CONVEXIDAD R 2. Conjuntos convexos. Combinación lineal convexa de m puntos. λ x. Ejemplos de conjuntos convexos en R 2

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1 Cojutos coveos Ejeplos de cojutos coveos e R CONVEXIDAD Cojutos coveos Coveidad de fucioes DEFINICION: U cojuto A es coveo cuado, y A y λ [0,] se cuple λ + ( λ) y A R λ + ( λ) y λ = / y λ = 0 Cojuto coveo: λ = Cualquier segeto que ua putos que perteezca al cojuto, está copletaete coteido detro del propio cojuto Cojutos o coveos: Cobiació lieal covea de putos,, K, λ 0, λ 0,..., λ 0 λ + λ + K+ λ = = λ + λ R + K+ λ siedo Cobiacioes lieales coveas Cobiacioes lieales coveas

2 Poliedro coveo geerado por u cojuto de putos Cojuto forado por todas las cobiacioes lieales coveas (CC) de los putos geeradores Propiedades de los cojutos coveos U cojuto es coveo si y solo si toda CC de putos del propio cojuto perteece al cojuto a itersecció de cojutos coveos sigue siedo u cojuto coveo Propiedades de los cojutos coveos E geeral, i la uió i la diferecia de cojutos coveos produce u cojuto coveo Evoltura covea de u cojuto Es el eor cojuto coveo que lo cotiee Itersecció de todos los cojutos coveos que lo cotiee Vértices de u cojuto coveo U vértice es u puto del cojuto que o puede ser epresado coo CC de otros dos putos diferetes del propio cojuto

3 Tipos especiales de cojutos coveos Hiperplaos { = (,..., ) R a + a + + a b} H = K Seiespacios S = S = = { = (,..., ) R a + a + K + a b} { = (,..., ) R a + a + K + a < b} Polítopos: cojutos que se epresa coo itersecció de u úero fiito de seiespacios cerrados Coveidad de fucioes Ua fució defiida sobre u doiio coveo D, es covea cuado, [0,] se cuple f ( λ + ( λ) λf ( ) + ( λ) Ua fució defiida sobre u doiio coveo D, es estrictaete covea cuado, (0,) se cuple f ( λ + ( λ) < λf ( ) + ( λ) f( λ f( )+(-λ) f( f() Caso de fucioes de ua variable f() Ua fució es covea cuado el segeto que ue dos putos cualesquiera de la gráfica de la fució queda siepre por ecia de la gráfica. Si el segeto queda siepre estrictaete por ecia (salvo e los etreos), etoces la coveidad es adeás estricta f(λ+(-λ) λ+(-λ)y y Toda fució estrictaete covea es tabié covea Diferecia etre coveidad y coveidad estricta Fució f(,= +y Fució covea (o estrictaete) Fució estrictaete covea 3

4 Fucioes cócavas Ua fució defiida sobre u doiio coveo D, es cócava cuado Fucioes cócavas de ua sola variable, [0,] se cuple f ( λ + ( λ) λf ( ) + ( λ) Ua fució defiida sobre u doiio coveo D, es estrictaete cócava cuado, (0,) se cuple f ( λ + ( λ) > λf ( ) + ( λ) Fució cócava (o estrictaete) Fució estrictaete cócava Fució cócava de dos variables Fucioes que o so cócavas i coveas Fució f(,=- -3y Propiedades de las fucioes coveas Si f() es ua fució covea etoces la fució opuesta f() es cócava, y viceversa f() as fucioes lieales so a la vez cócavas y coveas, pero o estrictaete f (,,, ) = c + c + + c + d Caso de fucioes de ua variable: f() = c+d f() f(λ+(-λ) = λf()+(-λ)f( 4

5 a sua de fucioes coveas sigue siedo ua fució covea a sua de fucioes cócavas sigue siedo ua fució cócava Cualquier cobiació lieal co coeficietes positivos de fucioes coveas es tabié ua fució covea f ( ), f ( ), K, f λ 0, λ 0, K, λ 0 ( ) fucioes coveas λ f ( ) + λ f ( ) + + λ f ( ) es covea Relació etre cojutos y fucioes coveas Si ua fució f() es covea etoces S { f ( } es u cojuto coveo para cualquier valor de Si ua fució g() es cócava etoces T { g( } es u cojuto coveo para cualquier valor de Si ua fució h() es lieal (cócava y covea) etoces los siguietes cojutos so siepre coveos S T { h( } { h( } { h( } H = Seiespacio Seiespacio Hiperplao EJEMPO: Para estudiar si el siguiete cojuto es coveo A = (, ) bastaría coprobar que:, ) = 5 f ( = + es ua fució covea g( = es ua fució cócava, ) h ( = + es ua fució lieal, ) 5 Estudio de la coveidad de fucioes difereciables Se puede estudiar la coveidad a partir del estudio de la atriz hessiaa Hf (, ) = Bajo ciertas codicioes de regularidad, la atriz hessiaa de ua fució es ua atriz siétrica Clasificació de atrices siétricas Ua atriz cuadrada siétrica A se dice... Seidefiida positiva cuado T A 0 para cualquier vector Seidefiida egativa cuado T A 0 para cualquier vector Defiida positiva cuado T A > 0 para cualquier vector o ulo Defiida egativa cuado T A < 0 para cualquier vector o ulo Idefiida cuado la epresió T A toa valores positivos o egativos depediedo del vector 5

6 Clasificació a partir de los autovalores os autovalores de la atriz A so las raíces del polioio característico: a λ a a λ a det( A a a a λ λ I ) = = 0 λ, λ,..., a a os autovalores de ua atriz siétrica so siepre úeros reales λ Ua vez calculados los autovalores de ua atriz siétrica, se tiee: A es defiida positiva si y solo si los autovalores so todos estrictaete positivos. A es defiida egativa si y solo si los autovalores so todos estrictaete egativos. A es seidefiida positiva si y solo si los autovalores so todos ayores o iguales a cero. A es seidefiida egativa si y solo si los autovalores so todos eores o iguales a cero. A es idefiida si eiste dos autovalores de diferetes sigos. Clasificació a partir de los eores pricipales os eores pricipales de la atriz A so úeros reales obteidos de la siguiete fora: A es defiida positiva si y solo si todos los eores pricipales so estrictaete positivos: > 0, > 0,..., > 0 A es defiida egativa si y solo si los eores so todos ellos o ulos y de sigo altero, siedo siepre el priero egativo: < 0, < 0, 4 > 0,... Si todos los eores so estrictaete positivos salvo el últio que es ulo, etoces la atriz A es seidefiida positiva. > 0, > 0,..., = 0 Si los eores so todos de o ulos, salvo el últio, y adeás de sigo altero, siedo el priero egativo, etoces A es seidefiida egativa. < 0, < 0, 4 > 0,..., = 0 Si todos los eores so diferetes de cero, salvo posibleete el últio, pero i so todos positivos i se altera e el sigo, etoces la atriz es idefiida. Cuado eiste u eor ulo que o es el últio el criterio de los eores pricipales o perite clasificar la atriz Ejeplo: = >0 = 0 3 = 5 > 0 4 = 0 Estudio de la coveidad de la fució a partir de la clasificació de su atriz hessiaa f() es covea si y solo si Hf() es seidefiida positiva para cualquier e el doiio de la fució. f() es cócava si y solo si Hf() es seidefiida egativa para cualquier. Si Hf() es defiida positiva para cualquier etoces f() es estrictaete covea. Si Hf() es defiida egativa para cualquier etoces f() es estrictaete cócava. 6

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