Algoritmos sobre Grafos

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1 Sexta Sesión 27 de febrero de 2010

2 Contenido Deniciones 1 Deniciones 2 3 4

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4 Deniciones sobre Grafos Par de una lista de nodos y una lista de enlaces, denidos a su vez como pares del conjunto de nodos. G {V, E} V {v 1, v 2,..., v n } E {..., {v i, v j },... }, i, j [1, n], i j Si el orden de los elementos v i y v j en cada par del conjunto de enlace es relevante, se tiene un grafo dirigido Representaciones en algoritmos: Lista de Adyacencia: a i n, cada a i es la lista de nodos enlazados con el nodo i ésimo Matriz de Adyacencia: A a ij m n, a ij = 1 sí y sólo sí v i está conectado con v j, 0 en caso contrario. Se puede extender asignando a los a ij un valor asociado a la intensidad del enlace (matriz de proximidad) o la propia distancia geodésica de un nodo a otro (matriz geodésica)

5 Ciclo, Grafos Acíclicos Ciclo: secuencia de enlaces adyacentes en un grafo, recorridos sin repetir enlaces y cuyo nodo de partida es el mismo nodo de llegada. Ciclo Hamiltoniano: aquel que recorre todos sus nodos exactamente una vez (excepto el de partida/llegada). Ciclo Euleriano: ciclo que contiene todos los enlaces de un grafo, cada uno de ellos una única vez.

6 Grafo Dirigido Acíclico Grafo dirigido que no tiene ciclos para cada nodo, no hay un camino directo que empiece y termine en éste. Fuente: nodo sin enlaces de entrada, Sumidero: nodo sin enlaces de salida. Un GDA (DAG) nito tiene por lo menos una fuente y un sumidero. La profundidad de un nodo es la longitud del camino más largo desde una fuente a éste La altura de un nodo es la mayor longitud del camino más largo entre éste y un sumidero. La longitud de una DAG nito es la longitud (número de arcos) del camino más largo. máxima altura de todas las fuentes, máxima profundidad de todos los sumideros.

7 Etiquetado Deniciones Los recorridos sobre grafos exigen usualmente almacenar de forma accesible el Estado de cada nodo (y en ocasiones, enlace) del grafo según haya sido recorrido / analizado durante el proceso de análisis / búsqueda La forma de almacenar ese estado se puede implementar a través de atributos asignados a los nodos que representen el estado en el que se encuentra el nodo con un valor asociado a cada estado, El estado de un nodo puede constar de uno o más parámetros, simbólicos o numéricos. En casos de representaciones simbólicas, se suelen emplear enumeraciones descriptivas, que determinan la implementación de las reglas de evolución de los nodos del grafo

8 Etiquetado Deniciones Los recorridos sobre grafos exigen usualmente almacenar de forma accesible el Estado de cada nodo (y en ocasiones, enlace) del grafo según haya sido recorrido / analizado durante el proceso de análisis / búsqueda La forma de almacenar ese estado se puede implementar a través de atributos asignados a los nodos que representen el estado en el que se encuentra el nodo con un valor asociado a cada estado, El estado de un nodo puede constar de uno o más parámetros, simbólicos o numéricos. En casos de representaciones simbólicas, se suelen emplear enumeraciones descriptivas, que determinan la implementación de las reglas de evolución de los nodos del grafo

9 Etiquetado Deniciones Los recorridos sobre grafos exigen usualmente almacenar de forma accesible el Estado de cada nodo (y en ocasiones, enlace) del grafo según haya sido recorrido / analizado durante el proceso de análisis / búsqueda La forma de almacenar ese estado se puede implementar a través de atributos asignados a los nodos que representen el estado en el que se encuentra el nodo con un valor asociado a cada estado, El estado de un nodo puede constar de uno o más parámetros, simbólicos o numéricos. En casos de representaciones simbólicas, se suelen emplear enumeraciones descriptivas, que determinan la implementación de las reglas de evolución de los nodos del grafo

10 Algoritmos Básicos de Búsqueda

11 Problema del Ordenamiento Topológico Dado un Grafo Dirigido Acíclico, el problema del ordenamiento topológico consiste en Encontrar un ordenamiento de los vértices tal que todos ellos se listen hacia adelante (nodo inicial, nodo nal) de acuerdo a sus enlaces Utilidad: Asignar una prioridad a una lista de tareas con restricciones de precedencia (hacer primero la tarea A porque la B dependende del resultado de A, etc...) Se asume que el grafo está representado como una lista de adyacencias

12 Búsqueda en Profundidad Dada una lista de vértices V y una lista de enlaces E, hacer Para i = 1 hasta n Si v i no está marcado como visitado, RecorrerProfundidad(i) Fin Función RecorrerProfundidad(índice i) Marcar v i como visitado Agregar i a la lista de recorrido Usando la lista de enlaces e, para cada vecino v j de v i Regresar Si v j no está marcado como visitado RecorrerProfundidad(j) Agregar el enlace que une a v i con v j al árbol de recorrido

