1. Los postulados de la Mecánica Cuántica. 2. Estados Estacionarios. 3. Relación de Incertidumbre de Heisenberg. 4. Teorema de compatibilidad.

Transcripción

1 Parte : MECÁNICA CUÁNTICA 1. Los postulados de la Mecáca Cuátca.. Estados Estacoaros. 3. Relacó de Icertdumbre de Heseberg. 4. Teorema de compatbldad. 1

2 U breve repaso de Mecáca Clásca 1. Partícula clásca: su estado queda determado a partr de su poscó y su catdad de movmeto.. Ambas varables tee valores precsos, be defdos d e cada state de tempo. 3. Sempre es posble, al meos e prcpo, medr ambos valores s perturbar aprecablemete el sstema. 4. Coocedo las fuerzas que actúa sobre la partícula, la aplcacó de la ª ley de Newto permte determar su estado e cualquer state de tempo, a partr de las codcoes cales. m 3. Sempre es posble, al r v F d mv dt F

3 LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Postulado 1: La descrpcó del estado cuátco Postulado : La descrpcó de las magtudes físcas Postulado 3: Resultados de las meddas. Postulado 4: Probabldades de los resultados Postulado 5: La medda. El colapso del vector de estado. Postulado 6: La ecuacó de Schrödger. 3

4 Postulado 1: La descrpcó del estado cuátco Cada sstema cuátco tee asocado u espaco de Hlbert H. El estado del sstema se represeta por u vector de H. Sstema S Espaco de Hlbert H Estado de S H

5 Postulado : La descrpcó de las magtudes físcas Cada magtud físca del sstema está represetada por u operador autoadjuto observable. Magtud A Operador autoadjuto: Â 5

6 Postulado 3: Los resultados de las meddas Cuado se mde ua magtud físca de u sstema cuátco, los úcos valores que se puede obteer so los valores propos del operador que la represeta. Aˆ ; R Resultados posbles al medr A: 1,,..., 6

7 Postulado 4:Probabldades de los resultados La probabldad de obteer u determado autovalor e la medda, es gual al cuadrado del módulo del producto escalar del autovector correspodete a dcho autovalor, por el vector de estado del sstema. P 7

8 Postulado 5: La medda. El colapso del vector de estado. El vector de estado medatamete después de la medda es el vector propo correspodete al valor obtedo de dcha magtud. Se produce lo que se deoma colapso del vector de estado.

9 Ejemplo = espaco de Hlbert bdmesoal Estado: Magtud: A Observable: Â Valores propos: 1 R y R Vectores propos: 1 y, j j Probabldades: P c c c Ejemplo gráfco NO RIGUROSO del colapso: P c 1 P 1 P P c c 1 t MEDIDA 1 1 t 1 9

10 Vector propo De la magtud A SISTEMA estado Vector propo 1 De la magtud A A Se mde la magtud A α 1 Estado después de la medda=vector propo 1 Se obtee uo de los autovalores 10

11 Postulado 6: La ecuacó de Schrödger La evolucó temporal del vector de estado del sstema, cuado o se produce meddas, está goberada por la ecuacó de Schrödger: ĤH d dt t Hˆ t es el observable bl asocado a la eergía del sstema, y se deoma Hamltoao. h 34 ; h J. J s cte de Plack. 11

12 La ecuacó de Schrödger es ua ecuacó dferecal leal, de prmer orde e el tempo. Por tato, la suma de dos solucoes es també solucó de la ecuacó. El operador de evolucó, defdo por: t Uˆ t, t t, es leal. 0 0 ˆ S el hamltoao es depedete del tempo, el operador de evolucó puede epresarse de la forma sguete: t Hdt ˆ Hˆ t t 0 1 t0 U, t t e e t t H 0 0 0! Se puede demostrar que el operador de evolucó es utaro: ˆ ˆ U, t t Uˆ, t t 1 0 0

13 Sstema S Espaco de Hlbert H Etd Estado de S H Magtud físca A de S Operador hermítco: ÂA Qué podemos obteer al medr A? Uo de sus autovalores Qué formacó os proporcoa el coocmeto del vector de estado justo ates de la medda? Cómo camba el estado del sstema e la medda? dd Cómo evolucoa el estado cuado o se mde? Las probabldades bld d de obteer los dsttos autovalores Colapsa al autovector correspodete al autovalor obtedo e la medda Ecuacó de Schrödger 13

14 La fucó de oda Para ua partícula cuátca e el eje OX, su estado está represetado por ua fucó de oda:, t C Las fucoes de oda de u sstema tee estructura de espaco de Hlbert. Producto escalar: f g f gd, f g g f Producto escalar: El cojuto de fucoes propas p de cualquer operador que represeta a ua magtud físca del sstema costtuye ua base ortoormal. A A f f j j Operadores poscó y catdad de movmeto: ˆ, ˆ p ˆ, ˆ p p Operadores eergía cétca, eergía potecal, y eergía mecáca: ˆ EcE, E Eˆ E ˆ C m P P P ˆ ˆ ˆ EE ˆ C EP EEC EP E P m 14

15 Valor medo y dspersó Supogamos que realzamos u gra úmero de epermetos, dode se mde, sempre e el msmo estado cuátco, u observable. bl Por ejemplo, sobre u úmero muy grade de sstemas détcos preparados e el msmo estado, se mde la msma magtud. M meddas de la magtud A, sobre el msmo estado de partda. 1 N 1, N,..., N PROBABILIDADES Y VALORES MEDIOS Epermetal: Predccoes de la Mecáca Cuátca Postulado 4 A S 1 N N p ; A p M M p Aˆ 1 1 Ej 5 d t Ejercco 5: demostrar esta gualdad. c 1 15 A c 1 N M

