. He aquí algunas: El megámetro (de grande) metros El gigámetro (de gigante) metros El terámetro (de monstruo) metros Expresa en metros las unidades de la tabla que sigue: Altura del monte Everest Diámetro de la Tierra Circunferencia de la Tierra Distancia Tierra-Luna Distancia Venus-Sol Distancia Tierra-Sol Distancia Marte-Sol Distancia Júpiter-Sol Distancia Plutón-Sol kilómetros megámetros 40 megámetros 380 megámetros gigámetros 145 gigámetros gigámetros gigámetros terámetros 151

6 Matemáticas 1º ESO Intenta dibujar, a escala, los planetas anteriores en circunferencias cuyo centro sea el Sol. Recuerda la notación científica: 8 x 10 5 = 8 x = RÁPIDOS Y LENTOS La rapidez con que ocurren los fenómenos de la naturaleza es muy variada. Observa la tabla siguiente: Espacio recorrido en 1 segundo Sonido Satélite Tierra Luz 331 m 8 Km 30 Km Km Calcula, en cada caso, el tiempo necesario para recorrer un metro. Y para recorrer 1 cm?. Los números que has obtenido son pequeños para expresarlos en segundos. Puedes utilizar unidades más apropiadas, como éstas: 1 milisegundo = 10-3 segundos. 1 microsegundo = 10-6 segundos. 1 nanosegundo = 10-9 segundos. 1 picosegundo = segundos. Utiliza estas unidades para expresar los resultados anteriores. Cuánto recorre la luz en 1 nanosegundo?. Y en un picosegundo?. Haz los mismos cálculos para la Tierra. 152

7 Longitud, superficie y volumen EL PERÍMETRO DEL OCTOGONO Aquí tienes una figura de 8 lados dibujada en papel cuadriculado (cada cuadrado, 1 cm de lado). Cuál es el perímetro de la figura? El perímetro de un pòlígono es la suma de las longitudes de sus lados. PERIMETROS Calcula el perímetro de los siguientes polígonos: a) Un triángulo equilátero de 8 5 cm de lado. b) Un hexágono regular de 8 5 cm de lado. c) Un rectángulo de 5 4 cm de base y 2 3 cm de altura. 2. Superficie y cálculo de áreas PAPEL MILIMITRADO Material: papel milimetrado no fotocopiado. Observa la hoja de papel milimetrado. Como ves, hay rectas de distinto grosor que dividen la hoja en cuadrados de distinto tamaño: Cuánto miden los cuadrados más grandes?. Y los medianos?. Y los pequeños?. Cuántos cuadrados de cada uno de los tamaños anteriores hay en la hoja?. Explica los procedimientos que sigues para contarlos. 153

8 Matemáticas 1º ESO ESTAÑO Aquí tienes dos láminas cuadradas de estaño que son del mismo tamaño: Una máquina hace 8 agujeros iguales en cada una de las láminas, dejándolas tal y como indica la figura siguiente: Qué lámina tiene ahora más estaño?. Justifica tu respuesta. TRES PIEZAS Cortamos un cuadrado en tres piezas y las ordenamos para hacer una nueva figura. Qué figura tiene mayor superficie? Y mayor perímetro?. Compruébalo. AREA 9 Material: trama cuadrada de puntos. Dibuja figuras diferentes que tengan 9 cm 2 de área con sus vértices sobre puntos de la trama. Tienen todas el mismo perímetro?. Cuál es la que tiene el mayor perímetro?. Y la que menos?. 154

9 Longitud, superficie y volumen PERÍMETROS Recorta seis piezas de cartulina como las que están aquí dibujadas. Colocándolas una junto a otra se pueden obtener formas variadas. Esta es una de ellas: Pero hay otras. Todas tendrán naturalmente la misma superficie. Pero su perímetro exterior variará. Junta las piezas de manera que el perímetro exterior sea el menor posible. En caso de que tengas dudas entre más de una, mide para decidir. PUZZLE Recorta las piezas y construye con todas ellas un cuadrado, una F y otras figuras que te gusten. Cuál de ellas tiene mayor superficie? Y menor perímetro?. 155

