PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Reserv, Ejercicio, Opción A Reserv, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Hll l ecución de l rect tngente l gráfic de un función f en el punto de bscis = ( ) sbiendo que f () = y f '( ) = pr >. + MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO.OPCIÓN A. Clculmos l integrl: ( ) + f ( ) = d = d + + Como es un función rcionl, dividimos los dos polinomios y descomponemos l integrl + f ( ) = d = ( ) d + d = + ln + + C + + Como f () = = C C = Luego, l función es: f ( ) = + ln + L rect tngente en = es y f () = f '() ( ) 5 f () = + ln = + ln ( ) f '( ) = f '() = + Sustituyendo en l ecución, tenemos, 5 5 y + ln = ( ) y = + ln

3 Se f : (, + ) R l función dd por f ( ) = ln (ln represent logritmo neperino). ) Clcul l ecución de l rect tngente l gráfic de f en el punto de bscis =. b) Esboz el recinto comprendido entre l gráfic de f, y = y l rect =. Clcul su áre. MATEMÁTICAS II. 6. JUNIO. EJERCICIO.OPCIÓN B. ) L rect tngente en = es y f () = f '() ( ) f () = Ln = f '( ) = f '() = = Sustituyendo en l ecución, tenemos, y = ( ) y = b) El áre de l región pedid es: 9 A = ( ln ) d = ln + = ln = ln ln = ln u L integrl de ln l hcemos por prtes ln d = ln d = ln + C u = ln ; du = dv = d; v = d

4 ln Consider l función f dd por f ( ) = + pr >. ) Hll tods ls primitivs de f. b) Hll f ( ) d c) Determin l primitiv de f que tom el vlor pr =. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. ) Clculmos l integrl de y l integrl de ln por seprdo. I = d = d = = I ln = d Hcemos un cmbio de vrible: t = ln ; dt = d ln t (ln ) I = d = t dt = = Con lo cul, tods ls primitivs de f son: (ln ) F( ) = + + C b) (ln ) (ln ) (ln) (ln ) f ( ) d = + = + + = + c) Clculmos l primitiv que cumple: F () = (ln) 7 F() = + + C = + C = C = Con lo cul, l primitiv que nos piden es: (ln ) 7 F( ) = + +

5 Se f : R R l función dd por f ( ) =. Clcul el áre del recinto limitdo por l ( + ) gráfic de f, el eje de bsciss y ls rect = y =. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Hcemos un esbozo del recinto cuy áre nos piden clculr El áre que nos piden viene dd por: A = Hcemos un cmbio de vrible: ( + ) t = + ; dt = d d Clculmos los nuevos límites de integrción: Si = t = + = Si = t = + = Con lo cul: A = d = dt = = + = u ( + ) t t

6 De l función f : R R definid por f ( ) = e b, donde, b R se sbe que su gráfic tiene tngente horizontl en = y que MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. f ( ) d = e. Hll los vlores de y b. Clculmos l primer derivd de l función. f '( ) = e b Vmos plicndo ls condiciones del problem. - Tngente horizontl en = f '() = b = - b b f ( ) d = e ( e b) d = e = e = e Resolviendo el sistem formdo por ls dos ecuciones, tenemos que: = ; b =

7 Consider l función f : ( m ) R R definid por f ( ) =, con m >. Clcul el áre m del recinto encerrdo por l gráfic de f y el eje OX. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Clculmos los puntos de corte de l función con el eje OX ( m ) = 6m = = ; = m m Vemos que función v por encim y cuál por debjo: m( m m) f ( ) = = > = Eje OX y = m m m ( m ) Luego, l función f ( ) = v por encim del eje OX m m m m (6 ) ( 8 ) 6 A = m d = = m m = u m m m

8 Clcul el vlor de > pr el que se verific d =. + MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Clculmos l integrl + + d = d = ln( ) ln( ) ln + = + = Resolvemos l ecución: + + ln( ) ln ln e e '57 + = = = = + = Y que >

9 Consider l función f : R R dd por limitdo por l gráfic de f y l rect y f ( ) m = + siendo m >. Esboz el recinto = m y clcul el vlor de m pr que el áre de dicho recinto se 6. MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Hcemos un esbozo de ls dos funciones. Clculmos los puntos de corte de ls dos funciones. y = m m ; m = = =. y = + m 6 ( ( ) = m = m = m m m ( m ) m ( m ) 8 8 = + m m d = + = + = m + m = 8m 6 7

10 Clcul + d ( sugerenci : t = + ) MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Como el cmbio es t = +, vmos clculr cuánto vle d y : dt = d d = + dt = t dt + t t = + t = + = Sustituimos en l integrl el cmbio de vrible + t dt t dt tdt d = = = t + t t t t + + Dividimos y descomponemos: tdt = dt = t ln t + = + ln C t + t +

11 Determin l función f : R R tl que π f ''( ) = sen, f () = y f = MATEMÁTICAS II. 6. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. Clculmos: f '( ) = f ''( ) d = sen d = sen d = ( cos ) = cos + C f ( ) = f '( ) d = (cos + C) d = sen + C + D Clculmos los vlores de ls constntes con los dtos del problem f () = D = π π f = C + = C = π Luego, l función que nos piden es: f ( ) = sen + π

12 Se f : R R l función definid por f ( ) =. Encuentr l rect horizontl que cort l gráfic de f formndo con ell un recinto con áre 8 5. MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. Hcemos un esbozo de ls dos funciones. L rect prlel l eje OX tiene de ecución y = Clculmos los puntos de corte de ls dos funciones. y = = = ± y =. Como el recinto es simétrico respecto l eje OY, clculmos el áre pr > y l multiplicmos por ( ) 8 ( ) d = = = = = 8 8 = = = = =

13 Clcul d. Sugerenci: se puede hcer el cmbio de vrible t = + MATEMÁTICAS II. 6. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B Hcemos el cmbio de vrible: = t = t d = t dt Con lo cul: t t I = d tdt dt + = + t = + t Es un integrl rcionl, hcemos l división y descomponemos t t ( ) I = dt = t t + dt = t + t ln + t = + ln + + C + t + t