16 DISPERSIÓN Mde cuáto se desvía del valor medo los resultados de las meddas. A A A A A A A A A Supogamos que el estado de u sstema cuátco es uo de los vectores propos correspodetes a certa magtud A. Etoces, se puede predecr co certeza que el resultado de la medda de A sobre dcho estado es el valor propo correspodete a dcho vector propo. E esta stuacó, la dspersó vale cero. A Aˆ Aˆ p 1 j j j j j p j 0 A 0 Los vectores propos de u observable se deoma també autoestados. 16

17 ESTADOS ESTACIONARIOS SISTEMA CUÁNTICO CONSERVATIVO E Hˆ Hˆ E d t Hˆ t dt t c t El Hamltoao o depede eplíctamete del tempo Los vectores propos y los valores propos de la eergía o depede del tempo. E este caso, los vectores propos del hamltoao se deoma estados estacoaros. dc dt E c t c 0 e E t c t c 0 e Et p E, t c 0 e Et c 0 e Et c 0 e Et c 0 p E, t 0

18 E u sstema cuátco coservatvo, las probabldades asocadas a los valores que se puede obteer al medr la eergía o depede del tempo. Por tato, el valor medo la dspersó de la eergía tampoco depede del tempo. S el sstema se ecuetra calmete e u estado propo de la eergía estado estacoaro, sus propedades físcas o cambará co el tempo. Esto es debdo a que el estado e u state t cualquera está relacoado co el estado cal a través de u factor de fase, que o tee relevaca físca. E este caso, las probabldades de los autovalores de cualquer observable, so depedetes del tempo. Demostracó: 0 j t Aˆ ; R e E j t E jt k, k k k k,0 p t t e j j p j

19 El Prcpo de certdumbre de Heseberg El comutador de dos operadores se defe como: [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BA ˆ ˆ Los operadores comuta cuado satsface la relacó: [ Aˆ, Bˆ] 0 Aˆ Bˆ RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE BA ˆ ˆ Magtudes A y B Observables  BˆB Estado del sstema AB [ Aˆ, Bˆ] El producto de las desvacoes estádar asocadas a la meddas de dos observables e u estado cuátco, es mayor o gual que el módulo del valor medo del comutador de ambos observables e dcho estado, dvddo por. 19

20 Ejemplo: Para ua partícula cuátca e el eje OX, el comutador de los operadores poscó y catdad de movmeto o es ulo. Por tato, b d d l d f d l á ambas magtudes o puede tomar valores defdos smultáeamete. ˆ ˆ ˆ ] ˆ ˆ, [ f f f p ˆ ˆ ' ' f f f f p p ˆ ˆ p ˆ p ] ˆ [ ˆ, p p

21 Magtudes compatbles e compatbles Magtudes A y B Operadores  Magtudes Compatbles S se mde de forma cosecutva, y smultáeamete, prmero A, B después, y e tercer lugar A, el resultado de la prmera medda cocde co el de la tercera medda. Magtudes Icompatbles S se mde de forma cosecutva, y smultáeamete, prmero A, B después, y e tercer lugar A, el resultado de la prmera medda o cocde, e geeral, co el de la tercera medda. Bˆ

22 Teorema de compatbldad Las sguetes afrmacoes so equvaletes: 1. A y B so compatbles.. Los observables asocados a dchas magtudes comuta. 3. Los observables asocados a dchas magtudes posee ua base comú de vectores propos. Para Magtudes Icompatbles: 1. A y B so compatbles. Los observables asocados a dchas magtudes o comuta. 3. Los observables asocados a dchas magtudes o posee ua base comú de vectores propos.

23 Magtudes A y B MAGNITUDES COMPATIBLES [ Aˆ, Bˆ] 0 Aˆ Bˆ BA ˆ ˆ Observables  1 Se mde A: hay probabldad o ula de Aˆ Aˆ Bˆ ˆB ˆB obteer cada autovalor. Imedatamete después se mde B:el estado o se destruye. desp. 3 Imedatamete después se mde de uevo A: se obtee co certeza el msmo valor que se obtuvo e la prmera medda. 1 1 S el valor de la magtud A se puede predecr co certeza, també se puede predecr co certeza el valor de la magtud B. S se mde de forma cosecutva, y smultáeamete, prmero A, B después, y e tercer lugar A, el resultado de la prmera medda cocdrá co el de la tercera.

24 MAGNITUDES INCOMPATIBLES I [ Aˆ, Bˆ] 0 Aˆ Bˆ BA ˆ ˆ La medda de A B, e u autoestado de B A, lo destruye. 1 ' S el valor de ua de las magtudes se puede predecr co certeza, etoces o se puede predecr co certeza el valor de la otra magtud.

25 MAGNITUDES INCOMPATIBLES II Se hace tres meddas cosecutvas y smultáeas : 1 Se mde A 1 '' ' Se mde B se destruye el estado ateror 3 Se mde A se vuelve a destrur el estado S se mde de forma cosecutva, y smultáeamete, prmero A, B después, y e tercer lugar A, el resultado de la prmera medda, e geeral, o cocdrá co el de la tercera medda.