10 Matemáticas 1º ESO AREA Y PERÍMETRO Usa papel cuadriculado para tus dibujos. a) Aquí tienes un rectángulo de 4 unidades de superficie. Dibuja el mayor número posible de rectángulos distintos del anterior y que tengan también 4 unidades de superficie. Dibuja ahora otras figuras que no sean rectángulos y que tengan un área de 4 unidades. Cuál es el perímetro de cada una de ellas?. Cuál es la de mayor perímetro?. Y la de menor?. b) Haz lo mismo para un rectángulo de 10 unidades de superficie: c) Dibuja rectángulos distintos que tengan de perímetro 24 cm. y que sus lados sean números enteros. Cuál de todos ellos tiene la superficie menor? Y la mayor?. Cuánto vale la superficie en ambos casos?. PERÍMETRO Y SUPERFICIE Cuál de estas figuras tiene mayor perímetro? Qué ocurre con sus superficies?. 156

11 Longitud, superficie y volumen PARALELOGRAMOS Dibuja en la siguiente trama algunos paralelogramos que tengan la misma superficie que el rectángulo MAS PARALELOGRAMOS Dibuja, para cada uno de los paralelogramos siguientes, otro paralelogramo y un rectángulo que tengan la misma superficie que él. RECTÁNGULO Y CUADRADO EQUIVALENTE Construye un cuadrado que tenga igual área que el rectángulo de la figura: 157

12 Matemáticas 1º ESO VENTANAS Diseña en una hoja de papel milimetrado ventanas rectangulares con un perímetro de 12 metros. Para dibujar en el papel representa con 1 cm cada metro del contorno de la ventana. Recórtalas y ordénalas de alguna manera. Cuál crees que necesitará mayor superficie de cristal?. Y la que necesitará menos?. Hay ventanas que necesiten la misma cantidad?. Completa la tabla con las medidas de las ventanas que has dibujado: BASE ALTURA PERÍMETRO ÁREA b a = P = A Inventa una fórmula para calcular el perímetro P y otra para calcular el área A usando para la base el valor b y para la altura el valor a. El área de un rectángulo es igual al producto base x altura. El perímetro es la suma del doble de la base más el doble de la altura. MEDIDAS DE RECTÁNGULOS a) Calcula el perímetro y el área de una habitación rectangular de dimensiones 8 3 m y 4 6 m. b) Mide las dimensiones de una página de este libro y halla su perímetro y su superficie. c) Cuántos metros cuadrados de papel se han necesitado para hacer este libro completo, sin contar las tapas?. 158

13 Longitud, superficie y volumen PATIO RECTANGULAR Para cubrir un patio rectangular se han usado 175 baldosas de 20 dm 2 cada una. Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina?. MEDIDAS DE CUADRADOS a) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 15 cm de lado. b) Completa la siguiente tabla: AREA DEL CUADRADO 16 cm cm 2 36 mm dam 2 LADO c) Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m 2. Hemos de embaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado. Cuántas losetas se necesitan?. d) La superficie total de un cubo es de 150 cm 2. Cuánto mide la arista?. e) Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado. Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos?. El área de un cuadrado es igual al cuadrado del lado. El perímetro es igual al cuádruple del lado. PINTAR UN CUBO Se quieren pintar todas las caras de un cubo. La suma de las longitudes de sus aristas es de 48 m. Si para pintar 3 m 2 de superficie se necesita 1 litro de pintura, cuántos litros serán necesarios para pintar el cubo completo?. 159