13 Búsqueda en Anchura Dada una lista de vértices V y una lista de enlaces E, deniendo una cola de prioridad Q, hacer Marcar el nodo inicial v i como visitado Añadir i a la lista de recorrido encolar v i en Q Mientras Q Ø extraer u i desde Q Para cada vecino u j de u i Si u j no esta marcado como visitado agregar u j a Q marcar u j como visitado Agregar el enlace que une a u i con u j al árbol de recorrido

14 Algoritmos de Ruta más corta

15 Algoritmo de BellmanFord Algoritmo de programación dinámica Encontrar la ruta más corta desde todos los nodos a un nodo sumidero t. Se suele calcular las longitudes de los caminos más cortos así que posteriormente se pueden recontruir las rutas fácilmente. Laidea de algoritmo es 1 Para cada nodo v, encontrar la longitud de la ruta más corta a t que usa al menos una arista o etiquetar si no hay tal ruta. 2 Supóngase para todo v se tienen las longitudes de la ruta más corta hasta t que usa i 1 o menos enlaces. La ruta más corta desde v a t que usa i o menos enlaces primero irá a algún vecino x j de v y tomar la ruta más corta desde x j hasta t que usa i 1 o menos enlaces (paso 1). Así, se necesita tomar únicamente los mínimos de la distancia entre todos los vecinos x j de 3 Repetir mientras i n 1

16 Pseudocódigo BellmanFord 1 inicializar d[v][0] = for v t. d[t][i]=0 i. 2 Para i = 1 hasta n 1 1 Para cada v t 1 d[v][i] = min (len(v,x) + d[x][i-1]) (v,x j ) E 3 Para cada v, escribir d[v][n-1].

17 Todas las distancias mínimas: FloydWarshall Sea A[i][j] la matriz de proximidad del grafo En vez de incrementar el número de enlaces en la rtua, se recorrerá el grafo por vértices Se incrementará el contador sobre el conunto de vértices que se admiten como intermedios en la ruta estimada Pseudocódigo: usando la matriz de i, después de cada iteración del bucle exterior, A[i][j] será igual a la longitud del camino más corto de v i a v j que puede usar los vértices en la secuencia {1, 2,..., k}: Para k = 1 hasta n Para cada i, j A[i][j] = min( A[i][j], (A[i][k] + A[k][j]);. Aunque el algoritmo tarda del orden de n 3, donde n es el número de nodos, El código es simple y compacto.

18 Todas las distancias mínimas: Dijkstra Sea un grafo dirigido conectado de N nodos, sea x el nodo origen y D n un vector (array) de distancias a los diferentes nodos indexados por n 1 Inicializar el array de todas las distancias en D n con un valor innito relativo (valor inicial desconocido), exceptuando la de x que se debe colocar en 0 (la distancia de x a sí mismo es 0). 2 Sea k = x (k es el nodo actual). 3 Recorrer todos los nodos adyacentes de k (denominados v i ), excepto los marcados como evaluados 4 Si la distancia desde x hasta v i guardada en D i es mayor que la distancia desde x hasta k sumada a la distancia desde a hasta v i, ésta se sustituye con la segunda nombrada, esto es: si (D i > D k + d(k, v i )) entoncesd i = D k + d(k, v i ) 5 Marcar como evaluadoa k. 6 El siguiente nodo actual es el de menor valor en D i (puede hacerse almacenando los valores en una cola de prioridad); volver a 3 mientras existan nodos no evaluados.

19 Algoritmo de Dijkstra: Ejemplo B 3 A 3 2 E C D G 3 F 2 Mientras Q Ø Se escoge v Q con menor D y se marca como visitado (sale de Q) Se añaden a Q los vecinos no marcados de v, denominados x Se actualiza D de cada x si la distancia que atraviesa a v es menor que la de la iteración anterior

20 Algoritmos basados en Árboles

21 Árbol de Expansión Spanning tree Un árbol de expansión de un grafo es una estructura de datos en árbol que toca todos los vértices del grafo Sólo tienen sentido en grafos de un sólo componente (conexos) Un árbol de expansión mínimo es un árbol de expansión cuya suma de longitudes de los enlaces es tan pequeña como sea posible en un grafo dado (puede haber más de uno) Se llama tamaño del árbol de expansión a la suma de las longitudes de los enlaces.

22 Algoritmo de Prim El algoritmo de Prim sobre un grafo permite construir el árbol de expansión mínimo (MST) del mismo. Puede verse como una versión simplicada del algoritmo de Dijkstra 1 Seleccionar un nodo arbitrario de inicio s. Inicializar el árbol T = s. 2 Repetidamente agregar el enlace más corto incidente a T en cada nodo (el enlace más corto que tiene un vértice dentro de los enlaces de T y el otro no hasta que el árbol contenga todos los nodos

23 Algoritmo de Kruskal Otra forma de encontrar el árbol de expansión mínimo de un grafo muy conocida es el Algoritmo de Kruskal. La idea es la de ordenar los enlaces por longitud y examinar cada uno de ellos del más corto al más largo. Se debe poner cada enlace en un conjunto de subárboles si no forma un ciclo con los enlaces escogidos con anterioridad

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