14 Matemáticas 1º ESO CALCULO MENTAL 1) Calcula el área de los cuadrados cuyos lados miden: a) 3 m b) 5 m c) 7 m d) 4 m e) 6 m f) 8 m 2) Calcula el área de los rectángulos cuyas dimensiones son: a) Base = 8 cm y altura = 10 cm b) Base = 6 cm y altura = 12 cm c) Base = 10 cm y altura = 20 cm d) base = 10 cm y altura = 30 cm QUINIENTOS VEINTICINCO Material: hoja de papel milimetrado. Dibuja en la hoja rectángulos que tengan una superficie de 525 milímetros cuadrados. Completa la siguiente tabla: base (mm) 1 altura (mm) 525 FOTOGRAFIA Diseña dos marcos diferentes para una fotografía que tenga una superficie de 144 cm 2. El hueco del marco tiene que tener las mismas dimensiones que la fotografía. Dibuja en la hoja los bocetos y escribe las dimensiones correspondientes. Calcula la superficie de cartulina que necesitarías para construir cada marco. TRES VENTANAS Material: trama cuadrada de puntos. Diseña tres ventanas (con la forma que tú quieras) que tengan 24 cm de perímetro cada una. Calcula la superficie de cristal que necesitarás para cada una. 160

15 Longitud, superficie y volumen MEDIDAS DE PARALELOGRAMOS a) Todos estos paralelogramos tienen la misma superficie. Por qué?. Cómo se puede determinar el área de un paralelogramo? b) Calcula el área y el perímetro de los siguientes paralelogramos. Utiliza una regla graduada para hacer las medidas que consideres adecuadas. El área de un paralelogramo es igual al producto base por altura. ROMBOS Y COMETAS a) Como puedes determinar el área de un rombo conociendo sus diagonales?. Halla el área de un rombo cuyas diagonales menor y mayor miden, respectivamente, 10 cm y 24 cm. b) La figura adjunta no es un rombo, es un cometa. Observa que, al igual que en el rombo, las diagonales son perpendiculares. Cómo puedes hallar el área de un cometa?. Las diagonales de un cometa son 15 m y 8 m respectivamente. Cuál es su área?. 161

16 Matemáticas 1º ESO El área de un rombo es igual al semiproducto de sus diagonales. El área de un cometa es igual al semiproducto de sus diagonales. TRIÁNGULOS Calcula el área de los triángulos de la trama: MAS TRIÁNGULOS Material: triángulos dibujados en tres láminas. Cuál de estos triángulos crees que tiene mayor superficie?. Y menor?. Comprueba si estás en lo cierto calculando sus áreas por el procedimiento que quieras. 162

17 Longitud, superficie y volumen El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTERO Dibuja un segmento AB de 10 cm. Traza una recta r perpendicular al segmento AB en su punto medio; esta recta corta al segmento AB en el punto H. Sobre la recta r, señala un punto C a 6 cm de H y un punto F a 3 cm de H. Calcula: a) El área del triángulo ACB. b) El área del triángulo AFH. c) El área del cuadrilátero AFBC. ZONA SOMBREADA El rectángulo ABCD mide 12 cm de largo y 8 cm de ancho. Los puntos EFGH son los puntos medios de los lados del rectángulo. Calcula el área de la zona sombreada. 163

18 Matemáticas 1º ESO TRIANGULO Y SEGMENTO El área del triángulo ABE es el 30 % del área del rectángulo ABCD. a) Cuál es el área del triángulo ABE?. b) Cuál es la longitud del segmento BE?. TRES SUPERFICIES a) La superficie del triángulo sombreado es de 40 cm 2. Cuál es la superficie del rectángulo?. b) La superficie del paralelogramo es de 100 cm 2. Cuál es la superficie del triángulo sombreado?. c) La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el área del cuadrilátero sombreado. 164

19 Longitud, superficie y volumen TRIÁNGULO DE ÁREA MÁXIMA a) Cuál de los tres triángulos tiene mayor área?. Justifica la respuesta. b) Si atas los extremos de una goma elástica tirante a los puntos M y N y puedes desplazar la anilla A por una recta, r, paralela a MN, dónde debes colocar A para que la superficie del triángulo AMN sea máxima?. Razona tu respuesta. c) Calcula la superficie de la zona coloreada. d) Es regular este octógono?. Calcula su área. 165

20 Matemáticas 1º ESO TRAPECIOS a) Cómo puedes hallar el área de un trapecio?. Calcula el área de los trapecios cuyas medidas son: 1) bases, 6 cm y 3m; altura, 2m; 2) bases, 8 dm y 6 dm; altura 32 cm. b) Comprueba que los siguientes cuadriláteros son trapecios. Halla sus áreas tomando en cada caso las medidas que creas necesarias. c) Sabiendo que el área del triángulo sombreado es de 53 cm 2, cuál es el área del trapecio rayado?. d) Calcula el área de un trapecio sabiendo que su base mayor mide 15 cm, su base menor es 2/3 de la mayor y su altura mide 4 cm. e) La base del triángulo ABC de la figura adjunta mide 8 cm y su altura mide 6 cm. Se traza una paralela MN a la base y se forma el triángulo AMN cuya área es igual a 15 cm 2. Cuál es el área del trapecio MBCN?. El área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases multiplicada por su altura. 166

21 Longitud, superficie y volumen RECTÁNGULO, TRIÁNGULO, TRAPECIO Dibuja un rectángulo ABCD, tal que AB = 10 cm y CB = 4 cm. Señala en el lado AB un punto P, tal que, PB = BC. Calcula: a) El área del rectángulo ABCD. b) El área del triángulo CPB. c) El área del trapecio ADCP. TRIÁNGULO, TRAPECIO, POLÍGONO El cuadrilátero ABCD es un rectángulo de 120 cm de largo y 80 cm de ancho. Los siguientes segmentos son iguales, AE = AF = BG = HC, y se cumple que AE = 1 / 4 de AD. Calcula: a) El área del triángulo FBG. b) El área del trapecio EDCH. c) El área del polígono FAEHG. AREAS DE POLÍGONOS I a) Halla el área del siguiente polígono, descomponiéndolo en triángulos y tomando en ellos las medidas necesarias. b) En un hexágono regular, la longitud del lado es igual al radio de la circunferencia circunscrita. Dibuja un hexágono regular de lado 4 cm. Cuál es su superficie?. Para resolver el problema, descompón el hexágono en triángulos y mide sobre el dibujo la altura de cada uno de ellos. 167

22 Matemáticas 1º ESO c) Dibuja un octógono regular de lado 6 cm. Descomponlo en triángulos y mide la altura de cada triángulo. Cuál es el área del octógono?. HEXAGONOS En un hexágono regular, llamamos apotema a la altura de uno cualquiera de los seis triángulos equiláteros en que se descompone. El lado del hexágono regular ABCDEF mide 8 cm y su apotema mide 6 9 cm. a) Cuál es el área del hexágono ABCDEF?. b) Cuál es el área del polígono estrellado?. c) Cuál es el área del hexágono GHIJKL?. AREAS DE POLÍGONOS II a) Calcula el área y el perímetro de cada una de las siguientes figuras: 168

23 Longitud, superficie y volumen b) En cada una de las siguientes figuras, toma las medidas que creas necesarias y calcula su superficie y su perímetro: TERRENO Un terreno tiene la forma y dimensiones que se indican en la figura: a) Cuál es el área de la zona de pinar?. b) Cuál es el área de la zona de pradera?. c) Cuál es, en hectáreas, el área del terreno?. AREAS DE FIGURAS 1) Calcula el área aproximada de las siguientes figuras, tomando como unidad el cuadrado coloreado. 169

24 Matemáticas 1º ESO 2) Calcula el área de las siguientes figuras, descomponiéndolas en triángulos y trapecios: 3) Calcula el área de las siguientes figuras, tomando como unidad el cuadrado coloreado: LABERINTO El rectángulo de la figura mide 84 cm de largo y 48 cm de ancho. Calcula el área del laberinto coloreado. UNIDADES DE SUPERFICIE Estas son las unidades de superfie, sus múltiplos y submúltiplos: km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m m m m m m 2 170

25 Longitud, superficie y volumen Observa que 1 dm 2 contiene 10 filas de cuadraditos y cada fila tiene 10 cuadraditos (cm 2 ). Por tanto, 1 dm 2 = 100 cm 2. Lo mismo pasa con cada unidad respecto de la siguiente. Por eso, las unidades de superficie aumentan y disminuyen de 100 en 100. Para medir superficies de campos se utilizan las unidades agrarias. Las dos más usadas son el área y la hectárea: área = 1 a = 1 dam 2 = 100 m 2 hectárea = 1 ha = 100 a = 1 hm 2 = m 2 Para pasar de unas unidades a otras es muy útil la siguiente disposición: km 2 hm 2 ha dam 2 a m 2 dm 2 cm 2 17 dam 2 81 m 2 6 dm m km hm 2 94 dam 2 50 m ha km 2 50 hm 2 a) Expresa en metros cuadrados: 1) 526 dm 2 2) 53 ha 90 a 3) 3 2 dam 2 b) Expresa en hectáreas: 1) m 2 2) 8 4 km 2 3) 3980 a 171

26 Matemáticas 1º ESO c) Para construir una carretera se han expropiado cinco parcelas, por lo cual se ha indemnizado a sus dueños. Las indemnizaciones han sido: Superficie expropiada Indemnización por m 2 I km 2 65 euros / m 2 II 47 ha 11 a 47 euros / m 2 III 23 8 dam euros / m 2 IV 1 3 km 2 35 euros / m 2 V 3890 m euros / m 2 Averigua el coste total de las indemnizaciones. d) Completa el siguiente cuadro de unidades. Recuerda que, como las unidades de superficie van de 100 en 100, a cada unidad le corresponden 2 cifras: km 2 hm 2 dam 2 m 2 dm 2 cm 2 mm m dm cm mm dam hm km 2 e) Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie: 1) 6 3 hm 2 12 dam 2 55 dm 2 2) 47 km hm dam 2 CALCULO MENTAL Expresa en m 2 : a) 2 a b) 2 5 a c) 12 a d) 12 5 a e) 2 ha f) 2 5 ha g) 12 ha h) 12 5 ha Expresa en áreas: a) 2 Km 2 b) 5 7 hm 2 c) 456 m 2 d) 4 ha e) 5 Km 2 f) 45 dam 2 g) 3456 m 2 e) 28 ca 172

27 Longitud, superficie y volumen AREAS a) Una fábrica ocupa m 2 de superficie. Ocupa esta fábrica más de 7 hectáreas?. b) Una finca de 7 ha, 48 a y 25 ca se divide en dos partes. Una de las partes mide m 2. Cuánto mide la otra?. Cuál es el valor de cada parte si en la zona donde están situadas el metro cuadrado se paga a 1500 euros?. ESTIMACIONES a) Una playa tiene 2 km de largo y 50 m de ancho. Haz una estimación del número de personas que cabrían en ella tomando el sol. Explica el procedimiento seguido. b) Teniendo en cuenta el número de habitantes, haz una estimación del número de viviendas habitadas y del número de coches que hay en tu ciudad. Explica el procidimiento seguido. MAXIMA AREA Cuál es el área máxima que se puede rodear con un perímetro de 24 cm?. Ayuda: Puedes utilizar un hilo de 24 cm anudado en uno de sus extremos y para apreciar el área una trama de cm

28 Matemáticas 1º ESO REDUCCIÓN DEL CUADRADO Dibuja un cuadrado de 8 unidades de lado. Une los puntos medios de cada lado para obtener otro cuadrado. Haz lo mismo con el cuadrado que resulta. Sigue así. Cómo es el área del segundo cuadrado respecto del área del primero?. Y el perímetro?. Cómo es el área del tercer cuadrado respecto del primero?. Y el perímetro?. Continúa... UNIDAD DE MEDIDA a) Cuánto mide x?. b) Cuál es la unidad de medida? 174

29 Longitud, superficie y volumen c) Esto es una unidad Cuántas unidades mide esto?. UNIDADES a) Este rectángulo tiene las dimensiones que se indican en el dibujo. Cuál es la unidad de longitud que hemos utilizado para dibujarlo?. b) Cuánto mide x en este otro rectángulo?. c) Cuánto es x?. 175

30 Matemáticas 1º ESO TRES FORMAS DE MEDIR Mide los lados del rectángulo: a) Tomando u como unidad. b) Tomando el lado a como unidad c) Tomando el lado b como unidad. La unidad de medida es arbitraria. LINEAS Y REGIONES a) Estudia las diferentes formas de dividir un triángulo en dos regiones que tengan la misma área. b) Haz lo mismo con un cuadrado, pero esta vez hay que conseguir que las dos partes tengan además la misma forma. Aquí tienes una: PLANO DE UNA CASA Calcula la superficie real de la vivienda que tienes representada aquí y expresa su medida en metros cuadrados. (Escala 1:50). Una escala 1:50 significa que cada centímetro del dibujo representa 50 centímetros en la realidad. 176

31 Longitud, superficie y volumen 3. Volumen VOLUMEN Calcular el volumen de un policubo consiste en decir el número de cubos de que está formado. Cada cubo es una unidad de volumen. Este policubo tiene 8 unidades de volumen porque está formado por 8 cubos unidad. 177

32 Matemáticas 1º ESO Cuál es el volumen de un cubo como este en el que la arista es el doble de la arista del cubo pequeño?. Cuál es el volumen si la arista es el triple? Completa la tabla siguiente y comenta los resultados: ARISTA VOLUMEN (Nº de cubos) El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista. CUBITOS Material: 24 cubitos para cada alumno. Organización: grupos de seis alumnos. Costruid figuras sin huecos por dentro usando todos los cubitos. Procurad que no haya figuras repetidas. Cuál tiene mayor volumen?. CINCO CAJAS Ordena estas cajas a ojo de menor a mayor capacidad. Completa la tabla siguiente: CAJA CAPACIDAD ESTIMADA 178

33 Longitud, superficie y volumen CAJAS Material: cartulina, escuadras, reglas graduadas, tijeras, papel engomado. Los rectángulos y cuadrados que se mencionan en la propuesta (10 cuadrados y 8 rectángulos de cada tipo). Organización: grupos de seis. Construid todos los rectángulos posibles usando las siguientes longitudes como medida de sus lados: 5 cm, 7 cm y 10 cm. Construye todas las cajas distintas que puedas con los rectángulos anteriores. Cuántas crees que hay?. Comprueba que no hay cajas repetidas y compara tu colección con la de tus compañeros. Ordena las cajas por tamaños, de menor a mayor volumen. Completa la tabla siguiente: CAJA ARISTAS VOLUMEN Ordena las cajas por áreas crecientes. Coincide con la ordenación por volúmenes?. Qué lugar ocupan las cajas (5, 7, 9) y (5, 7, 11) en la ordenación que tienes hecha por volúmenes?. QUITANDO ESQUINAS Recorta de la trama de cuadrados rectángulos de papel de 20 x 10. Toma uno de los rectángulos y quita de cada esquina un cuadrado 1 x 1. Una vez hayas recortado las cuatro esquinas de esa manera, puedes construir una caja sin tapadera. Haz lo mismo con rectángulos iguales que ese, pero quitando de las esquinas cuadrados de 2 x 2, 3 x 3, etc. y ve construyendo las cajas correspondientes. Cuál de todas ellas es la que tiene mayor volumen?. Qué cuadrado tuviste que cortar en las esquinas para construirlo?. 179

34 Matemáticas 1º ESO ESTIMA VOLÚMENES Qué volumen tiene tu cuerpo?. Y la clase?. Y tu mano?. Y la papelera?. AREA Y VOLUMEN El volumen de un cuerpo nos da la idea de su capacidad. El área del mismo, nos informa acerca de su superficie. Area y volumen son dos conceptos distintos, pero tienen alguna relación. Las cuestiones que siguen te ayudarán a descubrirla: a) Construye varios policubos de 8 unidades de volumen. b) Cuál de todos los policubos de 8 unidades de volumen es el de menor superficie?. c) Cuál es de mayor?. 180

35 Longitud, superficie y volumen UNIDADES CÚBICAS Material: varillas, cartulina, regla, tijeras y pegamento. Metro cúbico desmontable y decímetros cúbicos. Organización: en grupos de seis. El profesor monta 1 m 3 en clase y hace notar que todas las aristas miden 1 metro y también que la superficie de sus caras es 1 m 2. A continuación propone: Construye 1 dm 3 con el material que prefieras: varillas, cartulina o con cubitos. Nombra objetos o lugares de la clase que tengan un volumen aproximado de 1 metro cúbico. Nombra otros objetos que tengan un volumen aproximado de un decímetro cúbico. Cuántos decímetros cúbicos caben en el metro cúbico?. RECIPIENTES Material: Embudos y probetas. Un juego con seis recipientes de distintos tipo, capacidad y forma (frascos, botellas, tetrabriks y vasos) para cada grupo. Organización: grupos de seis. Completad la siguiente tabla (no se puede medir sin haber hecho antes una estimación): Nº DEL RECIPIENTE VOLUMEN ESTIMADO VOLUMEN MEDIDO EL LITRO Y EL DECÍMETRO CÚBICO El profesor ha cortado a diversas alturas (6, 10, 14, 18 cm) varios tetrabriks de una conocida marca de agua cuya base es prácticamente un decímetro cuadrado. Con esa colección y una botella de litro llena de agua pregunta a los alumnos cuál de todos los recipientes piensan que tendrá una capacidad de un litro. Se comprueba experimentalmente que se trata del decímetro cúbico. 181

36 Matemáticas 1º ESO VOLÚMENES DE CUBOIDES El volumen de este cubo cuya arista mide 1 dm es de 1 dm 3. El siguiente cuboide tiene 3 ½ dm 3 de volumen. Calcula el volumen de cada uno de estos bloques: Cuántos decímetros cúbicos caben en este cajón?. Y cm 3?. EQUIVALENCIAS El profesor lleva a clase una caja ex-profeso para la ocasión. Cuántos dm 3 caben en esta caja?. Cuántos m 3 hay en una habitación de 3 x 3 5 x 2 5 metros?. Completa la siguiente tabla de equivalencias entre unidades de capacidad y de volumen: UNIDADES DE VOLUMEN UNIDADES DE CAPACIDAD m 3 dm 3 litro ( l ) cm 3 182

37 Longitud, superficie y volumen ESTIMA VOLÚMENES Y MIDE Material (para cada equipo): Tres objetos prismáticos y tres irregulares más densos que el agua. Probetas y vasos graduados. Cubeta. Rellena las dos primeras columnas de la tabla: OBJETO VOLUMEN ESTIMADO VOLUMEN MEDIDO Mide los volúmenes y rellena la última columna. SUAVIZANTE VERNEL Cuánta agua habrá que añadir? TETRABRIK I a) Observa con detenimiento cómo se hace un tetrabrik de 1 litro de leche. Construye uno igual con cartulinas. Cuánta cartulina necesitas?. b) Construye un cubo de 1 litro de capacidad. Cuánta cartulina necesitas?. c) Qué ventajas pueden haber para que los fabricantes utilicen un método distinto del habitual (a partir del desarrollo plano) para construir cajas?. 183

38 Matemáticas 1º ESO TETRABRIK II Los envases de leche suelen tener casi siempre forma de cuboide y una capacidad de 1 litro. Sabes las dimensiones de estos envases?. a) Estudia qué dimensiones puede tener un tetrabrik de 1 litro si la base es cuadrada. Rellena la siguiente tabla: Altura Base cuadrada Lado b) Haz lo mismo para tetrabriks de 1 litro y base rectangular. Altura Base no cuadrada Anchura Profundidad c) Elige las cajas que te parezcan más bonitas. Habrá alguna razón para que los fabricantes hayan elegido las dimensiones que tienen actualmente?. 184

39 Longitud, superficie y volumen TETRABRIKS Cuánto mide la altura de este tetrabrik?. Y la de este otro?. UNA CAJA Material: Una caja y una regla para cada alumno. Calcula el volumen de esta caja. Exprésalo en litros. 185

40 Matemáticas 1º ESO 186